Многоуровневое моделирование и компьютерный дизайн перспективных материалов с иерархической структурой Текст научной статьи по специальности «Физика»

Посвящается 40-летию Института физики прочности и материаловедения СО РАН

УДК 51-72, 539.3, 539.4, 539.62

Многоуровневое моделирование и компьютерный дизайн перспективных материалов с иерархической структурой

Е.В. Шилько, А.И. Дмитриев, Р.Р. Балохонов, В. А. Романова

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634055, Россия

В статье представлен краткий обзор истории развития в ИФПМ СО РАН численных методов и моделей для решения задач компьютерного моделирования механического поведения материалов с иерархической структурой в спектре масштабов от нано- до макроскопического. Показаны основные этапы становления нескольких ключевых направлений: атомистического моделирования на наномас-штабном уровне, континуальных численных методов и метода частиц для изучения влияния структурных особенностей на поведение и свойства материалов на более высоких пространственных и временных масштабах. Обсуждаются примеры реализации многомасштабного подхода к моделированию и дизайну структуры материалов на металлической и керамической основе, а также перспективы перехода к полноценным цифровым двойникам, связывающим особенности процесса получения материала с его конечной структурой, механическими свойствами и особенностями механического поведения.

Ключевые слова: структурно-неоднородные материалы, численное моделирование, деформация, разрушение, цифровые двойники материалов, виртуальное in-silico тестирование

DOI 10.55652/1683-805X_2024_27_3_5-32

Multiscale modeling and computer-aided design of advanced materials

with hierarchical structure

E.V. Shilko, A.I. Dmitriev, R.R. Balokhonov, and V.A. Romanova

Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634055, Russia

The article briefly reviews the achievements of ISPMS SB RAS in the development of numerical computation methods and models for modeling the mechanical behavior of materials with hierarchical structure in the range of scales from nano to macro. The main stages in the development of several key areas are considered: atomistic modeling at the nanoscale level, continuum numerical methods, and particle method for studying the effect of structure on the behavior and properties of materials at larger spatial and temporal scales. The application of the multiscale approach to modeling and design of the structure of metallic and ceramic materials is discussed. Prospects are outlined for the transition to comprehensive digital twins that link the structure formation process of the material with its final structure, mechanical properties, and mechanical behavior.

Keywords: structurally heterogeneous materials, computer modeling, deformation, fracture, digital twins of materials, in-silico virtual testing

1. Введение

История применения компьютерного (численного) моделирования для изучения механического поведения материалов, выявления механизмов

адаптации структуры материала к нагружению, оценки и прогнозирования эффективных механических свойств, дизайна и оптимизации внутренней структуры насчитывает уже несколько декад.

© Шилько Е.В., Дмитриев А.И., Балохонов Р.Р., Романова В.А., 2024

При этом стремительное увеличение количества виртуальных исследований сопровождается в последнее десятилетие качественным изменением требований к применяемым моделям материалов, которые обеспечивают возможность не просто изучать закономерности и механизмы поведения образцов материалов и элементов структур и конструкций, но осуществлять их полноценное виртуальное тестирование. Новые требования во многом обусловлены активным внедрением промышленных киберфизических систем (цифровых двойников), являющихся основой Индустрии 4.0 [1, 2].

Цифровыми двойниками материалов называют комплексные виртуальные (компьютерные) модели, которые отражают внутренние процессы в материале, а также его взаимодействие с окружающей средой, например в процессе получения, обработки изделия или в условиях эксплуатации [37]. Уже в настоящее время цифровые двойники используются для оценки служебных характеристик сложных инженерных систем (например газотурбинных двигателей и их компонентов [8, 9]), разработки металлических биоматериалов, нано-пористых металлов и систем хранения водорода [10], оценки эффективных характеристик природных коллекторов углеводородов [11, 12], сопровождения работы элементов различных механизмов [13, 14] и т.д. Однако основное внимание в современных двойниках уделяется точному отображению геометрии и производительности компонентов. Такие цифровые двойники не учитывают информацию об особенностях структуры материала и происходящих в нем физических явлениях на более низких размерных масштабах (в диапазоне от атомного до мезоскопического), а для получения прогнозов применяются упрощенные феноменологические математические модели (в том числе в сочетании с инструментами искусственного интеллекта). Модели такого рода способны давать надежный прогноз в спектре условий функционирования объекта, для которых существуют экспериментальные данные, но зачастую не пригодны для виртуального тестирования при существенно отличных видах или режимах воздействий. Это определяет актуальность применения многомасштабного подхода к моделированию и дизайну внутренней структуры материалов для реализации полноценных виртуальных т^ь Псо экспериментов по их конструированию и тестированию.

Концепция многомасштабного моделирования, сформулированная более трех десятилетий назад, в последнее время претерпела бурное развитие. В частности, разработаны и широко применяются несколько подходов к реализации многомасштабного моделирования: последовательный, параллельный и синергетический. Первый из них, основанный на совместном использовании концепций top-down и bottom-up [15], в настоящее время наиболее востребован для изучения и дизайна материалов с композиционной структурой [16-20] вследствие определяющей роли структурных элементов нескольких смежных масштабов в макроскопическом поведении и свойствах материала. Но несмотря на огромный интерес к многомасштабному моделированию, в том числе применительно к задачам компьютерного дизайна структуры и создания цифровых двойников материалов, его развитие сдерживается рядом принципиальных проблем, среди них — необходимость достижения компромисса между упрощенным феноменологическим и качественно более сложным физически обоснованным подходами к моделированию материалов для обеспечения баланса достоверности и точности моделирования и вычислительной эффективности [21-24]. Эта комплексная проблема включает целый ряд составляющих, ключевыми из которых являются:

1) приемлемая степень детализации структуры на рассматриваемом масштабе;

2) критерии построения/выбора математических моделей структурных компонентов материала на рассматриваемом масштабе;

3) учет влияния структуры и механизмов деформации материала на более низких структурных уровнях на эффективные свойства областей гомогенизации свойств на рассматриваемом масштабе;

4) выбор комплекса виртуальных тестов представительного объема для адекватного обобщения и формализации его свойств (в том числе в виде определяющих соотношений) и их использования на более высоком масштабе.

Решение этих проблем многомасштабного моделирования базируется на разработке для каждого структурного уровня физически обоснованных моделей, сохраняющих достаточную вычислительную эффективность для применения при решении практически важных задач.

Важный вклад в развитие многомасштабного моделирования внесла сформулированная акаде-

миком В.Е. Паниным концепция физической ме-зомеханики, базирующаяся на представлении материала как иерархически организованной и мультифизической системы, поведение которой контролируется спектром явлений на масштабах длины от атомного до макроскопического и в соответствующем диапазоне временных масштабов [25-31]. Основным достижением физической ме-зомеханики можно считать обоснование необходимости интегрирования физического описания механизмов деформации и разрушения в математический аппарат механики материалов. Подобное объединение, в частности, привело к введению структурных уровней деформации и формализации их взаимосвязи через определяющие соотношения, учитывающие взаимовлияния механизмов деформации смежных уровней. Фактически концепция физической мезомеханики позволила разрешить двусмысленность понимания понятий «моделирование процессов на различных масштабах структуры» и «многомасштабное моделирование». Действительно, моделирование процессов в материале на низких структурных уровнях позволяет выявить конкретные механизмы нелинейного поведения материалов и связь условий их вовлечения с особенностями структуры соответствующего уровня. Однако вклад этих механизмов в макроскопическое поведение материала не может быть определен на основе прямого масштабирования их эффекта, поскольку особенности структуры на более высоком масштабе могут подавлять действие одних «низкоуровневых» механизмов и при этом усиливать действие других. Соответственно, корректный учет механизмов неупругого поведения материала в макроскопических физически обусловленных моделях может быть осуществлен только посредством последовательного перехода от более низких к более высоким структурным уровням. При каждом таком переходе процедура гомогенизации свойств должна осуществляться не формально (выбор адекватной феноменологической модели и оценка ее параметров), но с учетом физических особенностей механизмов, влияние которых интегрируется и гомогенизируется. Другими словами, структура модели поведения представительного объема материала на некотором масштабе должна отражать не только интегральный эффект механизмов неупругого поведения, но и их физическую суть и связь интенсивности их вовлечения со структурными характеристиками на данном масштабе. Такой подход к многомасштабному моде-

лированию может стать реальной основой для разработки принципов эффективного компьютерного дизайна многомасштабной структуры материалов, оценки их эффективных свойств и прогнозирования поведения в разнообразных условиях функционирования.

Концепция физической мезомеханики оказала большое влияние не только на идеологию многомасштабного моделирования, но в не меньшей степени и на развитие математических моделей, описывающих поведение металлических, керамических и органических материалов на различных масштабах, а также численных методов, реализующих эти модели. Академиком В.Е. Паниным и его учениками созданы несколько научных школ, в которых успешно развивается идеология физического обоснования и наполнения математических моделей поведения материалов в спектре структурных масштабов от атомного до макроскопического, а также методология перехода с более низкого масштаба на более высокий с учетом конкретных механизмов деформации и структурных особенностей.

Наиболее низким структурным уровнем материала является уровень элементарной ячейки кристалла, первой координационной сферы в аморфном материале и т.д. Изучение таких элементарных составляющих структуры материала, базирующееся на первопринципном квантовоме-ханическом описании электронной и энергетической структуры, стало важным научным направлением физической мезомеханики и позволило получить ряд важнейших результатов в области разработки и модификации атомной структуры перспективных металлических и полупроводниковых материалов. Среди них спроектированные т^ь Псо перспективные антиферромагнитные топологические изоляторы [32, 33], в том числе слоисто-блочные [34, 35]; уникальные слоистые соединения, сочетающие сверхпроводящие и магнитные свойства [36]; оптимальные варианты легирования титан-алюминиевых сплавов для эффективного повышения их коррозионной стойкости [3740]; новые возможности управления теплофизи-ческими и электрофизическими свойствами углеродных нанотрубок и графена, созданием специальной дефектной структуры [41-43] и др.

Возможности непосредственных квантовоме-ханических вычислений, как правило, ограничены несколькими элементарными ячейками. Поэтому изучение процессов в материале на более высоком (наноразмерном) масштабе, в том числе

выявление наномасштабных механизмов адаптации материала к внешним воздействиям, эффективно осуществляется с применением квазиклассических атомистических численных методов (молекулярная динамика и метод Монте-Карло). Данное направление создано членом-корреспондентом РАН С.Г. Псахье. С использованием атомистического моделирования выявлены и даны количественные оценки ряда фундаментальных механизмов зарождения пластической деформации в металлических материалах, дано объяснение механизма изменения зеренной структуры в деформируемом материале, связанного с миграцией межзеренных границ, установлены закономерности изменения структуры и свойств нано-масштабных поверхностных слоев в условиях контактного взаимодействия тел и т.д. При этом потенциалы межатомного взаимодействия, определяющие поведение и свойства ансамбля атомов, разрабатываются в рамках пер-вопринципных квантовомеханических методов, рассматривающих материал на более низком структурном масштабе.

На более высоких (микро-мезо-макро) масштабах компьютерное изучение механического поведения материалов и решение задач компьютерного дизайна осуществляется с применением математических моделей, основанных на принципах термодинамики и механики деформируемого твердого тела. Развитие данного направления, базирующееся на концепции структурных уровней и объединения физического и механического подходов к математическому описанию поведения материалов, связано с именами профессоров П.В. Макарова и С.Г. Псахье. П.В. Макаров является основоположником научной школы вычислительной мезомеханики сплошных сред, представители которой внесли большой вклад в развитие формализма физически обоснованных моделей пластичности металлических и керамических материалов на микро-, мезо- и макромасштабном уровнях. В работах его учеников развиваются идеи многомасштабного моделирования и предлагаются оригинальные способы связывания смежных структурных уровней при bottom-up переходах. Достижения этой научной школы позволили, в частности, впервые приблизиться к созданию полноценных цифровых двойников аддитивных материалов с неравновесной структурой, получаемых методами нестационарной металлургии. С.Г. Псахье и его ученики внесли значимый вклад в развитие формализма вычислительных

методов частиц. В частности, ими разработаны гибридные бессеточные методы, объединяющие возможности методов дискретных элементов, клеточных автоматов и конечных объемов, а также связанные термомеханические и гидромеханические модели для решения сложных мультифи-зических задач, изучение которых в рамках формализма континуальной механики является крайне затруднительным. С использованием развитых моделей впервые получены обобщенные зависимости коэффициента сухого трения шероховатых тел и обобщенная карта механизмов фрикционного износа шероховатостей, построены обобщающие соотношения для оценки влияния порового флюида на сдвиговую прочность проницаемых хрупких материалов, выявлены и обоснованы условия механических воздействий на костные ткани, стимулирующие их эффективную регенерацию, разработаны многоуровневые модели ряда пористых керамических огнеупорных материалов и показаны возможности управления комплексом их служебных характеристик направленным изменением параметров пористости и трещинова-тости.

Идеи физической мезомеханики позволили объединить физические и формальные механические представления о процессах на различных масштабах в твердых телах, а также о принципах построения физически обоснованных моделей материалов на различных масштабах с учетом структуры и механизмов отклика материала на более низких масштабах. Численная реализация таких моделей позволяет получить информацию, актуальную не только для формального описания процессов в твердых телах, но и для решения задач компьютерного дизайна структуры, а также построения прогностических виртуальных образов (цифровых двойников) реальных систем. В следующих разделах более детально рассмотрены история развития основных направлений вычислительной мезомеханики и последние достижения в изучении механического поведения материалов различной природы на нано-, микро- и ме-зомасштабном уровнях и построении многомасштабных моделей материалов.

2. Моделирование поведения материалов на наномасштабном уровне

Развитие наномасштабного подхода к моделированию материалов тесно связано с эволюцией метода молекулярной динамики, являющегося

родоначальником и наиболее широко используемым представителем квазиклассических атомистических численных методов. В рамках метода молекулярной динамики (МД) моделируемый материал представляется ансамблем материальных частиц (силовых центров), взаимодействие между которыми описывается потенциалами межатомного взаимодействия. Если с точки зрения основных принципов метод молекулярной динамики за время своего применения не претерпел кардинальных изменений, то в истории использования потенциалов межатомного взаимодействия произошел качественный скачок. Первоначально в качестве потенциалов использовались различные феноменологические парные функции. Наиболее широко применялись потенциалы Леннарда-Джонса и Морзе [44], являющиеся соответственно степенной и экспоненциальной формами записи изменения энергии от величины расстояния между центрами двух атомов. Позднее для описания взаимодействия между атомами в наномасштаб-ных исследованиях стали применяться более совершенные парные функции, построенные на основе теории псевдопотенциала. Системы, которые описывались такими потенциалами, также отличались определенной простотой, поскольку их сложность и размеры были ограничены вычислительными ресурсами того периода. Ускорение времени счета достигалось в том числе за счет моделирования высокоэнергетических воздействий со скоростью от 100 м/c и выше.

Среди таких исследований следует отметить, например, пионерные работы ИФПМ СО РАН по изучению распространения устойчивых уединенных волн (солитонов) в одномерных атомных ансамблях протяженностью до ста периодов решетки [45]. Работы [46, 47] были посвящены моделированию термомеханических воздействий на пла-нарные атомные системы, состоящие из нескольких сотен атомов и исходно содержащие структурные дефекты типа вакансии, поры или дислокации. Атомы в таких ансамблях были расположены в виде треугольной либо квадратной упаковки, что соответствовало плоскостям [111] в ГЦК- и [110] в ОЦК-кристаллах соответственно. Большой цикл работ [48-50] был ориентирован на изучение закономерностей поведения трехмерных кристаллитов, содержащих границы зерен специального типа, подверженных высокоскоростной сдвиговой деформации. Исследования [51] были посвящены изучению нелинейного отклика кристаллического материала в условиях распро-

странения фронта ударной волны различной формы. В работах [52, 53] изучались закономерности развития каскадов атомных соударений и структурных трансформаций, обусловленные налетом высокоэнергетических частиц. Следует отметить, что во всех перечисленных исследованиях численное моделирование и анализ результатов проводились с использованием программных продуктов, разработанных в ИФПМ СО РАН.

Несмотря на малые пространственные размеры и простоту используемых мономатериальных потенциалов межатомного взаимодействия, в цитируемых работах был получен ряд фундаментально значимых результатов. Так, на примере цепочки атомов установлены закономерности взаимодействия как встречных, так и попутных уединенных волн, двигающихся с различными скоростями (рис. 1, а). На двумерных кристаллах был обнаружен краудионный механизм перестроения атомной системы при переходе от одной устойчивой конфигурации атомной решетки к другой (рис. 1, б). На 2D и 3D кристаллических системах были выявлены ротационные моды деформации, реализуемые вблизи областей с избыточным удельным атомным объемом (поры, свободная поверхность, межзеренные границы) (рис. 1, в). Многие из упомянутых выше результатов впоследствии были успешно подтверждены с использованием новых, более совершенных потенциалов межатомного взаимодействия, либо на системах с большей размерностью. В частности, выявленные на одномерных цепочках атомов закономерности взаимодействия солитоноподобных волн были в дальнейшем обнаружены на двумерных и трехмерных кристаллических системах [54, 55], где также был исследован характер взаимодействия уединенных волн с различными типами дефектов кристаллической структуры [56].

Значительный прогресс в развитии наномас-штабного подхода к моделированию материалов и сред был достигнут в связи с переходом на программный комплекс LAMMPS (large-scale atomic/ molecular massively parallel simulator), разработанный группой исследователей из Sandia National Laboratory [57]. Такой переход позволил использовать большую базу современных межатомных потенциалов, в том числе описывающих взаимодействия атомов различных химических элементов. Помимо этого, стандартизация файлов данных сделала возможным использование мощных средств визуализации и анализа результатов моделирования (RasMol [58] и Ovito [59]), поддер-

0.0004; — 0.00031

<и

д о.ооо2\

~ 0.0001 {

0.0000: — 500

0.0003; —

« 0.0002;

ев

^ о.ооо1;

0.0000+— 1200

Рис. 1. Примеры результатов моделирования, полученных с использованием метода молекулярной динамики: закономерности распространения солитоно-подобных волн в одномерных цепочках атомов [45] (а); краудионный механизм перестроения плоской кристаллической решетки [46] (б), вихреобразные динамические образования вблизи границ зерен специального типа при высокоскоростной сдвиговой деформации [48] (в)

живающих различные алгоритмы определения локальной топологии атомной решетки и идентификации дислокаций. Сопутствующий процесс

быстрого роста производительности вычислительных систем позволил активно использовать возможности пакета ЬЛММРБ для проведения параллельных высокопроизводительных вычислений и перейти к объектам исследования, содержащим не только сотни тысяч, но и миллионы атомов. Таким образом, накопленная на тот момент база научных знаний в области моделирования методом молекулярной динамики и новые возможности вычислительного инструментария дали синергетический эффект в развитии нано-масштабного компьютерного моделирования материалов. Это позволило значительно расширить спектр решаемых задач и получить новые фундаментальные результаты, важнейшие из которых обсуждаются далее.

Уникальным направлением наномасштабных исследований, развиваемым в ИФПМ СО РАН, стало моделирование поведения кулоновских шаров — трехмерных пылевых систем, имеющих упорядоченное оболочечное строение заряженных частиц [60]. Интерес к изучению подобных объектов, называемых также плазменными кристаллами, обусловлен тем фактом, что, варьируя характер внешних воздействий и их природу, можно изменять не только пространственное расположение пылевых частиц, но и упорядоченность структуры. Таким образом, появляется возможность целенаправленно менять геометрию и свойства самого плазменного кристалла. Эти и многие другие фундаментальные результаты на моно- и бинарных системах заряженных частиц были продемонстрированы в работах [61, 62]. Так, в [62] было показано, что система сферических заряженных частиц двух сортов, находящихся в плазме и различающихся между собой величиной заряда, имеет тенденцию к образованию оболочечной структуры. При этом каждая из оболочек содержит частицы только одного сорта (рис. 2, а).

Исследование атомных механизмов миграции границ зерен в условиях сдвиговой деформации нашло продолжение в серии работ [66-70], где с использованием новых потенциалов, построенных в рамках метода погруженного атома и модифицированного метода погруженного атома, были проанализированы закономерности структурных перестроек вблизи границ зерен специального типа Е5, Е9, Х11 в ГЦК-металлах. Были установлены зависимости, связывающие скорость миграции границ зерен со скоростью приложенной нагрузки [66], получены оценки влияния темпера-

Рис. 2. Примеры результатов моделирования, полученных с использованием метода молекулярной динамики: радиальное распределение частиц бинарной системы в кулоновском шаре [62] (а); модификация интерфейсного слоя при сдвиговой деформации бикристалла СиТ [63] (б); распределение атомного объема в плоскости сдвига при наноиндентирова-нии протяженным индентором [64] (в); изменение атомного объема в трех ОЦК-плоскостях при фазовом превращении ОЦК ^ ГЦК [65] (г) (цветной в онлайн-версии)

туры [67] и разориентации структуры вблизи границ зерен [68] на скорость ее миграции, а также продемонстрирована возможность аннигиляции двух границ зерен, «движущихся» навстречу друг другу [69]. Развитием этого направления стало изучение закономерностей структурных трансформаций, реализующихся при сдвиговой деформации в области идеального сопряжения металлических монокристаллов, отличающихся как типом кристаллической решетки, так и их взаимной кристаллографической ориентацией. Результаты моделирования однозначно указывают, что характер структурных перестроек в области интерфейса двух решеток зависит от различных факторов, в числе которых как механические свойства самих сопряженных металлов, так и особенности их кристаллографической анизотропии. При этом сдвиг между металлами реализуется либо по границе раздела с формированием разупорядоченно-го интерфейсного слоя, либо структурные модификации происходят в приграничной области одного из металлов, а сдвиговая деформация реализуется между его модифицированными и немоди-фицированными атомными слоями [63] (рис. 2, б).

В случае перехода от протяженного контакта идеального сопряжения к локальному контакту двух кристаллитов подобный класс задач трансформируется к условиям моделирования процессов наноиндентирования (нормальное сжатие) и скретч-тестирования (латеральное перемещение). Оба класса задач активно исследовались в ИФПМ СО РАН на протяжении последнего десятилетия, и в обоих направлениях получены значимые результаты. В частности, при моделировании скретч-теста бикристаллов а-Т был обнаружен атомный механизм нанофрагментации материала, который позволил объяснить экспериментально наблюдаемый эффект снижения глубины царапины при переходе от одного зерна к другому, отличающемуся кристаллографической ориентацией [71]. В работе [72] был проанализирован и подробно описан механизм взаимодействия скользящих дислокаций с границами зерен общего типа и некогерентной двойниковой границей. В [64] при наноиндентировании кристаллита меди установлено, что использование протяженного инден-тора позволяет генерировать изолированные дефекты упаковки и отслеживать их движение. Это открывает путь для детального анализа локальных преобразований типа ГЦК ^ ГПУ и ГПУ ^ ГЦК, обеспечивающих движение дефектов упаковки вдоль плоскостей скольжения {111}. Пока-

зано существование переходной зоны, граничащей с дефектами этого типа и всегда имеющей избыточный атомный объем (рис. 2, в), ответственный за локальную нестабильность решетки. Результаты данного исследования хорошо согласуются с имеющимися экспериментальными данными [73] и подтверждают выводы, сделанные ранее в работе [74], о том, что именно локальный избыточный объем играет ключевую роль в зарождении и развитии пластической деформации.

Отдельного внимания заслуживают достижения в области изучения атомных механизмов фазовых превращений, включая мартенситные фазовые превращения. В работе [75] показано, что одноосное растяжение двухфазных ГЦК/ОЦК на-нокристаллических образцов Ге-№ ведет к фазовому переходу ОЦК-структуры ламелей в ГЦК-структуру, а на фронте фазового ОЦК ^ ГЦК перехода атомный объем скачкообразно возрастает (рис. 2, г). Выявленный при этом атомный механизм фазового перехода заключается в согласованных коллективных смещениях атомов в трех соседних ОЦК-плоскостях {110}. В [65] были проанализированы закономерности фазовых превращений мартенситного типа на примере кристаллита а-Т с включением Р-фазы системы ТьУ, в которой содержание ванадия (13 ат. %) соответствовало его концентрации в сплаве Т1-6Л1-4У. Результаты исследований показали возможность реализации как прямых в ^ а (в условиях приложенной нагрузки), так и обратных а ^ в (при снятии нагрузки) мартенситных фазовых превращений бинарной системы. При этом в ^ а и а ^ в превращения возможны лишь в тех локальных доменах включений в-фазы, которые обеднены V, являющимся в-стабилизатором.

Как отмечалось выше, существенное ускорение производительности вычислительных систем сделало возможным переход к явному моделированию фрагментов поликристаллических материалов, содержащих от нескольких единиц до нескольких десятков зерен с характерными размерами до нескольких десятков нанометров. В этом направлении в последние годы получены важные результаты, объясняющие атомные механизмы зернограничного проскальзывания, эффекты на-нофрагментации зерен и их рекристаллизации, реализующиеся в условиях механического нагру-жения [76, 77]. Следует отметить, что бикристал-лы, а также различные фрагменты поликристаллов в настоящее время практически вытеснили монокристаллы в качестве объектов исследования

наномасштабного уровня при использовании мо-лекулярно-динамического моделирования. В свою очередь успехи экспериментальных исследований в области наноматериалов вплотную приблизились к возможностям компьютерного моделирования методом молекулярной динамики и сделали возможным использование комплексного подхода исследований, сочетающего возможности теоретических и экспериментальных методов изучения для решения многих фундаментальных и практических задач. Таким образом, современный уровень развития наномасштабного подхода к моделированию материалов делает возможным его применение не только для объяснения конкретных явлений и механизмов, реализующихся на атомном масштабе, но и для прогнозирования поведения и дизайна наномасштабной структуры новых материалов. Последнее определяет ключевую роль наномасштабного моделирования в построении многомасштабных моделей существующих и проектируемых материалов.

3. Дискретная вычислительная мезомеханика

Концепция физической мезомеханики подразумевает важное, а во многих случаях и определяющее влияние границ раздела на макроскопические свойства и механическое поведение твердых тел с многомасштабной структурой. Под такими границами традиционно подразумевают внутренние межзеренные и межфазные границы (интерфейсы), которые обеспечивают связанность структурных элементов и сплошность материала в целом. Однако не менее важное значение имеют и «разрывные» границы — внешние поверхности тел и поверхности внутренних не-сплошностей (пор и трещин). Такие границы могут существовать в исходном состоянии, а также возникать в результате разрушения, вызванного внешними воздействиями. Наиболее сложным в этом отношении является фрикционное контактное взаимодействие поверхностей, сопровождающееся разрушением шероховатостей поверхностей и их адгезией, формированием ансамбля фрагментов, разделяющих поверхности (третьего тела), эволюция которого в конечном итоге определяет изменение поверхностного рельефа и износ поверхностных слоев. Для моделирования сложных процессов разрушения и контактного взаимодействия твердых тел на мезомасштабном уровне (уровень зерен, включений других фаз, гранул сыпучего материала) в 1970-1980-е годы

были предложены различные реализации так называемых дискретных методов. Они базируются на представлении материала как ансамбля взаимодействующих объемов (частиц), ограниченных однозначно определенной поверхностью. Взаимодействующие частицы могут находиться в связанном (наличие химической связи) или несвязанном (контактное взаимодействие с трением) состоянии. Наиболее эффективным для моделирования разрушения материалов, контактного взаимодействия и трения оказался метод дискретных элементов (МДЭ) в формулировке, использующей приближение эквивалентного шара для описания поступательной и вращательной динамики элемента и разделения силы взаимодействия элементов на формально независимые центральную и тангенциальную составляющие [78-81].

На основе этих принципов в ИФПМ СО РАН в 1980-е годы разработана оригинальная реализация метода элементной динамики для численного изучения поведения гранулированных и консолидированных материалов на мезомасштабном уровне [82]. Были предложены соотношения для сил взаимодействия дискретных элементов, моделирующих гранулы сыпучей среды либо зерна поликристалла, и применимые для хрупких и пластичных материалов. Эти соотношения эффективно учитывали особенности интерфейсов взаимодействующих элементов (в том числе сухое или вязкое трение на контакте частиц, а также имитационную модель зернограничного проскальзывания). С использованием развитого формализма была впервые показана ключевая роль коллективных упругих смещений вихревого типа в установлении стационарного режима деформирования материалов с внутренними нарушениями сплошности (порами или трещинами) [25, 83]. Фактически было показано, что эффект увеличения вклада поворотной моды в общую деформацию и явление «фрагментации» (разбиение на области, вовлеченные в согласованные движения вихревого типа) при динамическом нагружении присущи материалу не только на стадии локализованного пластического течения, но уже на стадии упругого отклика и являются следствием наличия внутренних дефектов и неоднородностей. Важным результатом, связанным с описанным выше, являлось также выявленное резкое увеличение углов разворота зерен поликристалла (моделируемых элементами) в области формирования будущей трещины незадолго до момента ее зарождения [25, 83, 84]. Эти результаты стали,

возможно, одним из первых численно полученных подтверждений сформулированной В.Е. Паниным идеи «ограниченный сдвиг в материале рождает поворот».

Процессы деформирования и разрушения могут быть составляющей или движущей силой более сложных термодинамических процессов в материале, включающих фазовые переходы и химические реакции. Известным примером является динамическое нагружение (компактирование) порошковых смесей с экзотермически реагирующими компонентами, инициирующее самоподдерживающуюся химическую реакцию образования продукта [85, 86]. Востребованность изучения подобных мультифизических проблем на мезомас-штабном уровне (уровне частиц) определила разработку гибридного дискретного численного метода, объединяющего формализмы элементной динамики и бистабильных клеточных автоматов и получившего название метода подвижных клеточных автоматов [87]. Для описания фазовых превращений «плавление - кристаллизация» в объеме элемента и образования продукта в парах контактирующих разнородных элементов были разработаны равновесная [87] и неравновесная [88] модели этих процессов. Последняя из них успешно применялась для изучения зарождения и роста, пространственного распределения очагов экзотермической химической реакции в смеси частиц N1 и Л1 при ударно-волновом компактиро-вании.

Несмотря на большие потенциальные возможности метода элементной динамики как инструмента численного изучения условий и динамики накопления повреждений и разрушения твердых тел на мезомасштабном уровне, область его фактического использования ограничивалась хрупкими материалами и гранулированными системами. Это было обусловлено использованием заимствованного в классическом формализме МДЭ приближения недеформируемых элементов и, соответственно, парных потенциалов/сил межэлементного взаимодействия. Решение данной проблемы было впервые предложено в работах С.Г. Псахье, В.Л. Попова и М.А. Чертова [89-91]. Позднее на этой основе развит обобщенный формализм, применимый к различным реализациям метода дискретных элементов и получивший название метода однородно деформируемых дискретных элементов [92, 93]. Он использует приближение однородного распределения напряжений и деформаций в объеме элемента, которое

определяет многочастичную форму соотношений для сил взаимодействия элемента с окружением. Общность формализма нового метода позволила имплементировать сложные реологические модели материалов, включая модели пластического течения металлов, полимеров и горных пород, модель эластомеров на основе рядов Прони, а также их связанные термомеханические обобщения.

Метод однородно деформируемых дискретных элементов стал эффективным инструментом изучения проявлений контактного взаимодействия и трения поверхностей на мезомасштабе и их связи с интегральными характеристиками трения, такими как коэффициент трения. Для численного моделирования сложных процессов в пятнах локального контакта поверхностей были разработаны оригинальные механические модели локального разрушения материала, химической и физической адгезии поверхностей [94, 95].

С использованием развитых моделей были впервые численно исследованы закономерности формирования «трибомутированных» слоев нано-масштабной толщины в пятнах локального контакта трущихся поверхностей и обобщено влияние механических характеристик поверхностного слоя и параметров нагружения на величину коэффициента сухого трения. В данном исследовании была впервые сформулирована и подтверждена гипотеза о том, что коэффициент сухого трения является функцией двух безразмерных параметров, объединяющих материальные характеристики и параметры нагружения. Важнейшим результатом, имеющим фундаментальную значимость и используемым специалистами-трибологами, является аналитический вид данной функции и количественные оценки ее коэффициентов [96, 97].

Не менее значимыми являются результаты изучения условий вовлечения различных механизмов (режимов) износа шероховатостей контактирующих поверхностей в условиях сухого трения. Численное моделирование позволило систематизировать основные механизмы разрушения шероховатостей в зависимости от величины механических характеристик материала поверхностных слоев. Ключевым результатом исследования стало выделение двух безразмерных материальных параметров, которые определяют преимущественную реализацию того или иного механизма износа. В терминах этих переменных построена карта механизмов износа шероховатостей, применимая к пластичным и хрупким материалам, и по-

лучены количественные оценки влияния масштаба шероховатостей [94].

Известно, что интегральные характеристики трения, такие как коэффициент трения и скорость износа, определяются не только режимом износа шероховатостей, но в не меньшей степени и структурой формирующегося интерфейсного слоя (третьего тела). Недавние численные исследования позволили прояснить важные аспекты формирования и взаимодействия структурных элементов третьего тела в металлических парах трения [95]. Были впервые установлены качественные различия развития фрикционного процесса на участках контактной зоны, характеризующихся различной степенью механического стеснения поверхностных слоев. Показано, что в условиях слабого механического стеснения третье тело формируется ансамблем частиц приблизительно равноосной формы (частицами износа), слабо связанных с поверхностями контртел и обеспечивающими низкое значение локального коэффициента трения. В условиях высокого механического стеснения на поверхности контакта формируются хорошо известные в трибологии «клинья»/«носы» (wedges/prows), которые связаны с одной из поверхностей и выполняют роль своеобразного абразива, определяя высокие характерные значения локального коэффициента трения и малые размеры частиц износа. На примере металлических материалов, в которых релаксация напряжений и накопление неупругих деформаций обеспечиваются как традиционными механизмами, так и мар-тенситным фазовым превращением, показано определяющее влияние механических параметров мартенситного превращения на структуру формирующегося третьего тела, стабильность трения и величину коэффициента трения [98].

Управление механическими, включая триболо-гические, свойствами поверхностных слоев материалов на металлической основе достигается не только созданием в них композиционной (метал-локерамической) структуры, но и управлением ее морфологией. Примерами являются формирование градиента концентрации керамических включений методом электронно-лучевой наплавки [99], измельчение керамической компоненты и формирование регулярной ориентированной упаковки частиц высокоэнергетическим импульсным электронно-пучковым облучением поверхности металлокерамики [100]. Для эффективного решения проблемы повышения механических свойств поверхностных слоев композиционного состава

необходимо понимание характера влияния ключевых структурных параметров на эффективные характеристики. Такие исследования, тесно связанные с задачами компьютерного дизайна структуры, проводились с применением метода деформируемых дискретных элементов. Так, на примере алюминиевой бронзы с армирующими частицами B4C проанализированы основные механизмы влияния упрочняющих частиц (в том числе связанные с упрочнением металлической матрицы «дополнительными» геометрически необходимыми дислокациями) и показана роль каждого из них в изменении параметров трения (структуры третьего тела, стабильности и величины коэффициента трения) [101]. В другом исследовании на примере металлокерамического композита NiCr-TiC выявлены ключевые структурные факторы, определяющие повышение комплекса механических свойств поверхностных слоев, модифицированных электронно-пучковым облучением. Показано, что формирование регулярной столбчатой структуры керамических частиц приводит к качественному изменению вида распределения внутренних напряжений в поверхностном слое от дисперсного к каркасному. Интегральные механические свойства поверхностного слоя в этом случае зависят от степени неравноосности керамических включений. Существует оптимальное значение этого параметра, обеспечивающее баланс прочности и вязкости разрушения [102].

Отметим, что мезомасштабное моделирование контактного взаимодействия и трения и связанных с этим процессов неупругого деформирования поверхностных слоев требует знания информации о локальных значениях механических параметров материала, в том числе параметров критериев разрыва и образования химической связи, параметров модели пластичности и т.д. Для получения их количественных оценок эффективно применяется метод молекулярной динамики [103, 104], т.е. реализуется концепция bottom-up многоуровневого моделирования.

Преимущества формализма дискретных элементов при описании разрушения позволяют успешно исследовать актуальные проблемы механики керамических материалов, связанные с влиянием дефектов структуры (пор и внутренних трещин), гранулометрического и фазового состава на макроскопическую прочность и вязкость разрушения. В частности, установлено существование критического значения пористости (порога перколяции), при переходе через который зависи-

мости модуля упругости и прочности керамики от пористости меняют свой характер. Показано, что критическое значение пористости соответствует переходу от ансамбля изолированных пор к связанной (проницаемой) поровой структуре [105]. Детальный анализ влияния различных типов пористости (замкнутой и проницаемой) на эффективные упругие и прочностные характеристики керамик проведен в [106]. Результаты приведенных и связанных с ними исследований используются в том числе в многомасштабных bottom-up моделях спеченных материалов, таких как техническая керамика ZrO2 с бимодальной поровой структурой [107] и промышленные огнеупоры на основе SiO2, в которых интервал характерных размеров зерен и пор составляет 2-3 порядка величины [108]. Построение мезомасштабных моделей спеченных материалов требует получения количественных оценок адгезионной прочности частиц, что может быть осуществлено с использованием наномасштабного моделирования. В работе [109] на примере спеченного интерметаллида Ti-Nb разработана методология определения методом молекулярной динамики адгезионной прочности частиц в зависимости от условий их контакта и температуры синтеза. Полученные значения прочности и площади контакта далее используются в мезомасштабной дискретно-элементной модели спеченного интерметаллида, явно учитывающей межчастичные интерфейсы и поры. Предложенный подход может быть применен к спеченным керамическим и металлическим материалам различного состава.

Отдельного внимания заслуживают работы, посвященные численному изучению поведения проницаемых технических и природных материалов, внутренние полости которых заполнены жидкостью. Важной особенностью механического поведения таких материалов является сильная «чувствительность» механических свойств к скорости нагружения вследствие способности порового флюида перераспределяться в поровом пространстве [110]. Для описания деформации и разрушения таких материалов в широком интервале масштабов разработан формализм проницаемых дискретных элементов, в котором реализованы связанные термогидромеханические модели проницаемых хрупких и пластичных материалов [111]. С их использованием, в частности, построены мезомасштабные модели высокопрочных бетонов, характеризующихся двухмасштабной поро-

вой структурой (капиллярная сеть и микропоры), и даны количественные оценки вкладов каждой из поровых подсистем в изменение динамической прочности водонасыщенных образцов при различных скоростях нагружения [112]. Широкое применение данная реализация метода нашла для изучения напряженно-деформированного состояния твердых тканей и суставных соединений человеческого организма, оценки допустимых значений механических нагрузок на элементы костного скелета, определения областей концентрации опасных напряжений и прогнозирования характера разрушения. Для изучения т 8Шсо твердых тканей человека разработаны и валидирова-ны их многоуровневые компьютерные модели как пороупругих композитов [113]. Модели явно учитывают области кортикальной и губчатой тканей кости, хрящевые ткани, области, подверженные остеопорозным и артритным изменениям, а также имплантаты эндопротезов. С их использованием получены практически важные результаты, включая оценки риска асептической нестабильности (расшатывания) эндопротезов тазобедренного сустава [114, 115] и определение оптимальных для регенерации костных тканей значений параметров ударно-волновой терапии участков опорно-двигательного аппарата человека (тазобедренного [116] и коленного [117, 118] суставов, поясничного отдела позвоночника [119, 120]) при артрите и остеопорозе (рис. 3, а-г). Следует также отметить проведенные на нескольких смежных масштабах численные исследования с целью оценки возможности ускорения остеоинте-грации зубных имплантов механической стимуляцией (рис. 3, д) [121, 122].

Развиваемое в ИФПМ СО РАН направление дискретной вычислительной мезомеханики в настоящее время динамично развивается, а разработанные принципы описания деформируемости дискретных элементов имплементируются другими научными школами в оригинальные мезомас-штабные дискретно-элементные модели гранулированных и консолидированных материалов [123-126].

4. Континуальные подходы мезомеханики с явным учетом структурной неоднородности

Подходы континуальной механики к моделированию деформационного отклика материалов с явным учетом структурной неоднородности позволяют оценить локальные характеристики на-

Рис. 3. Структура (а, в) и распределение гидростатического давления (б, г) в компьютерных моделях сегмента Ь4-Ь5 поясничного отдела позвоночника (а, б) [120] и коленного сустава (в, г) [118] при физиологической нагрузке, а также распределение гидростатического давления в модели остеоцита (основной клетки костных тканей) в межклеточном матрик-се при ударно-волновом воздействии (д) [121] (цветной в онлайн-версии)

пряженно-деформированного состояния, которые могут на порядок величины отличаться от среднего уровня, и описать ряд явлений, связанных с локализацией пластической деформации, концентрацией напряжений и зарождением дефектов на границах раздела, появлением и распространением трещин на рассматриваемом масштабе. Такие подходы предполагают решение краевых задач механики для моделей, в которых свойства материалов и сред являются кусочно-непрерывными функциями координат. Области с одинаковым набором физико-механических характеристик представляют собой структурные элементы рассматриваемого пространственного масштаба. В зави-

симости от типа материала переход через границу раздела связан с изменением физико-механических свойств и/или определяющих соотношений. Вклады механизмов деформации с нижележащих масштабов учитываются через определяющие соотношения, в которые, как правило, входят зависимости текущих физико-механических свойств от истории нагружения, температуры, параметров структуры и т.д. Следует отметить, что в процессе деформирования материал приобретает дополнительную неоднородность свойств, что обусловлено локализацией деформации и концентрацией напряжений вблизи границ раздела. Эффективные свойства материала на макроуровне опреде-

ляются путем осреднения соответствующих характеристик по представительному мезообъему, содержащему достаточное количество структурных элементов для воспроизведения макроскопического отклика. Таким образом, данный подход позволяет с различной степенью детализации учесть вклады механизмов деформации микро-, мезо- и макромасштабных уровней в рамках единой модели.

Первоначально численное моделирование процессов деформации с явным учетом микроструктуры проводилось в двумерном приближении. Для численного решения краевых задач с явным учетом двумерной структуры были адаптированы хорошо известные сеточные методы континуальной механики, включая вариационные [27], конечно-элементные [127] и конечно-разностные методы [128]. В числе первых работ по моделированию композиционных и поликристаллических материалов с явным учетом упрочняющих частиц и геометрии зерен, выполненных в ИФПМ СО РАН, следует отметить работы П.В. Макарова, его коллег и учеников [27, 129-132]. Несмотря на идеализированное описание структурных элементов в двумерном приближении моделирование с явным учетом геометрии структурных элементов обеспечило качественный скачок в описании процессов локализации пластической деформации, концентрации напряжений и зарождения дефектов на границах раздела.

В настоящее время двумерные модели продолжают широко применяться для численного анализа благодаря преимуществам, связанным с возможностями построения моделей по изображениям экспериментальных структур и использованием подробных сеток для аппроксимации границ раздела.

В работе [133] на примере двумерных моделей были исследованы процессы деформации и разрушения в металлокерамических композитах и материалах с покрытиями. Модель, описывающая упругохрупкое поведение упрочняющих частиц и покрытий, была построена на основе энергетического критерия разрушения с учетом зарождения и распространения трещин в локальных областях объемного растяжения. Было показано, что наличие границ раздела сложной геометрии приводит к возникновению сложного напряженно-деформированного состояния, при котором локальные области растяжения образуются как при внешне приложенном растяжении, так и при сжатии. Именно в этих областях происходят за-

рождение и рост трещин, характер которых согласуется с результатами экспериментальных данных. Были выявлены зависимости прочности металлокерамических композитов и материалов с композитными покрытиями от механических свойств и объемной доли матрицы и упрочняющих частиц, толщины покрытия, а также от адгезионных характеристик вдоль интерфейсов. В работе [134] с использованием двумерной мезо-масштабной модели проведено одно из первых исследований металлокерамических композитов, получаемых с использованием аддитивных технологий. На примере перспективного композита Т1№-Т1Б2, синтезированного методом прямого лазерного выращивания, апробирована методика построения представительных модельных мезо-объемов на основе изображений реальных структур. Показана стадийность неупругого поведения образцов металлокерамического композита в условиях сжатия, в том числе формирование полос локализованного сдвига в матрица никелида титана и разрушение отдельных упрочняющих частиц керамики по механизму отрыва в областях, в которых высокие локальные сдвиговые напряжения сочетаются с локальным растяжением. Качественное и количественное соответствие результатов моделирования результатам лабораторных испытаний подтвердило перспективность использования мезомасштабных компьютерных моделей (даже в 2Б-постановке задачи) для прогнозирования поведения дисперсно-упрочненных композиционных материалов в сложных условиях нагру-жения.

Двумерные механические модели успешно применяются и для изучения поведения и прогнозирования макроскопических механических свойств керамических материалов с многомасштабной дефектной структурой. В работах [135, 136] разработана макромасштабная 2Б-модель пористой керамики 2г02, эффективно учитывающая трансформационный механизм неупругого макроскопического отклика материала и неоднородный характер пространственного распределения пор на более низком (мезомасштабном) уровне. Отметим, что для оценки влияния мезомасштабной пористости на макромасштабную неоднородность механических свойств керамики в том числе использовались результаты предшествующего параметрического 3Б-изучения с явным учетом типа поровой структуры [137]. На примере радиального сжатия цилиндрических образцов показано влияние мезомасштабной гетерогенности струк-

туры на макроскопическую локализацию неупругой деформации и дано объяснение экспериментально наблюдаемым закономерностям. Важнейшим результатом исследований является подтверждение тезиса о том, что интегральные характеристики мезомасштабной неоднородности структуры контролируют искривление пути формирующихся трещин, их ветвление и в целом — степень фрагментации образца. Среди проведенных исследований также следует упомянуть недавнюю работу [138], посвященную численному анализу динамики роста внутренних напряжений в процессе остывания спеченных образцов слоистого керамического композита состава 2гБ2-8Ю-2г02, характеризующегося последовательным изменением концентрации 2г02 от слоя к слою. С использованием связанной термомеханической 2Б-модели получено распределение остаточных напряжений по толщине образца и показана возможность применения одномерных аналитических решений для количественной оценки величины и характера распределения остаточных напряжений в керамических материалах с градиентной структурой.

Интенсивное развитие вычислительной техники в совокупности с развитием численных методов и технологий параллельных вычислений привело моделирование деформационных процессов с явным учетом структурной неоднородности на качественно новый уровень, открыв возможности для решения задач в трехмерной постановке. Одним из первых примеров трехмерного моделирования материалов композиционного состава и поликристаллов является работа [131]. Однако полноценный переход к трехмерному компьютерному моделированию гетерогенных материалов и определению их эффективных механических свойств произошел только в 2010-е годы. Следует отметить, что несмотря на наличие технических возможностей прямое трехмерное моделирование поведения структурно-неоднородных материалов до сих пор остается нетривиальной задачей. Одной из ключевых проблем является построение трехмерных геометрических моделей микроструктур, статистически эквивалентных микроструктуре реальных материалов или повторяющих ее [137, 139].

Создание наиболее реалистичных трехмерных моделей микроструктур возможно на основе данных послойного сканирования, компьютерной томографии и других экспериментальных методов, которые, как правило, являются крайне трудоза-

тратными и дорогостоящими. Альтернативой являются методы компьютерного дизайна, среди которых можно выделить имитационные, геометрические, физически обоснованные методы и их комбинацию (см., например, обзор [139]). К первой группе относится хорошо известный метод клеточных автоматов. Среди геометрических методов моделирования поликристаллических агрегатов наиболее распространенным является метод мозаики Вороного и его модификации. К методам, основанным на применении термодинамических моделей кристаллизации, рекристаллизации, миграции границ и других физических явлений относятся, например, методы Монте Карло и фазового поля. Известны также гибридные методы, сочетающие применение физических моделей с элементами имитационного моделирования. К ним относятся методы CAFD (cellular automata finite difference) и CAFE (cellular automata finite element), предложенные в [140, 141] для моделирования кристаллизации и эволюции зеренной структуры в процессе 3D-печати (рис. 4, а). В [143] для моделирования трехмерных структур поликристаллических и композиционных материалов был предложен метод пошагового заполнения, основанный на комбинации аналитических геометрических законов и приемов имитационного моделирования. С помощью варьирования начального распределения и законов роста «зародышей» структурных элементов и применения различных булевских операторов для постобработки метод позволяет генерировать трехмерные структуры с заданными морфологическими особенностями структурных элементов, характерных для различных материалов [144] (рис. 4, в). Среди методов генерации трехмерных структур композитов с упрочняющими частицами сложной формы следует упомянуть метод 3D-видеофиксации поверхности природных камней [142], который основан на предположении о масштабной инвариантности процесса механического дробления. Для воспроизведения структуры композитов с упрочняющими керамическими частицами нерегулярной формы микронного размера были использованы трехмерные геометрические модели камней щебня (рис. 4, б).

На сегодняшний день работы по явному моделированию деформационных процессов с явным учетом трехмерной структуры широко представлены в литературе для различных материалов. Во многих работах результаты трехмерного моделирования подтверждают и уточняют выводы, сде-

Рис. 4. Примеры модельных микроструктур, сгенерированных методами CAFE [141] (а), ЗБ-видеофиксации поверхности [142] (б) и пошагового заполнения [143] (в) (цветной в онлайн-версии)

ланные ранее на двумерных моделях. Например, в [133] на двумерной модели металлокерамичес-кого композита было показано, что трещины в упрочняющих частицах имеют тенденцию к распространению вдоль оси растяжения и поперек оси сжатия. Аналогичные выводы были сделаны на трехмерных моделях, где было показано, что форма включений и прочностные свойства интерфейсов оказывают определяющее влияние на смену механизмов разрушения — отслоение по границе матрица/включение или растрескивание частиц [145]. Было показано, что разрушение частиц начинается позже в композитах с более пластичными матрицами. При этом доминирующим становится механизм разрушения по границам частиц, а растрескивание подавляется. В [146] были исследованы особенности формирования и эво-

люции остаточных напряжений, возникающих при охлаждении и последующем механическом нагружении металлокерамических композитов с поликристаллической матрицей. Было установлено, что после охлаждения композита керамические частицы находятся в условиях объемного сжатия, а в матрице наблюдается сложное напряженно-деформированное состояние, включая области растяжения, сжатия, а также чистого сдвига (рис. 5, а) [142, 146]. При дальнейшем механическом растяжении остаточные сжимающие напряжения противодействуют растягивающим нагрузкам и таким образом могут играть положительную роль, повышая прочность композита на начальных стадиях деформирования.

С использованием трехмерных моделей появились новые возможности описания эффектов и

Рис. 5. Примеры численных расчетов: распределение давления (МПа) в керамической частице и металлической матрице после охлаждения композита от 350 до 23 °С [142] (а); деформационный рельеф в исходном и поверхностно-модифицированном титане [147] (б) (цветной в онлайн-версии)

явлений, трехмерных по своей природе. В работах [148, 149] были численно исследованы закономерности формирования и развития мезоскопи-ческого деформационного рельефа на поверхности трехмерных модельных образцов поликристаллических алюминиевых и титановых сплавов в условиях одноосного растяжения. Определяющие соотношения для описания деформационного поведения зерен были построены в рамках физической теории пластичности, с учетом геометрических особенностей дислокационного скольжения и анизотропии упругих свойств на уровне кристаллической решетки. Такая постановка задачи поз-

волила исследовать индивидуальное и комбинированное влияние размера, формы и кристаллографической ориентации зерен на особенности локализации пластической деформации на поверхности и в объеме поликристаллов и характеристики деформационного рельефа [147-149]. Численный анализ механизмов возникновения рельефных образований показал, что деформационный рельеф является результатом неоднородного напряженно-деформированного состояния в объеме, обусловленного наличием зеренной структуры. Компоненты тензоров напряжений и деформаций, действующие в поперечном направле-

нии к плоскости поверхности вносят ощутимый вклад в напряженно-деформированное состояние на микро- и мезоуровнях. Соответствующие положительные и отрицательные поперечные смещения в поверхностном слое приводят к рельефным образованиям в виде возвышений и впадин. На примере моделей поверхностно-модифицированного титана было показано, что одновременное измельчение зерна и текстурирование поверхностных слоев приводят к эффективному подавлению деформационного рельефа на микро- и ме-зоуровнях (рис. 5, б) [147].

Сегодня развитие подходов численного анализа с явным учетом структурных особенностей приобрело особое значение в связи с появлением широкого спектра аддитивных технологий, поз-

воляющих конструировать и изготавливать металлические и композиционные материалы со сложной иерархически организованной структурой [150, 151]. Прогноз механических свойств таких материалов и изделий невозможен без анализа механизмов деформации и разрушения на разных масштабных уровнях. В работе [152] многоуровневое моделирование было проведено для алюминий-кремниевого сплава, изготовленного электронно-лучевой проволочной печатью, в рамках bottom-up и top-down подходов. Первый подход заключался в последовательном решении прямых задач на разных масштабах — фрагментов эвтектики и дендритных структур. Эффективные характеристики, полученные путем осреднения свойств по фрагменту эвтектики, использова-

Рис. 6. Двухуровневая модель эвтектического силумина [152] (цветной в онлайн-версии)

лись для задания свойств эвтектического каркаса на масштабе дендритов (рис. 6). В рамках второго подхода решалась обратная задача определения свойств компонентов структуры из решения серии прямых задач и сравнения с экспериментальными данными на разных масштабах, начиная с макроуровня. Влияние формы зерен и текстуры на характеристики напряженно-деформированного состояния в силумине, изготовленном методом селективного лазерного плавления, было численно исследовано в [153, 154] на структурах, сгенерированных методом пошагового заполнения. Было выявлено существенное влияние характеристик зеренной структуры и текстуры в лазерных треках и слоях аддитивного металла на поля напряжений и локализацию пластической деформаций на микро-, мезо- и макроуровнях.

В [140] был разработан интегрированный подход компьютерного моделирования, включающий расчет эволюции зеренной структуры в процессе селективного лазерного плавления и последующий анализ деформационного поведения полученных структур на мезо- и макромасштабных уровнях. Преимуществом разработанного подхода является возможность компьютерного моделирования полной цепочки «технология - структура - свойства - деформационное поведение». В рамках предложенного подхода эволюция зерен-ной структуры в процессе селективного лазерного плавления моделируется с учетом термических циклов плавления и кристаллизации в лазерных треках под действием сканирующего луча и циклического нагрева и охлаждения при нанесении последующих слоев. На следующем этапе численно исследуются механические свойства и деформационное поведение смоделированных структур в условиях нагружения.

В [141] данный подход был применен для моделирования структуры сплава AlSi10Mg и последующего расчета напряженно-деформированного состояния в модельных структурах на микро-, ме-зо- и макроуровнях при растяжении в различных направлениях. Анализ выявил существенную неоднородность напряженно-деформированного состояния и анизотропию механических свойств, связанную с различной ориентацией зерен в центральных и боковых частях треков. В [155] аналогичный подход был применен для моделирования и прогнозирования структуры и упругих свойств образцов стали 316Ь, изготовленных селективным лазерным плавлением с использованием различных стратегий сканирования. Была продемон-

стрирована возможность управления структурой и снижения анизотропии упругих свойств напечатанного материала путем изменения траектории движения лазерного луча.

В последнее десятилетие в ИФПМ СО РАН интенсивно развивается направление, связанное с компьютерным моделированием на различных структурных масштабах, структурным дизайном и прогнозированием комплекса функциональных свойств полимерных композиционных материалов на основе термореактивных и термопластичных матриц. Для решения таких задач предложен и апробирован обобщенный подход, позволяющий на основе данных о физико-механических свойствах, концентрации и геометрических параметрах компонентов прогнозировать значения макроскопических механических (упругие модули, пределы упругости и прочности), тепло- и электрофизических характеристик дисперсно-наполненных полимерных композитов [156]. С использованием развитого подхода, в частности, решена задача оптимизации мезомасштабной структуры композита на основе матрицы сверхвысокомолекулярного полиэтилена, армированной стекловолокном [157]. В качестве управляющих параметров мезоструктуры рассмотрены характерные значения размера частиц сверхвысокомолекулярного полиэтилена, длины армирующих волокон и прочности адгезии включений к матрице. Определена замкнутая трехмерная область в пространстве управляющих параметров мезоструктуры, в пределах которой обеспечивается достижение заданных значений макроскопических механических свойств композита (жесткости и ударной вязкости). В работе [158] решена аналогичная задача оптимизации мезомасштабной структуры полимерных композитов с термопластичными матрицами на основе полиэфирэфиркетона и полифени-ленсульфида с целью достижения требуемой износостойкости в парах трения с металлическим контртелом. С использованием связанной термо-механо-электрофизической модели проведено исследование распределения и величины локальных деформаций и напряжений и температуры в электропроводящих композитах на полимерной основе в условиях действия постоянного электрического тока, что актуально для оценки условий возникновения термически индуцированных трещин [159]. Для решения задач оптимизации состава и структуры, помимо традиционных методов с использованием целевых функций также активно применяются искусственные нейросети. В работе

[160] данный передовой подход апробирован для оптимизации параметров ультразвуковой консолидации нахлесточных соединений в слоистых тканевых композитах с полиэфиримидным клеем в качестве связующего.

5. Заключение

Представления об иерархической организации материалов, лежащие в основе концепции физической мезомеханики, определили вектор развития и современный уровень вычислительной механики деформируемого твердого тела в ИФПМ СО РАН. Среди них можно отметить следующие, оказавшие наиболее значимое влияние:

1) понимание ограниченности феноменологических моделей неупругого деформирования материалов для прогнозирования их поведения в сложных условиях нагружения и решения задач дизайна внутренней структуры;

2) понимание невозможности использования результатов непосредственного изучения нано- и микромасштабных механизмов деформации для построения макромасштабной механической модели материала, поскольку коллективное влияние дефектов на механический отклик определяется особенностями структуры на промежуточных структурных уровнях;

3) понимание определяющей роли интерфейсов в механическом поведении материала на всех структурных уровнях и необходимости учета границ раздела в механических моделях как отдельных структурных элементов с собственными физико-механическими свойствами.

Эти представления определили отличительные особенности вычислительной механики материалов с иерархической структурой:

- направленность атомистического (МД) моделирования на изучение процессов вблизи межзе-ренных и межфазных границ (в том числе на изучение формирования границ раздела и их функционирование как источника и стока дефектов кристаллической решетки);

- появление структурной иерархии континуальных компьютерных моделей материалов (микро-, мезо- и макромасштабные), различающихся не только пространственными параметрами структурных элементов, но и моделями поведения этих элементов, которые учитывают определяющие механизмы деформации на конкретном структурном уровне;

- развитие «дискретного» направления (метода частиц) для изучения на мезоскопическом

уровне структуры сложных процессов разрушения и контактного взаимодействия тел; успехи данного направления в значительной степени связаны с применением физически обоснованных мезомасштабных моделей поведения материалов, разработанных для континуальных методов;

- развитие методологии многомасштабного моделирования на основе последовательных переходов bottom-up между структурными уровнями для определения эффективных свойств и прогнозирования макроскопического поведения материалов с иерархической структурой.

Современные средства численного моделирования и развитые модели поведения материалов на различных масштабах позволили приблизиться к реализации многомасштабного моделирования всей последовательности «технология - структура - свойства - деформационное поведение» (т.е. к реализации полноценного цифрового двойника). Однако несмотря на значительный прогресс, достигнутый в каждой отдельной области моделирования, идея воспроизведения полного цикла компьютерного дизайна и виртуального тестирования материалов в рамках многоуровневого подхода по-прежнему остается нереализованной. Это обусловлено рядом фундаментальных и технических проблем, включая отсутствие единой физической теории и математического аппарата перехода между различными масштабными уровнями, необходимость разработки алгоритмов и программных средств для обмена информацией между различными пакетами прикладных программ. Эти и другие задачи требуют объединения усилий компетентных специалистов в области математики, термодинамики, механики деформируемого твердого тела, физики пластичности и прочности, материаловедения, металлургии и вычислительных технологий.

Финансирование

Обзор выполнен в рамках государственного задания ИФПМ СО РАН, темы номер FWRW-2021-0002 и FWRW-2021-0006. Результаты, приведенные в разделе 4, частично получены в рамках проектов Российского научного фонда № 2019-00600 (рис. 5, б) и № 23-11-00222 (рис. 6).

Литература

1. Glatt M., Sinnwell C., Yi L., Donohoe S., Ravani B.,

Aurich J.C. Modeling and implementation of a digital

twin of material flows based on physics simulation // J.

Manuf. Syst. - 2021. - V. 58. - P. 231-245. - https:// doi.org/10.1016/j.jmsy.2020.04.015

2. Monostori L., Kadar B., Bauernhansl T., Kondoh S., Kumara S., Reinhart G., Sauer O., Schuh G., Sihn W., Ueda K. Cyber-physical systems in manufacturing // CIRP Ann. Manuf. Technol. - 2016. - V. 65. - P. 621641. - https://doi.org/10.1016/j.cirp.2016.06.005

3. Gil Y., Selman B. A 20-year Community Roadmap for Artificial Intelligence Research in the US. - 2019. -URL: https://arxiv.org/abs/1908.02624 (дата обращения 2024-04-03)

4. Basic Research Needs for Transformative Manufacturing (Report). - United States: USDOE Office of Science, 2020. - URL: https://www.osti.gov/biblio/ 1618267 (дата обращения 2023-12-08)

5. Singh V., Willcox K.E. Engineering design with digital thread // AIAA J. - 2018. - V. 56. - P. 4515-4528. -https://doi.org/10.2514/1J057255

6. Margaria T., Schieweck A. The Digital Thread in Industry 4.0 // International Conference on Integrated Formal Methods. - Cham: Springer, 2019. - P. 3-24. -https://doi.org/10.1007/978-3-030-34968-4_1

7. Kalidindi S.R., Buzzy M., Boyce B.L., Dingreville R. Digital twins for materials // Front. Mater. - 2022. -V. 9. - P. 818535. - https://doi.org/10.3389/fmats. 2022.818535

8. Tao F., ZhangM., Liu Y., Nee A.Y.C. Digital twin driven prognostics and health management for complex equipment // Cirp. Ann. - 2018. - V. 67(1). - P. 169172. - https://doi.org/10.1016/j.cirp.2018.04.055

9. Xie R., Chen M., Liu W., Jian H., Shi Y. Digital twin technologies for turbomachinery in a life cycle perspective: A review // Sustainability. - 2021. - V. 13. -P. 2495. - https://doi.org/10.3390/su13052495

10. Digital Twins // Helmholts-Zentrum Hereon, 2023. -URL: https://www.hereon.de/central_units/joint_lab_ materials_design/digital_twin/index.php.en (дата обращения 2024-04-03)

11. Xiao H., He L., Li J., Zou C., Shao C. Permeability prediction for porous sandstone using digital twin modeling technology and lattice Boltzmann method // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. - 2021. - V. 142. - Article 104695. - https://doi.org/10.1016/jijrmms.2021. 104695

12. Balcewicz M., Siegert M., Gurris M., Ruf M., Krach D., Steeb H., Saenger E.H. Digital rock physics: A geological driven workflow for the segmentation of anisotropic Ruhr sandstone // Front. Earth Sci. -2021. - V. 9. - Article 673753. https://doi.org/10. 3389/feart.2021.673753

13. Fu. Y., Zhu G., Zhu M., Xuan F. Digital twin for integration of design-manufacturing-maintenance: An overview // Chin. J. Mech. Eng. - 2022. - V. 35. - Article 80. - https://doi.org/10.1186/s10033-022-00760-x

14. Wagg D.J., Worden K., Barthorpe R.J, Gardner P. Digital twins: State-of-the-art future directions for model

ling and simulation in engineering dynamics applications // ASCE-ASME J. Risk Uncertain. Eng. Syst. B. Mech. Eng. - 2020. - V. 6. - Article 030901. - https:// doi.org/10.1115/1.4046739

15. Elmasry A., Azoti W., El-Safty S.A., Elmarakbi A. A comparative review of multiscale models for effective properties of nano- and micro-composites // Progr. Mater. Sci. - 2023. - V. 132. - Article 101022. -https://doi.org/10.1016/j.pmatsci.2022.101022

16. Antin K.-N., Laukkanen A., Andersson T., Smyl D., Vi-laca P. A multiscale modelling approach for estimating the effect of defects in unidirectional carbon fiber reinforced polymer composites // Materials. - 2019. -V. 12. - No. 12. - Article 1885. - https://doi.org/10. 3390/ma12121885

17. Guo F.L., Huang P., Li Q.-Y., Hu N., Fu S.-Y. Multi-scale modeling of mechanical behaviors of carbon fiber reinforced epoxy composites subjected to hygro-thermal aging // Compos. Struct. - 2021. - V. 256. -Article 113098. - https://doi.org/10.1016/j.compstruct. 2020.113098

18. Greminger M., Haghiashtiani G. Multiscale modeling of PVDF matrix carbon fiber composites // Model. Simul. Mater. Sci. Eng. - 2017. - V. 25. - No. 4. - Article 045007. - https://doi.org/10.1088/1361-651X/ aa6a8a

19. Moheimani R., Sarayloo R., Dalir H. Failure study of fiber/epoxy composite laminate interface using cohesive multiscale model // Adv. Compos. Lett. - 2020. -V. 29. - P. 1-19. - https://doi.org/10.1177/2633366 X20910157

20. Massarwa E., Aboudi J., Haj-Ali R. A multiscale modeling for failure predictions of fiber reinforced composite laminates // Compos. B. Eng. - 2019. -V. 175. - Article 107166. - https://doi.org/10.1016/ j.compositesb.2019.107166

21. Vassaux M., Sinclair R.C., Richardson R.A., Suter J.L., Coveney P.V. Toward high fidelity materials property prediction from multiscale modeling and simulation // Adv. Theor. Simul. - 2020. - V. 3(1). - Article 1900122. - https://doi.org/10.1002/adts.201900122

22. Oskay C. 13. Multiscale Modeling of the Response and Life Prediction of Composite Materials // Woodhead Publishing Series in Composites Science and Engineering: Numerical Modelling of Failure in Advanced Composite Materials / Ed. by P.P. Camanho, S.R. Hal-lett. - Woodhead Publishing, 2015. - P. 351-375. -https://doi.org/10.1016/B978-0-08-100332-9.00013-X

23. Трусов П.В., Швейкин А.И., Кондратьев Н.С., Янц А.Ю. Многоуровневые модели в физической мезомеханике металлов и сплавов: результаты и перспективы // Физ. мезомех. - 2020. - Т. 23. -№ 6. - С. 33-62. - https://doi.org/10.24411/1683-805X-2020-16003

24. Trusov P.V. Classical and multi-level constitutive models for describing the behavior of metals and alloys:

Problems and prospects (as a matter for discussion) // Mech. Solids. - 2021. - V. 56. - P. 55-64. - https:// doi.org/10.3103/S002565442101012X

25. Панин В.Е., Лихачев В.А., Гриняев Ю.В. Структурные уровни деформации твердых тел. - Новосибирск: Наука. Сиб. отд., 1985.

26. Структурные уровни пластической деформации и разрушения / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука. Сиб. отд., 1990.

27. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2-х т. / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995.

28. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Псахье С.Г. Физическая мезомеханика: достижения за два десятилетия развития, проблемы и перспективы // Физ. мезомех. -2004. - Т. 7. - Спец. вып. - Ч. 1. - С. I-25-I-40.

29. Гриняев Ю.В., Псахье С.Г., Чертова Н.В. Фазовое пространство деформируемых тел // Физ. мезо-мех. - 2008. - Т. 11. - № 3. - C. 37-43.

30. Панин В.Е., Егорушкин В.Е. Основы физической мезомеханики пластической деформации и разрушения твердых тел как нелинейных иерархически организованных систем // Физ. мезомех. - 2015. -Т. 18. - № 5. - С. 100-113. - https://doi.org/10. 24411/1683-805X-2015-00058

31. Егорушкин В.Е., Панин В.Е., Панин А.В. О физической природе пластичности // Физ. мезомех. -2020. - Т. 23. - № 2. - С. 5-14. - https://doi.org/10. 24411/1683-805X-2020-12001

32. Otrokov M.M., Klimovskikh I.I., Bentmann H., Estyu-nin D., Zeugner A., Aliev Z.S., Gaß S., Wolter A.U.B., Koroleva A.V., Shikin A.M., Blanco-Rey M., Hoffmann M., Rusinov I.P., Vyazovskaya A.Yu., Ereme-ev S.V., Koroteev Yu.M., Kuznetsov V.M., Freyse F., Sánchez-Barriga J., Amiraslanov I.R., Babanly M.B., Mamedov N.T., Abdullayev N.A., Zverev V.N., Alfon-sov A., Kataev V., Büchner B., Schwier E.F., Kumar S., Kimura A., Petaccia L., Di Santo G., Vidal R.C., Schatz S., Kißner K., Ünzelmann M., Min C.H., Moser S., Peixoto T.R.F., Reinert F., Ernst A., Echeni-que P.M., Isaeva A., Chulkov E.V. Prediction and observation of an antiferromagnetic topological insulator // Nature. - 2019. - V. 576. - P. 416-422. - https:// doi.org/10.1038/s41586-019-1840-9

33. Shikin A.M., Estyunin D.A., Klimovskikh I.I., Fil-nov S.O., Schwier E.F., Kumar S., Miyamoto K., Oku-da T., Kimura A., Kur oda K., Yaji K., Shin S., Take-da Y., Saitoh Y., Aliev Z.S., Mamedov N.T., Amiraslanov I.R., Babanly M.B.,. Otrokov M.M, Eremeev S.V., Chulkov E. V. Nature of the Dirac gap modulation and surface magnetic interaction in axion antiferromagnetic topological insulator MnBi2Te4 // Sci. Rep. -2020. - V. 10. - Article 13226. - https://doi.org/10. 1038/s41598-020-70089-9

34. Klimovskikh I.I., Otrokov M.M., Estyunin D., Ereme-ev S.V., Filnov S.O., Koroleva A., Shevchenko E., Vo-roshnin V., Rybkin A.G., Rusinov I.P., Blanco-Rey M.,

Hoffmann M., Aliev Z.S., Babanly M.B., Amiraslanov I.R., Abdullayev N.A., Zverev V.N., Kimura A., Te-reshchenko O.E., Kokk K.A., Petaccia L., Di Santo G., Ernst A., Eckenique P.M., Mamedov N.T., Shikin A.M., Chulkov E. V. Tunable 3D/2D magnetism in the (MnBi2Te4)(Bi2Te3)m topological insulators family // npj Quantum Mater. - 2020. - V. 5. - Article 54. -https://doi.org/10.1038/s41535-020-00255-9

35. Eremeev S.V., Rusinov I.P., Koroteev Yu.M. Topological magnetic materials of the (MnSb2Te4)(Sb2Te3)n Van der Waals compounds family // J. Phys. Chem. Lett. - 2021. - V. 12. - P. 4268-4277. - https://doi. org/10.1021/acs.jpclett.1c00875

36. Kim T.K., Pervakov K.S., Evtushinsky D.V., Jung S.W., Poelchen G., Kummer K., Vlasenko V.A., Sada-kovA.V., Usoltsev A.S., Pudalov V.M., Roditchev D., Stolyarov V.S., Vyalikh D.V., Borisov V., Valenti R., Ernst A., Eremeev S.V., Chulkov E.V. Electronic structure and coexistence of superconductivity with magnetism in RbEuFe4As4 // Phys. Rev. B. - 2021. -V. 103. - Article 174517. - https://doi.org/10.1103/ PhysRevB.103.174517

37. Bakulin A.V., Kulkov S.S., Kulkova S.E. Adhesion properties of clean and doped Ti3Al/Al2O3 interface // Appl. Surf. Sci. - 2021. - V. 536. - Article 147639. -https://doi.org/10.1016/j.apsusc.2020.147639

38. Bakulin A.V., Kulkov S.S., Kulkova S.E. Diffusion properties of oxygen in the a2-Ti3Al alloy // Intermetal-lics. - 2021. - V. 137. - Article 107281. - https://doi. org/10.1016/j.intermet.2021.107281

39. Bakulin A.V., Chumakova L.S., Kasparyan S.O., Kulkova S.E. Impurity combination effect on oxygen absorption in a2-Ti3Al // Metals. - 2022. - V. 12. - Article 650. - https://doi.org/10.3390/met12040650

40. Bakulin A.V., Kulkov A.S., Kulkova S.E. Influence of impurities on adhesion at the TiAl/Al2O3 interface // J. Exp. Theor. Phys. - 2023. - V. 137. - P. 362-371. -https://doi.org/10.1134/S1063776123090030

41. Povoroznyuk S.N., Bobenko N.G., Egorushkin V.E., Korusenko P.M., Melnikova N.V., Nesov S.N., Pono-marev A.N., Povoroznyuk S.N. Experimental and theoretical study of electronic structure of disordered MWCNTs // Carbon. - 2019. - V. 153. - P. 40-51. -https://doi.org/10.1016/j. carbon.2019.06.104

42. Ponomarev A., Egorushkin V., Bobenko N., Barabash-ko M., Rezvanova A., Belosludtseva A. On the possible nature of armchair-zigzag structure formation and heat capacity decrease in MWCNTs // Materials. - 2022. -V. 15. - Article 518. - https://doi.org/10.3390/ma15 020518

43. Bobenko N., Egorushkin V., Ponomarev A. Hysteresis in heat capacity of MWCNTs caused by interface behavior // Nanomaterials. - 2022. - V. 12. - Article 3139. - https://doi.org/10.3390/nano12183139

44. Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике. В 2-х т. - М.: Мир, 1990.

45. Псахье С.Г., Сараев Д.Ю., Коростелев С.Ю. О тонкой структуре фронта распространения возмущений при импульсном локальном разогреве в одномерной решетке // ПЖТФ. - 1994. - № 2. - С. 40-43.

46. Psakhie S.G., Dmitriev A.I. Influence of point defects in the problem of the stability of two-dimensional atomic lattices // Tech. Phys. Lett. - 1994. - V. 20. -P. 298-299.

47. Псахье С.Г., Дмитриев А.И. О возникновении динамических вихревых структур при высокоскоростной деформации материала с системой микропор // ЖТФ. - 1994. - Т. 64. - № 8. - С. 186-190.

48. Псахье С.Г., Зольников К.П. О возможности вихревого механизма перемещения границ зерен при высокоскоростном сдвиговом нагружении // ФГВ. -1998. - Т. 34. - № 3. - С. 126-128.

49. Psakh'e S.G., Zol'nikov K.P. Anomalously high rate of grain boundary displacement under fast shear loading // Tech. Phys. Lett. - 1997. - V. 23 - P. 555-556. -https://doi.org/10.1134/L1261742

50. Psakhie S.G., Korostelev S.Yu., Negreskul S.I., Zolni-kov K.P., Wang Zh., Li Sh. Vortex mechanism of plastic deformation of grain boundaries. Computer simulation // Phys. Stat. Sol. (b). - 1993. - V. 176. - K41. -https://doi.org/10.1002/pssb.2221760227

51. Korostelev S.Yu., Psakhe S.G. Panin V.E. A molecular-dynamical study of the changes in the atomic structure of a material induced by shock wave with distorted front // Phys. Stat. Sol. (b). - 1988. - V. 148. -P. 483-488. - https://doi.org/10.1002/pssb.2221480205

52. Psakhie S.G., Zolnikov K.P., Kadyrov R.I., Rudens-kii G.E., Vassiliev S.A., Sharkeev Yu.P. About nonlinear mechanism of energy transformation at ion implantation // J. Mater. Sci. Technol. - 1999. - V. 15. -P. 581-582.

53. Псахье С.Г., Зольников К.П., Кадыров Р.И., Руденс-кий Г. Е., Шаркеев Ю.П., Кузнецов В.М. О возможности формирования солитонообразных импульсов при ионной имплантации // ПЖТФ. - 1999. -Т. 25. - № 6. - С. 7-12.

54. Psakh'e S.G., Saraev D.Yu., Zol'nikov K.P. Interaction of solitary waves in materials containing atomic structural defects // Tech. Phys. Lett. - 1996. - V. 22. -P. 389-390.

55. Psakhie S.G., Zolnikov K.P., Saraev D.Yu. Dissipation of solitary waves in aluminum with grain boundary // J. Mater. Sci. Technol. - 1998. - V. 14. - P. 475-477.

56. Psakh'e S.G., Zol'nikov K.P., Kadyrov R.I., Rudens-kii G.E., Saraev D.Yu. Interaction of solitary pulses produced by high-rate loading with a free surface // Combust. Explos. Shock Waves. - 1999. - V. 35. -P. 450-452. - https://doi.org/10.1007/BF02674483

57. Plimpton S. Fast parallel algorithms for short-range molecular dynamics // J. Comput. Phys. - 1995. -V. 117. - P. 1-19. - https://doi.org/10.1006/jcph.1995. 1039

58. Sayle R., Milner-White E.J. RasMol: Biomolecular graphics for all // Trends Biochem. Sci. - 1995. -V. 20. - P. 374-376. - https://doi.org/10.1016/S0968-0004(00)89080-5

59. Stukowski A. Visualization and analysis of atomistic simulation data with OVITO—The Open Visualization Tool // Model. Simul. Mater. Sci. Eng. - 2010. -V. 18. - Article 015012. - https://doi.org/10.1088/ 0965-0393/18/1/015012

60. Фортов В.Е., Храпак А.Г., Храпак С.А., Молотков В.И., Петров О.Ф. Пылевая плазма // УФН. -2004. - Т. 174. - № 5 - С. 495-544. - https://doi.org/ 10.3367/UFNr.0174.200405b.0495

61. Псахье С.Г., Зольников К.П., Абдрашитов А.В. Исследование отклика кулоновского шара заряженных пылевых частиц на внешние воздействия // ПЖТФ. - 2009. - № 3. - С. 46-52.

62. Psakhie S.G., Zolnikov K.P., Skorentsev L.F., Kryzhe-vich D.S., Abdrashitov A.V. Structural features of bi-component dust Coulomb balls formed by the superposition of fields of different origin in plasma // Phys. Plasmas. - 2008. - V. 15. - Article 053701. - https:// doi.org/10.1063/1.2912447

63. DmitrievA.I., Nikonov A.Y. Molecular-dynamic study of the interfacial zone of dissimilar metals under compression and shear // Russ. Phys. J. - 2023. - V. 66. - P. 191198. - https://doi.org/10.1007/s11182-023-02926-z

64. Psakhie S.G., Zolnikov K.P., Kryzhevich D.S., Korchu-ganovA.V. Key role of excess atomic volume in structural rearrangements at the front of moving partial dislocations in copper nanocrystals // Sci. Rep. - 2019. -V. 9. - Article 3867. - https://doi.org/10.1038/s41598-019-40409-9

65. Shugurov A.R., Panin A.V., Dmitriev A.I., Nikonov A.Y. Recovery of scratch grooves in Ti-6Al-4V alloy caused by reversible phase transformations // Metals. - 2020. - V. 10. - Article 1332. - https://doi.org/ 10.3390/met10101332

66. Дмитриев А.И., Никонов А.Ю., Псахье С.Г. Атомистический механизм зернограничного проскальзывания на примере большеугловой границы Е = 5. Молекулярно-динамический расчет // Физ. мезо-мех. - 2010. - Т. 13. - № 4. - С.15-24.

67. Дмитриев А.И., Никонов А.Ю. Моделирование поведения границы зерен Е5 при комбинировании термического и сдвигового внешнего воздействия // ПЖТФ. - 2013. - Т. 39. - № 15. - С. 86-94.

68. DmitrievA.I., NikonovA.Yu. Features of the E5 and E9 grain boundaries migration in BCC and FCC metals under shear loading—A molecular dynamics study // Facta Univ. Mech. Eng. - 2017. - V. 15. - P. 285294. - https://doi.org/10.22190/FUME170512008D

69. Дмитриев А.И., Никонов А.Ю. Моделирование взаимодействия двух симметричных межзеренных границ в условиях сдвиговой деформации // ПЖТФ. - 2011. - Т. 37. - № 18. - С. 87-94.

70. Zolnikov K.P., Kryzhevich D.S., Korchuganov A.V. Structural transformations in the grain boundary region of nanocrystalline metals under mechanical loading // Russ. Phys. J. - 2019. - V. 62. - P. 1357-1362. -https://doi.org/10.1007/s11182-019-01855-0

71. Dmitriev A.I., Nikonov A.Y., Shugurov A.R., Pa-nin A.V. Numerical study of atomic scale deformation mechanisms of Ti grains with different crystallogra-phic orientation subjected to scratch testing // Appl. Surf. Sci. - 2019. - V. 471. - P. 318-327. - https:// doi.org/10.1016/j.apsusc.2018.12.021

72. Dmitriev А.1., Nikonov A.Yu., Shugurov A.R., Pa-ninA.V. Molecular dynamics study of dislocation-twin boundary interaction in titanium subjected to scratching // Mater. Sci. Eng. A. - 2021. - V. 800. - Article 140327. - https://doi.org/10.1016/j.msea.2020. 140327

73. Zheng H., Cao A., Weinberger C.R., Huang J.Y., Du K., Wang J., Ma Y., Xia Y., Mao S.X. Discrete plasticity in sub-10-nm-sized gold crystals // Nat. Commun. - 2010. - V. 1. - Article 144. - https://doi.org/ 10.1038/ncomms1149

74. Дмитриев А.И., Псахье С.Г. О роли избыточного объема в нагруженном кристалле на стадии зарождения пластической деформации в приповерхностных областях // ПЖТФ. - 2006. - Т. 32. - № 15. -С. 40-44.

75. Korchuganov A., Kryzhevich D., Zolnikov K. Deformation behavior of two-phase gradient nanograined Fe95Ni5 alloys under different types of loading // Metals. - 2022. - V. 12. - Article 1492. - https://doi.org/ 10.3390/met12091492

76. Дмитриев А.И., Никонов А.Ю., Шугуров А.Р., Панин А.В. Роль границ зерен в развитии поворотных мод деформации поликристаллического титана при скретч-тестировании // Физ. мезомех. - 2019. -Т. 22. - № 3. - С. 25-35. - https://doi.org/10.24411/ 1683-805X-2019-13003

77. Korchuganov A.V., Zolnikov K.P., Kryzhevich D.S. The contribution of various plasticity mechanisms to the deformation behavior of gradient nanograined FeNi alloy // Metals. - 2022. - V. 12. - Article 573. -https://doi.org/10.3390/met12040573

78. Cundall P.A., Strack O.D.L. A discrete numerical model for granular assemblies // Geotechnique. - 1979. -V. 29. - P. 47-65. - https://doi.org/10.1680/geot.1979. 29.1.47

79. Potyondy D.O., Cundall P.A. A bonded-particle model for rock // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. - 2004. -V. 41. - P. 1329-1364. - https://doi.org/10.1016/j. ijrmms.2004.09.011

80. Greenspan D. Quasi-molecular, particle modeling of crack generation and fracture // Comput. Struct. -1986. - V. 22. - P. 1055-1061. - https://doi.org/10. 1016/0045-7949(86)90165-3

81. Greenspan D. Supercomputer simulation of cracks and fracture by quasimolecular dynamics // J. Phys. Chem.

Sol. - 1989. - V. 50. - P. 1245-1249. - https://doi.org/ 10.1016/0022-3697(89)90396-X

82. Negreskul S.I., Psakhie S.G., Korostelev S.Yu., Pa-nin V.E. Element dynamics for modelling deformation and destruction // Comput. Struct. - 1990. - V. 37. -P. 535-539.

83. Negreskul S.I., Psakhie S.G., Panin V.E. Rotational regime of fracture of structural-nonhomogeneous materials under shock loading // Bull. Am. Phys. Soc. -1991. - V. 36. - P. 1585.

84. Negreskul S.I., Psakhie S.G., Korostelev S.Yu. Simulation of explosive compaction of powders by the element dynamics method // Bull. Am. Phys. Soc. -1989. - V. 34. - P. 1702.

85. Horie Y., Graham R.A., Simonen I.K. Synthesis of nickel aluminides under high-pressure shock loading // Mater. Lett. - 1985. - V. 3. - Nos. 9-10. - P. 36-40. -https://doi.org/10.1016/0167-577X(85)90075-8

86. Munir Z.A., Anselmi-Tamburini U. Self-propagating exothermic reactions: The synthesis of high-temperature materials by combustion // Mater. Sci. Rep. -1989. - V. 3. - Nos. 7-8. - P. 277-365. - https://doi. org/10.1016/0920-2307(89)90001-7

87. Psakhie S.G., Horie Y., Korostelev S.Yu., Smo-linA.Yu., Dmitriev A.I., Shilko E.V., Alekseev S.V. Method of movable cellular automata as a tool for simulation within the framework of mesomechanics // Russ. Phys. J. - 1995. - V. 38. - P. 1157-1168. -https://doi.org/10.1007/BF00559396

88. Psakhie S.G., Shilko E.V., Smolin A.Yu., Dmitriev A.I., Korostelev S.Yu. Computer Aided Study of Reaction-Assisted Powder Mixture Shock Compaction at Meso-Scale. New Computational Technique // Proceedings of US-Russian Workshop "Shock Induced Chemical Processing". - 1996. - P. 21-34.

89. Псахье С.Г., Коростелeв С.Ю., Смолин А.Ю., Дмитриев А.И., Шилько Е.В., Моисеенко Д.Д., Та-таринцев Е.М., Алексеев С.В. Метод подвижных клеточных автоматов как инструмент физической мезомеханики материалов // Физ. мезомех. -1998. - Т. 1. - № 1. - C. 95-108.

90. Попов В.Л., Псахье С.Г. Теоретические основы моделирования упругопластических сред методом подвижных клеточных автоматов. I. Однородные среды // Физ. мезомех. - 2001. - Т. 4. - № 1. - C. 17-28.

91. Псахье С.Г., Чертов М.А., Шилько Е.В. Интерпретация параметров метода подвижных клеточных автоматов на основе перехода к континуальному описанию // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 3. -C. 93-96.

92. Psakhie S.G., Shilko E.V., Grigoriev A.S., Astafu-rov S.V., Dimaki A.V., Smolin A.Yu. A mathematical model of particle-particle interaction for discrete element based modeling of deformation and fracture of heterogeneous elastic-plastic materials // Eng. Fract. Mech. - 2014. - V. 130. - P. 96-115. - https://doi.org/ 10.1016/j.engfracmech.2014.04.034

93. Shilko E.V., Psakhie S.G., Schmauder S., Popov V.L., Astafurov S.V., Smolin A.Yu. Overcoming the limitations of distinct element method for multiscale modeling of materials with multimodal internal structure // Comp. Mater. Sci. - 2015. - V. 102. - P. 267-285. -https://doi.org/10.1016/j.commatsci.2015.02.026

94. Dimaki A.V., Shilko E.V., Dudkin I.V., Psakhie S.G., Popov V.L. Role of adhesion stress in controlling transition between plastic, grinding and breakaway regimes of adhesive wear // Sci. Rep. - 2020. - V. 10. -Article 1585. - https://doi.org/10.1038/s41598-020-57429-5

95. Shilko E.V., Grigoriev A.S., Smolin A.Yu. A discrete element formalism for modelling wear particle formation in contact between sliding metals // Facta Univ. Mech. Eng. - 2021. - V. 19. - No. 1. - P. 7-22. -https://doi.org/10.22190/FUME201221012S

96. Popov V.L., Psakhie S.G., Dmitriev A.I., Shilko E.V. Quasi-fluid nano-layers at the interface between rubbing bodies: Simulations by movable cellular automata // Wear. - 2003. - V. 254. - P. 901-906. - https://doi. org/10.1016/S0043-1648(03)00244-8

97. Bucher F., Dmitriev A.I., Ertz M., Knothe K., Popov V.L., Psakhie S.G., Shilko E.V. Multiscale simulation of dry friction in wheel/rail contact // Wear. -2006. - V. 261. - P. 874-884. - https://doi.org/10. 1016/j .wear.2006.01.046

98. Smolin A.Yu., Shilko E.V., Grigoriev A.S., Moskvi-chev E., Filippov A., Shamarin N., Dmitriev A., Nikonov A., Kolubaev E. A multiscale approach to modeling the frictional behavior of the materials produced by additive manufacturing technologies // Contin. Mech. Thermodyn. - 2023. - V. 35. - P. 1353-1385. -https://doi.org/10.1007/s00161-022-01135-2

99. Filippov A.V., Khoroshko E.S., Shamarin N.N., Sav-chenko N.L., Moskvichev E.N., Utyaganova V.R., Kolubaev E.A., Smolin A.Yu., Tarasov S.Yu. Characterization of gradient CuAl-B4C composites additively manufactured using a combination of wire-feed and powder-bed electron beam deposition methods // J. Alloys Compd. - 2021. - V. 859. - Article 157824. - https:// doi.org/10.1016/j.jallcom.2020.157824

100. Ovcharenko V.E., Ivanov K.V., Ivanov Yu.F., Mokho-vikov A.A., Baohai Yu. Modification of the structural phase state of the surface layer of a cermet composite under electron beam irradiation in inert gas plasmas // Russ. Phys. J. - 2017. - V. 59. - P. 2114-2121. -https://doi.org/10.1007/s11182-017-1022-x

101. Smolin A.Yu., Filippov A.V., Shilko E.V. Friction behavior of aluminum bronze reinforced by boron carbide particles // Facta Univ. Mech. Eng. - 2021. -V. 19. - No. 1. - P. 51-65. - https://doi.org/10. 22190/FUME201226013S

102. Konovalenko I., Shilko E., Ovcharenko V., Psakhie S. Investigation of structural factors that increase the mechanical properties of surface layers modified by pulsed electro-beam irradiation // Met. Work. Mater.

Sci. - 2019. - V. 21. - No. 1. - P. 93-107. - https:// doi.org/10.17212/1994-6309-2019-21.1-93-107

103. Dmitriev A.I., Österle W., Wetzel B., Zhang G. Meso-scale modeling of the mechanical and tribological behavior of a polymer matrix composite based on epoxy and 6 vol. % silica nanoparticles // Comput. Mater. Sci. - 2015. - V. 110. - P. 204-214. - https://doi.org/ 10.1016/j.commatsci.2015.08.029

104. Dmitriev A.I., Nikonov A.Y., Österle W. Molecular dynamics modeling of the sliding performance of an amorphous silica nano-layer-the impact of chosen interatomic potentials // Lubricants.- 2018. - V. 6. -Article 43. - https://doi.org/10.3390/lubricants602 0043

105. Smolin A.Yu., Roman N.V., Konovalenko Ig.S., Ere-mina G.M., Buyakova S.P., Psakhie S.G. 3D simulation of dependence of mechanical properties of porous ceramics on porosity // Eng. Fract. Mech. -2014. - V. 130. - P. 53-64. - https://doi.org/10.1016/ j.engfracmech.2014.04.001

106. Grigoriev A.S., DmitrievA.I., Shil'ko E.V. Evaluation of local mechanical properties of SiO2-based ceramic refractories using microscale modeling // Tomsk State Univ. J. Math. Mech. - 2022. - V. 80. - P. 73-84. -https://doi.org/10.17223/19988621/80Z7

107. Smolin A.Y., Eremina G.M., Korostelev S.Y. Dependences of mechanical properties of ceramics with bimodal pore size distribution on the porosity at various scale levels // Russ. Phys. J. - 2019. - V. 62. -P. 1445-1454. - https://doi.org/10.1007/s11182-019-01862-1

108. Grigoriev A.S., Zabolotskiy A.V., Shilko E.V., Dmitriev A.I., Andreev K. Analysis of the quasi-static and dynamic fracture of the silica refractory using the me-soscale discrete element modelling // Materials. -2021. - V. 14. - Article 7376. - https://doi.org/10. 3390/ma14237376

109. Nikonov A.Yu., Zharmukhambetova A.M., Ponomare-va A.V., Dmitriev A.I. Numerical study of mechanical properties of nanoparticles of ß-type Ti-Nb alloy under conditions identical to laser sintering. Multilevel approach // Phys. Mesomech. - 2018. - V. 21. -No. 1. - P. 43-51. - https://doi.org/10.1134/S102995 991801006X

110. ChengA.H.-D. Poroelasticity. - Berlin: Springer, 2016.

111. Psakhie S.G., Dimaki A.V., Shilko E.V., Astafu-rov S.V. A coupled discrete element-finite difference approach for modeling mechanical response of fluid-saturated porous materials // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 2016. - V. 106. - P. 623-643. - https://doi. org/10.1002/nme.5134

112. Shilko E.V., Konovalenko Ig.S., Konovalenko Iv.S. Nonlinear mechanical effect of free water on the dynamic compressive strength and fracture of high-strength concrete // Materials. - 2021. - V. 14. - Article 4011. - https://doi.org/10.3390/ma14144011

113. Eremina G.M., Smolin A.Yu. Multilevel numerical model of hip joint accounting for friction in the hip resurfacing endoprosthesis // Facta Univ. Mech. Eng. - 2019. - V. 17. - No. 1. - P. 29-38. - https:// doi.org/10.22190/FUME190122014E

114. Eremina G.M., Smolin A.Yu. Numerical study of the mechanical behavior of the system "bone-endopro-sthesis" under different physiological loading // Proc. Struct. Integr. - 2020. - V. 25. - No. 1. - P. 470476. - https://doi.org/10.1016Zj.prostr.2020.04.053

115. Eremina G.M., Smolin A.Yu. Risk assessment of resurfacing implant loosening and femur fracture under low-energy impacts taking into account degenerative changes in bone tissues. Computer simulation // Comput. Meth. Progr. Biomed. - 2021. - V. 200. - Article 105929. - https://doi.org/10.1016/j.cmpb.2021. 105929

116. Eremina G.M., Smolin A.Yu. Numerical study of the mechanical behavior of the hip joint under therapeutic acoustic impact // Russ. J. Biomech. - 2023. -No. 1. - P. 32-45. - https://doi.org/10.15593/RZh Biomech/2023.1.04

117. Eremina G., Smolin A. Numerical modeling of shockwave treatment of knee joint // Materials. - 2021. -V. 14. - Article 7678. - https://doi.org/10.3390/ma 14247678

118. Smolin A., Eremina G. Shock-wave impact on the knee joint affected with osteoarthritis and after ar-throplasty // Def. Technol. - 2023. - V. 20. - P. 110. - https://doi.org/10.1016/j.dt.2022.06.002

119. Eremina G., Smolin A., Martyshina I. Convergence analysis and validation of a discrete element model of the human lumbar spine // Rep. Mech. Eng. - 2022. -V. 3. - No. 1. - P. 62-70. - https://doi.org/10.31181/ rme200103062e

120. Eremina G., Smolin A., Xie J., Syrkashev V. Development of a computational model of the mechanical behavior of the L4-L5 lumbar spine: Application to disc degeneration // Materials. - 2022. - V. 15. - Article 6684. - https://doi.org/10.3390/ma15196684

121. Smolin A., Eremina G. Modeling osteocyte under shock-wave therapeutic loading // Facta Univ. Mech. Eng. - 2024. - https://doi.org/10.22190/FUME2312 02006S

122. Smolin A.Yu., Eremina G.M., Martyshina I.P. Simulation of the mechanical behavior of a dental implant in bone tissue under shock wave treatment // Russ. Phys. J. - 2024. - V. 66. - P. 1310-1315. - https://doi.org/ 10.1007/s11182-023-03077-x

123. Rojek J., Zubelewicz A., Madan N., Nosewicz S. The discrete element method with deformable particles // Int. J. Numer. Meth. Engng. - 2018. - V. 114. -P. 828-860. - https://doi.org/10.1002/nme.5767

124. Rojek J., Nosewicz S., Thoeni K. 3D formulation of the deformable discrete element method // Int. J. Nu-mer. Meth. Engng. - 2021. - V. 122. - P. 33353367. - https://doi.org/10.1002/nme.6666

125. Giannis K., Schilde C., Finke J.H., Kwade A., Celi-gueta M.A., Taghizadeh K., Luding S. Stress based multi-contact model for discrete-element simulations // Granular Matter. - 2021. - V. 23. - Article 17. -https://doi.org/10.1007/s10035-020-01060-8

126. Shao L., Mao J., Zhao L., Li T. A three-dimensional deformable spheropolyhedral-based discrete element method for simulation of the whole fracture process // Eng. Fract. Mech. - 2022. - V. 263. - Article 108290. - https://doi.org/10.1016/j.engfracmech. 2022.108290

127. Fish J., Belytschko T. A First Course in Finite Elements. - John Wiley & Sons, Ltd., 2007. - https:// doi.org/10.1002/9780470510858

128. Wilkins M.L. Calculations of Elastic-Plastic Flow // Methods in Computational Physics, vol. 3 / Ed. by B. Alder, S. Fernbach, M. Rotenberg. - New York: Academic Press, 1964. - P. 211-263.

129. Makarov P.V., Schmauder S., Cherepanov O.I., Smolin I.Yu., Romanova V.A., Balokhonov R.R., Sara-ev D.Yu., Soppa E., Kizler P., Fischer G., Hu S., Ludwig M. Simulation of elastic-plastic deformation and fracture of materials at micro-, meso- and macro-levels // Theor. Appl. Fract. Mech. - 2001. - V. 37. -P. 183-244. - https://doi.org/10.1016/S0167-8442 (01)00078-7

130. Makarov P.V., Smolin I.Y., Prokopinsky I.P. Localized plastic strain in polycrystalline materials with hole and notches // Theor. Appl. Fract. Mech. - 1998. -V. 29. - P. 11-20. - https://doi.org/10.1016/S0167-8442(98)00011-1

131. Cherepanov O.I., Smolin I.Yu., Stefanov Yu.P., Makarov P.V. Investigation of influence of internal structure of heterogeneous materials on plastic flow and fracture // Comput. Mater. Sci. - 1999. - V. 16. -P. 25-31. - https://doi.org/10.1016/S0927-0256(99) 00042-7

132. Черепанов О.И. Численное решение некоторых квазистатических задач мезомеханики / Под ред. П.В. Макарова. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2003.

133. Balokhonov R.R., Romanova V.A., Schmauder S., Emelianova E.S. A numerical study of plastic strain localization and fracture across multiple spatial scales in materials with metal-matrix composite coatings // Theor. Appl. Fract. Mech. - 2019. - V. 101. -P. 342-355. - https://doi.org/10.1016/j.tafmec.2019. 03.013

134. Бакеев Р.А., Макаров П.В., Перышкин А.Ю., Промахов В.В., Жуков А.С., Климова-Корсмик О.Г. Экспериментальное и численное изучение механических свойств и особенностей деформирования и разрушения металлокерамического композита TiNi-TiB2, полученного методом прямого лазерного выращивания // Физ. мезомех. - 2018. -Т. 21. - № 5. - C. 56-66. - https://doi.org/10.24411/ 1683 -805X-2018-15006

135. Kulkov S.N., Smolin I.Yu., Mikushina V.A., Sabli-na T.Yu., Sevostyanova I.N., Gorbatenko V.V. Studying strain localization in brittle materials during the brazilian test // Russ. Phys. J. - 2020. - V. 63. -P. 976-983. - https://doi.org/10.1007/s11182-020-02126-z

136. Smolin I.Yu., Zimina V.A., Sablina T.Yu., Sevostyanova I.N., Gorbatenko V.V., Kulkov S.N. Experimental and numerical investigation of strain inhomogene-ity in zirconia during a Brazilian test // Int. J. Solids Struct. - 2022. - V. 256. - Article 11978. - https:// doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2022.111978

137. Smolin I.Yu., Makarov P.V., Eremin M.O., Maty-ko K.S. Numerical simulation of mesomechanical behavior of porous brittle materials // Proc. Struct. In-tegr. - 2016. - V. 2. - P. 3353-3360. - https://doi. org/10.1016/j.prostr.2016.06.418

138. Smolin I.Yu., Zimina V.A., Buyakova S.P. Estimation of residual thermal stresses in a layered ceramic composite // Mech. Compos. Mater. - 2023. - V. 58. -P. 823-834. - https://doi.org/10.1007/s11029-023-10071-4

139. Bargmann S., Klusemann B., Markmann J., Schnabel J.E., Schneider K., Soyarslan C., Wilmers J. Generation of 3D representative volume elements for heterogeneous materials: A review // Progr. Mater. Sci. - 2018. - V. 96. - P. 322-384. - https://doi.org/ 10.1016/j.pmatsci.2018.02.003

140. Zinoviev A., Zinovieva O., Ploshikhin V., Romanova V., Balokhonov R. Evolution of grain structure during laser additive manufacturing. Simulation by a cellular automata method // Mater. Des. - 2016. -V. 106. - P. 321-329. - https://doi.org/10.1016/j.mat des.2016.05.125

141. Romanova V., Mohebbi M.S., Dymnich E., Balokhonov R., Ploshikhin V. A physically-based computational approach for processing-microstructure-property linkage of materials additively manufactured by laser powder bed fusion // Int. J. Mech. Sci. - 2022. -V. 219. - Article 2022. - https://doi.org/10.1016/jij mecsci.2022.107103.

142. Балохонов Р.Р., Кульков А.С., Землянов А.В., Романова В.А., Евтушенко Е.П., Гатиятуллина Д.Д., Кульков С.Н. Эволюция остаточных напряжений и разрушение при термомеханическом нагружении дисперсно-упрочненных металлокерамических композиционных материалов // Физ. мезомех. -2021. - Т. 24. - № 5. - С. 5-15. - https://doi.org/ 10.24412/1683-805X-2021-5-5-15

143. Romanova V., Balokhonov R., Makarov P., Schmau-der S., Soppa E. Simulation of elasto-plastic behavior of an artificial 3D-structure under dynamic loading // Comput. Mater. Sci. - 2003. - V. 28. - P. 518-528. -https://doi.org/10.1016/j.commatsci.2003.08.009

144. Romanova V., Balokhonov R. A method of step-by-step packing and its application in generating 3D microstructures of polycrystalline and composite materi-

als // Eng. Comput. - 2021. - V. 37. - P. 241-250. -https://doi.org/10.1007/s00366-019-00820-2

145. Balokhonov R., Romanova V., Kulkov A. Microstruc-ture-based analysis of deformation and fracture in metal-matrix composite materials // Eng. Fail. Anal. -2020. - V. 110. - Article 104412. - https://doi.org/10. 1016/j.engfailanal.2020.104412

146. Balokhonov R., Romanova V., Zinovieva O., Zemlia-nov A. Microstructure-based analysis of residual stress concentration and plastic strain localization followed by fracture in metal-matrix composites // Eng. Fract. Mech. - 2021. - V. 259. - Article 108138. -https://doi.org/ 10.1016/j. engfracmech.2021.108138

147. Emelianova Е., Romanova V., Zinovieva O., Balokhonov R. The effects of surface-layer grain size and texture on deformation-induced surface roughening in polycrystalline titanium hardened by ultrasonic impact treatment // Mater. Sci. Eng. A. - 2020. -V. 793. - Article 139896. - https://doi.org/10.1016/j. msea.2020.139896

148. Romanova V., Balokhonov R., Zinovieva O., Shakhid-zhanov V., Dymnich E., Nekhorosheva O. The relationship between mesoscale deformation-induced surface roughness, in-plane plastic strain and texture sharpness in an aluminum alloy // Eng. Fail. Anal. -2022. - V. 137. - Article 106377. - https://doi.org/10. 1016/j.engfailanal.2022.106377

149. Romanova V., Balokhonov R., Emelianova E., Sinya-kova E., Kazachenok M. Early prediction of macro-scale plastic strain localization in titanium from observation of mesoscale surface roughening // Int. J. Mech. Sci. - 2019. - V. 161-162. - Article 105047. -https://doi.org/10.1016/jijmecsci.2019.105047

150. Kotadia H.R., Gibbons G., Das A., Howes, P.D. A review of laser powder bed fusion additive manufacturing of aluminium alloys: Microstructure and properties // Addit. Manuf. - 2021. - V. 46. - Article 102155. - https://doi.org/10.1016/J.ADDMA. 2021.102155

151. Колубаев Е.А., Рубцов В.Е., Чумаевский А.В., Ас-тафурова Е.Г. Научные подходы к микро-, мезо-и макроструктурному дизайну объемных металлических и полиметаллических материалов с использованием метода электронно-лучевого аддитивного производства // Физ. мезомех. - 2022. -Т. 25. - № 4. - С. 5-18. - https://doi.org/10.55652/ 1683-805X_2022_25_4_5

152. Balokhonov R., Zemlianov A., Utyaganova V., Gati-yatullina D., Romanova V. Two-scale computational analysis of deformation and fracture in an Al-Si composite material fabricated by electron beam wire-feed additive manufacturing // Metals. - 2023. - V. 13. -Article 1465. - https://doi.org/10.3390/met13081465

153. Romanova V., Zinovieva O., Balokhonov R., Dymnich E., Moskvichev E., Filippov A., Lychagin D. Effects of the grain shape and crystallographic texture on the grain-scale mechanical behavior of additively

manufactured aluminum alloys // Addit. Manuf. A. -2021. - V. 48. - Article 102415. - https://doi.org/10. 1016/j.addma.2021.102415

154. Romanova V., Balokhonov R., Zinovieva O., Emelia-nova E., Dymnich E., Pisarev M., Zinoviev A. Micro-mechanical simulations of additively manufactured aluminum alloys // Comput. Struct. - 2021. -V. 244. - Article 106412. - https://doi.org/10.1016/j. compstruc.2020.106412

155. Zinovieva O., Romanova V., Zinoviev A., Nekhoro-sheva O., Balokhonov R. Elastic properties of additively manufactured steel produced with different scan strategies // Int. J. Mech. Sci. - 2023. - V. 244. - P. 108089. -https://doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2022.108089

156. Bochkareva S.A., Grishaeva N.Yu., Lyukshin B.A., Lyukshin P.A., Matolygina N. Yu., Panin S.V., Reu-tov Yu.A. A unified approach to determining the effective physicomechanical characteristics of filled polymer composites based on variational principles // Mech. Compos. Mater. - 2019. - V. 54. - P. 775788. - https://doi.org/10.1007/s11029-019-9782-8

157. Бочкарева С.А., Гришаева Н.Ю., Люкшин Б.А., Панов И.Л., Панин С.В. Получение композиций с

заданным набором физико-механических свойств с использованием трех управляющих параметров // Физ. мезомех. - 2020. - Т. 23. - № 4. - С. 43-50. -https://doi.org/10.24411/1683-805X-2020-14006

158. Panin S.V., Lyukshin B.A., Bochkareva S.A., Kornien-ko L.A., Nguyen D.A., Hiep L.T.M., Panov I.L., Grishaeva N.Yu. Material design methodology for optimized wear-resistant thermoplastic-matrix composites based on polyetheretherketone and polypheny-lene sulfide // Materials. - 2020. - V. 13. - Article 524. - https://doi.org/10.3390/ma13030524

159. Lyukshin P.A., Lyukshin B.A., Panin S.V., Bochkareva S.A. Calculation of the stress-strain state of a polymer composite in a direct electric current field // Mech. Solids. - 2023. - V. 58. - P. 119-130. -https://doi.org/10.3103/S0025654422600775

160. Stepanov D.Yu., Tian D., Alexenko V.O., Panin S.V., Buslovich D.G. Application of neural network models with ultra-small samples to optimize the ultrasonic consolidation parameters for 'PEI adherend/Prepreg (CF-PEI fabric)/PEI adherend' lap joints // Polymers. - 2024. - V. 16. - Article 451. - https://doi.org/ 10.33 90/polym16040451

Поступила в редакцию 05.04.2024 г., после доработки 17.05.2024 г., принята к публикации 23.05.2024 г.

Сведения об авторах

Шилько Евгений Викторович, д.ф.-м.н., гнс ИФПМ СО РАН, shilko@ispms.ru Дмитриев Андрей Иванович, д.ф.-м.н., гнс ИФПМ СО РАН, dmitr@ispms.ru Балохонов Руслан Ревович, д.ф.-м.н., гнс ИФПМ СО РАН, rusy@ispms.ru Романова Варвара Александровна, д.ф.-м.н., гнс ИФПМ СО РАН, varvara@ispms.ru