Многошаговые дискретные игры преследования, описываемые системами уравнений высокого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Маматов М.Ш. ©

Доктор физико-математических наук, Национальный университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека, Ташкент, Узбекистан

МНОГОШАГОВЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ ИГРЫ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ, ОПИСЫВАЕМЫЕ СИСТЕМАМИ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

Аннотация

Работа посвящена изучению одного класса дискретных игр, которое описывается системами уравнений высокого порядка. Решается игровая задача с граничными условиями.

Ключевые слова: преследование, преследующий, убегающий, управление преследования, управление убегания.

Keywords: pursuit, pursuer, evader, pursuit control, evasion control.

Задачам преследования различных классов дискретных игр посвящены многочисленные исследования (см.:[1]-[4]). Общие вопросы теории дискретных игр рассмотрены в [1], задачи преследования и убегания для линейных игр с линейно входящими управлениями изучены в работах [2], [3], задача убегания для линейных и нелинейных игр в [4]. В этих работах движение точек описывается разностными уравнениями первого порядка на евклидовом пространстве. В работах [5], [6] изучена связь между одношаговых и многошаговых игр с дифференциальными играми, распределенными параметрами. Здесь с помощью дискретных игр получены достаточные условия для возможности завершения преследования в дифференциальных играх описываемых уравнениями с распределенными параметрами.

Данная работа посвящена изучению игровой задачи преследования описываемых системами разностных уравнений высокого порядка с граничными условиями на пространстве комплексных переменных. Поставленная задача решается с помощью разностные аналоги интегральных формул Коши. Разработанные методы можно применять для решения задач преследования, описываемых уравнениями эллиптического типа.

Пусть в пространстве Rs размерности s, s > 1 выделены некоторое конечное множество K и некоторое произвольное множество Do точек с целочисленными координатами. Обозначим через D множество, которое пробегает точка n + к если n и к независимо пробегают соответственно множество Do и K . Каждой точке r, r е D, сопоставим множества Kr, к е K, отнеся к нему те точки к, к е K, для которых r - к $ Do. Совокупность тех r, для которых множество Kr непустое, назовем границей Г области D. Рассмотрим дискретную игру, описываемую уравнением

6 Ckzm к = f (n, un,u n), ПО Do, (1)

кО K

где n = (nj,n2v,ns), к = (к1,к2,...,кs)- мультииндексы; zn е Rl, Ck - lxl постоянные квадратные матрицы; u,u - управляющие параметры, u - параметр преследования, V - параметр убегания, un е Pn с Rp, vn е Qn с Rq, Pn и Qn - непустые множества. Параметр u выбирается в виде

последовательности u = u() = umo,u^,...,umi,...), umi е Pm,ml е D0; параметр V - в виде

последовательности V = V (•) = (V o, u 1,..., V i,...), V i е Q i, m е Do; f заданная функция,

отображающая Rsx Rpx Rq в Rl . Также, в R выделено терминальное множество М . Пусть нам заданы граничные условия

Zr | rO A = fr . ( 2 )

© Маматов М.Ш., 2013 г.

Определение. Будем говорить что из «граничного» положения (ф г), ф г $ М, г е Г можно завершить преследование за ^({ф г}) шагов, если по любой последовательности V (•), можно построит такую последовательность и(•), что решение ) = (2п0, г^,..., ,•••) уравнения

е Ск2п+ к= f(n, йп,Гп), п= П\ П1,..., П^..., 2г | гО А = ^ г ,

кО К

попадает М : 2 п е М для некоторого п = пN, о < N < N • При этом для нахождения значения ип

разрешается использовать значение V п.

Известно, что (см. напр. [7], [8]) решение уравнения (1) при условии (2) описывается формулой

2 = е ( е Gn-г+ кСк\$г + е Gn-^(т,ит,и т), пОD, (3)

гО А \ го А I то Do

где Gn - фундаментальное решение уравнения (1), определяемое равенством

G ==— (>••• (>4 А1(Х )1 dX 1•••dX ,

п (2кг)' > Л гУХп+п+1 ,

рЛ ч

X к = к и Х1,. .,Х^ _ комплексные параметры. При выполнении условия detС(X ) Ф 0, если

1Л = 1(1x1 = •• = X ¿1 = 1) существует единственное ограниченное решение задачи (1), (2) в виде (3).

Предположим, что М = М0 + М1,где М0-линейное подпространства Rl, М1 -подмножество подпространства L, L -ортогонального дополнение М0 в Rl. Через П обозначим операцию ортогонального проектирования из Rl на Ь. Пусть

Wl(n) = - М1 + I П п GnN - mf(m, Рт V т ), п е D•

те D0V те 6т

Теорема 1. Пусть существует такое N, что

(4)

-п I X -г. С

ге Г ке Кг

V г

ф г е ),

тогда из «граничного» положения {ф г} можно завершить преследование за N шагов. Доказательство. По условию теоремы и в силу (4) следует существование

а.

е ПП GnN-mf(т,РтVт), те Д и Ье Мх,

ите 6т

что

-П I I г. Скф г =1 ат - ь.

те Do

ге Г ке Кг

(5)

Пусть V = V т, т е D0, произвольное допустимое управление убегающего игрока, и = ит построим как решение следующего уравнения

П GnN- mf (m, ит V т ) = ат , т е 00 •

(6)

Ясно, что эти уравнения имеют решения по выбору ат , так как V т е 6т, ит е Рт. Подставляя V = V т и и = ит в (1) при соответствующих т и применяя формулу (3), получаем

V = I I ^ - г. кС ф г + I ^ - mf (т, ит , ^), п е 0

ге Г ке Кг те 00

г0

Отсюда, применяя к обеим частям этого равенства, оператор проектирования П из (5), (6),

имеем

П V = П X X Чл г+ кск 1 г + X П ^_ mfт йт ,«- у

. . . , . , -V , л

п и. ш ы п - г+ к ге Г ке Кг V г / \

те По

= П X X г -X «»+Ь =Ь е м

ге Г ке Кг те По

V г / о

Из этого включения получим, что П е М1 и значит, ^ N

е М Что и требовалось доказать. В следующих пунктах будем считать, что элементы множество П упорядочены, т.е. элементы множество П можно написать в виде п0, п1,..., п',....

Ж2(0) =- М15 Ж2(п) = П к(п - 1) +П °п- mf (т, Рт и т )], п € П.

« т€ <2т

Пусть

Теорема 2. Пусть существует такое N , что

/

- П X X GnN- г + кСк

ге Г ке Кг

V г

1 г е )

(7)

тогда из «граничного» положения {1 г} можно завершить преследование за N шагов.

Доказательство. Пусть V о,Ь 1,...,Ь 1, V ' = Ь п1 е Q , 0 £ к £ N - 1 - произвольная

последовательность. Для V 0, по условию теоремы и в силу (7), получим включение По условию теоремы существуют такие векторы

а еП /(',Р V'), 1 £ ' £ N - 1и Ь е Мх,

что

ге Г

-ПX X „с

ке Кг

1 г е ^(п') + aN-1 + aN-2 + ... + а,, 1 £ ' £ N - 1.

Отсюда получим, что

- Х е же ч^-г+с к о е ат- ь.

гО А и кО Кг Ш тО По

(8)

Пусть теперь V = V, ,1 £ ' £ N - 1- произвольное допустимое управление убегающего игрока,

управления преследующего игрока и = ui, ui е Р строятся как решения следующего уравнения

П GnN_/(', и V ), 1 £ ' £ N - 1.

(9)

Подставляя и = и{, V = V, в (1) и одновременно применяя формулу (3) и оператор проектирования П , имея в виду (8), (9) получим

П V =П X X е* - г. с

ке Кг

1 г + X П GnNf т ит ^ т) = - X ат + Ь + X ат = Ь е М

те По те По те По

Отсюда получим П ^ е Мх и, значит, ^ N е М . Что и требовалось доказать. Пусть Ь т () ==\Ь т, т е По: Ь т >- о, XV т = 1} и

[ те По ]

К(Ь т ()) = X П[- Ь тМх + П mf (т, РтV т)], пе П,

те По те- Qm

Жз(о) = М„ Жз(п) = и^(Ьт()), пе П.

Ь т (■)

Теорема 3. Пусть М1 - выпуклое множество и существует такое N что

(1о)

-П ^ .,

ге Г ке Кг

V г

1 г е ^зК),

(11)

тогда из «граничного» положения {ф г} можно завершить преследование за N шагов. Доказательство. Вместо включения (11), имея в виду (10), рассмотрим эквивалентное ему включение

П I I е..„C

ke Kr

j г e W(ß m(•)),

существование

ß t(•) = {ß 0,ß 1,ß 2,-,ß i-il следует из (10). Отсюда

.получим

/ \

П I I G.- г+Ckj г e I п \-fMi + П е.- mfm p

ге Г ke K \

m ~>V m

me Do\m V me. Qm

П[ß 0M1 +П G. 0f(m0,Po,u o)]. I \u m -1 1 11 nN - m m m

V m0e Qm0

(12)

(13)

Пусть теперь V о,» 1,...,и т-1, V к £ Qk , 0 < к < т0 - 1 - произвольная последовательность. В силу (13) для V о получим

/ \

-П I I G. - г+ Ckj г e I П [-ß"mM1 +П Gn.- mf ^ Pm ,

re Г ke Кг

V г

V

т' т

e D0 \ 0 V e Q

ß 0M1 + П Gr 0f (m0,P 0,u 0).

m - 1 1 n. - m0 m m

(14)

Управление u 0 e P построим как решение следующего уравнения

П G„.- mof(m0, Um0,V m° )ß m-«1 e M1-

Далее, в силу (14), имеем

- П I I Gn.- г+ Ck j г e I П [- ß mM1 + П Gn.- ^ Pm ,

re Г ke Кг

V г

' m ,V m

me D0\m Vme Qm

Ь 0 Д + П ^ N о / (т0, Ро,» о).

' т -1 1 11 п"-т т т

Точно также, если управление » 1 становится известным, то вышеизложенным способом

можно построить управление щ, обеспечивающее включение

/ \

- П X X GnN- Ск V г £ У } П [- + П GnN- тУ т Рт» т

ге Г к£ Кг т£ D0\{m0,m0-1}»т£ Qm

ß 0 a + П G . 0f (m0,u 0,V 0) + ß 0 2a2 + П G . 0 ,f - 1,u 0 ,,v 0 ,).

1 m -1 1 11 nN-m m 1 m ' 1 m - 2 2 11 n- m0 +1 m -1 m -1y

и т.д.

Таким образом, получим:

П z. = I ß m«m e I ß M = M1.

re 1

+

+

+

me D

me D

0

Отсюда имеем

z . e M.

n

Теорема доказана.

Литература

1. Айзекс Р. Дифференциальные игры // М.:Мир.-1967.-500 с.

2. Дзюбенко Г.Ц., Пшеничный Б.Н. Дискретные дифференциальные игры с запаздыванием информации // Кибернетика.-1972.-№6.-С.65-71.

3. Чикрий А.А., Чикрий Г.Ц. Об информированности в дискретных игровых задачах // Кибернетика. - Киев. 1979. - № 5. - C. 126-128.

4. Сатимов Н., Азамов А. Нелинейные дискретные игры убегания // Кибернетика.- Киев.1976. - №4.- С.79-74.

5. Маматов М.Ш. К теории дифференциальных игр преследования в системах с распределенными параметрами // Автоматика и вычислительная техника. - Рига. 2009. - № 1. - С. 5-14.

6. Маматов М.Ш. О применении метода конечных разностей к решению задача преследования в системах с распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика. - Москва. 2009. - № 8. - С.123-132.

7. Рябенький В.С. Метод внутренних граничных условий в теории разностных краевых задач // УМН.-1971 -вып.3.-С.105.-160.

8. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. -Москва.Наука.1977.С.-440