CC BY
47
УДК 517
Многоуровневая классификация доходности и построение эффективной торговой стратегии*
Рассматривается стратегия торговли акциями, входившими в индекс Dow Jones Industrial Average, которая обладает высокой доходностью и может считаться умеренно рискованной. для произвольной матрицы определяются векторы уровней максимальных и минимальных строк, которые ежегодно рассчитываются и применяются при отборе акций, включаемых в однородный портфель.
Ключевые слова: торговая стратегия; формирование портфеля; однородный портфель; индекс доу-джонса; вектор уровней.
A stock trading strategy is considered for stocks included into Dow Jones Industrial Average index. The strategy ensures high profitability and may be regarded moderately risky. Vectors of maximum and minimum row levels are defined for an arbitrary matrix which are computed annually and used for selection of stocks included into a homogeneous portfolio.
Keywords: trade strategy; portfolio building; homogeneous portfolio; Dow Jones Index; levels vector.
сущность торговой стратегии, основанной на однородных портфелях
В препринте В.А. Бабайцева и А.В. Браилова [1] описана применимая к наиболее ликвидным акциям российских эмитентов высокодоходная торговая стратегия. Основная идея этой стратегии заключается в следующем: по итогам успешного (для всего рынка в целом) года портфель инвестора перестраивается в соответствии с портфелем Марковица минимального риска [2]. Если же прошедший год был кризисным, то на следующий год предлагается формировать однородный портфель.
По мнению авторов, однородные портфели могут быть полезны не только для снижения риска, но и для повышения доходности, если однородные портфели составлять из специально отобранных акций.
Эадача формирования вектора уровней
Предлагаемая стратегия основана на анализе отношений «>» и «<» для строк матрицы A квар-
* Статья подготовлена по результатам исследований, выполненных за счет бюджетных средств по Государственному заданию Финуниверситета 2013 г.
Денежкина Ирина Евгеньевна
канд. техн. наук, зав. кафедрой «Теория вероятностей и математическая статистика» Финансового университета E-mail: [email protected]
Браилов Андрей Владимирович
канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Теория вероятностей и математическая статистика» Финансового университета E-mail [email protected]
тальных доходностей акций, входящих в индекс. Поскольку акциям соответствуют строки матрицы A, выбор тех или иных строк означает выбор соответствующих акций. Рассмотрим сначала случай произвольной матрицы.
Пусть А = (aI)— матрица размера m х n. Строки этой матрицы будем обозначать r,, i = 1, ... ,m . Скажем, что строка r.больше строки r. (обозначение: r>r.), если все компоненты r не меньше соответст-
I ¡" I
вующих компонент r, и найдется по меньшей мере одна компонента строки г, которая будет больше соответствующей компоненты строки r, aik> ak.
Легко проверяется, что введенное таким образом отношение на множестве строк матрицы А является транзитивным и антисимметричным. Отсюда следует, что всякая матрица А обладает хотя бы одной максимальной строкой.
Максимальные строки матрицы будем называть максимальными строками первого уровня. Максимальные строки второго уровня определяются как максимальные строки матрицы, полученной в результате удаления максимальных строк первого уровня. Максимальные строки третьего уровня устанавливаются как максимальные строки матрицы, полученной в результате удаления максимальных строк уровней один и два. Продолжая данное определение по индукции, получаем определение максимальных строк уровня l. Заменяя таким же образом отношение больше на меньше, получаем определение минимальных строк уровня l.
Поскольку при переходе на новый уровень вычеркивается, как минимум, одна строка, наибольший возможный уровень максимальной (минимальной) строки ограничен m — числом строк в исходной матрице А. Другим важным свойством матрицы является то, что всякая строка ri является максимальной (минимальной) для подходящего уровня Ii < m. Вектором уровней максимальных (минимальных) строк назовем вектор LA, составленный из соответствующих уровней всех строк матрицы А.
Построение торговой стратегии
В данной работе при помощи векторов максимальных и минимальных строк различных уровней строится основанная на однородных портфелях торговая стратегия применительно к акциям, входившим с 24.09.2012 по 20.09.2013 в индекс Dow Jones Industrial Average (в скобках указан тикер): Alcoa (AA), American Express (AXP), Boeing
(BA), Bank of America (BAC), Caterpillar (CAT), Cisco Systems (CSCO), Chevron (CVX), du Pont (DD), Walt Disney (DIS), General Electric (GE), Home Depot (HD), Hewlett-Packard (HPQ), IBM (IBM),Intel (INTC), Johnson & Johnson (JNJ), JPMorgan Chase (JPM), Coca-Cola (KO), McDonald's (MCD), 3M (MMM), Merck (MRK), Microsoft (MSFT), Pfizer (PFE), Procter & Gamble (PG), AT&T (T), Travelers (TRV), UnitedHealth (UNH), United Technologies (UTX), Verizon (VZ), Wal-Mart (WMT), Exxon Mobil (XOM).
Текущий состав индекса можно найти на сайте YahooFinance [3] , а историю его изменений — в Ви-кипедии [4]. Котировки акций, входящих в индекс, с учетом дивидендов также получены на сайте YahooFinance (использовалось поле «AdjClose», учитывающее выплаты дивидендов).
Торговая стратегия строится на десятилетнем отрезке времени с 2003 по 2012 г. (несмотря на то, что состав индекса за этот период неоднократно менялся, в стратегии участвует фиксированный набор из 30 акций).
В рассматриваемых стратегиях перестройка портфеля проводится в конце каждого календарного года по результатам квартальной торговли. Элементы матрицы A имеют следующий смысл:
a.. — доходность i-й акции в j-м квартале (i = 1, ... , 30; j = 1, .... , 4)
Первоначально предполагалось в состав однородного портфеля включать акции определенного уровня максимальности. Однако такой подход не привел к построению достаточно прибыльных стратегий.
В ходе многочисленных экспериментов выяснилось, что с точки зрения 10-летней доходности в состав портфеля необходимо включать акции, которые имеют одновременно фиксированные уровни максимальности и минимальности. Так, из всех рассмотренных вариантов по соотношению доходность / риск особо выделяются две стратегии, при которых в ежегодный портфель включаются минимальные акции, имеющие уровень максимальности 4 (стратегия «4/1») либо уровень максимальности 2 (стратегия «2/1»).
В табл. 1 указаны тикеры компаний, включенных в портфель, доходность портфеля с учетом дивидендов по каждому году и итоговая 10-летняя доходность для двух наиболее доходных стратегий: «4/1» и «4/2».
Стратегия «4/1» требует особых пояснений. В 2002 г. в матрице квартальных доходностей не
Таблица 1
Матрица доходности
Год Стратегия «4/1»,% Стратегия «2/1», %
2003 0 CSCO, INTC, MCD,T; 62,5
2004 VZ; 20,3 IBM, JNJ, PFE, PG,T, WMT, XOM; 7,8
2005 CSCO;-11,4 HD, INTC, MRK, PFE; -0,7
2006 VZ; 34,6 CSCO, DIS, GE, JNJ, KO, MMM, PFE; 23,8
2007 INTC; 34,2 AXP, GE, HD, KO, MMM; -0,1
2008 HD;-11,4 DD, JNJ, TRV, WMT; -10,4
2009 AXP; 126,1 CAT, INTC, MRK, MSFT; 41.1
2010 0 CVX, GE, PFE, PG, TRV, UNH, VZ; 15,2
2011 0 CVX, JPM, KO, MMM, MRK, PFE, T, UNH, VZ, WMT; 12,9
2012 BAC; 110 AA; 1,7
Итого 710,5 259,6
нашлось ни одной строки, которая была бы одновременно максимальной четвертого уровня и минимальной первого уровня. Это означает, что купля-продажа акций в конце 2002 г. не совершалась, а все средства в 2003 г. имели денежную форму. Отсюда — нулевая доходность.
По той же причине нулевая доходность наблюдалась в 2010 и 2011 г. Сверхвысокая доходность за 10-летний период во многом объясняется ростом стоимости компаний American Express (в 2009 г.) и Bank of America (в 2012 г.). Математическую модель ситуации на рынке можно найти в работе [5]. Вместе с тем данную стратегию следует рассматривать как чрезвычайно рискованную, поскольку в каждый момент времени все средства инвестировались лишь в единственный финансовый инструмент. Именно по причине высокой рискованности стратегию «4/1» нельзя рекомендовать для реального применения.
Стратегия «2/1» также обладает высокой долларовой доходностью и, вероятно, с учетом определенной диверсификации (в среднем годовой портфель включал около 5 видов акций) может расцениваться как умеренно рискованная.
В табл. 2 представлено сравнение стратегии «2/1» с результатами стратегии, при которой ежегодно составляется однородный портфель из полного списка 30 акций (стратегия «без отбора»).
Из вышеприведенной табл. 1 следует, что стратегия «2/1» имеет не только большую доходность, но, возможно, еще обладает меньшим риском. Действительно, в кризисном 2008 г. падение портфеля
составило 10,4% против типичного для большинства акций падения на 30%.
Сформулируем более подробно алгоритм рекомендуемой стратегии «2/1».
По итогам каждого календарного года формируется (30 х 4) матрица квартальных доходностей (матрица А).
В этой матрице выбираются минимальные строки (они же — максимальные в матрице А).
Максимальные строки в матрице А вычеркиваются, в полученной матрице снова выбираются максимальные строки (т.е. максимальные строки уровня 2).
Все ценные бумаги, входящие в старый портфель, продаются.
Покупаются ценные бумаги, соответствующие строкам, отобранным одновременно в п. 2 и п. 3 ранее.
Если в п.5 не было выбрано ни одной ценной бумаги, все средства остаются в денежной форме.
Разумеется, в п. 6 все средства можно было бы направить на покупку безрисковых ценных бумаг, при этом итоговая доходность при том же риске была бы несколько выше.
выводы
После многочисленных экспериментов выяснилось, что в портфель следует включать акции, которые имеют определенные уровни максимальности относительно двух отношений одновременно: «>» и «<».
Таблица 2
сопоставление стратегий «2/1» и «без отбора»
Год Стратегия «2/1», % Стратегия «без отбора», %
2003 62,5 33,6
2004 7,8 8,4
2005 -0,7 4,1
2006 23,8 21
2007 -0,1 10,7
2008 -10,4 -30
2009 41,1 28
2010 15,2 12,3
2011 12,9 4,8
2012 1,7 14,1
Итого 259,6 142,8
В качестве отрезка времени, на котором тестировались торговые стратегии, был выбран 10-летний период, завершающийся последним полным календарным годом. Первый портфель составлялся на 2003 г. по результатам 2002 г., последний — на 2012 г. по результатам 2011 г.
На основании проведенных расчетов можно сделать вывод, что на данном отрезке времени из всех вариантов наилучшее соотношение доходность/риск имеет стратегия, при которой в портфель включаются акции, имеющие относительно отношения «>» уровень 2, а относительно «<» — уровень 1.
В заключение отметим, что при разработке стратегий, использующих отношения порядка на строках матрицы, возникла необходимость в проведении многочисленных расчетов векторов ЬА. Распределение компонент вектора ЬА приближенно можно получить методом Монте-Карло, в связи с чем возникает задача максимально быстрого вычисления. С целью ускорения вычислений А. В. Браиловым на языке С++ была написана специальная функция тахт1еуеЬ, вычисляющая по матрице А вектор ЬА. Затем эта функция была интегрирована в математический пакет Матричный калькулятор1, что позволило быстро провести множество экспериментальных расчетов.
1 Разработанный А.В. Браиловым интерпретатор языка матричных вычислений. URL: http://www.matcalc.ru.
Разработка вычислительной процедуры и организация расчетов не описываются в настоящей статье. Однако без этой составляющей разработка предложенной стратегии была бы невозможна.
литература
1. Бабайцев В. А., Браилов А. В. Приложения теории Марковица к изучению фондовых рынков. Препринт WP1/2013/04, серия WP1: Современная математика и концепции инновационного математического образования. М.: 2013. 15 с.
2. Markowitz H. M. Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments. Wiley, New York, and 1991 2nd ed., Basil Blackwell, Cambridge, MA. 1959. 344 с.
3. Dow Jones Industrial Average. Components. URL: http://finance.yahoo.com/q/ cp?s=%5EDJI+Components.
4. Historical components of the Dow Jones Industrial Average. URL: http://en.wikipedia.org/ wiki/Historical_components_of_the_Dow_Jones_ Industrial_Average.
5. Денежкина И. Е., Мартиросян Г., Попов В. Ю., Шаповал А. Б. Количественные оценка динамики волатильности нестабильного рынка. Вестник Финансового университета. 2013. № 1. С. 8-14.
6. Сайт Матричного калькулятора. URL: http:// www.matcalc.ru.
