Многоуровневое дискретное преобразование Фурье Текст научной статьи по специальности «Математика»

5. Висновки

Метод вщеоспостереження дозволяе проводити об-стеження iнтенсивностi обмiну транспортних засобiв з мiнiмальними витратами ресурав, як матерiальних так i людських. Багаторазова обробка вiдеоматерiала дозволяе досягти високо! точностi результатiв.

За допомогою дисперсiйного аналiзу було визначе-но, що процес короткочасного паркування автомобШв не залежить вiд годин доби, протягом перюду обсте-ження з 800 до 1900. Це пояснюеться тим, що процес накопичення автомобШв на узбiччi займае малий про-мiжок часу, а ступiнь заповнення мшць паркування мае незначнi коливання на протязi перiоду обстеження.

По одержаним сукупностям юлькост прибуваючих та ввд^жджаючих автомобiлiв, було визначено, що вони добре описуються законом розподшу Пуассона, але розходження у параметрi закону \ для прибуття та вщ-правлення автомобiлiв (1,0597 та 1,00746) викликають необхiднiсть додаткових дослщжень цих процесiв.

■О Q

Предложена математическая и компьютерная модель многоуровневого ДПФ. Проведено имитационное моделирование процесса вычисления многоуровневого ДПФ, позволившее выяснить закономерность точности вычисления ДПФ в зависимости от числа уровней многоуровневого ДПФ

■Q О

1. Введение

Роль анализа Фурье в прикладной математике и в технических науках очень важна. Наш интерес лежит в использовании дискретного преобразования Фурье (ДПФ) в технических науках, в частности в цифровой обработке сигналов в системах управления. Винеров-ская теория предсказания и управления показывает, что оптимальный фильтр или система контроля могут быть рассчитаны при условии, что известны спектры, характеризующие сигнал и шум в системе. Особый

Лиература

1. Лобанов Е.М. Транспортное планирование городов. Учебное издание. "Транспорт " 1990. - 236с.

2. Осетрш М.М., Стельмах О.В. Особливост автомобшза-цй мют Украши. // Науково - техшчний збiрник КНУ-БА. - Кшв: КНУБА. - 2000.

3. Лозе Д., Моделирование транспортного предложения и спроса на транспорт для пассажирского и служебного транспорт - обзор теории моделирования // Сборник докладов 7-й междунар. конф. «Организация и безопасность дорожного движения в крупных городах». - СПб: СПб гос. архит. - строит. ун-т. - 2006. - 170 - 186с.

4. Минько А.А. Статистический анализ в MS Excel. : Издательство дом "Вильямс" , 2004. - 448с.

УДК 681.30001.571

МНОГОУРОВНЕВОЕ ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

ФУРЬЕ

И.Г. Филиппенко

Доктор технических наук*

О.Е. Пенкина

Аспирант*

интерес представляет оценка этих спектров по временным рядам конечной длины. Анализ взаимных спектров используется для оценки коэффициента усиления и сдвига фазы линейной системы.

Реализация ДПФ осуществляется на универсальных и специализированных процессорах цифровой обработки сигналов (ЦОС). Основные ошибки вычисления ДПФ в ЦОС связаны с типом используемой арифметики [1]. Это: ошибка квантования, вызванная представлением входных данных временного ряда ограниченным числом битов; ошибка квантования

О.И. Филиппенко

Кандидат технических наук* *Украинская государственная академия железнодорожного

транспорта

пл. Фейербаха, 7, г. Харьков, Украина, 61050

коэффициентов, которая возникает при представлении коэффициентов конечным числом битов; ошибки переполнения, к которым может приводить сложение двух больших чисел одного знака, если в результате получится число, превышающее разрешенную длину слова; ошибки округления, которые возникают, когда результат умножения округляется до ближайшего дискретного значения или приемлемой длины слова.

Цель данной работы - предложить метод преобразования ДПФ к виду, позволяющему понизить его вычислительную сложность путем исключения операции умножения.

vki = зт^пк^Т),

где i = [0, N-1] - отсчет временной последовательности.

Для вычисления ДПФ необходимо выполнить N операций умножения и N(N-1) операций сложения [4].

Цель работы - предложить метод преобразования ДПФ к виду, позволяющему понизить его вычислительную сложность путем исключения операции умножения,

3. Решение задачи

2. Постановка задачи

Известно [2], что любая непрерывная функция х(^), преобразованная в дискретную временную последовательность X = [х0х1...х1...хк_1], может быть приближенно представлена следующим рядом Фурье

X; _ =

я м-1

= ^ + £[ак0ов(2яЦ1Т)+

2 к=1

+ Ь^т(2лк^Т)], (1)

где N - число точек отсчета временной последовательности; X, М - число констант ак и Ьк, которые определяются так, чтобы дискретные и непрерывные значения совпадали в точках t = iT, где t - непрерывное время; Т - период квантования по времени; к- номер гармоники; частота первой гармоники, которая задается как 2л^Т.

В матричной форме преобразования Фурье коэффициенты ак и Ьк определяются как

2 т А = — ^Хт)

2 т В = — ^Хт), N '

где:

W =

шм-1,0 шм-1,1 .. ш

у0,0 У0Д ... у0,.

у1,0 у1,1 ... у1,.

3.1. Многоуровневое преобразование ДПФ

Для решения поставленной задачи предлагается преобразовать временную скалярную последовательность X в скалярно векторную временную последовательность, представленную матрицей X = [XоХ1...Хи.ХN-1],

где

X, =[х1(

хн„.х1г.„х

(2Ь-1)

| - вектор столбец, i - индекс

точки отсчета временной последовательности, ±L -число уровней скалярно-векторного преобразования (СВП) [2]. Процедура преобразования подробно описана в [3].

Тогда уравнения (2), (3) расчета коэффициенты ак и Ьк примут следующий вид:

(2) (3)

(4)

V =

(5)

А = [а0а1...ак...ам-1] - вектор ак коэффициентов, В = [Ь0Ь1...Ьк...Ьм_1]т - вектор Ьк коэффициентов. Коэффициент Ь0 всегда равен нулю.

Коэффициенты wk,i и vk,i определяются следующим образом:

wki = соз^лк^Т)

2 -т А = -^Х )Е ,

2 -т В = — (VX )Е , N '

(6) (7)

где матрица X в развернутом виде записывается как

X =

^(N-1)

^(N-1)

X,

(2Ь-1)^-1).

(8)

Е - единичный вектор столбец размерности N.

Вычисление коэффициентов Фурье по формулам (6) и (7) не только не уменьшает, а наоборот, увеличивает число операций умножения и сложения, по сравнению с вычислением коэффициентов Фурье по формулам (2) и (3).

На помощь приходит тот факт, что "уровневые" временные последовательности, представлены г строками матрицы X (8).

Множество значений, которое может принимать х„ элемент г строки (8), определяется следующими соотношениями:

{0,1}, если 0 < г < и

хи е

{0,-1}, если и < г < 2к (9)

Этот факт намного упрощает операцию произведения чисел между собой, т.к. не требуется беспокоиться за переполнение результата переполнения в цифровом устройстве.

Но мы хотим вообще обойтись без операции умножения при вычислении БПФ. Такие формы (6), (7)

X

X

X

X

X

X

X

X

X

0Л-1

X(2L-1)0 X(2L-1)1 ... X(2L-1)

ш-1

к

N-1

ш

М-1

М-1Л-1

V

(>,N-1

V

Ш-1

V

V

V

V

к,0

к,1

к

N-1

определения коэффициентов Фурье позволяет вовсе коэффициентов и спектральных составляющих много-

исключить операцию умножения в процессе вычисления коэффициентов. Ниже приведен метод вычисления коэффициентов Фурье без использования операции умножения.

3.2. Метод многоуровневого преобразования ДПФ

Вычисление коэффициентов Фурье предлагается производить по следующим формулам:

уровневого ДПФ.

2 2L-1N-1

= N XX w

N r=0 i=0

=N ^ v

N r=0 i=0

wki если xri Ф- 0 для 0 < r < L -wki если xri Ф- 0 для L < r < 2L

,(10)

3.3 Моделирование процесса вычисления многоуровневого преобразования ДПФ

Математическая модель многоуровневого преобразования ДПФ разработана и реализована в виде класса ML_Furie объектно-ориентированного языка С++, наследовавшего ранее разработанные классы классического ДПФ и скалярно-векторного преобразования ргеоЫ^ипе и ScalVect соответственно (см. рис. 1).

vki если xri Ф 0 для 0 < r < L -vki если xri Ф 0 для L < r < 2L

,(11)

с использованием только операции сложения wrki и vrki коэффициентов, удовлетворяющих условиям, приведенным в (10) и (11).

Известно [1], что для ^точечного ДПФ требуемое N операций умножения и N(N-1) операций сложения. Для многоуровневого ДПФ число операций умножения равно нулю, количество операций сравнения равно Что же касается количества операций

сложения, то их количество определяется количеством нулей матрицы X (8), а их количество является случайным числом и зависит от вида исходного временного ряда X = [х0х1...х1...хк_1], но их количество всегда меньше

Так, для вычисления 8 точечного ДПФ необходимо выполнить 82 = 64 операции умножения и 8 х7 = 56 операций сложения. Для числа уровней L = 16 и N = 100 выборок временного ряда, являющегося суммой шести гармоник:

х||. — = зт(2т/Ы)+зт(2:п;21/М)+зт(2:п31/М)+ 1 ' ,(12) +зт(2п41/М)+зт(2п51/М)+зт(2:п;61/М)

Рисунок 1. Иерархия классов

Конструктор класса ML_Furie многоуровневого ДПФ имеет вид, представленный на листинге 1.

ML_Furie (

//Параметры конструктора preobrzFurie

double w_T, //период квантования по времени

double w_f1, //частота первой гармоники

i n t w_M, //кол ичест во ч астот

int wriumk, //номер частоты

//параметры конструктора ScalVect

enum ApplDefirit w_CurrApp, //тип приложения

double w_xmax, //max значение входного сигнала

int w_L, //число уровней скалярно-векторного преобразования

int w_d, //масштаб выходного сигнала скалярно-векторного

//преобразования nt w nCotnScIVect //число отсчетов временной

//последовательности N = 1/(f1xTj ):preobizFurie(w_T, w_f1, w_M, w_rium_k ), ScalVect( w_CurrApp, w_xmax, w_L, w_d, w_n Coin Sei Vect){...}

a

w=

k

b

v=

k

k=0,M-1

для выполнения 8 точечного многоуровневого ДПФ, необходимо выполнить 0 операций умножения, 7х2 х 16x100 = 22400 операций сравнения и 11914 операций сложения. При этом стандартное отклонение спектральных составляющих составляет 0.0974414.

Если учесть, что wki и vki коэффициенты являются константами в памяти цифрового вычислительного устройства, то ни какие коллизии в процессе вычисления, связанные с превышением допустимого диапазона значения действительного числа, не возможны.

Кроме того, исключены операции, связанные с ошибками квантования, вызванные представлением входных данных временного ряда, ошибки квантования коэффициентов, ошибки переполнения и ошибки округления.

При использовании предложенного представления ДПФ в виде многоуровневого ДПФ необходимо помнить, что точность вычисления многоуровневого ДПФ зависит от числа уровней (Ц) скалярно-векторного преобразования временного ряда. Для исследования зависимости точности вычисления многоуровневого ДПФ от числа уровней Ц была разработана математическая и компьютерная модель процесса вычисления

Листинг 1. Конструктор класса ML_Furie многоуровневого

ДПФ

Для оценки точности вычисления многоуровневого ДПФ в зависимости от числа уровней СВП необходимо было выбрать критерий оценки точности вычисления. Известно [4], если временной ряд является выборкой суммы М гармоник вида (12), то спектр S(ю) многоуровневого ДПФ будет точной копией истинного спектра многоуровневого ДПФ, представленного на рис. 2.

Рисунок 2. Истинный спектр многоуровневого ДПФ

Тогда в качестве критерия оценки точности вычисления многоуровневого ДПФ можно принять стандартное отклонение в виде следующего соотношения:

1м

^ ^мм и(1 - з(ю'L))2,

где М - число спектральных составляющих; ю - номер спектральной составляющей; L) - расчетная спектральная составляющая; L - число уровней СВП, и 1 - значение истинного спектра многоуровневого ДПФ (см. рис. 2).

Расчетная зависимость ^(Ц) представлена в виде графика, показанного на рис. 3.

Рисунок 3. Стандартное отклонение спектральных составляющих в зависимости от числа уровней СВП

Рассмотрим фрагмент стандартного отклонения спектральных составляющих в диапазоне уровней от 25 до 75, представленный рис. 4.

Рисунок 4. Фрагмент стандартного отклонения спектральных составляющих в диапазоне уровней от 25 до 75

Детальное рассмотрение фрагмента стандартного отклонения спектральных составляющих, представленных на рис. 4 показывает, что функция ^(Ц) (см. рис. 1) не есть монотонно убывающей функцией. Очевидно, что соотношение ^(Ц + ДЦ) > ^(Ц) далеко не всегда справедливо. Для облегчения правильного выбора нужного числа уровней для требуемого значения ^(Ц) были найдены локальные минимумы этой функции для Ц =[0, 1024], которые приведены в табл. 1.

Таблица 1

Таблица локальных минимумов функции

Ц С Ц С

0 1 192 0.00675961

4 0.33009 228 0.00588408

8 0.199445 232 0.00564119

12 0.117643 256 0.00527716

16 0.0974414 272 0.00520321

24 0.0532448 280 0.00510686

32 0.0399577 292 0.00440703

44 0.0375222 324 0.00427876

48 0.029383 336 0.00374297

60 0.0245281 376 0.00363764

64 0.0230867 400 0.00331556

72 0.0216328 436 0.00275187

76 0.0214918 464 0.00258336

80 0.0209184 556 0.0024924

84 0.017032 560 0.00226651

96 0.0149883 584 0.00214534

108 0.0120245 668 0.00203443

128 0.0109037 704 0.0016614

144 0.0107599 752 0.00160789

152 0.0103917 912 0.00143896

160 0.00950144 988 0.00139302

168 0.0087133 1024 0.00116005

172 0.00769078

Из анализа рис. 3 следует, что значение L для требуемого ^(Ц) разумно отыскивать в диапазоне L = [4,80]. Локальные минимумы функции ^(Ц) в указанном диапазоне показаны на рис. 5.

Рисунок 5. Локальные минимумы функции в диапазоне L = [4,80]

Кроме того, исследовалась зависимость стандартного отклонения ^(Ц) в зависимости от числа спектральных составляющих (М) и различных значений периодов квантования (Т) временного рядя по времени. Естественно, что при этом наивысшая частота спектральной составляющей не превышала частоту 1/2Т гц.

На рис. 6 представлены графики стандартного отклонения в зависимости от числа спектральных составляющих (М) временного ряда, 128 уровней СВП и различны значений периода квантования временного ряда по времени (график А для Т = 0.01, и график В для Т = 0.001).

Рисунок 6. Стандартное отклонение М спектральных составляющих для L = 128: А - Т = 0.01; В - Т = 0.001

Из анализа рис.6 следует, что чем больше Т, тем меньше ^(Ц) и больше число операций сравнения и сложения, необходимых для вычисления многоуровневого ДПФ.

Выводы

- Впервые предложена математическая и компьютерная модель многоуровневого ДПФ.

- Упрощена вычислительная сложность ДПФ путем исключения операций умножения. Но при этом дополнительно вводятся операции сравнения.

- Исключены ошибки, связанные с ошибками квантования, вызванные представлением входных данных временного ряда; ошибки квантования коэффициентов; ошибки переполнения и ошибки округления.

- При помощи имитационного моделирования процесса вычисления многоуровневого ДПФ получены таблицы числовых значений £(Ц) от Ц = [4, 1024] из которых можно легко выделить локальные минимумы нужного диапазона Ц.

- Имитационное моделирование процесса вычисления многоуровневого ДПФ позволяет исследовать ошибки преобразования ^(Ц) для различных константных значений параметров, приведенных в конструкторе класса ML_Furie.

- Все вышесказанное справедливо и для многоуровневого ДПФ финитных функций.

Литература

1. Алфичер Э.С., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов: практический подход. - М: Вильямс, 2008. - 999с.

2. Дженкинс Г. Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения. Том I. - М.: Мир, 1971. - 316c.

3. Филиппенко О.И. Отказоустойчивость и живучесть нейроавтоматно-сетевых многоуровневых регуляторов // Восточно-Европейский журнал передовых технологий. - 2008. - №5/3 (35). - С. -34-44.

4. Применение математических методов и ЭВМ / Останин А.Н. Тюленев В.П., Романов А.В., Петровский А.А. - Минск: Вышейшая школа, 1989. - 218с.