Многостадийные задачи распределения и упорядочения с нечеткими характеристиками Текст научной статьи по специальности «Математика»

Многостадийные задачи распределения и упорядочения с нечеткими характеристиками

Прилуцкий М.Х. ([email protected]), Попов Д.В.(dennis [email protected])

Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского, Россия, 603600, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23

Рассматриваются многостадийные задачи теории расписаний в достаточно общей постановке (с учетом переналадок, затрат на выполнение работ, директивных сроков, произвольных технологических маршрутов выполнения работ) с нечеткими исходными параметрами, связанными с временными и стоимостными характеристиками работ. Строится общая математическая модель, в которой присутствуют операторы и операции с нечеткими параметрами. Ставятся оптимизационные задачи и предлагаются алгоритмы их решения.

1. Содержательная постановка задачи.

Задачи распределения ресурсов для реальных объектов характеризуются, как правило, отсутствием "точных" характеристик, описывающих функционирование систем. В работах [1,2] предпринята попытка адаптации математической модели к реальным объектам с помощью введения интервальных временных характеристик. В данной работе проблема "неточности" исходных параметров решается с помощью введения "нечеткости". Рассматривается задача составления расписаний выполнения работ в достаточно общей постановке для многостадийных производственных систем при произвольных технологических маршрутах и альтернативных вариантах выполнения работ на машинах. Оценка качества расписаний как и в [3,4] определяется тремя основными составляющим: затратами на выполнение работ на машинах, затратами на переналадки машин и штрафными санкциями, налагаемыми на систему за нарушения заданных директивных сроков. Отличие рассматриваемых здесь задач от задач из [3,4] состоит, во-первых, в том, что в данной работе предполагается возможность выполнения работ в соответствии с произвольными технологическими маршрутами, и, во-вторых, временные и стоимостные характеристики работ в рассматриваемых моделях могут задаваться нечеткими числами, а тем самым в математических моделях могут присутствовать нечеткие операторы и операции с нечеткими числами. В результате решения задачи строится «нечеткое расписание», определяемое «нечеткими» моментами начала и окончания выполнения работ на машинах. Стоит заметить, что нечеткое расписание является некоторым обобщением обычного, «четкого» расписания, которое можно представить как частный случай «нечеткого».

2. Общая математическая модель («четкий случай»).

2.1.Исходные параметры модели.

Пусть J - множество работ, I - множество машин, К - множество стадий, объединяющих однотипные машины. Работе 1 поставим в соответствие набор

г1 = (г1, г^,..., г/ ), где г/ - номер стадии, на которой должна выполняться I -тая

операция работы 1, г/ е К, I = 1, к1 , ]е1. Здесь под операцией понимается процесс выполнения работы на машине какой-либо стадии. Обозначим через - время выполнения I -ой операции работы 1 (на стадии г11) на машине , с^ - затраты за единицу времени выполнения работы ] на машине i стадии 1, т^ - время переналадки машины г с работы ^ на работу 1, г^ - время наладки машины i на 1 -тую операцию работы ], ё- затраты за единицу времени переналадки машины г с работы ^ на работу 1, - директивный срок завершения последней операции работы 1, gj -коэффициент, определяющий штрафные санкции, связанные с нарушением работой 1

определенного для этой работы директивного срока, iе I, I = 1, к 1 , ]е1, sе I. 2.2.Варьируемые параметры модели.

Обозначим через Х={ х1П, iе I, I = 1,к. ]е I }, где х1П - момент начала выполнения

У

11

операции I работы 1 на машине ц У={ууь iеI, I = 1,к. ]е1}, где

1, если операция I работы 1 выполняется на машине г, 0, в противном случае,

2={ , iе I, I = 1,к1 ]е1}, где - номер по порядку выполнения I-ой операции 1 -ой

7'1

работы на г-ой машине, е {0,1,...,N }, N = Xк1, iе I, I = 1,к1 ]е1.

jеJ

2.3. Ограничения математической модели:

X у ..г = 1, ! = йТ 1 е J. (1)

1е1 1 1

(Каждая операция любой работы выполняется на одной машине)

Если У Ц1 = 1 и У8]1 -1 = 1 ,то х 1 - Х1- + -, 1 = 2 к1, ге 1, ^ е 1, 1 е . (2)

(Начало любой операции может наступить лишь после завершения всех операций, ей предшествующих по технологии)

Если У j = 1 У vs = 1 Zjl = Zvs + 1 т0 x ,fl > x vs + t,jl +

i e I, s = 1, kv, l = 1, , v e J, j e J. (3)

(Начало выполнения любой работы на машине может начаться лишь после завершения выполнения на этой машине предыдущей работы).

xyi > rу,, если z л = 1, ie 1 l = 1 kj , j e J. (4)

(Момент начала выполнения самой первой для машины операции может наступить лишь после наладки машины на эту работу)

xifl > 0, уу e {0,1}, zy e {0,1,..., N}, iel, l = , jeJ. (5)

(Естественные условия на введенные переменные).

3. Формализация критериев оптимальности

В качестве частных критериев оптимальности выберем следующие три группы:

• группу частных критериев, связанных с директивными сроками выполнения работ:

F j(X, Y, Z) = g max(0, xi0j,0 +1 j,0 - Dj ) ^ min , где l0 = kj, Уj,0 = 1, (6)

0

- штрафные санкции, связанные с нарушением директивного срока, определенного для работы j, je J;

• группу частных критериев, связанных с затратами на переналадки машин:

kj ks

F2j (X,Y,Z) = X ЪЬтАУшУ* ^ min (7)

s, iVisl = zijt -1 t=! s=!

- суммарные затраты, связанные с переналадками машины с номером i, ie I;

• группу частных критериев, связанных с затратами на выполнение на

машинах всех операций работы с номером j, j e J:

kj

F3j (X, Y,Z) = Х&луУс» ^ min . (8)

ieI l=1

- суммарные затраты, связанные с выполнением всех операций по работе с номером j, j e J.

В качестве свертки частных критериев оптимальности выберем аддитивную свертку как внутри групп частных критериев, так и между группами:

F = 1F1 j + X F2i + X F3j. (9)

jeJ ieI jeJ

Полученная задача построения расписаний выполнения работ в многостадийных системах включает в себя исходные параметры, варьируемые параметры, ограничения (1)-(5) и обобщенный критерий (9), который можно интерпретировать как суммарные затраты на выполнение работ. Эта задача является задачей математического программирования с существенно нелинейными ограничениями, нелинейным критерием и частично целочисленными неизвестными. В рамках построенной модели могут быть поставлены такие известные задачи, как задача коммивояжера (учет только переналадок на одной машине), множественного коммивояжера (учет переналадок на нескольких машинах), задача о ранце (не учитывается порядок обработки деталей при заданных директивных сроках) и др.

4.Нечеткие множества, нечеткие числа и нечеткие операторы

Пусть А - произвольное множество. Множество B ={(х, (x))|xеA, l^B(x) е [0,1]}, как и в [5], назовём нечетким множеством в множестве А, где |lB- функция (в дальнейшем - функция принадлежности), определенная на множестве А, со

значениями из множества [0,1]. Нечеткое множество C назовем подмножеством

нечеткого множества B, если цС (x) < |lB (x) для всех х, хе А. Для представления

нечеткости в числовой информации будем использовать нечеткие числа. Нечеткое число можно определить через нечеткое подмножество действительных чисел. Под

нечетким числом A =< ц~, R > мы будем понимать совокупность действительных

чисел, задаваемых функцией принадлежности . В зависимости от вида функции

принадлежности, по разному определяются и нечеткие числа. Так, если функция принадлежности |lR (x) представима в виде:

для любого г и заданного a, a е R, г е R,

Кг ), если г < a,

(г) = ■ 1, если г=a, (10)

к(г), если г > a,

где Кг ) и к (г ) - непрерывные, соответственно, монотонно возрастающие и монотонно убывающие функции, то такое нечеткое число демонстрирует понятие "приблизительно равно числу a".

Если для заданных Ь, c и любого г, где Ь<с, Ь, c ^е R,

(г) =

Кг), если г <Ь,

1, если ге[Ь, о], к(г), если г > c,

(11)

то такое нечеткое число демонстрирует понятие "приблизительно между числами Ь и с".

Если Кг) и к (г) - линейные функции, то нечеткое число, определенное через соотношения (10) имеет треугольную форму функции принадлежности, а нечеткое

число, определенное через соотношения (11), имеет трапециевидную форму функции принадлежности. В нашей работе мы будем придерживаться трапециевидной формы нечеткого числа.

5. Операции над нечеткими числами.

Пусть заданы два нечетких числа A =< R > и B =< R > . Если через L обозначить бинарную операцию (сложение, вычитание, умножение, деление), то нечеткое число C = A ± B может быть определено следующим образом: C =< j (z) = m axj (x) a j (y)], R >, (12)

C z=x±y A B

где aAb=min(a,b).

Алгоритм нахождения функции принадлежности результата бинарной операции обладает большой вычислительной сложностью, поэтому разными авторами разработан ряд приближенных алгоритмов для нахождения результатов операций над нечеткими числами. Один из подходов заключается в концепции L-R аппроксимации нечетких чисел, предложенной Дюбуа (Dubois) и Прадом (Prade) в [6]. Используя L-R приближения нечетких чисел можно свести операции над ними к интервальной арифметике. В нашей работе мы будем использовать подход предложенный Yager и P. Filev в [7]. Пусть X1 хX2 х...хXn- декартово произведение множеств и

f : Xj хX2 х...хXn ^ Y . Пусть A1,..., An, соответственно, нечеткие подмножества

множеств X1,...,Xn. Тогда функцию принадлежности нечеткого множества

B =< Y >, определенного на Y, можно задать как:

!s(y) = ( ) max f( ) [!л(х1) AjA(x2) A... a ij (Xn)]. (13)

(x,...,Xn )eXc х.^п <*f (x ,...,Xn)=y A' 1 A2 An

Выражение ( 1 3) позволяет определять арифметические операции над нечеткими числами. В случае, когда отображение f является арифметической операцией сложения, выражение ( 3) будет выглядеть следующим образом:

js( z ) = max[j ~(х) a j ~( y)]. ( 1 4)

B z=x+y A B

6. Операции сравнения нечетких чисел

Существует несколько подходов, используемых при ранжировании нечетких чисел. В настоящей работе применяется метод, основанный на нахождении центра тяжести функции принадлежности нечеткого числа. Пусть заданы два нечетких числа A и B. Будем говорить, что нечеткое число A меньше или равно нечеткого числа B и записывать это как A ^ B, если

COG j) < COG(j~), ( 1 5)

где COG — функция нахождения центра тяжести функции принадлежности. Отсюда нетрудно определить и понятие равенства нечетких чисел. (COG(j< COG(jи

COG(j~) < COG(j). Таким образом используя оператор можно ввести

отношение порядка на множестве нечетких чисел.

7. Общая математическая модель и постановка оптимизационной задачи («нечеткий случай»).

Среди исходных параметров математической модели выделим временные и стоимостные характеристики - длительности выполнения работ, времена переналадок,

величины затрат на выполнение работ и переналадки машин. В соответствии с выше принятой концепцией «нечеткости», все эти параметры могут быть заданы как нечеткие числа. Кроме того, среди варьируемых переменных нечеткими могут быть времена начала выполнения работ, а тем самым и времена их окончания (результат сложения двух или более нечетких чисел). Среди ограничений математической модели выделим (2), (3) и (4). В этих ограничениях все операции заменяются своими нечеткими аналогами, определенными выше. В таком случае эти ограничения становятся справедливыми и в нечетком случае. Аналогично поступим и с критериями (6), (7) и (8), а тем самым и с обобщенным критерием (9). Таким образом, получим многостадийную задачу распределения и упорядочения с нечеткими характеристиками. В этой задаче временные, стоимостные характеристики и моменты начала выполнения работ на машинах определяются как нечеткие числа, нечеткими становятся ограничения и обобщенный критерий оптимальности.

8. Алгоритмы решения задачи.

При решении реальных задач теории расписаний, которые как правило имеют достаточно большую размерность, в случае нечетких постановок увеличивается объем используемой для решения задачи информации, так как каждое нечеткое число представляет из себя некоторый упорядоченный набор данных. Учитывая большую вычислительную сложность рассматриваемой задачи, для ее решения предлагается использовать жадные алгоритмы. Под жадными алгоритмами мы понимаем алгоритмы, в которых включенная в строящееся расписание работа не может быть исключена на последующих стадиях построения.

Алгоритм - построитель расписания A(P), зависящий от перестановки P, задающей приоритеты работ. Чем раньше в перестановке находится работа, тем выше ее приоритет и тем ранее она должна быть обработана в производственной системе. Алгоритм поиска перестановки P с глубиной h. Общее количество возможных перестановок n!, где n - число работ. При больших n вводится натуральное число h, h<n, и производится перебор из h! вариантов перестановок. Лучший с точки зрения обобщенного критерия вариант определяет очередную работу, включаемую в строящуюся перестановку P.

Алгоритм, использующий Simulated Annealing метод для нахождения псевдооптимальной перестановки. В этом подходе как и в [4,8] используется аналогия между процессом нахождения псевдооптимального решения и моделью охлаждения термодинамической системы. Проводится аналогия между:

• энергией термодинамической системы (E ) и критерием оптимальности задачи (F ), полагая что их значения совпадают,

• перестановкой, задающей приоритеты работ, и состоянием термодинамической системы (п ).

Вводятся случайные операторы перехода из одного состояния системы в другое, или, другими словами от одной перестановки работ к другой. Задается эмпирический параметр T - температура термодинамической системы. Из известной формулы распределения вероятностей энергий для термодинамической системы Больцмана следует, что вероятность перехода системы из состояния с энергией E1 в состояние с

-&E/

энергией E2 при температуре T, P(&E) = e /kT , где &E = E2 - E1 и k - постоянная Больцмана (коэффициент пропорциональности, задающий отношение между энергией и температурой). Оптимизационный алгоритм работает следующим образом: для некоторого начального параметра T0 и перестановки п0 находится E0 - значение

критерия оптимальности. Применяется случайный оператор перехода из состояния п0

в п1. Находится значение E1 для этого состояния. Если &E > 0 или P(&E) < В , где В - случайное число, равномерно распределенное в диапазоне [0,1] то п1 принимается за текущее состояние системы и шаг повторяется относительно п1. Иначе шаг повторяется относительно п0. После mn ( n — число работ, m- управляемый параметр) повторений этого шага предполагается, что происходит "охлаждение термодинамической системы" TM = T / 2. Условием остановки алгоритма является отсутствие улучшений критерия задачи.

Метод локального улучшения расписания. Используется информация о суммарном вкладе каждой работы в общую стоимость расписания. Делается попытка увеличить приоритет этой работы для уменьшения суммарной стоимости расписания. Алгоритм работает до того момента, пока данная стратегия не будет давать улучшения. Алгоритм критического пути. Для каждой работы рассчитываются ее временные характеристики, на основании которых определяются резервы времени работ относительно заданных директивных сроков. Первоначальная перестановка определяет последовательность работ, резервы времени которых не убывают.

Для улучшения искомого расписания могут быть использованы комбинации вышеописанных алгоритмов.

9.Заключение.

В результате решения оптимизационной задачи с нечеткими параметрами мы получим расписание, в котором времена обработок становятся "размытыми". Это означает, что при реализации построенного расписания можно устанавливать работы на обработку в любое время, для которого функция принадлежности не равна 0. Если мы будем придерживаться этого ограничения, то мы гарантированно не выйдем за пределы интервалов рассчитанных оценок стоимостных и временных характеристик. Очевидно, что предпочтительнее выбирать времена, при которых их функции принадлежности достигают максимального значения. Этим достигаются наилучшие характеристики реализуемого расписания. Итак, введение нечетких параметров придает дополнительную устойчивость построенному расписанию, что облегчает его реализацию в реальных условиях. В отличие от интервальных моделей [1,2], использование нечетких чисел (множеств) дает возможность определять предпочтительные значения реализуемых параметров по принципу - чем больше функция принадлежности, тем предпочтительнее данное значение параметра. Параллельно возникает интересная задача уточнения строящегося расписания по мере его реализации в производственных условиях. По мере реализации расписания все больше параметров переходят из разряда нечетких в категорию четких. Например, времена выполнения работ на машинах, времена переналадок. Пересчитывая расписание, мы можем постоянно уточнять окончательную оценку стоимостей и времен выполнения. Это дает возможность модифицировать расписание "на лету" по мере его реализации, если в этом есть необходимость.

На основе построенной математической модели и разработанных алгоритмов реализована диалоговая программная система, включающая в себя процедуры работы с нечеткими числами. Система реализована на языке C++ с использованием компилятора MS Visual C++ 6.0 и работает в MS Windows 9x/2000. Результаты вычислительного эксперимента говорят о целесообразности использования предлагаемого подхода для решения многостадийных задач теории расписаний как с "четкими", так и с " нечеткими" параметрами.

Работа выполнена при поддержке РФФИ грант 00-01-00384.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Прилуцкий М.Х. Многокритериальное распределение однородного ресурса в иерархических системах // Автоматика и телемеханика. 1996. №2. С. 24-29.

2.Прилуцкий М.Х. Распределение однородного ресурса в иерархических системах древовидной структуры. Труды международной конференции "Идентификация систем и задачи управления SICPRO 2000". Москва, 26-28 сентября 2000г. Институт проблем управления им. В.А.Трапезникова РАН. М.: Институт проблем управления им. В.А.Трапезникова РАН, 2000, с.2038-2049.

3. Батищев Д.И., Гудман Э.Д., Норенков И.П., Прилуцкий М.Х., Метод декомпозиций для решения комбинаторных задач упорядочения и распределения ресурсов. Журнал Информационные технологии. Москва, N1,1997, с.29-33.

4. Прилуцкий М. Х., Попов Д. В. Распределение и упорядочение работ в многостадийных системах. Межвузовский тематический сборник научных трудов ВГАВТ. Моделирование и оптимизация сложных систем. ННовгород, 1999, с. 123 - 130.

5. Р.Беллман, Л.Заде Принятие решений в расплывчатых условиях. Сб. Вопросы анализа и процедуры принятия решений. М. Мир, 1976, с. 172-215.

6. D. Dubous, H. Prade, Fuzzy Sets and Systems: Theory and applications, Academic Press, New York, 1980

7. Dimitar P. Filev, Ronald R. Yager, Operations on fuzzy numbers via fuzzy reasoning. Fuzzy Sets and Systems 91, 1997, pp 137-142