CC BY
22
УДК 378.005
Н. П. Чурляева
МНОГОШАГОВЫЙ ПРОЦЕСС ОБУЧЕНИЯ КАК ДВИЖЕНИЕ В НАПРАВЛЕНИИ УВЕЛИЧЕНИЯ КОМПЕТЕНТНОСТИ СТУДЕНТА ПО ТРАЕКТОРИИ, ЗАДАННОЙ УЧЕБНЫМИ МОДУЛЯМИ
Учебный процесс представлен как многошаговый процесс принятия решений, базирующийся на вероятностных состояниях, включающих всю учебную предысторию. В ходе этого процесса вырабатываются различные стратегии, включая и наиболее оптимальную, которая может быть реализована посредством использования эффективных педагогических технологий, обеспечивающих выход на заданный уровень компетентности.
Множество учебных модулей дисциплин технического вуза с топологической точки зрения представляет собой сеть, движение по узлам которой задает множество возможных траекторий для отдельного студента или групп студентов от начального состояния (абитуриент) до конечного (дипломник). В рамках этого представления учебный процесс является графом, ориентированным на прохождение студентом учебных модулей и определенным для разновидностей сети, узлы которой 1..л,j...N, образующие непустое конечное множество, соответствуют этим учебным модулям общим числом N. Подмножество 5 множества NxN, составленного из элементов (г,]), представлено дугами, связывающими различные модули и указывающими на возможность перехода от узла г к узлу j. Если пометить в этой сети каждый модуль целым числом, присвоив ему соответствующий номер таким образом, что будет справедливо неравенство г < j, и ввести веса дуг, связывающих соответствующие узлы, то общая схема образовательного процесса в определенном смысле может быть сведена к процедуре многошагового процесса принятия решений. Полагая в рамках структурно-компетентностного подхода к обучению [1], что образовательный процесс в техническом вузе должен быть ориентирован прежде всего на обеспечение максимального уровня компетентности выпускников, будем считать, что в роли весов дуг должны выступать определенные некоторым образом частные коэффициенты компетентности [2]. Тогда проблема повышения компетентности в общем виде будет сводиться к отысканию траектории, при движении по которой от начального общеобразовательного модуля до конечного модуля дипломного проектирования происходило бы постепенное наращивание уровня компетентности до его максимально возможного значения / аддитивным образом. Приращение к значе-
нию/. при переходе от модуля і к модулю j будет равняться длине дуги (і^) перехода от одного узла сети к другому. Для конкретности представим себе, что мы имеем дело с гипотетическим учебным процессом, насчитывающим всего девять учебных модулей (рис. 1).
На рис. 1 направление учебного процесса по пути
( і }-►( ;-*■( і /-К : У-К '-УЧ"") будет включать несколько частных подпутей, например 6) и (4>0.
Направление учебного процесса по траектории
( 1 }-►( : /-*■( 1 /-К - )-Ч У*С") (рис. 2) представляет наихудшую стратегию, поскольку эта стратегия обеспечивает наименьший уровень компетентности на выходе из стен учебного заведения, а по траектории
- наилучшую стратегию.
Помимо стратегий, изображенных на рис. 2 и 3, для гипотетического учебного процесса (см. рис. 1) можно выделить еще 63 возможные стратегии. В то же время существует единственная стратегия учебного процесса, являющаяся оптимальной для всех учебных модулей. Оптимизационная задача, сформулированная в этом варианте, включает целые классы подзадач, сами по себе также являющиеся оптимизационными, каждую из которых можно свести к задаче линейного программирования - максимизировать значение
[ Л(*і) + Р2( х2) + ••• + Рп (хп) + ••• + Рм (хм)] (1)
при имеющихся ограничениях на ресурсы:
Сі( Хі) + с 2 (Х2) + ••• + Сп (Хп ) + ••• + См (Хм) < К,
0 <хп<В, п = 1, 2, ..., N, хп - целые числа, (2) где К и В - константы; функции с (х ) неотрицательны и принимают целые значения, сп(хп) = 0; рп (хп) - известные, но произвольные функции, обладающие свойством
Рис. 1. Схема гипотетического учебного процесса, состоящего из девяти модулей. Числа вдоль дуг соответствуют условным вкладам tj. в уровень компетентности при движении от модуля к модулю
рп(хп) = 0. В сформулированной таким образом задаче функции сп(хп) ирп(хп) заданы, а переменными являются х1,х2, ...,хп, ...,х^
Если интерпретировать эту задачу в терминах проблемы повышения уровня компетентности выпускников, то функциирп(хп) должны представлять собой не что иное, как аддитивные вклады в компетентность студентов, теоретически достижимую после прохождения ими дисциплин соответствующих учебных модулей, а функции сп(хп) - имеющийся учебный ресурс (например, часы учебной нагрузки), необходимый для организации учебного процесса. В такой интерпретации задача линейного программирования заключается в максимизации уровня компетентности при условии, что общее количество учебных часов не выйдет за рамки предусмотренного стандартом объема аудиторных занятий в учебном плане. Решение оптимизационной задачи в этом варианте можно свести к рассмотрению многошагового процесса принятия решений, имея в виду, что обучение производится по курсам и семестрам.
Рассмотрим ситуацию, когда к определенному моменту времени обучение студенческой группы, начиная от первого и кончая (п - 1)-м учебного модулем, уже закончилось. Пусть на этом этапе мы имеем недоиспользованный учебный ресурс некоторого объема, равный величине у. Эти оставшиеся недоиспользованными у единиц ресурса необходимо оптимально распределить с целью доведения учебного процесса до конца.
Пусть /' (п, у) - максимально возможный уровень компетентности, который можно обеспечить путем распределения у единиц учебного ресурса. Величина/(1, К) является в данном случае решением исходной оптимизационной задачи, которая была погружена в семейство,
состоящее из N (К + 1) задач. Теперь требуется определить значения /(п, у) для п = 1,2, ..., N и у = 0, 1, 2, ..., К. Имеющаяся ситуация характеризуется с помощью пары значений (п, у), в которой содержится вся информация, необходимая для принятия текущего решения в рассматриваемом узле сети, причем можно не учитывать того, каким образом произошел переход в состояние (п, у). Значениерп(хп) +/[п + 1,у - сп(хп)] представляет максимальный уровень компетентности, которого можно достичь путем перераспределения у единиц ресурса для организации учебного процесса. Максимизируя это выражение по хп, будем искать величину
/(п, у)=таххп{рп(хп) +
+/[п + 1, у-сп(хп)]| х - допустимо}. (3)
Выражение (3) справедливо для п 5 < N, если положить /ф+1,у ) = 0, у = 0,1,2,., К. (4)
Это означает, что недоиспользованный ресурс оказывается бесполезным, и такое предположение применительно к учебному процессу вполне реалистично, поскольку при организации процесса обучения нельзя ввести понятие издержек учебного производства за переход недоиспользованного учебного ресурса в следующий период.
Соотношение (3) представляет собой систему функциональных уравнений, однако при решении задачи организации учебного процесса следует иметь в виду, что мы имеем дело не с четко сформулированной управленческой задачей, а с образовательным процессом, плохо поддающимся формализации. Сложность рассмотрения в данном случае заключается в том, что переходы осуществляются не просто от одного узла сети к другому, а от некоторого плохо формализуемого состояния к другому состоянию, причем отдельное состояние представляет
Рис. 2. Пример частной стратегии многошагового управления гипотетическим учебным процессом, обеспечивающей наименьший конечный уровень компетентности для сети, показанной на рис. 1
Рис. 3. Пример частной стратегии многошагового управления гипотетическим учебным процессом, обеспечивающей наибольший конечный уровень компетентности для сети (см. рис. 1)
собой точку учебного процесса, в которой принимается решение. Описание каждого такого состояния желательно провести с такой степенью детализации, которая позволила бы дать оценку альтернативным решениям, относящимся к организации учебного процесса.
При переходе на язык состояний погружение во множество оптимизационных задач эквивалентно введению понятия пространства состояний, представляющего собой множество возможных состояний системы:
Sn={(n,y )|у = 0,1,2,...,^}. (5)
Оптимальной стратегией в этом случае будет такая стратегия, которая станет оптимальной одновременно для каждого состояния, и будет обладать свойством, что какими бы ни были начальные состояния и решения, последующие решения станут формировать оптимальную стратегию для состояния, возникающего после первого перехода.
Еще одна сложность рассмотрения задачи оптимизации учебного процесса заключается в том, что мы имеем дело с переходами из одного неоднозначно определенного состояния системы в другое, и поэтому в данном случае чисто такой подход к разрешению проблемы оказывается несостоятельным. Можно сказать, что детерминистский подход к решению проблемы невозможен постольку, поскольку процесс обучения всегда содержит значительный элемент неопределенности. Поэтому при описании процесса наращивания компетентности при движении от состояния к состоянию мы вынуждены отойти от детерминистского подхода в пользу стохастического, передя на язык вероятностей и статистики. Введем в рассмотрение величину/(п, г), представляющую собой максимальное значение математического ожидания уровня компетентности, который можно достигнуть в периодах п, п + 1, если процесс обучения нахо-
дится в состоянии (п, г). Горизонт планирования учебного процесса в данном случае будет состоять из N периодов (семестров), каждый из которых нумеруется целыми числами от 1 до N, причем величина N связана со ступенью образования и варьируется в зависимости от того, с кем мы имеем дело - бакалаврами, магистрами или стажерами. Переход от модуля к модулю эквивалентен переходу от периода п к периоду п + 1.
Введем далее следующие обозначения: Я* (п) - уровень компетентности, достигаемый при выборе к-го решения в (п, г)-м состоянии; Р* (п) - вероятность перехода из состояния (п, г) в состояние (п + 1,]) при выборе к-го решения. Величина
Я (п) + £ Р (п) / (п +1, Л) (6)
представляет собой математическое ожидание уровня компетентности при начальном состоянии (п, г), выборе решения к и следовании оптимальной стратегии для дальнейшего движения от п +1 до N. Эта величина не может превышать значения/(п, г). Путем максимизации выражения (6) по к можно получить следующее соотношение: / (п, I) = шах[Як (п) + £ ,Рк (п)/(п +1, Л)]. (7)
Оно справедливо при п < N а также при п = N если положить/(п + 1,])= 0.
Если уровень компетентности задан (например, рынком), то исходя из этого уровня следует решать функциональное уравнение в направлении убывания п, т. е. ис-
пользовать метод обратной прогонки. В данной постановке задачи метод прямой прогонки оказывается непригодным, поскольку используемая модель является моделью марковского типа, которая описывает стохастический процесс, содержащий большой элемент неопределенности. В этой модели с конечным множеством состояний от 1 до m требуется максимизировать математическое ожидание уровня компетентности, полученное за весь процесс обучения студента. Для каждого такого состояния имеется конечный набор решений, однозначно соотносящийся с теми учебными методами и технологиями, которые применяются в данном состоянии. Можно ввести локальную функцию компетентности, равную
m
h(i,к, v) = Rj (n) + £Pjvj, (8)
j=i
где v(j) сокращено до vj в силу того, что vj) является элементом вектора v размером m х 1. Решения принимаются в периоды 0, 1,2, ... и т. д., представляющиеся одинаковыми промежутками времени, равными по продолжительности отдельным семестрам, величина с - это показатель дисконтирования за период, 0 < с < 1.
Допустим, в период n наблюдается состояние i и выбрано решение к. По локальной функции компетентности следует, что вероятность перехода из состояния i в состояние j в период (n + 1) равна Pj. Логично сделать предположение о том, что
m
£ Pj < 1. (9)
j=1
Это неравенство предполагает, что стохастический процесс обучения может быть искусственно приостановлен на некотором шаге (например, студент может быть отчислен из-за крайне низкого уровня компетентности). В случае прерывания процесса переход в некоторое другое состояние в следующем периоде (семестре) не осуществляется.
Процесс обучения начинается в момент зачисления абитуриента и может продолжаться неопределенно долго при учете послевузовских форм обучения и повышения квалификации. При таком подходе стратегия Г определяет решение 8(i) для состояния i. Уровень компетентности, достигаемый стратегией 5, можно представить с помощью m-мерного вектора R5, а вероятность переходов - записать в виде матрицы переходных вероятностей Р5 размера тхт:
(R5 )i = R5 (i), (10)
(P5 )j = P(i). (11)
Модель с дисконтированием (переходный режим) можно определить как модель, в которой выполняются следующие гипотезы:
- гипотеза 1:
N
c£ Pj < 1 при всех i, k; (12)
- гипотеза 2: для всякой стратегии обучения собственные значения
И1 < 1. (13)
N
Гипотеза 1 справедлива, если соотношение £ Pj < 1
j=1
выполняется как строгое неравенство, или если с < 1. Это означает, что процесс может остановиться на некотором
шаге, т. е. переход в следующее состояние не осуществляется. Стратегия 2 определяет режим переходного периода.
Для того чтобы (сР5) ^ 0 при п ^ ^, достаточно выполнения любой из двух приведенных выше гипотез. При этом неймановская последовательность 1 + (еРь) + (еРь )2 +... сходится к матрице, обратной к (I- cP5). В этом случае
I - единичная матрица размера mxm. Поскольку в рассматриваемой модели имеется m состояний, то функцию уровня компетентности для стратегии 5 можно записать в виде вектора длиной m, а уравнение стратегий переписать в матричном виде. Для того чтобы получить само уравнение стратегий, необходимо учитывать, что каждая стратегия обучения 5 связана с функцией компетентности V5, где у5(^) определяет агрегированный уровень компетентности, которого можно достигнуть, исходя из состояния ^ и используя стратегию обучения 5. Выражение «использовать стратегию обучения» означает, что в состоянии ^ выбирается решение 5(^), затем предполагается, что процесс перешел в состояние s/, в котором выбирается решение 5^") и т. д. Функция уровня компетентности зависит от последовательности состояний и решений о вознаграждениях, связанных с рейтинговой системой вуза, а также от способа агрегирования поощрений, т. е. от того, насколько удачно рейтинговая система вписывается в структуру управления учебным процессом.
Если ограничиться состоянием s и отдельным решением d, то можно рассматривать многошаговый процесс принятия решений как усеченный. В этом случае такой процесс ведет себя так же, как исходный неусеченный процесс, но только в течение одного перехода, а затем останавливается. Закон перехода и способ агрегирования вознаграждений отражаются в неявном виде посредством функции компетентности V. Отсюда должен произойти переход из состояния s в состояние s/, при котором теоретически может быть получено вознаграждение v(s/) в виде соответствующих оценок или баллов, а затем процесс останавливается.
Состояния s, решение d и дисциплинарная функция компетентности V являются тремя переменными для модульной функции компетентности h(s, d, v), которая определяется как суммарный уровень компетентности, получаемый в усеченном одношаговом процессе, причем сам процесс начинается из состояния s, где принимается решение d, а дисциплинарная функция вознаграждения есть v. Функция V отображает множество s на действительную ось. Корректной функции v в действительности существовать не может, поскольку при изучении какой-то отдельной дисциплины, входящей в соответствующий модуль, нельзя учесть все составляющие компетентности и абсолютно точно вычислить уровень показателей, позволяющий выпускнику соответствовать требованиям рынка. Поэтому введение функции v позволяет лишь формально записать способ перехода процесса принятия решений при обучении студентов и сформулировать метод агрегирования вознаграждений, базирующийся на рейтинговой системе.
Модульная функция компетентности может быть разъяснена следующим образом. Если видоизменить модель распределения учебного ресурса, в которой со-
стояние s в соответствии с выражением (5) определяется парой (n, y), а решением является xn, то модульная функция компетентности принимает вид
h[(n,y), xn, v] =pn(xn) + v [n +1,y - cn(xn)] < N. (14)
В этом случае осуществляется переход в состояние [n + 1,y - c (x )], и в данный момент будет получено дисциплинарное вознаграждение. Поскольку компетентность является аддитивной величиной, мы должны добавить это значение кp (x ). Но выражение (14) несправедливо при n = N. Действительно, если требовать чтобы состояниям соответствовали связанные с ними решения, т. е. чтобы множество D(s) было не пусто, то исчезает возможность вводить состояние (N + 1, z). Таким образом, переход осуществляется из состояния N, образно выражаясь, «в никуда», и при этом
h[(n, y), xn ,v] = Pn (Xn ). (15)
Если ограничиться таким подходом, то оказывается, что выпускник технического вуза, получив диплом, прерывает не только связь с «alma mater», но весь процесс образования, что ограничивает возможности повышения уровня компетентности в ходе дальнейшего послевузовского образования. Изменяя v, можно восстановить нормальный закон протекания процесса, величины вознаграждений и способ их агрегирования. При наличии нескольких стратегий возникает проблема их оценки. Для решения этой проблемы воспользуемся уравнением оценки стратегий:
v5(s) = h[s, 5(s), v5], (16)
где все s е 5.
В этом уравнении в левой части записан уровень компетентности, который обеспечивает использованием стратегии 5, а справа - компетентность при использовании дисциплинарной функции компетентности v5. Возникает вопрос о наличии возможных решений этого уравнения и единственности существования функции компетентности, удовлетворяющей уравнению (16). В случае положительного ответа v5 определяется как единственная неподвижная точка оператора h[s, 5(s)]. Принцип оптимальности утверждает, что существует такая стратегия п, которая является оптимальной для всех состояний, откуда вытекает, что для такой стратегии функция компетентности vn будет наилучшей из всех возможных в том смысле, что при всех s из S и всех 5 из А
vn(s) > v5(s). (17)
С математической точки зрения неравенство (17) отражает факт существования такой учебной стратегии, функция компетентности для которой является верхней огибающей функцией компетентности для всех других возможных стратегий. Если рассматривается стратегия п, в которой первое решение n(s) изменено, а все остальные остаются прежними, то это изменение не оказывает влияния на компетентность, полученную после перехода и поэтому при всех s и всех d
vn(s)>h’[s, d, vn]. (18)
В результате получим следующее соотношение:
vn(s) = maxd{h’[s, d, vn]} при всех s. (19)
Отметим, что принцип оптимальности эквивалентен утверждению о том, что оптимальная функция компе-
тентности vn существует и является решением функционального уравнения.
Возвращаясь к модели с дисконтированием и переходному режиму, запишем уравнение стратегий в виде
v5 = R5 + cP5v5. (20)
или
(I - cP5) = R5, (21)
где P5 и R5 взяты в соответствии с (10) и (11). Для матрицы (I - cP5) существует обратная матрица, поэтому
v5 = (I - cPs )-1 R5. (22)
Отсюда следует, что уравнение стратегий имеет единственное решение, когда справедлива гипотеза 1 (12) либо (13). В этом случае можно рассмотреть задачу линейного программирования, полагая, что суммирование ведется по всему набору индексов, и вводя пределы суммирования
{£j £Rxj } ^ max (23)
при ограничениях
£ хк -c£ £ xkPk = а., i = 1, 2,...,m, xk > 0
при всех i, k, (24)
где а^ а2,..., аm - любые положительные действительные числа. Известно, что данная задача допустима и ограничена, а ее оптимальный базис обладает следующими свойствами:
1) для каждого i переменная xj положительна только для одного k;
2) n(i) = к всякий раз, когда xj > 0 и стратегия является оптимальной.
Таким образом, стратегия п удовлетворяет формуле (22) и принципу оптимальности. Кроме того, vn представляет собой вектор двойственных переменных и удовлетворяет условиям дополняющей нежесткости для любого оптимального базиса прямой задачи. В то же время данная задача разрешается в рамках леонтьевской системы, одна из особенностей которой состоит в том, что один и тот же базис оптимален для всех положительных правых частей системы (24). Именно поэтому значения констант а. несущественны, если они положительны. Хотя приведенная модель с дисконтированием дает решения со многими состояниями при использовании метода аппроксимации, число возможных решений для каждого состояния не слишком велико.
Применительно к организации учебного процесса эта модель показывает, что при любой форме организации и любых учебных технологиях имеется единственная оптимальная стратегия, обеспечивающая для заданных условий наиболее высокий уровень компетентности выпускников, который определяется аддитивной функцией компетентности [1], базирующейся на дисциплинарной и модульной функциях. В случае если мы имеем дело с открытым образованием, целесообразнее использовать модель без дисконтирования. Для этой модели, не предусматривающей вероятности остановки образовательного процесса, выполняется следующая гипотеза:
с = 1, £ Pk = 1 для всех i, к. (25)
В этой модели процесс принятия решений продолжается бесконечно. Вознаграждение в виде оценок получа-
ется в каждый период, в то время как будущий доход не дисконтируется. В этом случае суммарная компетентность, достигнутая за первые п периодов, теоретически должна стремиться к бесконечности при п —— независимо от того, какая стратегия используется. В этом случае суммарное вознаграждение в виде оценок уже не является критерием, согласно которому можно выделять плохие и хорошие стратегии. Используя модели без дисконтирования, можно наиболее просто максимизировать средний уровень успеваемости за единицу времени. В этом случае приходится говорить о росте или снижении успеваемости, что само по себе может отражать изменение уровня компетентности лишь отчасти. Возвращаясь к задаче линейного программирования (23) при ограничениях
Х,Х-ХХЛЛ = Л I =1,2 т, (26)
у у хкРк = 1, хк > 0 при всех г, к, (27)
Л к 3 ” Л
мы видим, что приведенная модель допустима и ограничена. Ее оптимальный базис обладает следующими свой-
к
ствами: для каждого г переменная хЛ положительна не более чем для одного к, а определенные ниже переходные вероятности образуют одну эргодическую цепь {Рк (х* > 0)} . Темп роста средней успеваемости для данной эргодической цепи является наибольшим среди всех возможных цепей. Иначе говоря, имеется возможность найти эргодическую цепь с максимальным темпом роста средней успеваемости. Эта цепь всегда будет давать наилучший темп прироста успеваемости для тех состояний, которые ее образуют. В большинстве случаев при организации учебного процесса такие состояния достижимы из других состояний, поэтому указанная эргоди-ческая цепь дает наилучший темп роста для всех состояний. Однако в сложных случаях при возникновении нескольких таких цепей, например если обучение ведется по нескольким специальностям, эту задачу придется решать многократно с использованием процедуры типа декомпозиции. Максимальный темп роста средней успеваемости для модели без дисконтирования можно определить с помощью метода итеративных стратегий. В очень простых случаях метод итеративных стратегий равнозначен блочному преобразованию в двойственном симплекс-методе, как и в модели с дисконтированием.
Таким образом, мы убеждаемся, что организация учебного процесса в техническом вузе может представляться многошаговым процессом, базирующимся на вероятностных состояниях, включающих всю учебную предысторию. В ходе этого процесса вырабатываются самые различные стратегии, включая и наиболее оптимальную, которая может быть реализована посредством использования эффективных педагогических технологий, обеспечивающих выход на диктуемый рынком уровень компетентности. Поэтому на следующем этапе плодотворного использования модельной концепции в рамках структурно-компетентностного подхода встает задача рассмотрения, обсуждения, отбора и встраивания в учебный процесс таких педагогических технологий, которые могли бы наиболее продуктивно повышать компетентность выпускника в ходе учебного процесса.
Библиографический список
1. Анализ состояния, методика оценки и пути повышения уровня компетентности выпускников инженерного вуза / Г. М. Гринберг, М. В. Лукьяненко, Н. И. Пак, Н. П. Чурляева // Машиностроение и инженерное образование. 2005. № 2.
2. Гринберг, Г. М. Методика оценки компетентности, как многофункционального показателя качества обучения выпускников высшей школы / Г. М. Гринберг, М. В. Лукьяненко, Н. П. Чурляева // Внутривузовские системы обеспечения качества подготовки специалистов : материалы междунар. конф. Красноярск, 2004.
N. P. Churlyaeva
THE PROCESS OF EDUCATION AS A MULTYSTADIAL MOVEMENT TOWARDS MAXIMUM STUDENT COMPETENCY ALONG THE PATH DETERMINED BY EDUCATIONAL MODULES NETWORK
Here we present process of education as a multistadial process of decision making at the turning points where educational prehistory is statistically considered. During this process various strategies are elaborated including the optimal one which incorporates appropriate pedagogical technologies designed to achieve necessary competency level.
