CC BY
6
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2023 Управление, вычислительная техника и информатика № 63
Tomsk State University Journal of Control and Computer Science
Научная статья УДК 519.62
doi: 10.17223/19988605/63/6
Многостадийный численный метод коллокаций решения ОДУ второго порядка
Константин Петрович Ловецкий1, Дмитрий Сергеевич Кулябов2, Леонид Антонович Севастьянов3, Степан Викторович Сергеев4
1,2, з, 4Российский университет дружбы народов, Москва, Россия
1 lovetskiy-kp@rudn.ru
2 kulyabov-ds@rudn. ги
3 sevastianov-la@rudn.ru 41142220124@rudn.ru
Аннотация. Реализуется алгоритм численного решения граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, основанный на методе коллокации и представлении решения в виде разложения по полиномам Чебышева. Предлагается вместо традиционного подхода - слияния всех условий (дифференциальных и граничных) в одну систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) - перейти к методике решения задачи в несколько отдельных этапов. Вначале выделяются спектральные коэффициенты, определяющие «общее» решение исходной задачи. Трудоемкость приведения матрицы СЛАУ к диагональной форме (в случае систем ОДУ с постоянными коэффициентами) на этом этапе эквивалентна сложности умножения чебышевской матрицы коэффициентов на вектор правой части системы. На втором этапе учет граничных условий выделяет «частное» искомое решение, однозначно доопределяя недостающие коэффициенты искомого разложения. Предложенный метод может использоваться для моделирования задач классической механики.
Ключевые слова: обыкновенное дифференциальное уравнение, спектральные методы, двухточечные краевые задачи.
Благодарности: Публикация выполнена при поддержке Программы стратегического академического лидерства РУДН.
Для цитирования: Ловецкий К.П., Кулябов Д.С., Севастьянов Л.А., Сергеев С.В. Многостадийный численный метод коллокаций решения ОДУ второго порядка // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2023. № 63. С. 45-52. (1о1: 10.17223/19988605/63/6
Original article
doi: 10.17223/19988605/63/6
Multi-stage numerical method of collocations for solving second-order ODEs
Konstantin P. Lovetskiy1, Dmitry S. Kulyabov2, Leonid A. Sevastianov3, Stepan V. Sergeev4
l, 2, 3, 4Pe0ples' Friendship University of Russia (RUDN University), Moscow, Russian Federation
1 lovetskiy-kp@rudn.ru
2 kulyabov-ds@rudn. ru
3 sevastianov-la@rudn.ru 41142220124@rudn.ru
Abstract. An algorithm for the numerical solution of boundary value problems for ordinary differential equations based on the collocation method and representation of the solution as an expansion in Chebyshev polynomials is implemented. It is proposed instead of the traditional approach - merging all conditions (differential and boundary)
© К.П. Ловецкий, Д.С. Кулябов, Л.А. Севастьянов, С.В. Сергеев, 2023
into one system of linear algebraic equations (SLAE) - to switch to a method for solving the problem in several separate stages. First, spectral coefficients are identified that determine the "general" solution of the original problem. The complexity of reducing the SLAE matrix to a diagonal form (in the case of ODE systems with constant coefficients) at this stage is equivalent to the complexity of multiplying the Chebyshev matrix of coefficients by the vector of the right side of the system. At the second stage, account of the boundary conditions selects a "particular" desired solution, uniquely defining the missing coefficients of the desired expansion. The proposed method can be used to model problems in classical mechanics.
Keywords: ordinary differential equation; spectral methods; two-point boundary value problems.
Acknowledgments: This paper has been supported by the RUDN University Strategic Academic Leadership Program.
For citation: Lovetskiy, K.P., Kulyabov, D.S., Sevastianov, L.A., Sergeev, S.V. (2023) Multi-stage numerical method of collocations for solving second-order ODEs. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitelnaja tehnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 63. pp. 4552. doi: 10.17223/19988605/63/6
Введение
Обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) 2-го порядка и системами ОДУ 2-го порядка описывается подавляющее большинство задач классической механики. Основная часть колебательных процессов описывается ОДУ 2-го порядка или их системами. Существует много различных методов точного и приближенного решения начальных / краевых задач для разных классов обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка. Среди них методы разложения по полиномам Чебышева стабильно занимают заслуженное место.
В 1991 г. Л. Грингард сформулировал метод решения двухточечной краевой задачи для ОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами, основанный на разложении решения в ряд по полиномам Чебышева I-го рода [1]. Метод получил устойчивое название «псевдоспектральный метод колло-каций». В этой же статье были введены в обиход и конструкции, которые в дальнейшем получили названия «матрица дифференцирования» и «матрица интегрирования» (или антидифференцирования). Подробное описание свойств матриц, определяющих связь коэффициентов разложения в ряд аппроксимируемых функций, их производных и первообразных по одному набору базисных функций приводится в работе [2].
Немного в ином представлении метод псевдоспектральных коллокаций с использованием аналогичного подхода предлагали и другие авторы для решения различных задач [3-6]. Грингард получил оценки для норм этих матриц и их чисел обусловленности - большие значения для матриц дифференцирования и относительно малые величины для матриц интегрирования (антидифференцирования).
Несмотря на плохую обусловленность матриц дифференцирования, многие авторы использовали именно их для решения начальных и граничных задач для ОДУ разных порядков. Объясняется это, скорее всего, более привычным и потому «удобным» представлением физических моделей с помощью языка математических формул. Неустойчивость алгоритмов удавалось преодолеть за счет применения приемов предобусловливания соответствующих систем линейных алгебраических уравнений. Наряду с попытками использования методов решения в спектральном представлении многие авторы использовали и подходы, опирающиеся на «физическое» представление [7], где алгоритмы еще менее устойчивы.
Предпочтительным является подход с предобусловливанием на основе матриц дифференцирования в спектральном пространстве [8]. Эти методы сравниваются с методами, базирующимися на поиске коэффициентов разложения производных высшего порядка для рассматриваемого уравнения в спектральном пространстве [1], а также на построении матриц интегрирования в физическом пространстве [9]. Важно отметить, что ни один из методов решения, базирующихся на матрицах чебышевского интегрирования [9, 10], не позволяет получать системы линейных уравнений с разреженными матрицами [11]. Причиной нарушения хорошей разреженной структуры является попытка неестественного внесения в систему линейных алгебраических уравнений граничных условий. Результаты исследова-
ний демонстрируют, что лучший метод чебышевской коллокации, позволяющий достичь наилучшей точности решения начально-краевых задач, - это подход с использованием матриц интегрирования Чебышева в спектральном пространстве [11]. Такой подход эффективно опирается на использование операций с разреженными матрицами, и его вычислительные затраты вполне сравнимы со спектральной дискретизацией Фурье.
Однако во всех используемых методах результирующие матрицы систем алгебраических уравнений получаются либо полностью заполненными (метод коллокации в физическом пространстве), либо слабо разреженными матрицами (метод коллокации в спектральном пространстве с предобу-словливанием). Основную сложность с точки зрения получения разреженной матрицы представляет необходимость включения начальных или граничных условий в полную систему линейных алгебраических уравнений.
Предложенный в настоящей работе подход позволяет построить алгоритм решения соответствующей СЛАУ c матрицей простой структуры. Метод может использоваться для моделирования задач классической механики.
1. Постановка задачи
В работе рассматривается приближенное решение двухточечной краевой задачи для дифференциального уравнения 2-го порядка вида [12]
/'(*) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = r(x), x e (-1, 1), (1)
где p(x), q(x), r(x) - достаточно регулярные функции. Единственность решения для любых а, ß обеспечивают граничные условия
ао y(-1) + ^y '(-1) = а, ßo y(1) + ßiy '(1) = ß (2)
при неотрицательных константах а, а, ßo> ßrНапример, условия непрерывности p(x) и q(x), положительности q(x) > 0, x e[-1, 1], и отличия от нуля величин а0 + а ^ 0, а0 + ß0 ^ 0, ß0 + ß ^ 0 гарантируют существование решения задачи (1), (2) [13].
2. Методы
Спектральные методы являются по-настоящему популярным инструментом решения многих типов дифференциальных и интегральных уравнений. Основная идея спектральных методов состоит в том, чтобы представить решение в виде разложения в конечный ряд по известным базисным функциям. Желателен такой выбор базиса, который обеспечивал бы как быстрое и точное вычисление коэффициентов разложения производных искомых функций, так и обратную операцию - вычисление коэффициентов разложения первообразной по такому же базису. Линейное преобразование (оператор дифференцирования), которое переводит вектор коэффициентов a = {ak }k>0 разложения функции
f (x) = (x) в вектор коэффициентов b = {bk }k>0 разложения ее производной f '(x) = (*),
известно как матрица спектрального дифференцирования. Использование базисов из функций Чебышева I-го рода или базиса из функций Лагранжа основано на их высоких интерполяционных свойствах.
2.1. Аппроксимация конечным рядом (о точности при отбрасывании членов ряда с n > N)
Разложение функции f е C" [-1, 1] (n раз дифференцируемая функция) по полиномам Чебышева Tk (x): Tk (cos 0) = cos(kQ), задается соотношением
g (x) =1 aoTo(x) + oTi(x) +... + anTn (x) +..., x е[-1, 1], (3)
где
ak = - } f(x)Tk (x)(l - x2 )-Ш dx = - J f (cos 9)Tk (x)(l - x2 )-1/- dx, (4)
П -1 П 0
остаток усечения ряда (1) до N членов:
gN (x) =1 °oTo( x) + aiTi(x) +... + OnTn (x), x e[-1,1], (5)
имеет порядок of—- | при N и при f e Cm [-1, 1] стремится к нулю супералгебраически [8, 14].
^ N J
Замечание. Согласно (2) коэффициенты являются коэффициентами косинус-преобразования Фурье, так что все N коэффициентов ak можно получить с помощью быстрого косинус-преобразования Фурье. А с помощью обратного косинус-преобразования Фурье можно просто вычислить gn (cos 9 j ) на равномерной по 9 e [0, п] сетке.
Матрицы дифференцирования в явном или неявном виде приводятся во многих публикациях, касающихся использования псевдоспектральных методов коллокации. Решение ОДУ с использованием вырожденных матриц дифференцирования в (N + 1)-мерном физическом и / или спектральном пространствах вполне закономерно приводило к плохой обусловленности подлежащих решению систем линейных алгебраических уравнений. В работах [1, 2, 15] четко сформулированы особенности матриц дифференцирования и интегрирования, рассматривающихся на одинаковых либо взаимозависимых сетках. Явное использование при решении ОДУ матриц дифференцирования на сетках Чебы-шева-Гаусса-Лобатто позволяет предложить устойчивые и экономные методы решения ОДУ.
2.2. Алгоритм, основанный на матрицах дифференцирования
Решение уравнения (1) ищем в виде ряда
n
u( x) =1 ckTk (x), x e[-1, 1], (6)
k=0
т.е. считая искомыми коэффициенты разложения самого решения. Используя матрицы спектрального дифференцирования, приходим к матричному уравнению, решение которого даст коэффициенты «общего» решения:
TDDc + diag(p)TDc + diag(q)Tc = r, x e (-1, 1). (7)
Получаем полностью заполненную систему. Решение уравнения (1) без граничных условий -вектор c - состоит из двух частей. Первые две найденные компоненты надо доопределить (для получения «частного» решения), задействовав граничные условия (2). Остальные компоненты остаются неизменными и позволяют удовлетворять уравнению (1) при любых первых коэффициентах.
Рассмотрим уравнения с постоянными коэффициентами на интервале [a, b]:
y"(x) + Py'(x) + Qy(x) = r(x), P, Q - const, x e[a, b]. (8)
b — a
Переходим к интервалу [-1, 1]. Новые переменные t e[-1, 1] и формулы перехода x = —-— t +
b + a r 1 TI _ , b - a , b + a , , , r 1
+—-— , t e[-1, 1]. Или, вводя обозначения k = —-—, l =—-— , по формулам x = kt +1, t e[-1, 1].
Определим новую функцию w(t), полагая, что значения новой w(t) и старой функции y(t) в соответственных точках совпадают, т.е. выполнено равенство
w(t) = y(x) (9)
для взаимосвязанных точек х, t.
Это равенство при линейной замене аргумента превращается в равенство
w(t) = y(kt +1), w(t) = y(x), t e[-1, 1]. (10)
Продифференцируем это тождество по Р.
к • ^\Ы +1) = w'((), I е [-1, 1]; у '(х) = -w).
к
Вторая производная имеет вид.
к • у '(к +I) = w '(О, I е [-1, 1]; у '(х) = 1 w,(í).
к
И уравнение (10) в новой системе координат принимает вид.
+ -Ри>,(0 + £М0 = г(0> Р,<2~согиИ, *е[-1, 1]. к к
Запишем уравнение для поиска решения в матричном виде.
Т^т-ВВс + Т—РВс + Т01с = г, х е (-1, 1), к к
Т
1
1
к
к
— ВВ + -РВ + 01 с = г, х е (-1, 1),
или
т(вв + ш} + £221)с = £2г, х е (-1, 1).
(11) (12)
(13)
(14)
(15)
(16)
В случае уравнения с непостоянными коэффициентами все приведенные выше рассуждения остаются в силе, но формулы принимают вид.
Т-!-ВВс + с^(р)Т-Вс + с^(д)Тс = г, хе(-1, 1), к к
(17)
где diag(p), diag(q) - матрицы, диагональные элементы которых являются элементами соответствующего вектора.
Алгоритм, основанный на использовании матриц интегрирования, будет рассмотрен во второй части публикации.
3. Результаты
Основываясь на связи коэффициентов разложения интерполируемой непрерывной функции по базису из полиномов Чебышева 1-го рода с коэффициентами разложения ее производной по тому же базису [2, 15] бесконечная матрица дифференцирования ВСкеЬу5кеу определяется следующим образом.
Б,
СквЬузкву
(0 1 0 3 0 5 0 4 0 8 0 0 6 0 10 0 8 0 0 10 0
0 12 0 12 0 12 0
7 0 14 0 14 0 14 0
(18)
Чебышевская матрица дифференцирования является верхней треугольной матрицей с нулевыми элементами на диагонали и нулевыми всеми поддиагональными элементами. Фактически это прямоугольная матрица с нулевым первым столбцом. Умножение ее на любой вектор приводит к обнулению первого элемента результирующего вектора. Такая структура определяется тем, что производная полинома Чебышева ^й степени является полиномом степени k - 1. Матрицу дифференцирования конечного порядка, являющуюся усечением бесконечной матрицы, будем обозначать через Б.
Если в рассматриваемом ОДУ коэффициенты р(х) и д(л) не являются константами, то матрица системы уравнений (17) является полностью заполненной. Сложность решения определяется ее размерностью.
В случае, когда уравнение (1) является уравнением с постоянными коэффициентами, возможно использование эффективного метода решения соответствующей системы (15) или (16) с постоянными коэффициентами при использовании свойства дискретной ортогональности чебышевской матрицы Т. Сложность решения в этом случае соответствует сложности умножения матрицы на вектор.
4. Решение модельных примеров
Для иллюстрации возможностей предлагаемого алгоритма рассмотрим пример решения простого ОДУ. В уравнении (1) задаем р(х) = 0, д(х) =-1, г(х) =-х с граничными условия Дирихле
у(-1) = 1, у(1) = 3.
'у "+ 4у = х, х е (-1, 1),
-у(-1) = 1, у(1) = 3.
Точное решение имеет вид: у( х) = х2 + х +1.
Сравнение точного решения модельного уравнения с численным приведено в таблице. Сравнение точного решения модельного уравнения с численным
Число точек коллокации Средняя величина отклонения Максимальное отклонение вычисленного решения от точного
6 2,11452089171615е—11 3,4380942537382е-11
7 1,29645475466233е-10 2,2133717081374е-10
8 1,69888608181346е-09 2,78141176757174е-09
9 3,8575500034721е-07 6,52799436506868е-07
10 3,49408645680371е-05 5,68326034007249е-05
11 0,000584699246805603 0,00100519454709158
12 10,1776618777544 16,5527569854908
Оценка погрешности осуществлялась численно. Число точек контроля точности N бралось равным 100. Как видно из результатов сравнения, точность решения существенно зависит от величины обусловленности матрицы СЛАУ (16) или (17). При этом наблюдается прямая зависимость: при увеличении числа точек коллокации обусловленность матрицы СЛАУ (слагаемыми которой являются вырожденные матрицы дифференцирования 1-го и 2-го порядков) ухудшается и численное решение все больше отклоняется от точного. Наиболее точное решение получалось при числе точек коллока-ции, равном 6. Такого количества аппроксимационных членов ряда разложения решения по полиномам Чебышева оказалось достаточно для достижения приемлемой точности. И соответствующая СЛАУ решалась устойчиво методом ¿^-разложения.
Использование матриц антидифференцирования приводит к радикальному улучшению обусловленности матриц соответствующих СЛАУ. Полученные численные результаты будут приведены во второй части публикации.
Заключение
Даже в самых благоприятных случаях при использовании матриц дифференцирования на произвольных сетках количество арифметических операций для решения задач с приемлемой точностью оказывается довольно значительным. Этот факт является следствием включения в СЛАУ, получающуюся при переходе от дифференциальных соотношений к алгебраическим, уравнений, задающих начальные и граничные условия. В настоящей работе предложено использовать модифицированный
(усовершенствованный) метод псевдоспектральной коллокации, т.е. решать задачу в два тапа. На первом этапе искать лишь «общее» решение ОДУ, определяемое старшими коэффициентами разложения решения по полиномиальному базису. Такой подход позволяет построить алгоритм, использующий для получения решения соответствующей СЛАУ лишь матрицы простой структуры. Недостающие же коэффициенты разложения можно определить на втором этапе с использованием дополнительных (начальных либо граничных) условий, решая простую систему из пары линейных уравнений.
Корректность работы предлагаемого алгоритма проверялась в численных экспериментах при решении ряда краевых задач с известными решениями. Результаты демонстрируют высокую точность и эффективность предложенного метода.
Список источников
1. Greengard L. Spectral Integration and Two-Point Boundary Value Problems // SIAM J. Numer. Anal. 1991. V. 28 (4). P. 1071-1080.
2. Amiraslani A., Corless R.M., Gunasingam M. Differentiation matrices for univariate polynomials // Numer. Algorithms. 2020.
V. 83 (1). P. 1-31.
3. Boyd J.P. Chebyshev and Fourier Spectral Methods. 2nd revised ed. Dover Books on Mathematics, 2013. 611 p.
4. Zhang X., Boyd J.P. Asymptotic Coefficients and Errors for Chebyshev Polynomial Approximations with Weak Endpoint Singu-
larities: Effects of Different Bases. 2021. URL: http://arxiv.org/abs/2103.11841
5. Mason C., Handscomb D.C. Chebyshev polynomials. New York : Chapman and Hall / CRC Press, 2002. 360 p.
6. Olver S., Townsend A. A fast and Well-Conditioned spectral method // SIAM Rev. 2013. V. 55 (3). P. 462-489.
7. Trefethen L.N. Spectral methods in MATLAB. Philadelphia : SIAM, 2000. 160 p.
8. Gottlieb D., Orszag S.A. Numerical analysis of spectral methods. Philadelphia, PA : Society for Industrial and Applied Mathematics,
1977. 485 p.
9. El-gendi S.E. Chebyshev solution of differential, integral and integro-differential equations // Comput. J. 1969. V. 12 (3). P. 282-287.
10. Trefethen L.N. Is gauss quadrature better than clenshaw-curtis? // SIAM Rev. 2008. V. 50 (1). P. 67-87.
11. Muite B.K. A numerical comparison of Chebyshev methods for solving fourth order semilinear initial boundary value problems // J. Comput. Appl. Math. 2010. V. 234 (2). P. 317-342.
12. Egidi N., Maponi P. A spectral method for the solution of boundary value problems // Appl. Math. Comput. 2021. V. 409. Art. 125812.
13. Keller H.B. Numerical methods for two-point boundary value problems. Boston : Ginn-Blaisdell, 1968. 192 p.
14. Epperson J.F. An introduction to numerical methods and analysis. 2nd ed. New Jersey : John Wiley & Sons, Inc, 2013. 591 p.
15. Fornberg B.A Practical Guide to Pseudospectral Methods. Cambridge : Cambridge University Press, 1996. 231 p.
References
1. Greengard, L. (1991) Spectral integration and two-point boundary value problems. SIAM Journal of Numerical Analysis. 28(4).
pp. 1071-1080. DOI: 10.1137/0728057
2. Amiraslani, A., Corless, R.M. & Gunasingam, M. (2020) Differentiation matrices for univariate polynomials. Numerical
Algorithms. 83(1). pp. 1-31. DOI: 10.1007/s11075-019-00668-z
3. Boyd, J.P. (2013) Chebyshev and Fourier Spectral Methods: Second Revised Edition. Dover Books on Mathematics.
4. Zhang, X. & Boyd, J.P. (2021) Asymptotic coefficients and errors for chebyshev polynomial approximations with weak endpoint
singularities: Effects of Different Bases. [Online] Available from: http://arxiv.org/abs/2103.11841.
5. Mason, C. & Handscomb, D.C. (2002) Chebyshev polynomials. New York: Chapman and Hall/CRC Press.
6. Olver, S. & Townsend, A. (2013) A Fast and Well-Conditioned Spectral Method. SIAM Review. 55(3). pp. 462-489. DOI:
10.1137/120865458
7. Trefethen, L.N. (2000) Spectral methods in MATLAB. Philadelphia: SIAM.
8. Gottlieb, D. & Orszag, S.A. (1977) Numerical Analysis of Spectral Methods. Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied
Mathematics.
9. Elgendi, S.E. (1969) Chebyshev solution of differential, integral and integro-differential equations. Computer Journal. 12(3).
pp. 282-287. DOI: 10.1093/comjnl/12.3.282
10. Trefethen, L.N. (2008) Is Gauss quadrature better than Clenshaw-Curtis? SIAM Review. 50(1). pp. 67-87. DOI: 10.1137/060659831
11. Muite, B.K. (2010) A numerical comparison of Chebyshev methods for solving fourth order semilinear initial boundary value problems. Journal of Computational and Applied Mathematics. 234(2). pp. 317-342. DOI: 10.1016/j.cam.2009.12.029.
12. Egidi, N. & Maponi, P. (2021) A spectral method for the solution of boundary value problems. Applied Mathematics and Computation. 409. pp. 125812. DOI: 10.1016/j.amc.2020.125812
13. Keller, H.B. (1968) Numerical methods for two-point boundary value problems. Boston: Ginn-Blaisdell.
14. Epperson, J.F. (2013) An introduction to numerical methods and analysis. 2nd ed. New Jersey: John Wiley & Sons, Inc.
15. Fornberg, B.A (1996) Practical guide to pseudospectral methods. Cambridge: Cambridge University Press.
Информация об авторах:
Ловецкий Константин Петрович - доцент, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной информатики и теории вероятностей Российского университета дружбы народов (Москва, Россия). E-mail: lovetskiy-kp@rudn.ru Кулябов Дмитрий Сергеевич - профессор, доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной информатики и теории вероятностей Российского университета дружбы народов (Москва, Россия). E-mail: kulyabov-ds@rudn.ru Севастьянов Леонид Антонович - профессор, доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной информатики и теории вероятностей Российского университета дружбы народов (Москва, Россия). E-mail: sevastianov-la@rudn.ru Сергеев Степан Викторович - аспирант кафедры прикладной информатики и теории вероятностей Российского университета дружбы народов (Москва, Россия). E-mail: 1142220124@rudn.ru
Вклад авторов: все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Information about the authors:
Lovetskiy Konstantin P. (Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Peoples' Friendship University of Russia (RUDN University), Moscow, Russian Federation). E-mail: lovetskiy-kp@rudn.ru
Kulyabov Dmitry S. (Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Peoples' Friendship University of Russia (RUDN University), Moscow, Russian Federation). E-mail: kulyabov-ds@rudn.ru
Sevastianov Leonid A. (Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Peoples' Friendship University of Russia (RUDN University), Moscow, Russian Federation). E-mail: sevastianov-la@rudn.ru
Sergeev Stepan V. (Post-graduate Student, Peoples' Friendship University of Russia (RUDN University), Moscow, Russian Federation). E-mail: 1142220124@rudn.ru
Contribution of the authors: the authors contributed equally to this article. The authors declare no conflicts of interests.
Поступила в редакцию 27.10.2022; принята к публикации 09.06.2023 Received 27.10.2022; accepted for publication 09.06.2023
