Многообразия модулей стабильных рефлексивных пучков ранга 2 с нечетным первым классом Черна на комплексном проективном пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.7

С. А. Тихомиров, А. П. Ляпин, А. В. Жигарева

Многообразия модулей стабильных рефлексивных пучков ранга 2 с нечетным первым классом

Черна на комплексном проективном пространстве

В данной статье мы устанавливаем фундаментальные взаимосвязи между двумя специальными классами многообразий модулей стабильных рефлексивных пучков ранга 2 с нечетным первым классом Черна на P3

Ключевые слова:рефлексивный пучок, стабильный пучок, классы Черна, многообразие модулей.

S. A. Tikhomirov, A. P. Lyapin, A. V. Zhigareva

Varieties of Moduli of Stable Reflexive Rank-2 Sheaves with Odd First Chern's Class on Complex Projective Space

In this article we establish the fundamental interrelations between two special classes of variety of moduli of stable reflexive rank-2 sheaves with odd first Chern's class on P3.

Keywords: a reflexive sheaf, a stable sheaf, Chern's classes, variety of moduli.

Маруяма [3] показал, что множество классов эквивалентности изоморфных стабильных рефлексивных пучков параметризуется так называемым (грубым) пространством модулей. То есть, проще говоря, точке в пространстве модулей соответствует класс эквивалентности таких пучков. Это пространство имеет структуру алгебраического многообразия.

Мы рассматриваем наши многообразия модулей стабильных рефлексивных пучков ранга 2 с первым классом Черна, равным -1 (по традиции называемым в алгебраической геометрии нечетным) на трехмерном проективном пространстве Р3 над полем С.

Настоящая работа посвящена установлению фундаментальных взаимосвязей между двумя специальными классами таких многообразий.

Имеют место следующие утверждения.

Утверждение 1. (Хартсхорн, [2], лемма 9.3).

Многообразие модулей стабильных рефлексивных пучков ранга 2 на с классами Черна (—1,т,ш2) неприводимо, гладко и рационально размерности 3, если т=1, и размерности ш2+3ш+1, если ш ^ 2.

Определение 1. Назовем такое многообразие модулей многообразием Хартсхорна.

Утверждение 2. (Ведерников, [1], лемма 4).

Многообразие модулей стабильных рефлексивных пучков ранга 2 на Р3 с нечетными классами Черна (-1,1(к+1),1(к+1)2) неприводимо, рационально и гладко размерности

1 21

/к2 + (61 — /2)к + -/3 — 212 + — / — 4 2 2 .

Определение 2. Назовем такое многообразие модулей многообразием Ведерникова.

Теперь мы формулируем первый из основных результатов нашей работы.

Теорема 1. Для каждого многообразия Хартсхорна всегда найдется многообразие Ведерникова в точности такой же размерности, причем классы Черна пучков в обоих многообразиях будут совпадать.

Доказательство данного результата будем проводить получением экспериментальных данных о размерностях многообразий Хартсхорна и Ведерникова и установлением взаимосвязей между общими формулами для размерностей Хартсхорна и Ведерникова, указанными выше.

© Тихомиров С. А., Ляпин А. П., Жигарева А. В., 2013

Ниже мы приводим наши экспериментальные данные - таблицы размерностей многообразий Хар-тсхорна (по переменной т) и многообразий Ведерникова (по переменным 1 и к). Цифра после двоеточия и есть размерность конкретного многообразия при данном значении переменной (переменных).

m=1 3 m=51 : 2755 m=101 10505

m=2 11 m=52 : 2861 m=102: 10711

m=3 19 m=53 : 2969 m=103 10919

m=4 29 m=54 : 3079 m=104 11129

m=5 41 m=55 : 3191 m=105 11341

m=6 55 m=56 : 3305 m=106 11555

m=7 71 m=57 : 3421 m=107 11771

m=8 89 m=58 : 3539 m=108 : 11989

m=9 109 m= 59 : 3659 m=109 12209

m=10 131 m= 60 3781 m= 110 :12431

m= 11 : 155 m=61 : 3905 m= 111 :12655

m= 12 : 181 m=62 : 4031 m=112 12881

m=13 209 m=63 : 4159 m=113 13109

m=14 239 m=64 : 4289 m=114 13339

m=15 271 m=65 : 4421 m=115 13571

m=16 305 m=66 : 4555 m=116 13805

m=17 341 m=67 : 4691 m=117 14041

m=18 379 m=68 : 4829 m=118 14279

m=19 419 m=69 : 4969 m=119 14519

m=20 461 m=70 : 5111 m=120 14761

m=21 505 m= 71 : 5255 m=121 15005

m=22 551 m= 72 5401 m= 122 :15251

m= 23 : 599 m=73 : 5549 m= 123 : 15499

m= 24 : 649 m=74 : 5699 m=124 15749

m=25 701 m=75 : 5851 m=125 16001

m=26 755 m=76 : 6005 m=126 16255

m=27 811 m=77 : 6161 m=127 16511

m=28 869 m=78 : 6319 m=128 : 16769

m=29 929 m=79 : 6479 m=129 17029

m=30 991 m=80 : 6641 m=130 17291

m=31 1055 m=81 : 6805 m=131 17555

m=32 1121 m=82 : 6971 m=132 : 17821

m=33 1189 m= 83 : 7139 m=133 18089

m=34 1259 m= 84 : 7309 m= 134 :18359

m= 35 : 1331 m=85 : 7481 m= 135 :18631

m= 36 : 1405 m=86 : 7655 m=136 18905

m=37 1481 m=87 : 7831 m=137 19181

m=38 1559 m=88 : 8009 m=138 19459

m=39 1639 m=89 : 8189 m=139 19739

m=40 1721 m=90 : 8371 m=140 20021

m=41 1805 m=91 : 8555 m=141 20305

m=42 1891 m=92 : 8741 m=142 20591

m=43 1979 m=93 : 8929 m=143 20879

m=44 2069 m=94 : 9119 m=144 21169

m=45 2161 m=95 : 9311 m=145 21461

m=46 2255 m=96 : 9505 m= 146 :21755

m= 47 : 1979 m=97 : 9701 m= 147 :22051

m= 48 : 2449 m= 98 : 9899 m=148 : 22349

m=49 2549 m= 99 10099 m=149 22649

m=50 2651 m=100 : 10301 m=150 22951

m= 151 23255

m= 152 : 23561

m= 153 : 23869

m= 154 : 24179

m= 155 : 24491

m= 156 : 24805

m= 157 : 25121

m= 158 : 25439

m= 159 :25759

m= 160 : 26081

m= 161 : 26405

m= 162 26731

m= 163 : 27059

m= 164 27389

m= 165 : 27721

m= 166 : 28055

m= 167 : 28391

m= 168 : 28729

m= 169 : 29069

m= 170 : 29411

m= 171 : 29755

m= 172 30101

m= 173 : 30449

m= 174 30799

m= 175 : 31151

m= 176 : 31505

m= 177 : 31861

m= 178 : 32219

m= 179 : 32579

m= 180 : 32941

m= 181 : 33305

m= 182 33671

m= 183 : 34039

m= 184 34409

m= 185 : 34781

m= 186 : 35155

m= 187 : 35531

m= 188 : 35909

m= 189 : 36289

m= 190 : 36671

m= 191 : 37055

m= 192 37441

m= 193 : 37829

m= 194 38219

m= 195 : 38611

m= 196 : 39005

m= 197 :39401

m= 198 : 39799

m= 199 : 40199

m= 200 : 40601

m= 201 41005

m= 202 : 41411

m= 203 : 41819

m=204 : 42229 m=205 : 42641 m=206 : 43055 m=207 : 43471 m=208 : 43889 m= 209 : 44309 m= 210 : 44731 m=211 : 45155 m=212 : 45581 m=213 : 46009 m=214 : 46439 m=215 : 46871 m=216 : 47305 m=217 : 47741 m=218 : 48179 m=219 : 48619 m=220 : 49061 m= 221 : 49505 m= 222 : 49951 m=223 : 50399 m=224 : 50849 m=225 : 51301 m=226 : 51755 m=227 : 52211 m=228 : 52669 m=229 : 53129 m=230 : 53591 m=231 : 54055 m=232 : 54521 m=233 : 54989 m= 234 : 55459 m=235 : 55931 m=236 : 56405 m=237 : 56881 m=238 : 57359 m=239 : 57839 m=240 : 58321 m=241 : 58805 m=242 : 592991 m=243 : 59779 m=244 : 60269 m= 245 : 60761 m= 246 : 61255 m=247 : 61751 m=248 : 62249 m=249: 62749 m=250: 63251 m=251: 63755 m=252: 64261 m=253 : 64769 m=254 : 65279 m=255 : 65791 m=256 : 66305

m= 257 : 66821 m= 258 : 67339 m=259 : 67859 m=260: 68381 m=261 : 68905 m=262 : 69431 m= 263 : 69959 m=264 : 70489 m=265: 71021 m=266 : 71555 m=267 : 72091 m=268 : 72629 m=269 : 73169 m=270 : 73711 m=271 : 74255 m=272 : 74801 m=273: 75349 m= 274: 75899 m= 275: 76451 m=276 : 77005 m=277 : 77561 m=278 : 78119 m=279 :78679 m=280 : 79241 m=281 : 79805 m=282 : 80371 m=283 : 80939 m=284 : 81509 m=285 : 82081 m= 286 : 82655 m= 287 : 83231 m=288: 83809 m=289: 84389 m=290 :84971 m=291 : 85555 m=292 : 86141 m=293 : 86729 m=294 : 87319 m=295 : 87911 m=296 : 88505 m=297 : 89101 m=298 : 89699 m=299 : 90299 m=300 : 90901 m= 301 : 91505 m= 302 : 92111 m=303 : 92719 m=304 : 93329 m=305 : 93941 m=306 : 94555 m=307 : 95171 m=308 : 95789 m=309 : 96409

m =310 : 97031

m =311 : 97655

m =312 : 98281

m = 313: 98909

m = 314 : 99539

m =315 : 100171

m =316 : 100805

m =317 : 101441

m =318 : 102079

m =319 : 102719

m =320 : 103361

m =321 : 104005

m =322 : 104651

m =323 : 105299

m =324 : 105949

m = 325 : 106601

m = 326 : 107255

m =327 : 107911

m =328 : 108569

m =329 : 109229

m =330 : 109891

m =331 : 110555

m =332 : 111221

m =333 : 111889

m =334 : 112559

m =335 : 113231

m =336 : 113905

m = 337 :114581

m = 338 : 115259

m =339 : 115939

m =340 : 116621

m =341 : 117305

m =342 : 117991

m =343 : 118679

m =344 : 119369

m =345 : 120061

m =346 : 120755

m =347 : 121451

m =348 : 122149

m = 349 : 122849

m = 350 :123551

m =351 : 124255

m =352 : 124961

l= 1, k=2 : 19

l= 1, k=3 : 29

l= 1, k=4 : 41

l= 1, k=5 : 55

l= 1, k=6 : 71

l= 1, k=7 : 89

l= 1, k=8 : 109

l= 1, k=9 : 131

l= 1, k=10 : 155

l= 1, k=11 : 181

m =353 125669

m =354 : 126379

m =355 127091

m =356 127805

m =357 128521

m =358 129239

m =359 129959

m =360 : 130681

m = 361 :131405

m = 362 :132131

m =363 : 132859

m =364 133589

m =365 : 134321

m =366 : 135055

m =367 : 135791

m =368 : 136529

m =369 : 137269

m =370 : 138011

m =371 138755

m =372 139501

m = 373 :140249

m = 374 : 140999

m =375 : 141751

m =376 : 142505

m =377 : 143261

m =378 : 144019

m =379 : 144779

m =380 : 145541

m =381 146305

m =382 147071

m =383 : 147839

m =384 148609

m =385 : 149381

m =386 : 150155

m =387 : 150931

m = 388 :151709

m = 389 :152489

m =390 : 153271

m =391 154055

m =392: 154841

m =393 : 155629

m =394 156419

m =395 : 157211

l= 1, k=12 : 209

l= 1, k=13 : 239

l= 1, k=14 : 271

l= 1, k=15 : 305

l= 1, k=16 : 341

l= 1, k=17 : 379

l= 1, k=18 : 419

l= 1, k=19 : 461

l= 1, k=20 : 505

l= 1, k=21 : 551

m= 396 : 158005

m= 397 : 158801

m= 398 : 159599

m= 399 : 160399

m= 400 :161201

m= = 401 : 162005

m= 402 : 162811

m= 403 : 163619

m= 404 : 164429

m= 405 : 165241

m= 406 : 166055

m= 407 : 166871

m= 408 : 167689

m= 409 : 168509

m= 410 : 169331

m= =411 170155

m= 412 : 170981

m= 413 :171809

m= 414 : 172639

m= 415 : 173471

m= 416 : 174305

m= 417 : 175141

m= 418 : 175979

m= 419 : 176819

m= 420 : 177661

m= =421 178505

m= 422 : 179351

m= 423 : 180199

m= 424 :181049

m= 425 :181901

m= 426 : 182755

m= 427 : 183611

m= 428 : 184469

m= 429 : 185329

m= 430 : 186191

m= =431 187055

m= 432 : 187921

m= 433 : 188789

m= 434 : 189659

m= 435 : 190531

m= 436 :191405

l=1, k=22 : 599 l=1, k=23 : 649 l=1, k=24 : 701 l=1, k=25 : 755 l=1, k=26 : 811 l=1, k=27 : 869 l=1, k=28 : 929 l=1, k=29 : 991 l=1, k=30 : 1055 l=1, k=31 : 1121

1=1 k=32 1189 1=1 k=85 : 7655

1=1 k=33 1259 1=1 k=86 : 7831

1=1 k=34 1331 1=1 k=87 : 8009

1=1 k=35 1405 1=1 k=88 : 8189

1=1 k=36 1481 1=1 k=89 : 8371

1=1 k=37 1559 1=1 k=90 : 8555

1=1 k=38 1639 1=1 k=91 8741

1=1 k=39 1721 1=1 k=92 : 8929

1=1 k=40 : 1805 1=1 k=93 : 9119

1=1 k=41 1891 1=1 k=94 : 9311

1=1 k=42 : 1979 1=1 k=95 : 9505

1=1 k=43 : 2069 1=1 k=96 : 9701

1=1 k=44 : 2161 1=1 k=97 : 9899

1=1 k=45 : 2255 1=1 k=98 : 10099

1=1 k=46 : 2351 1=1 k=99 : 10301

1=1 k=47 : 2449 1=1 k=100: 10505

1=1 k=48 2549 1=1 k=101 10711

1=1 k=49 : 2651 1=1 k=102 10919

1=1 k=50 2755 1=1 k=103 : 11129

1=1 k=51 2861 1=1 k=104 11341

1=1 k=52 2969 1=1 k=105 : 11555

1=1 k=53 3079 1=1 k=106 : 11771

1=1 k = 5 4 3191 1=1 k=107 : 11989

1=1 k = 5 5 3305 1=1 k=108 12209

1=1 k=56 3421 1=1 k=109 : 12431

1=1 k = 5 7 3539 1=1 k=110 12655

1=1 k=58 3659 1=1 k=111 12881

1=1 k = 5 9 3781 1=1 k=112 13109

1=1 k=60 : 3905 1=1 k=113 13339

1=1 k=61 4031 1=1 k=114 13571

1=1 k=62 : 4159 1=1 k=115 13805

1=1 k=63 : 4289 1=1 k=116 14041

1=1 k=64 : 4421 1=1 k=117 14279

1=1 k=65 : 4555 1=1 k=118 14519

1=1 k=66 : 4691 1=1 k=119 14761

1=1 7 6 = k 4829 1=1 k=120 : 15005

1=1 k=68 4969 1=1 k=121 15251

1=1 k=69 : 5111 1=1 k=122 : 15499

1=1 k=70 : 5255 1=1 k=123 : 15749

1=1 k=71 5401 1=1 k=124 : 16001

1=1 k=72 : 5549 1=1 k=125 : 16255

1=1 k=73 : 5699 1=1 k=126 : 16511

1=1 k = 7 4 5851 1=1 k=127 : 16769

1=1 k = 7 5 6005 1=1 k=128 17029

1=1 6 7 = k 6161 1=1 k=129 : 17291

1=1 k = 7 7 6319 1=1 k=130 17555

1=1 k=78 6479 1=1 k=131 17821

1=1 k = 7 9 6641 1=1 k=132 18089

1=1 k=80 : 6805 1=1 k=133 18359

1=1 k=81 6971 1=1 k=134 18631

1=1 k=82 : 7139 1=1 k=135 18905

1=1 k=83 : 7309 1=1 k=136 19181

1=1 k=84 : 7481 1=1 k=137 19459

72

1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 1=2 1=2 1=2 1=2 1=2 1=2 1=2 1=2 1=2 1=2 1=2 1=2 1=2 1=2 1=2

k=138 k=139 k=140 k=141 k=142 k=143 k=144 k=145 k=146 k=227 k=243 k=324 k=245 k=236 k=257 k=268 k=279 k=280 k=291 k=298 k=305 k=314 k=325 k=336 k=347 k=358 k=349 k=350 k=362 k=377 k=382 k=394 k=405 k=413 k=427 k=428 k=432 k=436 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 k=7 k=8 k=9 k=10 k=11 k=12 k=13 k=14 k=15

19739 20021 20305 20591 20879 21169 21461 21755 22051 52669 60269 106601 61255 56881 67339 73169 79241 79805 86141 90299 94555 100171 107255 114581 122149 129959 123551 124255 132859 144019 147839 157211 166055 172639 184469 185329 188789 192281

37 55 77 103 133 167 205 247 : 293 : 343 : 397 : 455 : 517 : 583

k=16:653

=2, k=17 727 1=2, k=29 : 1927 l=3, k=42 : 5693

=2, k=18 805 1=2, k=30 : 2053 l=3, k=43 : 5957

=2, k=19 887 l=3, k=31 3185 l=3, k=44 : 6227

=2, k=20 : 973 l=3, k=32 : 3383 l=3, k=45 : 6503

=2, k=21 1063 l=3, k=33 : 3587 l=3, k=46 : 6785

=2, k=22 : 1157 l=3, k=34 : 3797 l=3, k=47 : 7073

=2, k=23 : 1255 l=3, k=35 : 4013 l=3, k=48 7367

=2, k=24 1357 l=3, k=36 : 4235 l=3, k=49 : 7667

=2, k=25 1463 l=3, k=38 4697 l=3, k=50 7973

=2, k=26 1573 l=3, k=39 : 4937 l=3, k=51 8285

=2, k=27 : 1687 l=3, k=40 : 5183 l=3, k=52 : 8603

=2, k=28 1805 l=3, k=41 5435 l=3, k=53 8927

Формула для размерности многообразий Харстхорна имеет вид: m2+3m+1 (для m ^ 2). Формула

1

2 21, „ „ 2 + — l - 4. При

для размерностей многообразий Ведерникова имеет вид: /к + (6/ — / )к +—/ — 2/

определенных значениях l, k и m формулы дают в точности совпадающие значения (см. экспериментальные данные выше). Это наводит на мысль о глубокой взаимосвязи между этими формулами. Более точно замечаем, что совпадающие значения получаются при !=1, k=m-1. Подставим в формулу Ведерникова ^1, k=m-1:

1 , , 21 , 1 21

¡(т — 1)2 + (6/ — / )(т — 1) + ^/3 — 2/2 + 21 / — 4 = (т — 1)2 + 5(т — 1) + - — 2 + — — 4 = ш2 — 2т +

1 + 5т — 5 +11 — 6 = т2 + 3т +1.

Мы получаем в чистом виде формулу Хартсхорна. Это обстоятельство и позволяет нам формулировать наш первый основной результат. Теорема доказана.

Итак, мы уже знаем, среди многообразий Ведерникова встречаются многообразия в точности той же размерности, что и многообразия Хартсхорна и мы строго доказали, что при определенных условиях 0=1, k=m--1) формула Ведерникова превращается в формулу Хартсхорна. Это наводит на мысль еще более глобальную - второй наш основной результат.

Теорема 2. Многообразия Хартсхорна содержатся среди многообразий Ведерникова.

Доказательство. Действительно, доказательство формулы Хартсхорна в лемме 9.3 его статьи опирается на конструкцию, упоминаемую в этой же статье в примерах 4.2.3, 4.2.5, 8.2.4, где рефлексивный пучок F ранга 2 с нужными классами Черна получается как расширение из точной тройки

0 ^ О ^ Д1) ^ 17 (1) ^ 0, (*)

где O - структурный пучок P3, а Y- кривая степени d=c2 в P3.

В свою очередь доказательство формулы Ведерникова в лемме 4 его работы опирается на конструкцию, где рефлексивный пучок F ранга 2 с нужными классами Черна получается как расширение из точной тройки

0 ^ О ^ ^ ([ ¡+1 ]) ^ 1Х (/) ^ 0

, (**)

2

где O - структурный пучок P3, а X - полное пересечение (кривая) типа (^+1) в P3.

Сопоставляя (*) и (**), мы легко получаем, что при !=1 тройки в точности совпадают. Это позволяет нам говорить, что конструкция Ведерникова (а тем самым и формула Ведерникова) является естественным обобщением конструкции Хартсхорна (а тем самым и формулы Ведерникова). Следовательно, многообразия Хартсхорна и в самом деле образуют подмножество во множестве многообразий Ведерникова. Теорема доказана.

В заключение следует сказать, что статья Ведерникова вышла на 4 года позднее статьи Хартсхор-на. Ведерников о работе Хартсхорна знал и даже поместил ее в список литературы, но никаких фундаментальных взаимосвязей между его результатами и результатами Хартсхорна в своей работе он не установил.

Библиографический список

1. Ведерников, В. К. Модули стабильных векторных расслоений ранга 2 на P3 с фиксированным спектром [Текст] / В. К. Ведерников // Известия РАН. Серия математическая, 1984, т.48, № 5. - C. 986-998.

2. Hartshorne R. Stable reflexive sheaves // Math. Ann., 254, 1980, 121-176.

3. Maruyama M. Moduli of stable sheaves, I // J. Math. KyotoUniv., 17, 1977, 91-126.

Bibliograficheskijspisok

1. Vedernikov, V. K. Moduli stabil'ny'h vektorny'h rassloyeniy ranga 2 na P3 s fiksirovanny'm spektrom [Tekst] / V. K. Vedernikov // Izvestiya RAN. Seriya matematicheskaya. - 1984. - T. 48, № 5. - C. 986-998.

2. Hartshorne R. Stable reflexive sheaves // Math. Ann., 254 (1980), 121-176.

3. Maruyama M. Moduli of stable sheaves, I // J. Math. Kyoto Univ., 17, 1977, 91-126.