Многоуровневые модели в физической мезомеханике металлов и сплавов: результаты и перспективы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Многоуровневые модели в физической мезомеханике металлов и сплавов: результаты и перспективы

П.В. Трусов, А.И. Швейкин, Н.С. Кондратьев, А.Ю. Янц

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, 614990, Россия

Создание новых конструкционных материалов (в первую очередь металлов и сплавов) и технологий их обработки с целью получения изделий с высокими эксплуатационными характеристиками остается и еще долго будет оставаться одной из важнейших проблем многих областей знания и отраслей промышленности. Для решения возникающих весьма сложных задач проектирования материалов и процессов их обработки в последние десятилетия широко привлекаются разнообразные математические модели, значительная часть которых базируется на макрофеноменологических континуальных теориях упругопластичности. В то же время известно, что физико-механические свойства металлических материалов и рабочие характеристики изделий из них практически полностью определяются мезо- и микроструктурой, изменение которых не описываются указанными теориями. В связи с этим в последние 15-20 лет для решения отмеченных проблем весьма интенсивно развиваются и применяются многоуровневые модели, в которых явным образом описываются физические механизмы неупругого деформирования и их носители, обусловливающие изменения структуры материала на различных структурно-масштабных уровнях. В этом смысле многоуровневые модели можно считать эффективным инструментом для реализации основных положений, подходов и методов физической мезомеханики, разработанной в трудах В.Е. Панина, его учеников и последователей. В предлагаемой статье рассматриваются структура и основные соотношения, используемые гипотезы, классификация, области применения и ограничения многоуровневых моделей, применяемых для описания процессов термомеханической обработки металлов и сплавов. Поскольку значительное число технологических процессов изготовления деталей с высокими рабочими характеристиками осуществляется методами интенсивной пластической деформации, отдельно рассматриваются вопросы учета геометрической нелинейности в соотношениях, входящих в модели. Приведены примеры применения разработанных авторами моделей, в частности, для описания сверхпластического деформирования, рассмотрения процессов рекристаллизации, исследования влияния внешних и внутренних границ кристаллитов на деформирование поликристаллических образцов, анализа сложного нагружения. Обсуждаются вопросы дальнейшего развития многоуровневых моделей, основанного на включении в структуру моделей более глубоких структурно-масштабных уровней.

Ключевые слова: физическая мезомеханика, многоуровневые упруговязкопластические модели, сверхпластические деформации, рекристаллизация, поверхностные эффекты

DOI 10.24411/1683-805X-2020-16003

Multilevel models in physical mesomechanics of metals and alloys: Results and prospects

P.V. Trusov, A.I. Shveikin, N.S. Kondratyev, and A.Yu. Yants

Perm National Research Polytechnic University, Perm, 614990, Russia

The creation of new structural materials (primarily metals and alloys) and material processing technologies for the manufacture of high-performance products is and will be the focus of many research areas and industries. In recent decades, the complex problems of designing materials and their processing techniques have been solved using various mathematical models, many of which are based on macrophenomenological continuum theories of elastoplasticity. However, it is known that the physical and mechanical properties of metallic materials as well as the performance characteristics of metallic products are almost completely determined by the meso- and microstructures, whose evolution is not described by the above theories. This gap has been successfully filled during the last 15-20 years by multilevel models that explicitly describe the physical mechanisms of inelastic deformation and their carriers causing structural changes in the material at various structural scale levels. Multilevel models can be considered an effective tool for the implementation of the main principles, approaches and methods of physical mesomechanics, developed in the works of V.E. Panin and his colleagues. This paper examines the structure and basic relationships, hypotheses, classification, applications and limitations of multilevel models used to describe the thermomechanical processing of metals and alloys. Since a large number of technological processes for the manufacture of high-performance parts and components are based on severe plastic deformation techniques, special attention is paid to taking into account geometric nonlinearity in the relationships included in the model. Application examples of our developed models are given, in particular, for describing superplastic deformation, recrystallization processes, the effect of external and internal crystallite boundaries on the deformation of poly-crystalline samples, and for analysis of complex loading. The further development of multilevel models with the inclusion of deeper structural scale levels into the models are discussed.

Keywords: physical mesomechanics, multilevel elastic-viscoplastic models, superplastic deformations, recrystalliza-tion, surface effects

© Трусов П.В., Швейкин А.И., Кондратьев Н.С., Янц А.Ю., 2020

1. Введение

Ускоренное развитие техники практически всех отраслей промышленности, особенно в аэрокосмической, двигателестроительной, судостроительной областях, требует проектирования новых, все более прочных, тепло-, износо- и коррозионно-стойких материалов, равно как создания и совершенствования технологий их обработки. Указанные и другие физико-механические и теплофизические свойства материалов зависят не только и не столько от их компонентного состава, сколько от структуры материалов на различных структурно-масштабных уровнях. Последняя в значительной степени определяется методами и технологическими режимами термомеханической обработки материалов, используемыми для создания конкретных изделий.

Следует отметить, что под материалами в настоящей работе будут пониматься преимущественно металлы и сплавы. Такой выбор обусловлен тем обстоятельством, что, несмотря на неуклонно расширяющееся применение композитов, металлы и сплавы, представляющие собой чрезвычайно обширное множество существенно отличающихся по свойствам материалов, являются и еще долго будут служить в качестве основных для изделий во всех отраслях индустрии. При этом сплавы с точки зрения физики и механики деформируемого твердого тела также могут рассматриваться как композиты с весьма сложной внутренней структурой, вследствие чего методы и подходы, развиваемые для их исследования, могут успешно применяться и для анализа композитов.

Наиболее распространенные в течение многих десятилетий технологии, применяемые для изготовления изделий из металлов и сплавов, основаны на процессах обработки давлением: прокатке, экструзии, волочении, ковке и т.д. [1-4 и др.]. Заготовки, обычно изготавливаемые методами кристаллизации из расплавов, в таких процессах испытывают огромные неупругие деформации (в сотни и тысячи процентов), кардинально меняющие исходную литую структуру, что влечет и весьма значительные изменения физико-механических свойств. В последние десятилетия широкое развитие получили такие методы интенсивного пластического деформирования, как равноканаль-ное угловое прессование, кручение под давлением, позволяющие достигать еще более высоких накопленных деформаций без нарушения сплошности изделий, получать материалы с ультрамелким зерном (субмикрокристаллические и нанокристалли-

ческие) с уникальными прочностными свойствами [5-10].

Для разработки технологических режимов термомеханической обработки вплоть до середины ХХ века основным являлся эмпирический подход. С 50-60-х годов ХХ века в практике работы исследователей и технологов все более широко начинают использоваться теоретические модели, основанные на численных методах (в большинстве работ использовались различные конечно-разностные схемы) и вариационных принципах [11-13 и др.]. С 70-х годов ХХ века начинается (и продолжается в настоящее время) эра метода конечных элементов [14-16 и др.], теории, алгоритмам реализации, приложениям которого посвящено огромное количество публикаций. При этом для решения физически нелинейных задач механики деформируемого твердого тела, как правило, использовались макрофеноменологические теории, для решения проблем обработки давлением — как правило, различные варианты классической теории пластичности [17-22 и др.], которые и в настоящее время применяются в таких широко распространенных коммерческих пакетах, как АКБУБ, Abaqus, QForm. С помощью указанных теорий и пакетов решено огромное количество прикладных (в том числе технологических) задач. По сравнению с приближенными инженерными методами развитый на основе метода конечных элементов и феноменологических теорий подход обеспечил существенный прогресс в разработке технологических процессов, режимов обработки, позволил с гораздо более высокой степенью адекватности определять напряженно-деформированное состояние, остаточные напряжения первого рода, потребную мощность, силовые параметры оборудования и другие интегральные характеристики.

При постановке и решении краевых задач, возникающих при исследовании процессов обработки давлением, была выявлена весьма серьезная проблема: кроме значительной физической нелинейности задачи данного класса являются нелинейными геометрически. Действительно, как отмечено выше, в процессах обработки давлением частицы материала испытывают огромные градиенты перемещений (т.е. как собственно деформации, так и повороты), актуальная конфигурация, области контакта с инструментом априори неизвестны. Решением указанной проблемы, начиная с 70-х годов ХХ века, активно занимаются многие исследовательские коллективы, с обзорами и основными положениями работ данного направления можно по-

знакомиться в [23-29 и др.]. Наибольшие сложности возникают при формулировке геометрически нелинейных определяющих соотношений, для чего необходимо разделить движение деформируемого твердого тела на квазитвердое и деформационное с дальнейшим установлением отклика материала (изменения напряженного состояния) только на изменение деформаций (для ясности рассматривается изотермическое нагружение). Над этой проблемой работали и работают многие специалисты в области нелинейной механики деформируемого твердого тела, однако однозначного решения до настоящего времени не найдено. Как представляется, в рамках континуальной механики деформируемого твердого тела его едва ли удастся получить.

Модели, разработанные в рамках классических теорий, не содержат описания (по крайней мере, в явном виде) эволюционирующей в ходе обработки структуры. Как отмечено выше, именно последняя определяет эксплуатационные характеристики готовых изделий; управляя структурой на различных масштабных уровнях можно существенно повышать рабочие характеристики различных деталей и конструкций. Следует отметить, что макрофено-менологические теории базируются на механических экспериментах, а следовательно, применимы только для уже существующих материалов. В силу указанных обстоятельств подход, основанный на указанных теориях, не позволяет создавать функциональные материалы и конструкции, разрабатывать технологические процессы с использованием в значительной мере общих физических закономерностей, управляющих процессами формоизменения на мезо- и микроуровнях.

Указанные ограничения классических теорий неупругости осознавались специалистами в области нелинейных механики деформируемого твердого тела и физики твердого тела уже в середине ХХ века. В связи с этим возник и стал интенсивно развиваться подход, основанный на понятии внутренних переменных («скрытых параметров») и термодинамике необратимых процессов [30-36]. Под этими «скрытыми параметрами» понимались характеристики деформируемого континуума, управлять которыми «напрямую», за счет изменения внешних термомеханических воздействий, не представляется возможным. На ранних стадиях становления указанного подхода физический смысл данных параметров в большинстве случаев не обсуждался; в некоторых работах под ними предлагалось понимать пластические деформации. С раз-

витием данного подхода под внутренними переменными стали понимать характеристики структуры материала на различных масштабных уровнях [37-39].

Огромный вклад в материаловедение в целом и в развитие теории построения конститутивных моделей для описания поведения материалов при различных термомеханических воздействиях внесли работы академика В.Е. Панина, его учеников и коллег [40-48]. В указанных работах сформулированы основные понятия и положения, заложены основы новой дисциплины на стыке физики и механики твердого тела — физической мезомехани-ки. В рамках физической мезомеханики материал рассматривается как сложная иерархическая трехуровневая система, обладающая свойством самоорганизации. К микроуровню относится уровень отдельных дефектов (дислокаций, вакансий и т.д.); на макроуровне объектом исследования является макрообразец (или представительный макрообъем). Все механизмы и их «носители», принадлежащие промежуточным уровням, относят к мезо-уровню. Основными структурными элементами последнего являются конгломераты зерен, зерна, субзерна, фрагменты, дислокационные субструктуры, особое внимание уделяется границам. Полагается, что неупругое деформирование реализуется по схеме «сдвиг + поворот». Использование декомпозиции большой системы на составляющие элементы, формулировка соотношений не для системы в целом, а для отдельных элементов, с последующим агрегированием делает структуру модели прозрачной и универсальной, применимой для множества близких систем и процессов, предоставляет возможность прямой и косвенной верификации на основе экспериментальных данных о процессах на низших масштабных уровнях и т. д.

Для реализации идеологии физической мезоме-ханики наиболее органично сочетающимся с ней инструментом является аппарат интенсивно развивающегося в последние десятилетия подхода — многоуровневого моделирования [49-54 и др.]. Многоуровневые модели, основанные на введении внутренних переменных и физических теориях уп-руговязкопластичности, позволяют описывать деформирование и эволюцию структуры материалов на различных структурно-масштабных уровнях, включать в рассмотрение широкий набор наиболее значимых для исследуемого процесса физических механизмов: движение краевых и винтовых дислокаций, двойникование, возврат, рекристаллизацию и другие. Наиболее распространенными на началь-

ном этапе развития данного подхода являлись двухуровневые (мезо- и макроуровень) модели, оперирующие такими переменными, как скорости сдвигов и упрочнение на системах скольжения, ротации кристаллической решетки — на мезоуровне; на макроуровне описание осуществляется в терминах континуальных переменных — напряжений, скоростей деформаций (с описанием данного класса моделей можно познакомиться по цитируемым выше работам). В последние годы все чаще появляются работы, в которых вводится микроуровень, на котором в рассмотрение вводятся плотности дислокаций на системах скольжения, взаимодействие их друг с другом и с другими дефектами кристаллической решетки [55-60 и др.].

Авторы настоящей статьи работают в области построения многоуровневых моделей, основанных на физической мезомеханике и физических теориях неупругости, более 15 лет. Подробное описание разработанных авторами и детальный обзор существующих моделей, результаты решения ряда задач содержатся в монографии [54].

2. Структура и основные соотношения многоуровневых конститутивных моделей металлов и сплавов, основанных на физических теориях пластичности

2.1. О физических теориях пластичности

В основе физических теорий пластичности [61] лежит рассмотрение в явной форме механизмов деформирования на мезо- и микромасштабах (т.е. масштабных уровнях, меньших уровня представительного объема в макросмысле, или представительного объема в инженерном смысле). В физических теориях пластичности для характеристики структуры материала и механизмов деформирования вводятся внутренние переменные [37-39, 62] и эволюционные уравнения для них, построенные на основе сведений из физики твердого тела и физического материаловедения. Это позволяет за счет введения необходимого числа внутренних переменных и соотношений для описания их эволюции вместо операторной или функциональной формы определяющих соотношений использовать системы (обыкновенных) дифференциальных и алгебраических соотношений (при этом свойство памяти учитывается в конститутивной модели — история воздействий отражается совокупностью изменяющихся значений внутренних переменных).

В связи тем, что в значительной мере механизмы неупругого деформирования реализуются на

масштабном уровне кристаллитов (части зерна, для которой свойства можно считать однородными), в англоязычной литературе для физических теорий пластичности используется название «crystal plasticity». В тоже время, согласно методологии физической мезомеханики [41, 44], установление масштабных уровней, вовлекаемых в рассмотрение в конкретном варианте физических теорий пластичности, должно определяться требованиями к точности описания и особенностями рассматриваемых процессов, известными сведениями или представлениями физики твердого тела о лидирующих и аккомодационных процессах, определяющих неупругое деформирование. В соответствии с этим далее рассматривается базовая структура двухуровневых конститутивных моделей, основанных на рассмотрении уровня однородно деформируемого кристаллита (для краткости изложения именно этот уровень будем называть далее мезоуровнем), а затем в разделе 3 приводятся примеры ее расширения учетом механизмов деформирования на других масштабных уровнях.

Имеется значительное число работ, в которых детально описывается методология многоуровневого моделирования на основе физических теорий пластичности, при этом внимание уделяется основным понятиям, стратегии построения моделей, специфике формулировок соотношений различных уровней (например, [63-65]). Важнейшим отличительным признаком данных моделей является гипотеза о связи характеристик различных уровней (иногда говорят о гипотезе осреднения, или о гипотезе агрегирования — объединения элементов нижележащего уровня в элемент более высокого масштабного уровня). По данному признаку можно выделить три основные группы моделей: статистические, самосогласованные и прямые. Приведем вкратце их основные отличительные особенности, основываясь на обзоре из работы [54].

2.2. Статистические конститутивные модели на базе физических теорий пластичности

Статистические модели основаны на рассмотрении элементов мезоуровня (совокупности или отдельных зерен, субзерен) относительно независимо друг от друга; объединение элементов мезо-уровня в элемент макроуровня (представительный макрообъем) осуществляется по части характеристик на основе априори принимаемых гипотез кинематического или статического типа, по остальным характеристикам осуществляется осреднение. Большая часть существующих статистических мо-

делей основана на гипотезе Фойгта об однородности деформаций (часто их называют моделями типа Тейлора); напряжения на макроуровне в этом случае определяются, как правило, осреднением напряжений в элементах мезоуровня (кристаллитах); осреднение осуществляется или по объему, или статистическое (чаще всего в ориентационном пространстве). Менее распространенными являются статистические модели, основанные на гипотезе Рейса об однородности напряжений (в некоторых работах их называют моделями типа Закса). По интенсивности напряжений макроуровня модели, использующие гипотезу Фойгта, при одинаковых воздействиях дают более высокие значения, чем результаты, полученные по гипотезе Рейса. При этом в таких моделях обычно не учитывается взаиморасположение зерен в поликристалле, вследствие чего они не дают возможности учитывать взаимодействие и взаимовлияние механизмов деформирования и их носителей в соседних кристаллитах.

Существуют также статистические модели, которые можно отнести к промежуточным. В части из них одновременно применяются гипотезы Фойгта и Рейса, результаты устанавливаются осреднением по этим двум подходам. В других «согласование» полей скоростей перемещений и напряжений осуществляется по части компонент или по нескольким элементам-зернам. Используются и другие подходы для связи макро- и мезо-уровней, например, в [66] конститутивные соотношения макроуровня представляются разложением в ряд на основе определяющих соотношений микроуровня и моментов произвольного порядка переменных микроуровня.

Обзоры статистических моделей на основе физических теорий пластичности содержатся в [50, 54, 67-69].

2.3. Самосогласованные конститутивные модели на базе физических теорий пластичности

Более точными являются так называемые самосогласованные модели (или «модели среднего поля»), в которых рассматривается поведение отдельного включения-кристаллита (как правило, канонической формы, например, эллипсоида), заключенного в матрицу с эффективными характеристиками поликристалла. Для определения эффективных характеристик используются статистические методы осреднения, что делает данный класс моделей «примыкающим» к вышерассмот-ренному. Модели данного класса имеют широкое применение, однако большей частью — в теорети-

ческих работах, при анализе поведения представительного объема поликристаллического материала. Применение их для решения реальных задач сдерживается значительными затратами машинного времени. Еще один недостаток самосогласованных моделей связан с невозможностью явного описания взаимодействия соседних кристаллитов, вследствие чего нельзя явно учесть одну из основных физических причин разворотов кристаллитов [70] — несовместность сдвигов в соседних зернах, обусловленной разориентацией их кристаллографических систем, а также детально описать изменение свойств межкристаллитных границ, что необходимо для описания зернограничного скольжения (подробная информация приведена в п. 3.1).

Обзоры работ по самосогласованным моделям и рассмотрение вопросов связи переменных разных масштабных уровней содержатся в статьях [50, 71-73].

2.4. Прямые конститутивные модели на основе физических теорий пластичности

Наиболее детальными, дающими возможность анализа неоднородного напряженно-деформированного состояния на уровне зерен и субзерен, являются прямые модели на базе физических теорий пластичности и метода конечных элементов. Каждый кристаллит (зерно, субзерно, фрагмент) аппроксимируется одним или несколькими (до сотен) конечными элементами, в которых конститутивная модель материала строится на основе выбранной физической теории пластичности. По сути, эти модели являются одноуровневыми (разновидностью являются модели, в которых каждый кристаллит «приписывается» одной точке интегрирования конечного элемента высокого порядка). Иначе говоря, в этом случае имеет место геометрическое описание кристаллитов конечными элементами, которые отражают реальную конфигурацию зерен (субзерен, фрагментов). Понятно, что в этом случае вопроса о «согласовании» полей перемещений и вектора напряжений не возникает, непрерывность полей (обычно в слабой форме) обеспечивается автоматически. Однако модели этого типа являются еще более ресурсоемкими, чем самосогласованные.

В последние десятилетия для определения локальных полей параметров мезоуровня (напряжений, скоростей деформаций и т.д.) предложен подход, основанный на быстром преобразовании Фурье [74-76], позволяющий на порядки сократить время расчетов на ЭВМ при удовлетворительной

точности полученных результатов. Однако требования по ресурсам остаются гигантскими даже для моделирования термомеханической обработки изделий с характерными размерами в несколько десятков миллиметров. В связи с этим самосогласованные и прямые модели активно применяются для анализа напряженно-деформированного состояния при изготовлении и эксплуатации деталей микромеханизмов (характерные масштабы — не более нескольких миллиметров).

Отметим, что существуют два пути построения моделей, основанных на совместном применении физических теорий пластичности и метода конечных элементов. При этом в англоязычной литературе появился специальный термин для обозначения таких моделей, не выделяющий их особенностей, — «crystal plasticity finite element method (CP FEM)». Однако, учитывая значительные различия в структуре и особенностях реализации указанных разновидностей, представляется необходимым разделить модели CP FEM, по крайней мере, на два основных типа [77]. Первый тип описан выше — это, по сути, конечно-элементная реализация модели представительного объема с конститутивными соотношениями физических теорий пластичности для точек интегрирования, соответствующих малым частям кристаллитов. Модели второго типа, также относимые в англоязычной литературе к CP FEM, скорее представляют собой методы решения краевых задач макроуровня, основанные на многоуровневом подходе и физических теориях пластичности. В этом случае конститутивная модель на основе физических теорий пластичности (любого типа — статистическая, самосогласованная или прямая) применяется для точки интегрирования на уровне конструкции. При этом расстояния между точками интегрирования на уровне конструкции могут быть существенно больше линейных размеров представительного макрообъема.

Обзоры прямых моделей на основе физических теорий пластичности приводятся в [51, 53, 73, 78].

Для моделирования технологических процессов в обозримой перспективе наиболее приемлемы статистические конститутивные модели, в первую очередь по причине практически невыполнимых требований по компьютерным ресурсам для самосогласованных и прямых моделей. Кроме того, в моделях этих классов сложно реализовать описание зернограничного скольжения и динамической рекристаллизации, которые являются важными для рассмотрения процессов обработки металлов и

сплавов при повышенных температурах. В связи с этим далее в качестве базовой рассматривается статистическая модель (для простоты изложения приведены соотношения для изотермического случая, модификация для общего случая содержится в [54 (п. 3.1, 3.2)]). При этом предложенные соотношения мезоуровня пригодны для использования и в прямой модели, в качестве примеров в [54] и в разделе 3.3 настоящей статьи приводятся результаты применения для исследования поведения образцов.

2.5. Основные соотношения мезоуровня

При описании кинематики деформирования кристаллитов используется мультипликативное разложение градиента места (здесь и далее транспонированного) f [79, 80]:

f = Г. ^ = Г. г • Р, (1)

где fе, f р — упругая и пластическая составляющая градиента места; г — собственно ортогональный тензор, преобразующий отсчетный базис подвижной системы координат к о5 в текущий к 5, 5 = 1, 2, 3 (тензор ротации подвижной системы координат из отсчетной в актуальную конфигурацию (вместе с материалом)); fе — градиент места, преобразующий пластически деформированную конфигурацию, испытавшую поворот, в актуальную конфигурацию (одновременно характеризующий искажение решетки кристаллита).

Представление (1) является модификацией классического разложения Кренера-Ли f = fе • f р [81, 82], которая осуществлена введением понятия жесткой подвижной системы координат, движение которой принимается квазитвердым [23] и отделяется от упругих искажений решетки (малых для металлов).

При введении (1) считается, что при пластическом деформировании подвижная система координат неизменна, материал «течет» сквозь решетку без изменения элементов материальной симметрии (и подвижной системы координат, связанной с ними); эта гипотеза принимается фактически во всех моделях физических теорий пластичности — при скольжении краевых дислокаций не изменяются упругие свойства. Основным механизмом неупругой деформации принимается скольжение краевых дислокаций, не приводящее к изменению ориентации решетки. Пластическая составляющая градиента деформации Тр определяется из соотношения:

К о(к) о(к) Ур .уР)-1 = (к)ь п , (2)

к=1

о(к) о(к)

где Ь , п — единичные векторы направления скольжения и нормали к плоскости скольжения краевых дислокаций в отсчетной конфигурации; К — число систем в кристаллите.

Поскольку пластические деформации не меняют положения подвижной системы координат, для определения скорости ее ротации (спина ш) используется только упругая составляющая транспонированного градиента скорости перемещений Iе. В [83, 84] приведены соотношения для спина ш при различных связях подвижной системы координат с кристаллографической системой координат и показано, что напряжения Коши получаются близкими при любой привязке. Важно заметить, что при принятии представления движения (1) для определения спина могут быть использованы любые физически обоснованные модели ротации (например, включающие дополнительные члены, основанные на рассмотрении взаимодействия дислокаций и дисклинаций соседствующих кристаллитов [85], с учетом дополнительного вклада от механизма зернограничного скольжения — описывается в разделе 3.1).

Для установления скоростей сдвигов у(к) на системах скольжения во многих моделях используется вязкопластическое соотношение:

У(к) = У0^(кУхСк))тИ(т(к) -т[к)), к = 1,..., К, (3) (к) (к)

где т , тс ' — сдвиговое и критическое сдвиговое напряжение на к-й системе скольжения; Н() — функция Хэвисайда; у 0 — скорость сдвига по системе скольжения при достижении касательным напряжением критического напряжения сдвига; т — показатель скоростной чувствительности материала. Используется удвоенное число систем скольжения (отдельно рассматриваются противоположные направления сдвигов). В качестве альтернативы (3) могут быть использованы упругопластичес-кие соотношения, требующие строгого равенства касательных напряжений на активных системах скольжения критическим [61].

Формулировке закона упрочнения — эволюционных соотношений для критических сдвиговых напряжений т|,к) — посвящено множество работ по развитию физических теорий пластичности (например [86-90]; развернутый обзор работ последнего десятилетия содержится в [54]). Связано это с тем, что в физических теориях пластичности

именно критические напряжения сдвигов по сис-

(к)

темам скольжения тс ' являются теми внутренними переменными, которые характеризуют сопротивление дефектной структуры движению дислокаций, следовательно, их изменение должно быть связано с изменением дефектной структуры. Поскольку в деформируемом твердом теле реализуется множество механизмов деформирования и сценариев их взаимодействия, построение математических описаний этих процессов и включение в математические модели материалов, которые можно использовать при исследовании реальных технологических процессов, является сложной задачей на стыке физики твердого тела и механики деформируемого твердого тела — задачей мезомеха-ники. Некоторые модификации законов упрочнения, предложенные авторами, приведены в [54].

В большинстве современных работ по физическим теориям пластичности [78, 91-93 и др.] в качестве базового определяющего соотношения ме-зоуровня используется упругий закон, записанный в терминах «классической» разгруженной конфигурации (получаемой из актуальной аффинным преобразованием (Уе )-1):

к = п0: се, (4)

где к = J (Уе )-1 • о • (Уе )-Т — второй тензор Пиола-Кирхгоффа, о — тензор напряжений Коши, J =

о Л о л

р / р, р, р — плотность в отсчетной и актуальной конфигурациях; п0 = путпкшк0}к0тк0п — тензор упругих свойств; се = 1/2((Уе)Т • Уе -1) — мера деформации Коши-Грина, I — единичный тензор.

С использованием мультипликативного разложения движения (1) физически обоснованной представляется формулировка упругого закона в терминах решеточной разгруженной конфигурации, определяемой Уе-1 [79]:

к = П0: се, (5)

где используются определенные в этой конфшура-циивторой тензор Пиола-Кирхгоффа к = J (Уе )-1 • о •(Уе)-Т, тензор упругих характеристик п = п1]тпкгкукткп, упругая составляющая правого тензора деформаций Коши-Грина Се = 1/2 ((Уе )Т • Уе -1). Принимаемое определение тензора упругих свойств (его компоненты постоянны в подвижной системе координат) позволяет обеспечить выполнение принципа независимости определяющего соотношения от выбора системы отсчета [23, 94].

При постановке и решении краевых задач, возникающих при рассмотрении технологических

процессов термомеханической обработки металлов и сплавов, исследователи сталкиваются с необходимостью учитывать большие градиенты перемещений, для чего необходима геометрически нелинейная постановка. При формулировке задачи в терминах отсчетной конфигурации сложности связаны с тем, что меры напряжений, скорости напряжений и деформаций не имеют ясного физического смысла, что затрудняет построение определяющих соотношений. При использовании второго тензора напряжений Пиола-Кирхгоффа уравнения равновесия (или движения) и силовые граничные условия становятся нелинейными, возникают сложности также с реализацией контактных граничных условий. В связи с этим предпочтительными представляются постановки краевой задачи, включая формулировку определяющих соотношений, в терминах актуальной конфигурации, причем в скоростной форме, удобной для применения численных методов: в этом случае возможно пошаговое решение с переопределением конфигурации расчетной области (в том числе контактирующих поверхностей). Преимуществом формулировок определяющих соотношений в скоростной форме является также возможность аддитивного разложения скорости неупругой деформации на вклады от различных механизмов.

В [54, 95] приводятся аналитические выкладки, показывающие строгую эквивалентность (в смысле определения одинакового отклика) формулировки (4) с классическим мультипликативным разложением градиента места Кронера-Ли f = fе • ^ и формулировки (5) с кинематическим представлением (1) при использовании одинакового спина и при справедливости предположения о постоянстве компонент тензора свойств в подвижной системе координат. При этом в силу энергетической сопряженности используемых мер напряженно-деформированного состояния требование отсутствия гистерезиса напряжений и отсутствия диссипации энергии на произвольных замкнутых упругих циклах выполняется автоматически, что проиллюстрировано в [79, 80] примерами для различных случайно выбранных анизотропных (ГЦК и ГПУ) кристаллитов. Отсюда можно сделать вывод о применимости соответствующих упругих соотношений для моделирования эксплуатации изделий из металлов и сплавов. Однако формулировка (1), (5) обладает важным преимуществом: от соотношения (5) можно легко перейти [96] к эквивалентной скоростной форме [80] и далее, для случая

малых упругих искажений fe «I, характерного для металлов и сплавов, — к скоростной формулировке в терминах актуальной конфигурации:

кcr = dK/dt + к • ш - ш • к = n(cr): ze = П(сг) :(z -zin) = H(Cr):^l-ш - £ y(k)b(k)n(k) j, (6)

где к = Jо — взвешенный тензор напряжений Кирхгоффа; кcr — его коротационная производная; l = VvT = f • f 1 — транспонированный градиент скорости перемещений, V — набла-оператор в текущей лагранжевой системе координат; z = (l -ш) — индифферентная мера скорости полных деформаций на мезоуровне (тензор меры скорости полных деформаций, определяемый наблюдателем в подвижной системе координат) [97]; ze — мера скок

рости упругих деформаций; zin = £ у( k )b(k )n( k) —

k=1

мера скорости неупругих деформаций, у(k), b( k),

(k)

n ' — скорость сдвига, единичные векторы направления сдвига и нормали к плоскости сдвига в актуальной конфигурации для k-й системы внут-ризеренного скольжения краевых дислокаций. Результаты численных расчетов показывают близость отклика, определяемого при использовании формулировок (6) и (5) [54, 95, 98].

Хотя при определении напряжений в (6) используется только скорость деформации, для анализа результатов моделирования необходимо определить и неголономную меру деформации е. Она вводится следующим образом [99]:

ecr = е - ш • е + е • ш = VvT - ш,

t

e(t) = CorJ (VvT - ra)dt, (7)

0

t

где через CorJ обозначена операция коротацион-

0

ного интегрирования (т.е. мера деформации определяется наблюдателем, связанным с подвижной системой координат). Получена оценка меры деформации (при значительных неупругих деформациях):

к

e(t) - е(0) «£у(k )(t )b( k )n( k)

k=1

к к

-£ у(k) (0)b(k)n(k) = £ у(k) (t)b(k)n(k), (8)

k=1 k=1

где учтено, что в отсчетной конфигурации кристаллиты принимаются недеформированными и

сдвиги по всем системам скольжения отсутствуют, Ь(к), п(к) — направления сдвига и нормали систем скольжения после упругой разгрузки из актуальной конфигурации с Уе-1. Таким образом, мера е для каждого кристаллита имеет вполне ясный физический смысл: в каждый момент деформирования ? разность е(0 - е(0) равна (тензорной) сумме по всем системам скольжения кристаллита произведений накопленных сдвигов на базисные диады данных систем скольжения, определенные в подвижной системе координат.

2.6. Соотношения макроуровня

Использование в статистической модели скоростной формулировки (6) на мезоуровне позволяет записать в явном виде определяющее соотношение на макроуровне в виде упругого закона в скоростной релаксационной форме в терминах актуальной конфигурации [54]:

ксог = к - а • к+к • а = П: ze

= П :(Ь - а (9)

где Ксог = К - й • К + К • й — объективная скорость изменения меры напряженного состояния; К — взвешенный тензор напряжений Кирхгоффа; й — тензор спина квазитвердого движения макроуровня; П — тензор эффективных упругих свойств макроуровня (его компоненты постоянны в подвижной системе координат макроуровня); Z = Ь - й — индифферентная мера скорости полных деформаций на макроуровне [97]; Ь = У VТ — транспонированный градиент скорости перемещений макроуровня. Принимается гипотеза об адди-

ге г^т

и неупругих Z составляющих меры скорости полных деформаций.

Значения внутренних переменных макроуровня (й, П, Zln, Z1Ь) определяются с использованием соотношений мезоуровня. В рамках статистической модели в соответствие представительному объему верхнего уровня ставится выборка элементов мезоуровня — кристаллитов. При назначении воздействий для модели нижнего уровня используется обобщенная гипотеза Фойгта 1 = Ь (равенство градиента скорости перемещений на мезоуров-не соответствующей величине макроуровня). В отличие от популярных статистических моделей на основе физических теорий пластичности, не принимающих во внимание никаких взаимодействий зерен, в предлагаемых авторами учитывается топология — их взаиморасположение в пространстве, что необходимо для описания зерногранич-ного упрочнения и зернограничного скольжения

(п. 3.1), а также учета дополнительного спина за счет несовместности скольжения дислокаций в соседних кристаллитах [70, 85]. Спин й и тензор упругих свойств П устанавливаются осреднением по представительному макрообъему соответствующих характеристик мезоуровня. Для определе-

~ ггт «

ния неупругой Z составляющей скорости деформации используется процедура согласования определяющих соотношений соседних уровней, обеспечивающая равенство макронапряжений К осредненным мезонапряжениям к [54, 85].

Одним из основных преимуществ многоуровневых моделей является то, что с одними и теми же параметрами они применимы для моделирования различных нагружений, получаемые при этом результаты удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными. Известные авторам натурные эксперименты на сложное нагружение тонкостенных трубчатых образцов ограничены размерностью пространства напряжений-деформаций (не более 3) и малыми полными деформациями (на сдвиг — не более 5-7 %). Требуется прорывное развитие экспериментальных методик исследования сложного нагружения. В этой ситуации многоуровневые конститутивные модели могут выступать как инструмент для вычислительных экспериментов с произвольными нагружениями — для идентификации и верификации более простых, например макрофеноменологических, моделей. Описанная выше формулировка в терминах актуальной конфигурации позволяет анализировать образы процессов нагружения с использованием мер напряжений и деформаций, обладающих ясным физическим смыслом. Результаты работы авторов по развитию подхода к исследованию сложного нагружения с использованием многоуровневых конститутивных моделей представлены в публикациях [100-102].

3. Многоуровневые модели на базе физических теорий пластичности: некоторые направления развития

К настоящему моменту предложены и верифицированы множество вариантов многоуровневых моделей на основе физических теорий пластичности, учитывающих внутризеренное дислокационное скольжение, двойникование, ротации решеток кристаллитов [53, 54, 73]. Важным направлением развития моделей данного класса является учет других значимых механизмов деформирования. В п. 3.1 представлена трехуровневая статистическая модель, включающая в дополнение к указанным

механизмам описание зернограничного скольжения и пригодная для описания сверхпластического деформирования. В п. 3.2 приведено краткое изложение подмодели, предназначенной для описания процесса рекристаллизации.

Важной является возможность применения многоуровневых моделей на базе физических теорий пластичности к детальному исследованию поведения реальных образцов, широко используемых в экспериментальной механике деформируемого твердого тела для установления физико-механических характеристик материалов. В п. 3.3 приводятся некоторые результаты исследования деформирования образцов поликристаллов с особым вниманием к эффектам, обусловленным наличием свободных границ.

В завершении раздела описываются возможные направления модификации существующего аппарата, включая создание дислокационно-ориентированных трехуровневых моделей, позволяющих детально описывать взаимодействие дислокаций с дефектами различной природы и размерности (примесными атомами, барьерами дислокационной и недислокационной природы, в том числе с границами зерен). Особое внимание при дальнейшем развитии моделей предполагается уделить описанию твердотельных фазовых превращений, обеспечивающих формирование требуемых эксплуатационных характеристик изделий в различных процессах термомеханической обработки сплавов.

3.1. Трехуровневая модель: описание зернограничного скольжения и сверхпластического деформирования

Перспективным направлением развития технологий создания изделий сложной формы из металлов и сплавов с повышенными рабочими характеристиками является использование сверхпластического деформирования. Основными преимуществами этого подхода являются [103-108 и др.]: возможность получения крупногабаритных деталей с уменьшенным весом без сварных швов (или с малым количеством сварных швов и составных частей), снижение числа технологических операций, проведение процесса формовки при малых усилиях, уменьшение расхода материала, получение гладкой поверхности изделия с минимальными отклонениями от заданной геометрии, в частности, с минимизацией разнотолщинности и высокоточным заполнением штампов.

Для технологических процессов предпочтительной представляется реализация режима сверх-

пластичности при относительно умеренных (порядка 0.5-0.6) гомологических температурах, в котором сохраняются размеры и равноосная форма отдельных зерен [109-111]. При повышении температуры сверхпластическая деформация реализуется в условиях интенсивного роста зерен (непрерывной динамической рекристаллизации), в этом случае требуется дорогой жаропрочный инструмент и сложно гарантировать приемлемую сплошность (отсутствие избыточной пористости) изготавливаемой детали сложной формы. Кроме того, при охлаждения после высокотемпературной обработки возможно возникновение остаточных напряжения высокого уровня и искажение формы. По указанным причинам приоритетно применение режима сверхпластичности первого типа, без реализации непрерывной динамической рекристаллизации.

Из экспериментальных исследований известно, что при переходе к режиму сверхпластичности и в нем действуют и взаимодействуют различные механизмы деформирования. В [54, 111, 112] на основе анализа информации из множества источников о результатах экспериментов предложен «сценарий», реализующийся во время одноосного испытания близких к однофазным (алюминиевых, магниевых, титановых) сплавов с выходом в режим сверхпластичности в предположении нахождения температурно-скоростных условий в необходимом диапазоне (в частности рассматривается температура испытания не более 0.7 гомологической). На начальном этапе (восходящий участок кривой одноосного растяжения) наблюдаются упрочнение и преобладание механизма внутризерен-ного дислокационного скольжения и ротаций зерен (образование текстуры), зернограничное скольжение малозначимо. На переходной стадии (кривая растяжения постепенно изгибается) возрастает роль зернограничного скольжения, поскольку границы к этому моменту становятся более подготовленными к реализации зернограничного скольжения за счет притока решеточных дислокаций и выглаживания посредством зернограничной диффузии. В зависимости от исходной структуры материала и температурно-скоростных условий испытания либо на начальном этапе, либо на переходной стадии осуществляется ограниченная динамическая рекристаллизация (рост низкодефектных зерен за счет поглощения высокодефектных), в ходе которой происходит снижение плотности дислокаций, увеличение среднего размера зерен и возвращение от вытянутой формы, полученной на

первой стадии, к равноосной. Режим структурной сверхпластичности (финальная стадия на кривой с постепенным снижением напряжения течения) можно охарактеризовать доминированием зерно-граничного скольжения, сопровождаемого аккомодационными механизмами внутризеренного дислокационного скольжения и зернограничной диффузии, ротациями и активной сменой соседних зерен; наблюдается стабильность структуры (размеры зерен остаются практически неизменными, структура — равноосной мелкозернистой).

Таким образом, имеет место сложный сценарий реализации даже простейшего (одноосного на макроуровне) сверхпластического испытания: действуют и оказывают взаимное влияние несколько механизмов, меняется их роль, существенным образом эволюционирует структура материала. Аналогичная ситуация характерна и для технологий, основанных на сверхпластичности, причем, поскольку температурно-скоростные условия деформирования в различных частях обрабатываемой детали могут существенно отличаться, указанные процессы будут происходить в них по-разному. Это обусловливает актуальность создания многоуровневой конститутивной модели, позволяющей описывать изменение структуры материала и механизмы деформирования.

Лидирующим механизмом в режиме сверхпластического деформирования и при переходе к нему является зернограничное скольжение, поэтому важной задачей является его описание в рамках многоуровневой модели. Известны лишь несколько работ, в которых предприняты начальные шаги в данном направлении. В [113] рассмотрена прямая модель физических теорий пластичности, для оценки возможной активности зернограничного скольжения проводится анализ касательных напряжений на границах зерен. В работах [114, 115] для описания деформирования зерен применяется физическая теория пластичности, граница моделируется как отдельная среда с использованием феноменологических соотношений, при этом в явном виде не учитывается скольжение зерен. В [116] предложена смесевая модель с плавным переходом между фазами (зерном, описываемым физическими теориями пластичности, и границей, описываемой теорией пластического течения).

Как отмечено выше, значительную роль на подготовительном этапе перед реализацией режима сверхпластичности может играть рост зерен. В последнее время предложены прямые [117-119] и самосогласованные [120, 121] модели на основе фи-

зических теорий пластичности с описанием прерывистой динамической рекристаллизации. Однако стоит отметить, что в них приходится использовать достаточно сложные процедуры для перестроения зеренной структуры и переопределения поля напряжений для удовлетворения балансовым уравнения.

В статье [122] представлена самосогласованная модель, включающая учет зернограничного скольжения и других механизмов сверхпластического деформирования. В этой работе предлагается учесть «сверхпластические механизмы (зернограничное скольжение, диффузию и др.)» интегрально в дополнительной составляющей неупругой деформации для каждого зерна. Отмечая определенную перспективность данного подхода, можно предположить, что усложнение эволюционных уравнений для определения данной составляющей на основе физического анализа может существенно усложнить численные процедуры; при этом в данном подходе не ясно, каким образом можно описать взаимодействие контактирующих зерен, поскольку самосогласованные модели оперируют с эффективным окружающим рассматриваемый кристаллит континуумом. Развитие прямых моделей физических теорий пластичности осложняется необходимостью описания потери сплошности, что приводит к потребности использования специальных методов решения соответствующих краевых задач.

При решении краевых задач для моделирования технологий сверхпластичности при изготовлении изделий весьма значимым является вопрос вычислительной эффективности, поэтому в совокупности с приведенными выше аргументами в качестве баз для описания сверхпластического деформирования выбрана статистическая модель.

В [123] предложена структура модели с отделением части неупругой деформации на макромас-штабном уровне за счет зернограничного скольжения. Отметим, что подобная структура использована в более поздних статьях [124, 125], рассматривающих зернограничное скольжение в нанома-териалах, однако без рассмотрения физических процессов, управляющих зернограничным скольжением (в частности, не рассмотрены эволюционные соотношения для критических напряжений зернограничного скольжения).

Важнейшим преимуществом многоуровневого подхода по сравнению с макрофеноменологичес-ким является возможность описания действия отдельных механизмов и их взаимодействий на ос-

нове сведений из физики твердого тела и экспериментов. Так, в рамках концепции мезомеханики, развиваемой В.Е. Паниным и коллегами [41-44], рассмотрен процесс зернограничного скольжения и сверхпластическое деформирование. В [47] указывается на самосогласованность процессов зер-нограничного и внутризеренного скольжения, в основе которого лежат поворотные моды деформации. В работе [126] рассматривается влияние локального (на микромасштабах) искривления решетки на процессы в границах поликристалла и в приграничных областях, в том числе на зерногра-ничное скольжение и развороты решеток кристаллитов. В [127] на основе рассмотрения локальной кривизны кристаллической решетки предложена теория для трансформаций планарной подсистемы, включающей поверхностные слои и внутренние границы раздела, в рамках которой возможно рассмотрение и сверхпластического деформирования. В статье [128] сведена информация о стадиях пластического течения металлов при ползучести с позиций мезомеханики, рассматривающей действие и взаимодействие зернограничного скольжения, внутризеренного дислокационного скольжения, ротационных мод пластической деформации, мезофрагментацию; разрушение на завершающей стадии связывается с возрастанием кривизны решетки.

В [112] авторами настоящей статьи предложена статистическая конститутивная модель для описания сверхпластического деформирования и переходов к нему. Для описания зернограничного скольжения в модель вводится дополнительный структурный уровень, на котором рассматриваются границы кристаллитов и (возможные) смещения по ним. Принимается, что межкристаллитная граница представляет собой фасетку с нулевой толщиной, каждая пара соседних кристаллитов в представительном макрообъеме имеет общую фасетку границы, относительные смещения кристаллитов происходят по общей фасетке (путем перемещения в них зернограничных дислокаций, однако без явного введения в модель носителей данного механизма). При построении конститутивной модели осуществляется переход от смещений к деформационным характеристикам: скорость смещения аппроксимируется скоростью сдвига, осред-ненной на представительный макрообъем (по аналогии с установлением соотношения для скорости сдвига в кристаллите за счет внутризеренного дислокационного скольжения с использованием уравнения Орована [61]). Неупругая составляющая

Zgn, меры скорости деформации за счет зерногра-ничного скольжения определена как

Zm - V V(г)Ь(г)п(г) ^Ь - Л УgbЬgbngb,

г-1

где ^Ь — нормаль к плоскости фасетки границы; ^ь и Ь<£ — взаимно ортогональные единичные векторы направлений смещения в плоскости фасетки (в начальный момент времени один из векторов направления смещения привязывается к решетке одного из кристаллитов); 4^ь — общее количество базисных направлений смещения по всем фасеткам границ в представительном объеме макроуровня.

С учетом деформирования за счет зерногранич-ного скольжения определяющее соотношение макроуровня модифицируется к виду [112]:

Ксог - П :(Ь - Й -ZgЬ - zSn -Z1Ь). (10)

Формулировка конститутивной модели в скоростной форме в актуальной конфигурации позволяет использовать гипотезу аддитивности вкладов в скорость деформации на макромасштабном уровне от внутризеренного дислокационного скольже-

г1п г* 1п

з , зернограничного скольжения Zgь и термической составляющей Z(определение приведено в [54]). В [129] приводится схематичный пример для предельного случая, когда при определенных условиях все кинематические воздействия будут реализовываться за счет зернограничного скольжения.

Кинематические воздействия на мезоуровне определяются через кинематические воздействия с макроуровня с учетом реализации части воздействий за счет механизма зернограничного скольжения 1 - Ь - ZgЬ. В подмодель мезоуровня внесены изменения, отражающие учет взаимодействия механизмов внутризеренного и зернограничного скольжения, возможного влияния последнего на ротацию кристаллитов. Для описания зерногра-ничного упрочнения используется подход, описанный в [130, 131]: учитываются взаимная разориен-тация соседних зерен, размер зерна и скорость сдвигов за счет внутризеренного дислокационного скольжения, однако с модификацией [112] — при активации зернограничного скольжения часть образующихся дислокаций ориентационного несоответствия диссоциирует в зернограничные дислокации, что может, в зависимости от соотношения скоростей внутризеренного дислокационного скольжения и зернограничного скольжения, приводить

как к ослаблению зернограничного упрочнения, так и к разупрочнению. При активизации зерно-граничного скольжения по нескольким границам зерна появляется возможность его дополнительного поворота за счет действия сдвиговых напряжений по границам; для описания последнего к спину добавляется составляющая, пропорциональная моменту за счет действия касательных усилий на всех границах зерна [112].

Соотношение для определения скоростей зер-нограничных сдвигов у^ принято в виде, аналогичном (3) [112]:

у8 =у -т«), (11)

I = 1,..., 4К§ь,

где у80 — параметр модели, зависящий от площади рассматриваемой границы, интенсивности

скорости деформации и размера зерна; и

(I)

т^ь — касательные и критические сдвиговые напряжения для рассматриваемой границы; п — параметр модели. В модели явно описывается имеющая место смена соседних кристаллитов, поэтому касательные напряжения т^Ь для границы определяются осреднением напряжений мезоуровня в составляющих границу зернах (как в исходном положении, так и сменяющих их) с учетом величины осуществленного к текущему моменту сдвига и характерного для данной границы предельного значения сдвига перед полной потерей контакта исходно составлявших границу зерен [112]. При смене соседних кристаллитов критические напряжения зернограничного скольжения переопределяются с учетом частичного наследования накопленных изменений.

В эволюционных уравнениях для критических напряжений зернограничного скольжения т^ учтены значимые факторы [54, 112], определенные

при физическом анализе известных экспериментальных данных [111]:

- сопротивление сдвигу со стороны соседних зерен с учетом влияния процесса динамической рекристаллизации (выход растворенных частиц на границы кристаллита; средний размер зерен увеличивается; форма на начальной стадии испытания приобретает вытянутость в направлении оси растяжения, после чего вновь становится близкой к равноосной),

- понижение критических напряжений зерно-граничного скольжения за счет механического выглаживания, которое происходит при контактном взаимодействии зерен при реализации сдвига, а также за счет уменьшения шероховатости от сдвигов на микроуровне,

- повышение энергии границ в результате притока решеточных дислокаций,

- понижение критических напряжений зерно-граничного скольжения в результате сглаживания границ за счет диффузионных процессов, облегчения процессов диссоциации накопленных в границе дислокаций ориентационного несоответствия на зернограничные дислокации, переползания дислокаций.

Трехуровневая модель апробирована на описании испытаний образцов промышленного алюминиевого сплава 1420 с выходом в режим структурной сверхпластичности, информация об изменении зеренной структуры в процессе которых известна и была заложена в модель напрямую. В дальнейшем в структуру общей модели будет встроена разрабатываемая подмодель для описания динамической рекристаллизации (раздел 3.2), упомянутая эмпирическая информация будет заменена на результаты, получаемые в общей модели при применении к исследованию конкретных условий деформирования. Подробное описание

Рис. 1. Зависимости интенсивности напряжений 1 = 1зз от компоненты Нзз логарифмической меры деформации, полученные при моделировании и в натурных (обозначены точками, приведены в [132]) испытаниях на растяжение вдоль оси ОХз лабораторной системы координат образцов из сплава 1420 (А1-5.5 % Mg-2.2 % Ы-0.12 % /г) при гомологической температуре 0.56, при начальной скорости деформации £>0 = 10з (а) и 10-2 с-1 (б)

(Z"b)33/D0.

Рис. 2. Значения компонент скорости неупругой деформации за счет зернограничного скольжения (Zgbin)33, выведенные через равные промежутки деформации Язз, при начальной скорости деформации Do = 10-3 (а) и 10-2 с-1 (б). Штриховой линией обозначена падающая скорость полной деформации D33

модели, процедуры идентификации и принятых при расчетах значений параметров приведены в [54, 112].

На рис. 1 представлены полученные с помощью модели [112] кривые одноосного растяжения образцов из алюминиевого сплава 1420 и соответствующие экспериментальные данные [132]. Для определения материальных параметров и проверки модели рассмотрены эксперименты при двух различных скоростях деформирования: кривая, полученная при номинальной скорости деформирования 10-3 с-1, использовалась для идентификации модели, при 10-2 с-1 — для верификации (для идентификации использовалось только значение максимального напряжения).

Результаты, приведенные на рис. 2, свидетельствуют об увеличении на второй и третьей стадиях процесса одноосного растяжения роли зернограничного скольжения. Построенные полюсные фигуры на рис. 3 подтверждают доминирование внутризеренного дислокационного скольжения на первой стадии (приводящего к формированию текстуры, близкой к текстуре растяжения), на завершающей стадии при лидирующем зерногра-

ничном скольжении происходит «размывание» текстуры.

Таким образом, трехуровневая конститутивная модель воспроизводит описанный выше сложный сценарий процесса деформирования в испытаниях на одноосное растяжение с выходом в режим сверхпластичности, что позволяет считать ее эффективным инструментом для описания различных режимов деформирования и переходов между ними при произвольных сложных нагружениях. В настоящее время на базе предложенной авторами разрабатывается усовершенствованная модель, дополненная явным учетом динамической рекристаллизации (роста зерен) и его влияния на другие механизмы деформирования.

3.2. Описание рекристаллизации

При высокотемпературном пластическом деформировании или холодной деформации и последующей термической обработке металлов и сплавов значительное изменение структуры материала связано с процессом рекристаллизации [133, 134], в результате которого происходит поглощение дефектных зерен менее дефектными. Этот процесс

Рис. 3. Прямые полюсные фигуры для направлений (111) (проецирование с оси ОХ3), полученные при = 10 2 с 1 в начальный момент времени (а), после растяжения до Н33 = 0.9 (б) и 1.3 (в) (цветной в онлайн-версии)

сопровождается глубокими изменениями в топологии зерен (субзерен), а также перестройкой дефектной субструктуры (в первую очередь — дислокационной). За счет рекристаллизации можно получить материал с крупной или мелкозернистой структурой [1з5, 1зб], в том числе подготовить материал к сверхпластическому деформированию

[1з7, 1з8].

Для моделирования рекристаллизации часто применяются феноменологические модели типа Johnson-Meh1-Avгami-Ko1mogoгov УМАК), которые рассматривают эволюцию объемной доли ре-кристаллизованной части поликристалла [1з9, 140]. Развитие этого подхода нашло отражение в моделях, в которых учитываются некоторые характеристики зеренной структуры — размеры и форма зерен, положение межзеренной границы [141-14з]. Существуют модификации JMAK-мо-делей, основанные на вероятностном подходе, как правило, с использованием метода Монте-Карло [144, 145]. Как отмечено выше, в последние годы предпринимаются попытки включить описание рекристаллизации в многоуровневые модели на основе физических теорий пластичности. Так, созданы прямые [117-119, 146] и самосогласованные [120, 121] модели физических теорий пластичности для описания прерывистой динамической рекристаллизации с применением некоторых из указанных выше методов. При построении этих моделей применяются различные процедуры для перестроения зеренной структуры: клеточные автоматы [147], графы [117], метод фазового поля [148], метод заданного уровня [149]. Как отмечено ранее, прямые модели являются весьма ресурсоемкими (особенно в случае необходимости перестроения конфигурации зерен, субзерен); в моделях среднего поля отсутствует возможность рассмотрения контактирующих по фасеткам зерен (субзерен) с различной внутренней энергией. По мнению авторов, наиболее приемлемыми для описания процессов динамической рекристаллизации являются статистические модели.

Основой при формулировке соотношений для изменения зеренной, субзеренной и дефектной структуры в рамках многоуровневых моделей является анализ физических процессов, реализующих перестройку структуры материала на различных масштабах. Так, в работах томской школы ме-зомеханики В.Е. Панина исследуются процессы измельчения и формирования мезоскопических дефектов при пластическом деформировании [150, 151], которые, в частности, влияют на реализацию

рекристаллизации при соответствующих температурных условиях неупругого деформирования. В [150] в рамках многоуровневого подхода физической мезомеханики предложен и исследован механизм измельчения кристаллов в результате интенсивной пластической деформации; показано, что ключевую роль в пластической деформации играет фрагментация на всех масштабных и структурных уровнях. В [151] на основе проведенных экспериментальных исследований делается вывод, что эволюция дефектов кристаллической структуры различных масштабов определяется кривизной кристаллической решетки.

Вследствие вышесказанного актуальной является задача построения физически корректной многоуровневой статистической модели, позволяющей описывать эволюцию структуры при различных режимах термомеханической обработки с учетом рекристаллизации. В работах [152, 15з] предложена подмодель для описания статической рекристаллизации, которая может применяться для исследования структурных изменений материала при выдержке (при 0.4-0.6 гомологической температуры) после механической обработки, анализируемой с использованием многоуровневой конститутивной модели на базе физических теорий пластичности. Отметим, что подобный двух-этапный подход к моделированию механической обработки с использованием физических теорий пластичности и последующим применением модели статической рекристаллизации применяется в ряде работ (например, [154, 155]). Отличием предлагаемой подмодели является более детальное описание физических механизмов образования зародышей рекристаллизации, их дальнейшей эволюции, перестроения зеренной структуры. В настоящее время данная подмодель развивается для описания динамической рекристаллизации и полной интеграции в конститутивную модель физических теорий пластичности. Рассмотрим далее кратко основные аспекты подмодели статической рекристаллизации.

Известно, что для многих поликристаллических материалов нагрев до 0.4-0.6 гомологических температур после предварительной пластической деформации приводит к движению (миграции) плоских участков большеугловых границ, исходно существующих в материале [156]. Это явление впервые было исследовано в технически чистом поликристалле алюминия П.А. Беком и Ф.Р. Сперри [157]. Движущей силой процесса миграции межзе-ренной границы является разность локальной

плотности запасенной на дефектах энергии в соседних зернах. Эта энергия приобретается материалом на стадии пластической деформации вследствие различной ориентации зерен в результате действия различных систем скольжения, анизотропии пластических и упругих свойств, наличия барьеров различной природы. Реализация рассматриваемого механизма рекристаллизации приводит к миграции участков границ зерен с меньшей плотностью запасенной энергии вглубь соседних зерен с большей энергией, формируются так называемые «выступы» [156]. Ориентация решетки «выступа» близка к ориентации родительского зерна, впоследствии «выступ» может отделиться от родительского зерна, становясь зародышем рекристал-лизованного зерна [155, 158]. Новое (рекристалли-зованное) зерно или «выступ» является практически бездефектным, мигрирующие участки границ «выметают» при своем движении дефекты. При микроструктурном анализе выявляется резкое снижение плотности дислокаций в рекристаллизован-ных областях кристалла [156, 159]. Рассматриваемый механизм рекристаллизации иногда называется «беззародышевым», поскольку для его реализации не требуется формирование новых большеуг-ловых границ [156, 159]. Другой взгляд на природу этого процесса, который в разрабатываемой модели рекристаллизации берется за основу, заключается в предположении, что движение участков границ зерен по рассматриваемому механизму начинается с формирования субзерен при нагреве за счет перераспределения дислокаций (процесс по-лигонизации) и последующего перемещения участков границ субзерен, прилегающих к большеуг-ловой границе [160]. В этом случае субзерна, прилежащие к приграничному слою, можно рассматривать как потенциальные «зародыши» рекристаллизации по рассматриваемому механизму.

Для описания рекристаллизации согласно механизму, описанному в предыдущем абзаце, в разработанной модели в рассмотрение введено два масштабных уровня: мезоуровень I, соответствующий отдельному зерну поликристалла, и мезоуро-вень II, соответствующий субзерну рассматриваемого зерна. Таким образом, каждое зерно полагалось состоящим из набора субзерен. На отмеченных масштабных уровнях соответствующие переменные модели (напряжения, деформации и внутренние переменные), описывающие состояние рассматриваемого структурного элемента, полагаются однородными. Для решения первого этапа механической задачи холодного пластического де-

формирования с верхнего масштабного уровня на нижний передаются кинематические воздействия, принимается обобщенная гипотеза Фойгта (равенство градиента скорости перемещений на мезо-уровне I и мезоуровне II).

С нижнего уровня на верхний возвращается ряд осредненных переменных модели — напряжения и запасенная энергия. При решении задачи рекристаллизации на втором этапе моделирования (выдержка при заданной температуре) полагается, что температура одинакова для всего представительного объема как для отдельных зерен 0, так и субзерен 0. На уровне субзерен моделируется процесс рекристаллизации, где определяется новая геометрия субзеренной структуры вследствие миграции подвижных границ. На уровень зерен передаются изменение геометрии субзерен и осредненная по объему субзерен величина запасенной энергии.

Важным элементом описания процесса рекристаллизации является проблема моделирования образования зародышей. Существует значительное число способов моделирования зародышеобразо-вания рекристаллизованных зерен (см., например, [117, 120, 146]), в большинстве из которых делается попытка учесть известные физические механизмы [156, 159, 161] этого процесса. Как правило, полагается, что формирование новых (рекристал-лизованных) зерен происходит в областях наибольших искажений решеток поликристалла. В [162] представлена модель для описания формирования в однородном зерне разнородных элементов — субзерен. Субзерна, расположенные в окрестности границ зерен, потенциально являются зародышами рекристаллизации. Основным источником неоднородности полагалось возникновение кристаллографической разориентации относительно друг друга исходных частей зерен. Был исследован механизм образования случайных границ ячеек в результате формирования дислокационных стенок. В основу данного механизма положено предположение, что в начальный момент деформирования на плоских участках границ субзерен, ориентированных случайным образом по равномерному закону, оседает часть мобильных дислокаций. С полным описанием математической модели для формирования субзерен можно ознакомиться в [162].

Основополагающим для моделирования рекристаллизации является описание эволюции размеров и формы зерен или субзерен в процессе миграции большеугловой границы. В силу статистического характера разрабатываемой модели сущест-

вует возможность рассмотрения формы зерен (субзерен) без наложения условия сплошности заполнения этими элементами физического пространства. Полагалось, что форма рассматриваемых структурных элементов (зерен и субзерен) с необходимой для решаемой задачи степенью точности может быть представлена произвольными параллелепипедами, которые определяются своими ребрами Li и 1 соответственно (i — номер ребра). Описание способа моделирования геометрии кристаллитов приведено в [152].

В моделях статистического типа элементы одного масштабного уровня отличаются ориентация-ми кристаллических решеток относительно друг друга. Различная ориентация зерен (субзерен) по отношению к осям нагружения обусловливает активацию (согласно критерию Шмида) различных систем скольжения. Это, в свою очередь, приводит к различной плотности дислокаций на системах скольжения и, соответственно, к различной величине запасенной на дефектах энергии. Для определения скорости изменения плотности (на единицу объема) запасенной энергии est использовалось следующее соотношение:

est =ао : dp = ар/рк: dp. (12)

В соотношении (12) выше величина а характеризует долю пластической работы, запасаемой в теле. Для описания процесса миграции границ зерен на уровне отдельных субзерен применяется критерий, предложенный Дж. Бейли и П. Хиршем [163], согласно которому уменьшение локальной объемной энергии за счет устранения дефектов должно быть больше увеличения зернограничной энергии в результате увеличения площади границы при ее перемещении:

f = edst - egb As/Av > 0, (13)

где As — увеличение площади границы при изменении объема кристаллита (субзерна) на величину Av в результате рекристаллизации; edst — разность удельных (на единицу объема) запасенных энергий в соседних кристаллитах; egb — удельная (на единицу площади) энергия фасетки межзеренной границы. Уменьшение est за счет рекристаллизации в объеме поликристалла происходит за счет поглощения более дефектных зерен менее дефектными.

Скорость миграции высокоугловых границ зерен Vm для поликристаллических материалов определяется соотношением [164]

Vm = mf, (14)

где т — параметр мобильности границ зерен;/— движущая сила миграции границы, определяемая соотношением (1з). Параметр т зависит явным образом от температуры в форме закона Аррениу-са, а также от наличия дефектов (зернограничных ступенек), влияющих на подвижность границы:

т = т0в ехр , (15)

где 0 — абсолютная температура; Я — универсальная газовая постоянная; q — энергия активации процесса миграции межзеренной границы; т0 — предэкспонента в соотношении (15), имеющая смысл мобильности границ зерен при нулевой энергии активации q; в — параметр модели, который определяет подвижность границы за счет наличия в ней зернограничных ступенек [15з].

Удельная энергия межзеренной границы вф зависит от взаимной ориентации субзерен соседних зерен, ориентации фасетки границ субзерен по отношению к кристаллографической системе координат, типа решетки. Способ определения еgь, основанный на модификации модели решетки совпадающих узлов, изложен в [165]. В общем случае разные фасетки большеугловой границы имеют различную межзеренную энергию. Это означает, что во втором слагаемом правой части соотношения для критерия рекристаллизации (1з) необходимо проводить суммирование по всем участкам (фасеткам) границы растущего субзерна (для упрощения записи в соотношении (1з) знак суммы и индекс фасетки границы опущен).

На рис. 4, а приведена полученная в результате моделирования зависимость от времени процесса скорости миграции, осредненной по всем фасеткам активных субзерен, при различных значениях предварительной макродеформации одноосного растяжения (совпадающей в этом случае с интенсивностью накопленных деформаций е^. В начальный период рекристаллизации движению больше-угловой границы препятствует увеличение межзе-ренной энергии за счет увеличения площади границы. Постепенно при увеличении объема рекри-сталлизованных субзерен это влияние согласно соотношению Бейли-Хирша становится менее значимым и в конечном итоге исчезает. На графике 4, а это отражается в увеличении значения средней скорости миграции. Последующее падение скорости рекристаллизации (рис. 4, а) обусловлено ограниченностью числа поглощаемых субзерен — наиболее «быстрорастущие» субзерна останавливают свой рост после поглощения соседних субзерен.

1000 3000 5000 Г, с 1000 3000 5000 Г, с

Рис. 4. Эволюция средней скорости рекристаллизации (а) и изменение запасенной энергии в бикристалле (б) при различных значениях предварительной деформации одноосного растяжения, г[ = 20 (7), 25 (2), 30 (3)

Следует обратить внимание на эволюцию запасенной энергии в процессе рекристаллизации (рис. 4, б), осредненной по объему рассматриваемых субзерен. Можно выделить три стадии высвобождения запасенной энергии est в зависимости от скорости изменения этой величины. На первой стадии («инкубационный период») высвобождение запасенной энергии происходит относительно медленно. Это отчетливо видно для случая предварительной деформации, равной 20 %. На второй стадии скорость становится практически постоянной и на третьей стадии происходит снижение скорости, связанное с исчерпанием количества поглощаемых субзерен. Последнюю стадию можно интерпретировать также как столкновение растущих (рекристаллизованных) субзерен и завершение процесса миграции границ зерен.

Полученные результаты согласуются с физическими соображениями, что позволяет рассматривать структуру подмодели рекристаллизации как перспективную для интегрирования в разрабатываемые многоуровневые конститутивные модели физических теорий пластичности.

3.3. Результаты применения прямых моделей для детального исследования поведения образцов

При обработке «интегральных» результатов (усилий, моментов, перемещений, искажений углов) натурных экспериментов и «перевода» их в механические характеристики (напряжения, деформации) используется гипотеза об однородном напряженно-деформированном состоянии исследуемой области. Однако современные высокоточные измерения (В.Е. Панин, Л.Б. Зуев и др.) свидетельствуют о том, что предположение об однородности образцов не выполняется на мезо- и микроуровнях (за исключением начальной стадии деформирования монокристаллических образцов). В работах упомянутых авторов часто отмечается существенное влияние на поведение образцов внут-

ренних и внешних границ кристаллитов (как для моно-, так и для поликристаллов) [46, 166]. Современные экспериментальные исследования показывают, что поверхностные слои являются самостоятельным масштабными уровнем, в котором инициируются все виды деформационных дефектов и обладают пониженной сдвиговой устойчивостью [46, 48]. В свою очередь, внутренние границы играют важнейшую роль в формировании концентраторов напряжений и в распространении пластических сдвигов в объеме образца.

Исследование роли поверхности образцов в процессах деформирования и их разрушения интенсивно проводятся с начала 20 века [167] после открытия А.Ф. Иоффе эффекта повышения пластичности и прочности образцов из каменной соли при их нагружении в воде [168]. В [169] показано, что при деформировании сдвиговые деформации инициируются сначала у поверхности образцов, после чего распространяются вглубь кристалла. В процессе усталостного нагружения образцов из железа с помощью просвечивающей микроскопии показано [170] существенное отличие дислокационной структуры в поверхностных и глубинных областях приповерхностных зерен. Линии дислокаций внутри зерен имеют следы множественного поперечного скольжения, сегменты извилисты и содержат многочисленные пороги, тогда как дислокационная структура в поверхностном слое лишена этих признаков. Данный факт позволяет предположить, что скольжение зарождается на поверхности и распространяется вглубь материала. При этом отмечается, что в поверхностных слоях наблюдается повышенная плотность дислокаций вплоть до глубины 30 мкм.

К настоящему времени опубликовано значительное число работ, в которых исследуется влияние поверхности на свойства деформируемого образца. Активно работают по данной тематике научные сотрудники школы академика В.Е. Панина

(П.В. Макаров, Р.Р. Балохонов, В.А. Романова и др.). В работах [171-173] представлены результаты исследования влияния упрочненного поверхностного слоя на деформационный рельеф на поверхности стальных образцов с использованием феноменологических моделей упругопластическо-го материала. В работах [174, 175] для описания формирования рельефа поверхности используются модели физической теории пластичности для материалов с различной кристаллической решеткой (ГЦК, ГПУ). В статье [176] особое внимание уделяется описанию влияния внутренней границы раздела с поверхностным слоем, отличающимся физико-механическими свойствами от основного материала образца.

С целью исследования указанных эффектов и влияния на их проявление свободных границ образца, а также внутренних границ зерен, была проведена серия численных экспериментов по растяжению поликристаллических образцов. Для этого была использована прямая модель, в которой для определения отклика материала в точках интегрирования использовалась модель мезо-уровня в скоростной постановке, описанная в разделе 2. Указанная прямая модель была апробирована и верифицирована [177] на экспериментальных данных по одноосной осадке монокристалла алюминия технической чистоты. Результаты моделирования показали, что исходный однородный монокристалл претерпевает фрагментацию на объемы с различной интенсивностью скоростей пластических сдвигов и ориентациями кристаллической решетки, что находится в удовлетворительном соответствии с данными экспериментальных исследований.

В качестве модельного материала образца выбран алюминий технической чистоты со средним размером зерна 90 мкм со следующими механическими характеристиками:

п"" = 108.2 ГПа, n/j = 61.3 ГПа, njj = 28.5 ГПа, i, j = 1,...,3, (16)

т СО = 20 МПа, у 0 = 10"6 с"1, k = 1,..., 12.

Разбиение расчетной области производилось с использованием свободных программных продуктов Neper [178], Gmsh [179] (результаты приведены на рис. 5), непосредственное решение краевой задачи производилось методом конечных элементов, с помощью пакета программ собственной разработки, основанном на скоростной постановке [23].

Число зерен в образце, представленном на рис. 5, составляло 1000, общее число конечных симплекс-элементов 2 • 106, среднее число элементов на одно зерно 2000. Размеры рабочей части образца составили 0.23 х 0.68 х 2.00 мм, средний размер конечного элемента 7 мкм. На рис. 5 показаны множества узлов в которых заданы посто-

янные скорости перемещений V = {0, 0, у] и -V = {0, 0, -у], где значение V выбиралось таким образом, чтобы обеспечить относительную скорость удлинения 10-5 с-1.

Влияние внешних свободных границ образца учитывалось посредством снижения начальных критических касательных напряжений и скорости упрочнения в приповерхностных областях материала на глубину вплоть до 30 мкм, что на мезо-уровне отражает известный эффект облегченного выхода дислокаций на поверхность кристаллов, для описания которого в физике твердого тела используется введение взаимодействий с фиктивными объектами — так называемыми дислокациями изображения [180, 181]. Влияние внутренних границ учитывалось за счет введения в используемый закон упрочнения дополнительного члена, характеризующего зернограничное упрочнение [131], определяемого с использованием предложенной в [130] меры разориентации систем скольжения кристаллитов, имеющих общую границу. В указанных работах рассматривается задача описания упрочнения систем скольжения за счет границ зерен. Предложен один из физически возможных механизмов взаимодействия дислокаций с межзе-ренной границей: прохождение краевой дислокации через границу в наиболее благоприятную с энергетической точки зрения систему скольжения соседнего зерна с одновременным образованием дислокации ориентационного несоответствия [180, 182, 183]. Поле упругих напряжений дислокации ориентационного несоответствия препятствует

Рис. 5. Исходная геометрия образца из 1000 зерен: разбиение на зерна, граничные условия (а); разбиение на конечные симплекс-элементы (б) (цветной в онлайн-версии)

Рис. 6. Распределение интенсивности пластических деформаций в приповерхностном слое образца в различные моменты процесса деформирования: без учета (а) и с учетом влияния поверхности (б) (цветной в онлайн-версии)

дальнейшему скольжению краевых решеточных дислокаций.

На рис. 6 представлено распределение интенсивности пластических деформаций в приповерхностном слое образца в различные моменты времени процесса деформирования. Видно, что в образце, в котором учитывается наличие свободной поверхности, пластические деформации инициируются в приповерхностных областях перехода от рабочей части образца к захватам в более ранний момент времени и имеют большую интенсивность. Дальнейшее развитие пластических деформаций в приповерхностных слоях происходит более интенсивно в случае, когда учитывается наличие свободной поверхности.

При этом влияние свободной поверхности оказывается и на объемы материала, отстоящие от нее на глубину более 30 мкм (в областях, где отсутствовало снижение критических касательных напряжений). Для наглядного представления был введен параметр 5, характеризующий относительное различие накопленных пластических деформаций в одинаковых точках образца:

5(г) =

E1

E1

E1

E1

-1

(17)

где E+ — мера накопленной пластической деформации [99] в точке образца при учете влияния свободной поверхности; Em — в образце без учета свободной поверхности; г — радиус-вектор положения точки в образцах, в качестве нормы INI ис-

пользовалась интенсивность деформаций. На рис. 7 представлена зависимость среднего значения параметра 5 (ось ординат) по плоскости, находящейся на определенной глубине (ось абсцисс) по отношению к одной из свободных границ.

Из представленных на рис. 7 результатов видно, что разница накопленных пластических деформаций в приповерхностном превышает значение 35 %. При этом данная разница резко снижается вплоть до 0 % на глубине 20 мкм, на глубине более 20 мкм картина сменяется на обратную: в образце, где отсутствует учет свободной поверхности, интенсивность пластических деформаций выше на 3-5 %. Такое различие объясняется тем, что при учете свободной поверхности значительная релаксация напряжений сдвигами происходит в приповерхностных областях, в связи с чем во внутрен-

Рис. 7. Отличие интенсивности накопленных пластических деформаций (средней величины 5 по (17)) в слоях, лежащих на различной глубине относительно поверхности

них областях образца действуют меньшие напряжения. На рис. 8 показаны распределения суммарной скорости сдвигов в системах скольжения в центральном сечении и на поверхности образца. Представленные результаты иллюстрируют динамику инициации на поверхности и распространения вглубь зон пластического деформирования в образце, где учтено влияние свободной поверхности.

Результаты численного моделирования растяжения образцов с применением прямой физической упруговязкопластической модели показали, что с момента появления пластических деформаций напряженно-деформированное состояние образца становится существенно неоднородным. В соответствии с идеями, высказанными В.Е. Паниным и коллегами [42-44, 46, 171], приповерхностную область материала можно рассматривать как особый иерархический уровень, в котором зарождаются и откуда проникают вглубь образца пластические сдвиги. При этом деформирование в данной области отражается на напряженно-деформированном состоянии материала в глубине образца, снижая напряжение и интенсивность пластического деформирования, оказывая существенное влияние на развитие внутренней структуры. Явный учет свободных и внутренних (межзеренных, межфазных) границ позволяют осуществлять более адекватного моделирование поведения реальных конструкций, особенно миниатюрных, и более корректно интерпретировать результаты натурных экспериментов.

3.4. Некоторые другие направления развития многоуровневых моделей на основе физических теорий пластичности

Основное направление совершенствования многоуровневых конститутивных моделей опреде-

ляется методологией мезомеханики — оно связано с более детальным учетом физических механизмов, что требует дальнейшего продвижения в область микромасштабов.

Для дальнейшего развития многоуровневых моделей необходима углубленная формулировка законов упрочнения с явным рассмотрением движения отдельных дислокаций и их потоков (в том числе с применением методов молекулярной динамики), с учетом взаимодействия дислокаций с барьерами различной природы. К термически преодолимым относятся барьер Пайерлса (сопротивление атомов решетки), сопротивление от дислокаций леса, барьеры скольжения (барьеры Ломе-ра-Коттрелла, Хирта и др.). К термически непреодолимым барьерам относятся большеугловые границы зерен, границы двойников и включений вторичных фаз. Преодоление данных барьеров затруднено, но возможно при приложении больших касательных напряжений. Выход дислокаций на границу зерна или двойника может привести к испусканию дислокаций в системах скольжения, параллельной границе, или породить дислокации в соседней области. Приведенные факторы, также как и процессы аннигиляции и генерации дислокаций, различных вариантов взаимодействий дислокаций (например, с образованием барьеров Ломе-ра-Коттрелла), моделируются явным образом — путем введения в структуру модели соответствующих внутренних переменных (плотностей дислокаций на системах скольжения, плотностей барьеров различных типов) и эволюционных уравнений для них. Обзор существующих моделей по данному направлению содержится в [54].

Дальнейшего углубленного описания требует также учет эволюции и влияния границ кристаллитов. Ранее в работах [130, 131] были предложены

Рис. 8. Распределение суммарных скоростей сдвигов по системам скольжения в центральном сечении вдоль плоскости Х3ОХ2 и на свободной поверхности образца в различные моменты времени: без учета (а) и с учетом влияния свободной поверхности (б) (цветной в онлайн-версии)

соотношения для учета зернограничного упрочнения. Под последним понимается сопротивление движению дислокаций за счет действия дефектов в границе. В указанных статьях предложена модель с подробным рассмотрением несовместности сдвигов по системам скольжения соседних зерен. Наличие границ ведет к созданию приграничных скоплений (рПе-ир8) дислокаций, что может вести к увеличению разориентировки кристаллитов [184, 185]. Особенно этот эффект проявляется в материалах с мелкозернистой зеренной структурой. Границы зерен служат не только источниками и стоками дислокаций, но и могут вносить вклад в деформирование за счет специфичного механизма — зернограничного скольжения. В [129] содержится приближенная модель зернограничного упрочнения, учитывающая и возможное зернограничное скольжение, при действии которого плотность дефектов в границе снижается.

Важным направлением развития является учет изменяющегося поля концентрации примесных атомов и их взаимодействия с дефектной структурой материала. Дополнение многоуровневой конститутивной модели соответствующими внутренними переменными и сформулированными на основе физического анализа кинетическими уравнениями позволит описать важные для разработки технологий обработки металлов аспекты поведения деформируемых сплавов: деформационное старение, эффект Портевена-Ле Шателье, изменение дислокационной субструктуры, сопровождающее сложное термомеханическое нагружение в реальных процессах.

Важным направлением развития многоуровневых моделей является описание измельчения зе-ренной структуры. В [85] описывается модель ротации решетки кристаллитов, учитывающая несовместность скольжения дислокаций в соседних зернах [70] и возникновение вызванных этим мо-ментных факторов. В первом приближении процесс фрагментации можно описать путем рассмотрения элемента мезоуровня как совокупности под-элементов с применением указанной модели ротации.

Весьма актуальным является описание повреж-денности и разрушения материалов в процессах термомеханической обработки и эксплуатации готовых изделий (краткий обзор приведен в [186]). В этом случае возникает необходимость рассмотрения физических механизмов и их носителей на микромасштабном уровне, анализа возможных сценариев повреждения материала и образования

устойчивых микродефектов. В качестве метода решения может быть применен метод конечных элементов, точке интегрирования соответствует подмодель мезоуровня I (уровня части зерна) модифицированной модели для описания деформирования и возможного разрушения поликристаллического металла, явно включающая характеристики дефектной структуры (плотности дислокаций на системах скольжения, плотности барьеров, характеристики микротрещин и микропор), определяемые на мезоуровне II. Для описания процессов формирования микродефектов возникает необходимость использования методов молекулярной и дислокационной динамики

Актуальной задачей для совершенствования технологий переработки металлов и сплавов является учет твердотельных фазовых превращений, происходящих в материалах в процессах термомеханической обработки. В отличие от традиционных макрофеноменологических подходов к моделированию фазовых превращений использование многоуровневого подхода позволяет описывать механизмы фазовых превращений на том масштабном уровне модели, на котором они реализуются в конкретном материале. Многоуровневое моделирование позволяет включать в структуру модели соотношения для описания различных, оказывающих взаимное влияние процессов, таких как процессы неупругого деформирования на уровне кристаллитов, изменение фазового состава материала за счет происходящих в нем фазовых превращений (а следовательно, и изменение его свойств в процессе термомеханического воздействия), локальные флуктуации температуры и т.п. Краткие обзоры работ по многоуровневым моделям материалов, включающих описание твердотельных фазовых переходов, и результатам их применения представлены в [187, 188], возможная структура трехуровневой модели для анализа указанных процессов обсуждается в [189].

Отметим, что при анализе сложных нелинейных моделей важным является исследование чувствительности решений, получаемых с их использованием, к возмущениям входных данных и оператора. Актуальность рассмотрения этого для многоуровневых моделей материалов обусловлена значительной степенью неопределенности большой части входящих в них физико-механических характеристик, в связи с чем к разрабатываемым для исследования технологических процессов конститутивным моделям предъявляются повышенные требования по устойчивости к материальным

параметрам. Последнее позволяет исключить в каждом частном случае необходимость проведения точной экспериментальной идентификации свойств материала конкретного изделия. В [190] предложен вариант методики оценки чувствительности многоуровневых конститутивных моделей к возмущениям параметров, основанной на интегральном сопоставлении историй откликов для нескольких видов нагружений при использовании в соотношениях возмущенных и невозмущенных параметров. Полученные результаты свидетельствуют об устойчивости рассмотренных выше математических моделей к возмущениям параметров. На основе выполненного анализа осуществлено ранжирование параметров рассмотренных моделей по степени чувствительности к их возмущению.

4. Заключение

В предлагаемой статье рассмотрены основные положения, соотношения и структура многоуровневых моделей, представляющих собой эффективный инструмент реализации методологии физической мезомеханики, разработанной В.Е. Паниным, его учениками и коллегами. Приведены примеры применения разработанных авторами моделей для решения некоторых задач. Обсуждаются возможные направления развития существующих многоуровневых моделей, в том числе для описания процессов твердотельных фазовых превращений, накопления поврежденности и разрушения, углубленного анализа взаимодействия микродефектов с барьерами различной природы.

Следует отметить, что в силу сложности физических процессов, реализующихся в деформируемом твердом теле, существует еще много нерешенных проблем. Требуются существенные совместные усилия специалистов в области нелинейной механики и физики твердого тела, физического материаловедения, по развитию многоуровневых моделей путем учета различных механизмов деформирования и их взаимодействия. Однако, по мнению авторов, рассматриваемый класс моделей для описания поведения материалов при термомеханических воздействиях широкого спектра представляется весьма перспективным, что обусловлено в первую очередь прозрачностью моделей, их «открытостью» для учета наиболее значимых для рассматриваемых видов обработки физических механизмов.

Широкий класс задач, требующих применения многоуровневого подхода и физических теорий неупругости, связан с быстро развивающейся ми-

ниатюризацией различных изделий. Многоуровневые физические модели, по-видимому, являются единственным инструментом для проектирования функциональных материалов (неоднородных материалов, создаваемых под деталь, которая будет эксплуатироваться при известных условиях). Целью последнего является определение режимов термомеханической обработки, позволяющих обеспечить оптимальное распределение физико-механических свойств. Поскольку последние определяются состоянием структуры, необходимо применять многоуровневые конститутивные модели, позволяющие описывать ее эволюцию. Для проектирования функциональных материалов (вместе с изделиями из них) принципиально неприменим макрофеноменологический подход, поскольку нет возможности проведения механических испытаний в силу отсутствия материала, из которого можно изготовить образцы, его еще только предстоит создать. Поскольку физические механизмы деформирования обладают значительной универсальностью для целых классов материалов, применение физических теорий позволяет решать указанные проблемы создания функциональных материалов.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (грант № 17-19-01292).

Литература

1. Губкин С.И. Теория обработки металлов давлением. -М.: Металлургиздат, 1947.

2. Сторожев М.В., Попов Е.А. Теория обработки металлов давлением. - М.: Машиностроение, 1977.

3. Смирнов В.С. Теория обработки металлов давлением. - М.: Металлургия, 1979.

4. Ламан Н.К. Развитие техники обработки металлов давлением с древнейших времен до наших дней. - М.: Наука, 1989.

5. Валиев Р.З., Корзников А.В., Мулюков Р.Р. Структура и свойства металлических материалов с субмикрокристаллической структурой // ФММ. - 1992. - Т. 2. -№ 4. - С. 70-86.

6. Сегал В.М., Резников В.И., Копылов В.И., Павлик Д.А., Малышев В. Ф. Процессы пластического структурооб-разования металлов. - Минск: Наука и техника, 1994.

7. Валиев Р.З., Александров И.В. Наноструктурные материалы, полученные интенсивной пластической деформацией. - М.: Логос, 2000.

8. Носкова Н.И., Мулюков Р.Р. Субмикрокристаллические и нанокристаллические металлы и сплавы. - Екатеринбург: УрО РАН, 2003.

9. Козлов Э.В., Жданов А.Н., Конева Н.А. Барьерное торможение дислокаций. Проблема Холла-Петча // Физ. мезомех. - 2006. - Т. 9. - № 3. - C. 81-92.

10. Valiev R.Z., Langdon T.G. Principles of equal channel angular pressing as a processing tool for grain refinement

// Progr. Mater. Sci. - 2006. - V. 51. - No. 7. - P. 881981. - doi 10.1016/j.pmatsci.2006.02.003

11. Тарновский И.Я., Поздеев А.А., Ганаго О.А., Колмогоров В.Л., Турбин В.И., Вайсбурд Р.А., Тарновский В.И. Теория обработки металлов давлением (Вариационные методы расчета усилий и деформации) / Под ред. И.Я. Тарновского. - М.: Металлургиздат, 1963.

12. Колмогоров В.Л. Напряжения, деформации, разрушение. - М.: Металлургия, 1970.

13. Унксов Е.П., Джонсон У., Колмогоров В.Л., Попов Е.А., Сафаров Ю.С., Вентер Р.Д., Кудо Х., Осака-да К., Пью Х.Л.Д., Соуерби Р. Теория пластических деформаций металлов. - М.: Машиностроение, 1983.

14. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. -М.: Мир, 1975.

15. Одэн Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. - М.: Мир, 1976.

16. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. - М.: Мир, 1979.

17. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. - М.: Наука, 1969.

18. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т. 2. - М.: Мир, 1969.

19. Биргер И.А., Шорр Б.Ф. Термопрочность деталей машин. - М.: Машиностроение, 1975.

20. Васин Р.А. Определяющие соотношения теории пластичности // Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела. ВИНИТИ. - 1990. - Т. 21. -С. 3-75.

21. Ильюшин А.А. Пластичность. Ч. 1. Упругопластиче-ские деформации. - М.: Логос, 2004.

22. Ильюшин А.А. Труды (1946-1966). Т. 2. Пластичность. - М.: Физматлит, 2004.

23. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упру-гопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. - М.: Наука, 1986.

24. Левитас В.И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении. - Киев: Нау-кова думка, 1987.

25. Кондауров В.И., Никитин Л.В. Теоретические основы реологии геоматериалов. - М.: Наука, 1990.

26. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000.

27. Роговой А.А. Определяющие соотношения для конечных упруго-неупругих деформаций // Прикладная механика и техническая физика. - 2005. - Т. 46. - № 5. -С. 138-149.

28. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Термомеханика упруго-пластического деформирования. - М.: Физматлит, 2013.

29. Бровко Г.Л. Определяющие соотношения механики сплошной среды: Развитие математического аппарата и основ общей теории. - М.: Наука, 2017.

30. Rice J.R. Inelastic constitutive relations for solids: an internal-variable theory and its application to metal plasticity // J. Mech. Phys. Solids. - 1971. - V. 19. - P. 433455. - doi 10.1016/0022-5096(71)90010-X

31. Halphen B., Nguyen Q. Sur les matériaux standard généralisés // J. Mécanique. - 1975. - V. 14. - Р. 39-63.

32. Комаров Д., Балтов А., Бончева Н. Механика пластических сред. - М.: Мир, 1979.

33. Жермен П. Курс механики сплошных сред. Общая теория. - М.: Высшая школа, 1983.

34. Germain P., Nguyen Q., Suquet P. Continuum thermodynamics // J. Appl. Mech. - 1983. - V. 50. - Р. 10101020. - doi 10.1115/1.3167184

35. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1988.

36. Michel J.C., Suquet P. Nonuniform transformation field analysis // Int. J. Solids Struct. - 2003. - V. 40. - P. 69376955. - doi 10.1016/S0020-7683(03)00346-9

37. McDowell D.L. Internal state variable theory // Handbook of Materials Modeling / Ed. by S. Yip. - Springer, 2005. -P. 1151-1169. - doi 10.1007/978-1-4020-3286-8_58

38. Ашихмин В.Н., Волегов П.С., Трусов П.В. Конститутивные соотношения с внутренними переменными: общая структура и приложение к текстурообразованию в поликристаллах // Вестник ПНИПУ. Математическое моделирование систем и процессов. - 2006. - № 14. -С. 11-26.

39. Horstemeyer M.F., Bammann D.J. Historical review of internal state variable theory for inelasticity // Int. J. Plasticity. - 2010. - V. 26. - Р. 1310-1334. - doi 10.1016/j. ijplas.2010.06.005

40. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Елсукова Т.Ф., Иванчин А.Г. Структурные уровни деформации твердых тел // Изв. вузов. Физика. - 1982. - № 6. - С. 5-27.

41. Панин В.Е. Новая область физики твердого тела // Изв. вузов. Физика. - 1987. - Т. 30. - № 1. - С. 3-8.

42. Панин В.Е., Егорушкин В.Е., Макаров П.В. и др. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2-х т. / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. - Т. 1.

43. Панин В.Е., Макаров П.В., Псахье С.Г. и др. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2-х т. / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. - Т. 2.

44. Панин В.Е. Основы физической мезомеханики // Физ. мезомех. - 1998. - Т. 1. - № 1. - С. 5-22.

45. Панин В.Е., Гриняев Ю.В. Физическая мезомеханика — новая парадигма на стыке физики и механики деформируемого твердого тела // Физ. мезомех. - 2003. -Т. 6. - № 4. - C. 9-36.

46. Панин В.Е., Егорушкин В.Е., Панин А.В. Физическая мезомеханика деформируемого твердого тела как многоуровневой системы. I. Физические основы многоуровневого подхода // Физ. мезомех. - 2006. - Т. 9. -№ 3. - C. 9-22.

47. Панин В.Е., Егорушкин В.Е., Елсукова Т.Ф. Физическая мезомеханика зернограничного скольжения в деформируемом поликристалле // Физ. мезомех. - 2011. -Т. 14. - № 6. - С. 15-22.

48. Панин В.Е., Егорушкин В.Е. Основы физической мезо-механики пластической деформации и разрушения твердых тел как нелинейных иерархически организованных систем // Физ. мезомех. - 2015. - Т. 18. -№ 5. - С. 100-113. - doi 10.24411/1683-805X-2015-00058

49. Ghoniem N.M., Busso E.P., Kioussis N., Huang H. Multi-scale modelling of nanomechanics and micromechanics: an overview // Philos. Mag. - 2003. - V. 83. - No. 3134. - Р. 3475-3528. - doi 10.1080/147864303100016 07388

50. Habraken A.M. Modelling the plastic anisotropy of metals // Arch. Comput. Meth. Eng. - 2004. - V. 11. - No. 1. -Р. 3-96. - doi 10.1007/BF02736210

51. McDowell D.L. Viscoplasticity of heterogeneous metallic materials // Mater. Sci. Eng. R. - 2008. - V. 62. - Р. 67123. - doi 10.1016/j.mser.2008.04.003

52. Horstemeyer M.F. Multiscale Modeling: A Review // Practical Aspects of Computational Chemistry / Ed. by J. Leszczynski, M.K. Shukla. - Springer Science + Business Media B.V., 2009. - Р.87-135. - doi 10.1007/978-90-481-2687-3_4

53. Roters F., Eisenlohr P., Hantcherli L., Tjahjanto D.D., Bieler T.R., Raabe D. Overview of constitutive laws, kinematics, homogenization and multiscale methods in crystal plasticity finite-element modeling: Theory, experiments, applications // Acta. Mater. - 2010. - V.58. - Р. 11521211. - doi 10.1016/j.actamat.2009.10.058

54. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые модели моно- и поликристаллических материалов: теория, алгоритмы, примеры применения. — Новосибирск: Издательство СО РАН, 2019. - doi 10.15372/MULTI LEVEL2019TPV

55. Ardeljan M., Beyerlein I.J., Knezevic M. A dislocation density based crystal plasticity finite element model: Application to a two-phase polycrystalline HCP/BCC composites // J. Mech. Phys. Solids. - 2014. - V. 66. - P. 1631. - doi 10.1016/j.jmps.2014.01.006

56. Keshavarz S., Ghosh S. Hierarchical crystal plasticity FE model for nickel-based superalloys: Sub-grain microstructures to polycrystalline aggregates // Int. J. Solids Struct. -2015. - V. 55. - P. 17-31. - doi 10.1016/j.ijsolstr.2014. 03.037

57. Amodeo J., Dancette S., Delannay L. Atomistically-in-formed crystal plasticity in MgO polycrystals under pressure // Int. J. Plasticity. - 2016. - V. 82. - P. 177-191. -doi 10.1016/j.ijplas.2016.03.004

58. Ardeljan M., Beyerlein I.J., McWilliams B.A., Knezevic M. Strain rate and temperature sensitive multi-level crystal plasticity model for large plastic deformation behavior: Application to AZ31 magnesium alloy // Int. J. Plasticity. - 2016. - V. 83. - P. 90-109. - doi 10.1016/j.ijplas. 2016.04.005

59. Hu J., Cocks A.C.F. A multi-scale self-consistent model describing the lattice deformation in austenitic stainless steels // Int. J. Solids Struct. - 2016. - V. 78-79. - P. 2137. - doi 10.1016/j.ijsolstr.2015.09.021

60. Tam K.J., Vaughan M.W., Shen L., Knezevic M., Kara-man I., Proust G. Modelling the temperature and texture effects on the deformation mechanisms of magnesium alloy AZ31 // Int. J. Mech. Sci. - 2020. - V. 182. -P. 105727. - doi 10.1016/j.ijmecsci.2020.105727

61. Трусов П.В., Швейкин А.И. Теория пластичности. -Пермь: Изд-во ПНИПУ, 2011.

62. Maugin G.A. The saga of internal variables of state in continuum thermo-mechanics (1893-2013) // Mech. Res.

Communicat. - 2015. - V. 69. - P. 79-86. - doi 10.1016/ j.mechrescom.2015.06.00

63. Busso E.P. Multiscale Approaches: From the Nanomechanics to the Micromechanics // Computational and Experimental Mechanics of Advanced Materials / Ed. by V.V. Silberschmidt. - Springer, 2010. - P. 141-165. - doi 10.1007/978-3-211-99685-0

64. Luscher D.J., McDowell D.L. An extended multiscale principle of virtual velocities approach for evolving mic-restructure // Proc. Eng. - 2009. - V. 1. - Р. 117-121. -doi 10.1016/j.proeng.2009.06.028

65. Luscher D.J., McDowell D.L., Bronkhorst C.A. A second gradient theoretical framework for hierarchical multiscale modeling of materials // Int. J. Plasticity. - 2010. -V. 26. - Р. 1248-1275. - doi 10.1016/j.ijplas.2010.05.006

66. Alleman C., Luscher D.J., Bronkhorst C., Ghosh S. Distribution-enhanced homogenization framework and model for heterogeneous elasto-plastic problems // J. Mech. Phys. Solids. - 2015. - V. 85. - P. 176-202. - doi 10. 1016/j.jmps.2015.09.012

67. Van Houtte P., Li S., Seefeldt M., Delannay L. Deformation texture prediction: From the Taylor model to the advanced Lamel // Int. J. Plasticity. - 2005. -V. 21. -P. 589-624. - doi 10.1016/j.ijplas.2004.04.011

68. Van Houtte P. Crystal Plasticity Based Modelling of Deformation Textures // Microstructure and Texture in Steels / Ed. by A. Haldar, S. Suwas, D. Bhattacharjee. - Springer, 2009. - Р. 209-224. - doi 10.1007/978-1-84882-454-6_12

69. Zhang K., Holmedal B., Hopperstad O.S., Dumoulin S., Gawad J., Van Bael A., Van Houtte P. Multi-level modeling of mechanical anisotropy of commercial pure aluminium plate: Crystal plasticity models, advanced yield functions and parameter identification // Int. J. Plasticity. -2015. - V. 66. - P. 3-30. - doi 10.1016/j.ijplas.2014. 02.003

70. Рыбин В.В. Большие пластические деформации и разрушение металлов. - М.: Металлургия, 1986.

71. Perdahcioglu E.S. Constitutive Modeling of Metastable Austenitic Stainless Steel / PhD Thesis. - Enschede, The Netherlands, 2008. - doi 10.3990/1.9789036527699

72. Lebensohn R.A., Ponte Castañeda P., Brenner R., Castel-nau O. Full-Field vs. Homogenization Methods to Predict Microstructure-Property Relations for Polycrystalline Materials // Computational Methods for Microstructure-Pro-perty Relationships / Ed. by S. Ghosh, D. Dimiduk. -Springer Science + Business Media, LLC, 2011. - Р. 393441. - doi 10.1007/978-1 -4419-0643-411

73. Beyerlein I., Knezevic M. Review of microstructure and micro-mechanism-based constitutive modeling of poly-crystals with a low-symmetry crystal structure // J. Mater. Res. - 2018. - V. 33. - No. 22. - P. 3711-3738. - doi 10. 1557/jmr.2018.333

74. Lebensohn R.A. N-site modeling of a 3D viscoplastic pol-ycrystal using fast Fourier transform // Acta Mater. -2001. - V. 49. - Р. 2723-2737. - doi 10.1016/S1359-6454(01)00172-0

75. Prakash A., Lebensohn R.A. Simulation of micromechani-cal behavior of polycrystals: Finite elements versus fast Fourier transforms // Modelling Simul. Mater. Sci. Eng. -

2009. - V. 17. - P. 064010. - doi 10.1088/09650393/17/6/0640100

76. Hu L., Rollet A. D., Iadicola M., Foecke T., Banovic S. Constitutive relations for AA 5754 based on crystal plasticity // Metal. Mater. Trans. A. - 2012. - V. 43. - P. 854869. - doi 10.1007/s11661-011-0927-1

77. Duchêne L., Habraken A.M. Multiscale Approaches // Advances in Material Forming: The 10 ESAFORM Conference on Material Forming. - Liuge, Belgium, 2007. -P. 125-141.

78. Roters F. Advanced Material Models for the Crystal Plasticity Finite Element Method: Development of a General CPFEM Framework. - Aachen: RWTH Aachen, 2011.

79. Трусов П.В., Швейкин А.И. О разложении движения и определяющих соотношениях в геометрически нелинейной упруговязкопластичности кристаллитов // Физ. мезомех. - 2016. - Т. 19. - № 3. - С. 25-38. - doi 10. 24411/1683-805X-2016-00061

80. Trusov P.V., Shveykin A.I., Kondratev N.S. Multilevel metal models: Formulation for large displacements gradients // Nanosci. Technol. Int. J. - 2017. - V. 8. -No. 2. - P. 133-166. - doi 10.1615/NanoSciTechnolIntJ. v8.i2.40

81. Kroner E. Allgemeine kontinuumstheorie der versetzungen und eigenspannungen // Arch. Ration. Mech. Anal. -1959. - B. 4(1) - S. 273-334. - doi 10.1007/BF00281393

82. Lee E.H. Elastic plastic deformation at finite strain // ASME J. Appl. Mech. - 1969. - V. 36. - P. 1-6. - doi 10. 1115/1.3564580

83. Трусов П.В., Швейкин А.И., Янц А.Ю. О разложении движения, независимых от выбора системы отсчета производных и определяющих соотношениях при больших градиентах перемещений: взгляд с позиций многоуровневого моделирования // Физ. мезомех. -2016. - Т. 19. - № 2. - С. 47-65. - doi 10.24411/1683-805X-2016-00052

84. Shveykin A.I., Trusov P.V. Multilevel models of polycrys-talline metals: Comparison of relations describing the rotations of crystallite lattice // Nanosci. Technol. Int. J. -2019. - V. 10. - No. 1. - P. 1-20. - doi 10.1615 /NanoSciTechnolIntJ.2018028673

85. Трусов П.В., Швейкин А.И., Нечаева Е.С., Волегов П.С. Многоуровневые модели неупругого деформирования материалов и их применение для описания эволюции внутренней структуры // Физ. мезомех. - 2012. -Т. 15. - № 1. - С. 33-56.

86. Estrin Y., Toth L.S., Molinari A., Bréchet Y. A dislocation-based model for all hardening stages in large strain deformation // Acta Mater. - 1998. - V. 46. - No. 15. -P. 5509-5522. - doi 10.1016/S1359-6454(98)00196-7

87. Staroselsky A., Anand L. Inelastic deformation of poly-crystalline face centered cubic materials by slip and twinning // J. Mech. Phys. Solids. - 1998. - V. 46. - No. 4. -P. 671-696. - doi 10.1016/S0022-5096(97)00071-9

88. Kalidindi S.R. Modeling anisotropic strain hardening and deformation textures in low stacking fault energy fcc metals // Int. J. Plasticity. - 2001. - V. 17. - P. 837-860. -doi 10.1016/S0749-6419(00)00071-1

89. Kocks U.F., Mecking H. Physics and phenomenology of strain hardening: the FCC case // Progr. Mater. Sci. -

2003. - V. 48. - P. 171-273. - doi 10.1016/S0079-6425(02)00003-8

90. Beyerlein I.J., Tome C.N. A dislocation-based constitutive law for pure Zr including temperature effects // Int. J. Plasticity. - 2008. - V. 24. - Р. 867-895. - doi 10.1016/ j.ijplas.2007.07.017

91. Anand L. Single-crystal elasto-viscoplasticity: Application to texture evolution in polycrystalline metals at large strains // Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. - 2004. -V. 193. - P. 5359-5383. - doi 10.1016/j.cma.2003.12.068

92. Horstemeyer M.F., Potirniche G.P., Marin E.B. Crystal Plasticity // Handbook of Materials Modeling / Ed. by S. Yip. - Netherlands: Springer, 2005. - Р. 1133-1149.

93. Khadyko M., Dumoulin S., Cailletaud G., Hopperstad O.S. Latent hardening and plastic anisotropy evolution in AA6060 aluminium alloy // Int. J. Plasticity. - 2016. -V. 76. - P. 51-74. - doi 10.1016/j.ijplas.2015.07.010

94. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. - М.: Мир, 1975.

95. Швейкин А.И. Многоуровневые модели поликристаллических металлов: сопоставление определяющих соотношений для кристаллитов // Проблемы прочности и пластичности. - 2017. - Т. 79. - № 4. - С. 385-397. -doi 10.32326/1814-9146-2017-79-4-385-397

96. Трусов П.В., Кондратьев Н.С., Швейкин А.И. О геометрически нелинейных определяющих соотношениях упругого материала // Вестник ПНИПУ. Механика. -2015. - № 3. - С. 182-200. - doi 10.15593/perm.mech/ 2015.3.1331

97. Трусов П.В., Нечаева Е.С., Швейкин А.И. Применение несимметричных мер напряженного и деформированного состояния при построении многоуровневых конститутивных моделей материалов // Физ. мезомех. -2013. - Т. 16. - № 2. - С. 15-31. - doi 10.24411/1683-805X-2013-00026

98. Швейкин А.И., Трусов П.В. Сопоставление сформулированных в терминах актуальной и разгруженной конфигураций геометрически нелинейных упруговяз-копластических определяющих соотношений для кристаллитов // Физ. мезомех. - 2016. - Т. 19. - № 5. -C. 48-57. - doi 10.24411/1683-805X-2016-00018

99. Трусов П.В., Янц А.Ю. О физическом смысле неголо-номной меры деформации // Физ. мезомех. - 2015. -Т. 18. - № 2. - С. 13-21. - doi 10.24411/1683-805X-2015-00040

100. Трусов П.В., Волегов П.С., Янц А.Ю. Двухуровневые модели поликристаллов: о независимости образа процесса нагружения представительного макрообъема // Физ. мезомех. - 2013. - Т. 16. - № 6. - С. 33-41. - doi 10.24411/1683-805X-2013-00048

101. Трусов П.В., Волегов П.С., Янц А.Ю. Двухуровневые модели поликристаллов: приложение к анализу сложного нагружения // Физ. мезомех. - 2013. - Т. 16. -№ 6. - С. 43-50. - doi 10.24411/1683-805X-2013-00049

102. Трусов П.В., Волегов П.С., Янц А.Ю. Двухуровневые модели поликристаллов: приложение к оценке справедливости постулата изотропии Ильюшина в случае больших градиентов перемещений // Физ. мезомех. -2015. - Т. 18. - № 1. - C. 23-37. - doi 10.24411/1683-805X-2015-00003

103. Васин Р.А., Еникеев Ф.У. Введение в механику сверхпластичности: В 2-х ч. Ч. 1. - Уфа: Гилем, 1998.

104. Мулюков Р.Р., Имаев Р.М., Назаров А.А., ИмаевМ.Ф., Имаев В.М. Сверхпластичность ультрамелкозернистых сплавов: эксперимент, теория, технологии. - М.: Наука, 2014.

105. Шоршоров М.Х., Базык А.С., Казаков М.В. Сверхпластичность сталей и сплавов и ресурсосберегающие технологии процессов обработки металлов давлением. - Тула: Изд-во ТГУ, 2018.

106. Barnes A.J., Raman H., Lowerson A., Edwards D. Recent application of superformed 5083 aluminum alloy in the aerospace industry // Mater. Sci. Forum. - 2012. -V. 735. - P. 361-371. - doi 10.4028/www.scientific.net/ MSF.735.361

107. Wang G.F., Jia H.H., Gu Y.B., Liu Q. Research on quick superplastic forming technology of industrial aluminum alloys for rail traffic// Defect. Diffus. Forum. - 2018. -V. 385. - P. 468-473. - doi 10.4028/www.scientific.net/ DDF.385.468

108. Bhatta L., Pesin A., Zhilyaev A., Tandon P., Kong C., Yu H. Recent development of superplasticity in aluminum alloys: A review // Metals. - 2020. - V. 10. - P. 77. - doi 10.3390/met10010077

109. Dupuy L. Blandin J.-J. Damage sensitivity in a commercial Al alloy processed by equal channel angular extrusion // Acta Mater. - 2002. - V. 50. - P. 3253-3266. - doi 10.1016/S1359-6454(02)00147-7

110. Kulas M.-A., Green W.P., Taleff E.M., Krajewski P.E., McNelley T.R. Deformation mechanisms in superplastic AA5083 materials // Met. Mater. Trans. A. - 2005. -V. 36. - P. 1249-1261. - doi 10.1007/s11661-005-0217-x

111. Шарифуллина Э.Р., Швейкин А.И., Трусов П.В. Обзор экспериментальных исследований структурной сверхпластичности: эволюция микроструктуры материалов и механизмы деформирования // Вестник ПНИПУ. Механика. - 2018. - С. 103-127. - doi 10.15593/perm. mech/2018.3.11

112. Трусов П.В., Шарифуллина Э.Р., Швейкин А.И. Многоуровневая модель для описания пластического и сверхпластического деформирования поликристаллических материалов // Физ. мезомех. - 2019. - Т. 22. -№ 2. - С. 5-23. - doi 10.24411/1683-805X-2019-12001

113. Doquet V., Barkia B. Combined AFM, SEM and crystal plasticity analysis of grain boundary sliding in titanium at room temperature // Mech. Mater. - 2016. - V. 103. -P.18-27. - doi 10.1016/j.mechmat.2016.09.001

114. Wei Y.J., Anand L. Grain-boundary sliding and separation in polycrystalline metals: Application to nanocrystalline fcc metals // J. Mech. Phys. Solids. - 2004. - V.52. -P. 2587-2616. - doi 10.1016/j.jmps.2004.04.006

115. Wei Y., Bower A.F., Gao H. Enhanced strain-rate sensitivity in fcc nanocrystals due to grain-boundary diffusion and sliding // Acta Mater. - 2008. - V. 56. - P. 17411752. - doi 10.1016/j.actamat.2007.12.028

116. Cheng T.-L., Wen Y.-H., Hawk J.A. Diffuse interface approach to modeling crystal plasticity with accommodation of grain boundary sliding // Int. J. Plasticity. - 2019. -V. 114. - P. 106-125. - doi 10.1016/j.ijplas.2018.10.012

117. Mellbin Y., Hallberg H., Ristinmaa M. A combined crystal plasticity and graph-based vertex model of dynamic re-crystallization at large deformations // Model. Simul. Mater. Sci. Eng. - 2015. - V. 23. - No. 4. - P. 045011. - doi 10.1088/0965-0393/23/4/045011

118. Zhao P., Wang Y., Niezgoda S.R. Microstructural and mic-romechanical evolution during dynamic recrystallization // Int. J. Plasticity. - 2018. - V. 100. - P. 52-68. - doi 10.1016/j.ijplas.2017.09.009

119. Ruiz Sarrazola D.A., Pino Muñoz D., Bernacki M. A new numerical framework for the full field modeling of dynamic recrystallization in a CPFEM context // Comput. Mater. Sci. - 2020. - V. 179. - P. 109645. - doi 10.1016/ j.commatsci.2020.109645

120. Zhou G., Li Z., Li D., Peng Y, Zurob H.S., Wu P. A poly-crystal plasticity based discontinuous dynamic recrystalli-zation simulation method and its application to copper // Int. J. Plasticity. - 2017. - V. 91. - P. 48-76. - doi 10. 1016/j.ijplas.2017.01.001

121. Tang T., Zhou G., Li Z., Li D., Peng L., Peng Y., Wu P., Wang H., Lee M.-G. A polycrystal plasticity based ther-mo-mechanical-dynamic recrystallization coupled modeling method and its application to light weight alloys // Int. J. Plasticity. - 2019. - V. 116. - P. 159-191. - doi 10. 1016/j.ijplas.2019.01.001

122. Zecevic M., Knezevic M., McWilliams B., Lebensohn R.A. Modeling of the thermo-mechanical response and texture evolution of WE43 Mg alloy in the dynamic recrystalliza-tion regime using a viscoplastic self-consistent formulation // Int. J. Plasticity. - 2020. - V. 130. - P. 102705. -doi 10.1016/j .ijplas.2020.102705

123. Shveykin A.I., Sharifullina E.R. Development of multilevel models based on crystal plasticity: Description of grain boundary sliding and evolution of grain structure // Na-nosci. Technol. Int. J. - 2015. - V. 6. - No. 4. - P. 281298. - doi 10.1615/NanomechanicsSciTechnolIntJ.v6. i4.30

124. Zhao Y., Toth L., Massion R., Skrotzki W. Role of grain boundary sliding in texture evolution for nanoplasticity // Adv. Eng. Mater. - 2018. - V. 20. - P. 1700212. - doi 10.1002/adem.201700212

125. Toth L.S., Skrotzki W., Zhao Y., Pukenas A., Braun C., Bir-ringer R. Revealing grain boundary sliding from textures of a deformed nanocrystalline Pd-Au alloy // Materials. -2018. - V. 11. - P. 190. - doi 10.3390/ma11020190

126. Моисеенко Д.Д., Панин В.Е., Елсукова Т.Ф. Роль локальной кривизны в волновом механизме зерногра-ничного скольжения при деформации поликристалла // Физ. мезомех. - 2013. - Т. 16. - № 3. - С. 81-93. -doi 10.24411/1683-805X-2013-00027

127. Егорушкин В.Е., Панин В.Е. Масштабная инвариантность пластической деформации планарной и кристаллической подсистем твердых тел в условиях сверхпластичности // Физ. мезомех. - 2017. - Т. 20. -№ 1. - С. 5-13. - doi 10.24411/1683-805X-2017-00012

128. Egorushkin V.E., Panin V.E. Translation-rotation plastic flow in polycrystals under creep // Phys. Mesomech. -2018. - V. 21. - No. 5. - P. 401-410. - doi 10.1134/ S1029959918050041

129. Shveykin A., Trusov P., Sharifullina E. Statistical crystal plasticity model advanced for grain boundary sliding description // Crystals. - 2020. - V. 10(9). - P. 822. - doi 10.3390/cryst10090822

130. Кондратьев Н.С., Трусов П.В. О мере разориентации систем скольжения соседних кристаллитов в поликристаллическом агрегате // Вестник ПНИПУ. Механика. - 2012. - № 2. - С. 112-127.

131. Кондратьев Н.С., Трусов П.В. Описание упрочнения систем дислокационного скольжения за счет границ кристаллитов в поликристаллическом агрегате // Вестник ПНИПУ. Механика. - 2012. - № 3. - С. 78-97.

132. Berbon P.B., Tsenev N.K., Valiev R.Z., Furukawa M., Ho-rita Z., Nemoto M., Langdon T.G. Fabrication of bulk ul-trafine-grained materials through intense plastic straining // Metallurg. Mater. Trans. A. - 1998. - V. 29. - P. 22372243. - doi 10.1007/s11661-998-0101-6

133. Takayama A., Yang X., Miura H., Sakai T. Continuous static recrystallization in ultrafine-grained copper processed by multi-directional forging // Mater. Sci. Eng. A. -2008. - V. 478. - No. 1-2. - P. 221-228. - doi 10.1016/j. msea.2007.05.115

134. Huang K., Zhang K., Marthinsen K., Logé R.E. Controlling grain structure and texture in Al-Mn from the competition between precipitation and recrystallization // Acta Mater. - 2017. - V. 141. - P. 360-373. - doi 10.1016/j. actamat.2017.09.032

135. Bacca M., Hayhurst D.R., McMeeking R.M. Continuous dynamic recrystallization during severe plastic deformation // Mech. Mater. - 2015. - V. 90. - P. 148-156. - doi 10.1016/j.mechmat.2015.05.008

136. He G., Liu F., Huang L., Huang Z., Jiang L. Controlling grain size via dynamic recrystallization in an advanced polycrystalline nickel base superalloy // J. Alloys Compounds. - 2017. - V. 701. - P. 909-919. - doi 10. 1016/j .jallcom.2017.01.179

137. Berbon P.B., Komura S., Utsunomiya A., Horita Z., Furukawa M., Nemoto M., Langdon T.G. An evaluation of su-perplasticity in aluminum-scandium alloys processed by equal-channel angular pressing // Mater. Trans. JIM. -1999. - V. 40. - No. 8. - P. 772-778. - doi 10.2320/ matertrans1989.40.772

138. Dobatkin S.V., Bastarache E.N., Sakai G., Fujita T. Grain refinement and superplastic flow in an aluminum alloy processed by high-pressure torsion // Mater. Sci. Eng. A. -2005. - V. 408. - No. 1-2. - P. 141-146. - doi 10.1016/ j.msea.2005.07.023

139. Tan K., Li J., Guan Z., Yang J., Shu J. The identification of dynamic recrystallization and constitutive modeling during hot deformation of Ti55511 titanium alloy // Mater. Design. - 2015. - V. 84. - P. 204-211. - doi 10.1016/ j.matdes.2015.06.093

140. Quan G.Z., Luo G.C., Liang J.T., Wu D.S., Mao A., Liu Q. Modelling for the dynamic recrystallization evolution of Ti-6Al-4V alloy in two-phase temperature range and a wide strain rate range // Comp. Mater. Sci. - 2015. -V. 97. - P. 136-147. - doi 10.1016/j.commatsci.2014. 10.009

141. Vandermeer R.A., Jensen D.J. Microstructural path and temperature dependence of recrystallization in commercial

aluminum // Acta Mater. - 2001. - V. 49. - No. 11. -P. 2083-2094. - doi 10.1016/S1359-6454(01)00074-X

142. Lin F., Zhang Y., Tao N., Pantleon W., Jensen D.J. Effects of heterogeneity on recrystallization kinetics of nanocrys-talline copper prepared by dynamic plastic deformation // Acta Mater. - 2014. - V. 72. - P. 252-261. - doi 10.1016/ j.actamat.2014.03.036

143. Summers P.T., Mouritz A.P., Case S.W., Lattimer B.Y. Micro-structure-based modeling of residual yield strength and strain hardening after fire exposure of aluminum alloy 5083-H116 // Mater. Sci. Eng. A. - 2015. - V. 632. -P. 14-28. - doi 10.1016/j.msea.2015.02.026

144. Peczak P. A Monte Carlo study of influence of deformation temperature on dynamic recrystallization // Acta Metallurg. Mater. - 1995. - V. 43(3). - P. 1279-1291. - doi 10.1016/0956-7151(94)00280-U

145. Radhakrishnan B., Sarma G.B., Zacharia T. Modeling the kinetics and microstructural evolution during static recrys-tallization—Monte Carlo simulation of recrystallization // Acta Mater. - 1998. - V. 46(12). - P. 4415-4433. - doi 10.1016/S1359-6454(98)00077-9

146. Li H., Wu C., Yang H. Crystal plasticity modeling of the dynamic recrystallization of two-phase titanium alloys during isothermal processing // Int. J. Plasticity. - 2013. -V. 51. - P. 271-291. - doi 10.1016/j.ijplas.2013.05.001

147. Liu Z., Olivares R.O., Lei Y., Garcia C.I., Wang G. Microstructural characterization and recrystallization kinetics modeling of annealing cold-rolled vanadium microalloyed HSLA steels // J. Alloys Compounds. - 2016. - V. 679. -P. 293-301. - doi 10.1016/j.jallcom.2016.04.057

148. Chen L., Chen J., Lebensohn R.A., Ji Y.Z., Heo T.W., Bhattacharyya S., Chang K., Mathaudhu S., Liu Z.K., Chen L.Q. An integrated fast Fourier transform-based phase-field and crystal plasticity approach to model re-crystallization of three dimensional polycrystals // Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. - 2015. - V. 285. - P. 829-848. -doi 10.1016/j.cma.2014.12.007

149. Scholtes B., Shakoor M., Bozzolo N., Bouchard P.O., Set-tefrati A., Bernacki M. Advances in level-set modeling of recrystallization at the polycrystal scale-development of the digi-p. software // Key Eng. Mater. Trans. Tech. Publ. - 2015. - V. 651. - P. 617-623. - doi 10.4028/ www.scientific.net/KEM.651-653.617

150. Панин В.Е., Егорушкин В.Е. Физическая мезомеханика измельчения кристаллической структуры при интенсивной пластической деформации // Физ. мезомех. -2008. - Т. 11. - № 5. - C. 5-16.

151. Панин В.Е., Кузнецов П.В., Рахматулина Т.В. Кривизна решетки и мезоскопические деформационные дефекты в ультрамелкозернистых металлах как основа механизмов их пластического формоизменения // Физ. мезомех. - 2018. - Т. 21. - № 3. - C. 27-35. - doi 10.24411/1683-805X-2018-13004

152. Трусов П.В., Кондратьев Н.С. Двухуровневая упруго-вязкопластическая модель: применение к анализу эволюции зеренной структуры при статической рекристаллизации // Физ. мезомех. - 2018. - Т. 21. - № 2. -С. 21-32. - doi 10.24411/1683-805X-2018-12003

153. Трусов П.В., Кондратьев Н.С., Янц А.Ю. Модель для описания статической рекристаллизации по механиз-

му миграции участков исходной большеугловой границы // Физ. мезомех. - 2019. - Т. 22. - № 2. - С. 2434. - doi 10.24411/1683-805X-2019-12002

154. Scholtes B., Boulais-Sinou R., Settefrati A., MuñozD.P., Poitrault I., Montouchet A., Bozzolo N., Bernacki M. 3D level set modeling of static recrystallization considering stored energy fields // Comp. Mater. Sci. - 2016. -V. 122. - P. 57-71. - doi 10.1016/j.commatsci.2016. 04.045

155. Ali U., Odoh D., Muhammad W., Brahme A., Mishra R.K., Wells M., Inal K. Experimental investigation and through process crystal plasticity—Static recrystallization modeling of temperature and strain rate effects during hot compression of AA60632017 // Mater. Sci. Eng. A. - 2017. -V. 700. - P. 374-386. - doi 10.1016/j.msea.2017.06.030

156. Rollett A., Humphreys F.J., Rohrer G.S., Hatherly M. Re-crystallization and related annealing phenomena. - Oxford: Elsevier, 2004. - doi 10.1016/B978-0-08-044164-1.X5000-2

157. Beck P.A., Sperry P.R. Strain induced grain boundary migration in high purity aluminum // J. Appl. Phys. -1950. - V. 21. - No. 2. - P. 150-152. - doi 10.1063/1. 1699614

158. Bellier S.P., Doherty R.D. The structure of deformed aluminium and its recrystallization—Investigations with transmission Kossel diffraction // Acta Metallurg. -1977. - V. 25. - No. 5. - P. 521-538. - doi 10.1016/0001-6160(77)90192-4

159. Горелик С.С., Добаткин С.В., Капуткина Л.М. Рекристаллизация металлов и сплавов. - М.: МИСиС, 2005.

160. Cahn R.W. A new theory of recrystallization nuclei // Proc. Phys. Soc. Lond. - 1950. - V. 63. - P. 323-336. -doi 10.1088/0370-1298/63/4/302

161. Кондратьев Н.С., Трусов П.В. Механизмы образования зародышей рекристаллизации в металлах при термомеханической обработке // Вестник ПНИПУ. Механика. - 2016. - № 4. - С. 151-174.

162. Kondratev N.S., Trusov P.V. Modeling of subgrain's crys-tallographic misorientation distribution // Nanosci. Tech-nol. Int. J. - 2018. - V. 9. - No. 4. - P. 283-297. - doi 10. 1615/NanoSciTechnolIntJ.2018027157

163. Bailey J.E., Hirsch P.B. The recrystallization process in some polycrystalline metals // Proc. Roy. Soc. Lond. A. Math. Phys. Eng. Sci. - 1962. - V. 267. - No. 1328. -P. 11-30. - doi 10.1098/rspa.1962.0080

164. Burke J.E., TurnbullD. Recrystallization and grain growth // Progr. Met. Phys. - 1952. - V. 3. - P. 220-244. - doi 10.1016/0502-8205(52)90009-9

165. Kondratev N.S., Trusov P.V. Calculation of the intergranular energy in two-level physical models for describing thermomechanical processing of polycrystals with account for discontinuous dynamic recrystallization // Nanomech. Sci. Technol. Int. J. - 2016. - V. 7. - No. 2. - P. 107-122. -doi 10.1615/NanomechanicsSciTechnolIntJ.v7.i2.20

166. Зуев Л.Б. Кристаллическое тело как универсальный генератор автоволн локализованной пластичности // Изв. РАН. Сер. физ. - 2014. - Т. 78. - № 10. - С. 12061213.

167. Баранов Ю.В. Эффект А.Ф. Иоффе на металлах. - М.: МГИУ, 2006.

168. Иоффе А.Ф. Физика кристаллов. - М.-Л.: Гос. изд-во, 1929.

169. Gilman G. Dislocation sources in crystals // J. Appl. Phys. - 1959. - V. 30. - P. 1584-1594. - doi 10.1063/1. 1735005

170. Набарро Ф.Р., Базинский З.С., Холт Д.Б. Пластичность чистых монокристаллов. - М.: Металлургия, 1967.

171. Макаров П.В., Солоненко О.П., Бондарь М.П., Романова В.А., Черепанов О.И., Балохонов Р.Р., Гришков В.Н., Лотков А.И., Евтушенко Е.П. Моделирование процессов деформации на мезоуровне в материалах с различными типами градиентных покрытий // Физ. мезо-мех. - 2003. - Т. 6. - № 2. - C. 47-61.

172. Романова В.А., Карпенко Н.И., Балохонов Р.Р., Емельянова О.С., Ковалев В.А. Численное исследование формирования деформационного рельефа на поверхности модельных поликристаллов в условиях одноосного растяжения // Физ. мезомех. - 2011. - Т. 14. -№ 5. - С. 55-64.

173. Романова В.А., Зиновьева О.С., Балохонов Р.Р., Зиновьев А.В., Батухтина Е.Е. Влияние модифицированного поверхностного слоя на эволюцию деформационного рельефа в поликристаллических стальных образцах. Численное моделирование // Физ. мезомех. -2013. - Т. 16. - № 6. - С. 59-69. - doi 10.24411/1683-805X-2013-00045

174. Романова В.А., Балохонов Р.Р., Панин А.В., Батухти-на Е.Е., Казаченок М.С., Шахиджанов В.С. Микромеханическая модель эволюции деформационного рельефа в поликристаллических материалах // Физ. мезо-мех. - 2017. - Т. 20. - № 3. - С. 81-90. - doi 10.24411/ 1683-805X-2017-00029

175. Balokhonov R.R., Romanova V.A., Panin A.V., Kazache-nok M.S., Martynov S.A. Strain localization in titanium with a modified surface layer // Phys. Mesomech. -2018. - V. 21. - No. 1. - P. 32-42. - doi 10.1134/ S1029959918010058

176. Романова В.А., Балохонов Р.Р. О роли внутренних границ раздела в процессах формирования мезоскопичес-кого деформационного рельефа на свободной поверхности нагруженных материалов // Физ. мезомех. -2010. - Т. 13. - № 4. - С. 35-44.

177. Трусов П.В., Янц А.Ю., Теплякова Л.А. Прямая физическая упруговязкопластическая модель: приложение к исследованию деформирования монокристаллов // Физ. мезомех. - 2018. - Т. 21. - № 2. - С. 33-44. - doi 10.24411/1683-805X-2018-12004

178. Quey R., Dawson P.R., Barbe F. Large-scale 3D random polycrystals for the finite element method: Generation, meshing and remeshing // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. - 2011. - V. 200. - No. 17-20. - P. 1729-1745. -doi 10.1016/j.cma.2011.01.002

179. Geuzaine C., Remacle J.-F. Gmsh: a three-dimensional finite element mesh generator with built-in pre- and postprocessing facilities // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 2009. -V. 79. - No. 11. - P. 1309-1331. - doi 10.1002/nme.2579

180. Friedel J. Dislocations. - Pergamon Press, 1967.

181. Hirth J.P., Lothe J. Theory of Dislocations. - Krieger Publishing Company, 1982.

182. Орлов А.Н., Перевезенцев В.Н., Рыбин В.В. Границы зерен в металлах. - М.: Металлургия, 1980.

183. Anderson P.M., Hirth J.P., Lothe J. Theory of Dislocations. - Cambridge: Cambridge University Press, 2017.

184. Bieler T.R., Eisenlohr P., Zhang C., Phukan H.J., Crimp M.A. Grain boundaries and interfaces in slip transfer // Current Opin. Solid State Mater. Sci. - 2014. - V. 18. -No. 4. - P. 212-226. - doi 10.1016/j.cossms.2014.05.003

185. Kalidindi S.R., Vachhani S.J. Mechanical characterization of grain boundaries using nanoindentation // Current Opin. Solid State Mater. Sci. - 2014. - V. 18. - No. 4. - P. 196204. - doi 10.1016/j.cossms.2014.05.002

186. Волегов П.С., Грибов Д.С., Трусов П.В. Поврежден-ность и разрушение: модели, основанные на физических теориях пластичности // Физ. мезомех. - 2015. -Т. 18. - № 6. - С. 12-23. - doi 10.24411/1683-805X-2015-00063

187. Исупова И.Л., Трусов П.В. Обзор математических моделей для описания фазовых превращений в сталях

// Вестник ПНИПУ. Механика. - 2013. - № 3. -С. 157-191.

188. Trusov P., Shveykin A., Kondratev N., Makarevich E. Thermomechanical Processing of Steels and Alloys: Multilevel Modeling // Encyclopedia of Continuum Mechanics / Ed. by H. Altenbach, A. Öchsner. - Berlin: Springer, 2020. - P. 2496-2511. - doi 10.1007/978-3-662-55771-6_145

189. Trusov P., Makarevich E., Kondratev N. Multi-level model describing phase transformations of polycrystalline materials under thermo-mechanical impacts // Frattura ed Integrità Strutturale. - 2019. - V. 49. - P. 125-139. - doi 10.3221/IGF-ESIS.49.14

190. Швейкин А.И., Шарифуллина Э.Р., Трусов П.В., Пуш-ков Д. А. Об оценке чувствительности статистических многоуровневых моделей поликристаллических металлов к возмущениям параметров // Вычислительная механика сплошных сред. - 2018. - Т. 11. - № 2. -С. 214-231. - doi 10.7242/1999-6691/2018.11.2.17

Поступила в редакцию 14.10.2020 г., после доработки 14.10.2020 г., принята к публикации 28.10.2020 г.

Сведения об авторах

Трусов Петр Валентинович, д.ф.-м.н., проф., зав. каф. ПНИПУ, tpv@matmod.pstu.ac.ru Швейкин Алексей Игоревич, д.ф.-м.н., доц. ПНИПУ, alexsh59@bk.ru Кондратьев Никита Сергеевич, к.ф.-м.н., доц. ПНИПУ, kondratevns@gmail.com Янц Антон Юрьевич, к.ф.-м.н., доц. ПНИПУ, maximus5.59@gmail.com