CC BY
33
36 Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2005. №6(40).
УДК 512.572
МНОГООБРАЗИЕ АЛГЕБР ЛЕЙБНИЦА, СВЯЗАННОЕ СО СТАНДАРТНЫМИ ТОЖДЕСТВАМИ
© 2005 Л.Е. Абанина, С.М.Рацеев1
Пусть К — поле нулевой характеристики. В данной работе исследуется многообразие алгебр Лейбница У2, связанное с ассоциативной алгеброй Грассмана. Доказывается почти полиномиальность роста, почти конечность кодлины этого многообразия и свойство того, что оно является единственным наименьшим многообразием, в котором не выполняется ни одно стандартное тождество. Приводится базис тождеств, базисный ранг данного многообразия, базис пространства Рп(Уг) и строение полилинейной части Рп(У2) как ^„-модуля.
Введение
Характеристика основного поля К предполагается равной нулю. В элементах договоримся опускать скобки при их левонормированной расстановке, то есть аЬс = ((аЬ)с).
Многообразие алгебр Лейбница определяется тождеством (Т)
(ху)г = (хг)у + хУ).
Другими словами, оператор правого умножения является дифференцированием алгебры. Если в многообразии алгебр Лейбница выполняется тождество х2 = 0, то мы уже имеем дело с многообразием алгебр Ли. Одно из первых упоминаний алгебр Лейбница, которые являются обобщениями алгебр Ли, встречается в работе А.М. Блоха [1]. Алгебры Лейбница начали активно изучаться в 90-х годах, появился ряд публикаций отечественных и зарубежных авторов. Например, следует отметить работы [2-5].
Все необъясняемые ниже понятия можно найти в монографии [6]. Пусть V — многообразие алгебр Лейбница, Ь(Х) = К(X, V) — относительно свободная алгебра данного многообразия, где X = [х\, Х2,...} — счетное множество свободных образующих. С помощью тождества (Т) любой элемент из Ь(Х)
1 Абанина Любовь Евгеньевна, Рацеев Сергей Михайлович (Ratseevsm@rambler.ru), кафедра алгебро-геометрических вычислений Ульяновского государственного университета, 432700, Россия, г. Ульяновск, ул. Льва Толстого, 42.
можно представить в виде линейной комбинации полиномов из L(X), имеющих левонормированный вид.
Известно, что в случае поля нулевой характеристики вся информация о многообразии содержится в его полилинейной части Pn = Pn(V). Напомним, что полилинейная часть степени n многообразия V является линейным подпространством в пространстве L(X) и состоит из полилинейных элементов степени n от переменных xi,..., xn. Полилинейные части для многообразий алгебр Лейбница есть векторные пространства вида:
Pn(V) =< xh ...xin | {ii,..., in} = {1,..., n} >.
Размерность n-й полилинейной части многообразия определяет n-ю коразмерность многообразия: cn(V) = dim Pn(V). Если существуют такие константы C и г, что для любого n выполнено неравенство cn(V) ^ Cnr, то рост многообразия V называют полиномиальным. Многообразие имеет рост не выше показательного с основанием г > 1, если существует такое число C > 0, что для любого n выполняется неравенство cn(V) < Crn. Многообразие V имеет почти полиномиальный рост, если любое его собственное подмногообразие имеет полиномиальный рост, в то время как рост самого многообразия V полиномиальным не является.
Известно, что полилинейную часть степени n можно рассматривать как модуль над групповым кольцом KSn, где Sn — симметрическая группа порядка n. Тогда полилинейную часть степени n можно разложить в прямую сумму неприводимых подмодулей. Число слагаемых в разложении полилинейной части степени n многообразия на неприводимые подмодули называется кодлиной многообразия ln(V).
Неприводимые представления Sn можно описывать на языке разбиений и диаграмм Юнга. Последовательность X = (Xi, X2,..., Xк) называют разбиением числа n и обозначают X ь n, если Xi + X2 +... + Xk = n и Xi ^ X2 ^ ... ^ Xk > 0. По каждому разбиению X строится диаграмма Юнга, которая представляет из себя таблицу из к строк, а i-я строка состоит из Xi клеток. Известно, что каждой диаграмме Юнга соответствует неприводимый Sn-модуль из разложения полилинейной части, и два модуля изоморфны тогда и только тогда, когда они соответствуют одной диаграмме.
Отметим, что тождества x(yy) = 0 и x(yz) = — x(zy) являются следствиями тождества (T).
Элементы, содержащие кососимметрический набор из n переменных, будем записывать без знака суммирования, помечая переменные этого набора чертой или волной сверху. Например, стандартный полином в наших обозначениях будет выглядеть следующим образом:
Stn(xi, ..., xn) = ^ ] (—1) xa(i) xa(2) ...xo(n) = xi x2... xn.
aeSn
Интересным примером многообразия алгебр Ли почти полиномиального роста является многообразие, построенное И.Б. Воличенко в работах [7, 8].
Это многообразие, назовем его V2, является наименьшим в классе многообразий алгебр Ли, в которых не выполняется ни одно стандартное тождество. Многообразие, исследуемое в данной работе, которое обозначим через у2, является аналогом многообразия У2. Оно появилось в диссертационной работе первого автора [9]. Был построен базис пространства Рп(у2), показаны строение полилинейной части как 5„-модуля и свойство почти полиномиальности роста с„(У). Позже вторым автором было получено свойство того, что у2 является наименьшим многообразием, в котором не выполняется ни одно стандартное тождество, приведен базис тождеств и базисный ранг этого многообразия, выведены новые тождества, с помощью которых проведена детализация некоторых доказательств, полученных первым автором свойств.
1. Определение многообразия у2
Рассмотрим О — алгебру Грассмана с порождающим множеством Е = {в\, в2,..., еп,...}. Относительно операции коммутирования, которую обозначим [#1, g2] = 8182 — 8281, получим алгебру Ли О(-).
Векторное пространство О с нулевым умножением будет рассматриваться как абелева алгебра Ли, которую обозначим через О0. Зададим действие элементов О(—) на О0 следующим образом: 808у- = (818у-)0, 8]8°° = 0, где 80, (&18])° из О0 и 8j из О(—). Такое действие задает представление О(—) на О0.
Определим О как прямую сумму векторных пространств О(—) и О0 (О = О(~} 0 О0) с умножением (81 + 8°)(82 + 82) = [81,82] + 8°182. Нетрудно проверить, что полученная алгебра будет алгеброй Лейбница.
Лемма 1. В алгебре О выполняются следующие тождества:
У1(У2(У3У4)) = 0, (1.1)
Х0хАуВУСу = 0, Х0хАУВуСу = 0, Х0хАУВуСу = 0, (1.2)
где А, В, С — некоторые, возможно пустые, мономы от внутренних дифференцирований.
Доказательство. Чтобы проверить выполнение любого из данных тождеств, нужно просто подставить в него произвольные элементы алгебры О. Сначала проверим (1.1):
(81 + 81Ж82 + 80)<(8э + 8з)(84 + 84))1 = (81 + 80){(82 + 82)([8з, 84] + 8084)} =
= (81 + 80)([82, [83,84]] + 82[8з,84]) = 0.
При этом был использован тот факт, что в алгебре Грассмана выполняется тождество [х, у, г] = 0.
Аналогично проверяется справедливость каждого из тождеств (1.2). Например, после подстановки в первый полином произвольных элементов алгебры О получим элемент (8081А82ВУ1С82)0, который равен нулю в алгебре
G0 в силу того, что содержит внутри себя две одинаковые кососимметричные пары.
Лемма 2. В алгебре G не выполняется ни одно стандартное тождество.
Доказательство. Подставим в полином Stm(xi,..., xm) вместо переменных Xi, Х2, ..., xm соответственно e0, e2,..., em. Получим
Stm(ei, e2, ..., em) = e\S tm—i(e2, ..., em) = (m — i)!e\e2".em.
Обозначим через V2 многообразие алгебр Лейбница, порожденное алгеброй G.
Далее нам понадобится понятие ’’тонкий крюк”, которое обозначает таблицу с первой строкой длины n — p, а все остальные p строк длины 1.
Лемма 3. Если в диаграмме Юнга будет больше одной клетки вне тонкого крюка, то элемент, соответствующий такому разбиению, будет равен нулю в многообразии V2.
Доказательство. Согласно работе [10], диаграмме Юнга, содержащей больше двух клеток во второй строке, будет соответствовать элемент, являющийся суммой полиномов вида (1.2). По лемме 1 такие элементы равны нулю в многообразии V2. Если диаграмма Юнга будет содержать больше двух клеток во втором столбце, то ситуация аналогична.
2. Базис пространства Pn(V2)
Теорема 1. Базисом пространства полилинейных элементов Pn(V2) многообразия V2 являются элементы вида
®(i,ji,...,js) = XiXii ...Xir (xji Xj2)...(XJs-i Xjs )’
где ii < i2 < ... < ir, ji < j2 < ... < js, n = s + г + i, i Ф ik, i Ф jl при к = i,..., г,
l = i,..., s.
Размерность пространства Pn(V2) равна n2n—2.
Доказательство. Сначала покажем, что в многообразии VV2 выполняется тождество
z(xi X3)(X2 X4) = —z(Xi X4)(X2 X3). (2.3)
Для этого проведем полную линеаризацию тождества
z(xy)(xy) = 0, (2.4)
которое является частным случаем (1.2), и воспользуемся тождествами (T) и (1.1):
z(xi Хз)(Х2X4) + z(X2X3)(Xi X4) + z(Xi X4XX2X3) + z(X2X4)(Xi X3) =
= 2z(xiX3)(X2X4) + 2z(xiX4)(X2X3) = 0 mod Id(V), что и показывает выполнение тождества (2.3) в V2.
Введем лексикографический порядок на начальном отрезке элемента до первой скобки (XiXj). Берем произвольный элемент из Pn(V2). В этом элементе можно делать следующее: сдвигать скобки, ставя их на произвольное место, начиная со второй позиции, внутри элемента по тождеству (1.1); в цепочке скобок
Xi...(Xii Xji )(Xi2Xj2)...(XikXjk)
можно упорядочить все переменные с помощью тождеств (2.3) и x(yz) = —
— x(zy). Пусть этот элемент имеет вид Xi...Xi2Xii ...(Xji Xj2)... и ii < i2. С помощью тождества (T) этот элемент представляет собой сумму
Xi...Xii Xi2 ...(Xji Xj2)... + Xi...(Xi2 Xii)...( Xji Xj2)...,
где первое слагаемое лексикографически меньше, чем исходный элемент, а у второго слагаемого количество одиночных переменных уменьшилось. Применяя такой же метод к полученным слагаемым, мы, в конечном итоге, представим наш исходный элемент как сумму слагаемых требуемого вида. Следовательно, произвольный элемент пространства Pn(V) записывается через линейную комбинацию элементов ®(i,jijs) по модулю Id(V2).
Покажем, что элементы ®(i,ji,...,js) являются линейно независимыми по модулю Id(V2). Рассмотрим линейную комбинацию этих элементов:
У! a(i, ji,-, js) ®(i, ji,-,js) = 0.
(i, ji,..., js)
Покажем, что все коэффициенты a^,jijs) равны нулю. Предположим противное. Рассмотрим элемент ®(-,jij2l) с коэффициентом a(i,jij2l), не равным нулю, и с наименьшим количеством скобок l. Зафиксируем у него выборку одиночных переменных (ii,..., ik), n = 2l + k + i. Подставим элементы алгебры G следующим образом: вместо X- подставим элемент g0 из G0, вместо Xii,..., Xik — элементы из G(—) четной длины, в скобки подставим элементы из G(—) нечетной длины. Тогда после такой подстановки линейная комбинация примет вид
a(i, jij2l')g0gii gi2 ...gik (g ji g ji)..'(g j2l—i gj2l) = °.
Остальные элементы станут нулевыми, так как если в элементе будет такое же количество скобок, то выборка одиночных переменных будет другой и элемент четной длины попадет в некоторую скобку (X-Xj), если же количество скобок будет больше, чем l, то опять элемент четной длины попадет в скобку. Таким образом, коэффициент a(-,jij2) равен нулю вопреки предположению. Следовательно, элементы jijs) образуют базис пространства
Pn(V2). ’ ’ ’ s
В пространстве Pn(V) выделим подпространство полилинейных элементов, которые начинаются с переменной X-:
On! =< X-X-i ...Xir (Xji Xj2)...(Xjs_i Xjs) > .
Подсчитаем количество элементов такого вида. Если число скобок будет l, то число элементов будет равно Cn2l i. Общее количество элементов задан-
ного вида выражается формулой С^_1 + С^_1+... + С^_^ \ которая по свойству биномиальных коэффициентов равна 2п-2.
Учитывая то, что всего имеется п различных подпространств 0? и они не имеют общих ненулевых элементов, то размерность Рп(У2) равна п2п-2.
3. Строение полилинейной части Рп(У2) как ^-модуля и экстремальность роста сп(у2)
Лемма 4. В многообразии У выполняются следующие тождественные соотношения по модулю М(У2)-.
- - - ( 0, п-четное,
х0х1х2...хп(х1хп+1) = < 2 - - - (3.5)
[ ■^ХоХ1Х2...Хп+1Х1, и-нечетное, у 7
_ _ _ (2п)! _ . .
Х0ХХХ2...Х2п = —---1^-,Х0Х2к+1...Х2п(х1Х2)...(х2к-1Х2к) (3.6)
(2п - 2к)!2к
для любых 1 ^ г ^ п + 1, 1 ^ к ^ п.
Доказательство. Соотношения (3.5) и (3.6) получаются за счет
свойств симметрической группы и тождеств (Т), (1.1) и (2.3). Покажем
справедливость первого тождества. Пусть п — четное. Тогда
Хо Х1 Х2...Хп(ХгХп+1) = (-1)'+1{ Хо Х(Х1 ХЪ.. Х-1Х—... Хп&Хп-ц)-
_ X0 Xi XiX2...Xi_i Xi+i...Xn(XiXn+i) + ...} =
= (_i)l+i{X0(XiXi)X2... X i_i Xi+i... Xn(XiXn+i) +
+ ... + X0XiX2...Xi_iX-+i ...(X-Xn)(X-Xn+i) + X0XiX2...X_iX-+i...Xn(X-X-)}.
Все слагаемые последнего выражения принадлежат Id(V2), так как, учитывая тождества (1.1), (2.3) и следствия тождества (T), имеем:
X0...(Xy)...(Xz)... = X0...(Xy)(Xz)... =
= _X0...(Xy)(zX)... = X0...(XX)(zy)... = 0 mod Id(V2). (3.7)
Если n — нечетное, то по модулю Id(V2) выводим:
X0Xi X2... Xn(X-Xn+i) = (_i)-+i X0Xi X2...X_i Xi+i...XnXi(XiXn+i) =
■+,2 _____
= (-1)' --------{x0(xixn+1)x1x2...xi-1xi+1...xnxi+
n + i
+ X0 X i X2(X-Xn+i)... Xi_i Xi+i...XnXi + ...+
+X0XlX2...Xi-lXi+l...Xn(XiXn+l)Xi} = -----x0xlx2...xn+lxi.
n + i
Докажем тождество (3.6). По модулю Id(V2) имеем:
X0 X i X2...X2n = X0(Xi X2)X3...X2n + X0 X2 X3(Xi X4)... X2n + ... + X0 X2 X3...(Xi X2n).
Каждое слагаемое, в свою очередь, раскладывается следующим образом по модулю Id(V2) и с учетом (3.7):
X0 X2 X3...(Xi X2s )... X2n = X0X X3)...(Xi X2s )... X2n +
+ X0 X3 X4(X2 Х5)...(Хр X2s)... X2n + ... + X0 X3 X4...(Xi X2)...X2n-
-X0X3X4...(XiX2s + i)(X2X2s+2)...X2n - ... - X0X3X4...(XiX2s+i)...(X2X2n) =
= X0(X3 X2s)...(Xi X2)... X2n + X0 X3 X4(X5 X2s )...(Xi X2)... X2n + ...+
+ X0 X3 X4...(Xi X2)... X2n + X0 X3 X4...(Xi X2)(X2s+i X2s+2)... X2n + ...+
+ X0X3X4...(XiX2)...(X2s + iX2n) = (2n - 1)X0X3X4...X2n(XiX2).
В итоге имеем следующее тождество для к = i, которое при необходимости можно подвергнуть вышепроделанной процедуре и получить тождество (3.6) для произвольного i ^ к ^ n:
X0XiX2...X2n = n(2n - i)X0X3X4...X2n(XiX2) mod Id(V2).
Замечание. При доказательстве тождественного соотношения (3.5) мы видели, что в случае нечетного n в нужный момент мы можем поставить Xi, стоящее вне скобок, на произвольное место, начиная со второй позиции. То есть имеет место следующее обобщенное тождество в многообразии V2 при нечетном n и для любого i ^ i ^ n + 1:
x0xlx2...xn(xixn+l) = —^—x0xlx2...xixj...xn+l mod Id(V2). n + i
Лемма 5. Многообразие V имеет следующее строение полилинейной части:
~ n-2 л 0 n-2 _ _ ,
Pn(V2) = KSn(lin Xn) 0 (Ap 0 Ap) 0 Bp 0 KSn(Xi...Xn), (3.8)
p=i p=2
где под обозначением lin понимается полная линеаризация полинома
Alp = KSn(lin XiXi...Xp+iX.n p 2), A2p = KSn(lin XC...xp+Cxnp p i),
причем неприводимые модули Alp и Ap соответствуют разбиению (n - p, 1p), неприводимый модуль Bp = KSn(lin H\V2Xp...xpxp p 2) соответствует разбиению (n - p, 2, i p-2). i
Доказательство. Из леммы 3 видно, что в разложение Pn(V2) могут входить лишь те модули, которые соответствуют разбиениям (n), (n - p, 1p) при p ^ 1, (n - p, 2,1p-2) при p ^ 2 и (1n).
I. Рассмотрим случай разбиения (n - p, 1p), p ^ 1. Обозначим через aCp и
2 ~ ~ n-p-2 — — n-p-1 t-г
ap полиномы XpXp...Xp+px, и xp...xp+ix, соответственно. Докажем, что
любой элемент, построенный по этому разбиению, выражается линейно по модулю Id(V2) через alp и ap. Данный элемент содержит кососимметрический набор из p + 1 переменной. Он может начинаться либо с хр, либо с переменной, принадлежащей этому набору, т.е. с хр. Рассмотрим оба эти случая.
1) Данный элемент имеет следующий общий вид:
gd = Хр rfxp Xbl...XC1 Xp + i хр.
Используя тождество (T), представим этот элемент как сумму полинома alp и элементов вида хр...(хрх-).... С помощью соотношений (1.1) и (3.7) упорядочим переменные кососимметрического набора в элементах со скобками. Тогда gd примет следующий вид:
gd = ap + ахрхi ...Xp(xpxp+i)xn~p-3 mod IdV).
Используя лемму 4, в конечном итоге получаем gd = |3ap mod Id(V2).
2) Пусть элемент gd начинается с х р. Сначала приведем его к виду a2p +
+ ах,X2...xp(xpxp+i)xn'i p 2. Затем, если p — нечетное, то, используя метод, примененный в лемме 4, получаем
xix2...xp(xixp+i) = xix2...xp(xixp+i) = ^ ^xixix2...xpxp+i mod Id(V2).
Пусть p — четное. Тогда по модулю Id(V2) имеем:
х 1 X2...Xp(Xi Xp + i) = Xi X2...Xp(Xi Xp + i) - X2 Xp... X p(Xp Xp + i) =
= ^{X\X2(XiXp + i)...Xp + XiX2X3XA(XiXp + i)...Xp + ... + xlx2...xp(xlxp + l)}~
--^{x2(xixp+i)...xpxi + x2x3x4(xlxp+l)...xpxl + ... + x2...xp(xlxp+l)xl}.
Прибавив к последнему выражению элемент
2
-{XiX2...Xp + lXi - XiXiX2...Xp + i),
который принадлежит Id(y2), получим
xi...xp(xixp+i) = ^(-xixi...xp+i + xi...xp+\xi) mod Id(V2).
Покажем, что элементы alp и a2p являются линейно независимыми по модулю Id(V2). Рассмотрим линейное соотношение
ах, хр... xp+i хр-1 + в xi...xp+i хкр = 0.
Сделаем следующую подстановку: xp+p = e°p+p, X2 = в2,..., xp = ep, если p — четное, то Хр = e-CejC + ... + e-kejk + ep, если p — нечетное, то Xp = e-CejC + + ... + e-k+Cejk+C, где все es различные. Отсюда получаем, что коэффициент в равен нулю. Если сделаем подстановку: Х2 = e2, Х3 = e3,..., xp+p = ep+p, хр = = (e-CejC + ... + e-kejk) + e0 при четном p и Хр = (e-Cejp + ... + e-k_Cejk-i + es) + e° при нечетном p, где все образующие различны, то получим, что и а = 0.
II. Рассмотрим случай разбиения (n - p, 2,1p-2), p ^ 2. Обозначим через bp полином V\X2xp...xpXp p 2. Покажем, что любой элемент, построенный по этому разбиению, выражается линейно по модулю Id(V2) через bp. Данный элемент содержит два кососимметрических набора из двух и p переменных. Поэтому, учитывая соотношения (1.2), этот элемент начинается с переменной, которая принадлежит одному из кососимметрических наборов. Разберем оба случая в отдельности.
1) Элемент gd имеет следующий общий вид:
gd = Vp xCC х i...XbxiXCV2....
Будем передвигать V на второе место. Для начала заметим, что
Vi...x{V2... = 'V1...V2X1... mod Id(V2).
Передвигая V2 на второе место, мы получим сумму полинома bp и элементов вида Vci...(xiV2).... Каждое такое слагаемое со скобкой приведем к виду Vpхp...Xp-i(xpV2)xC p 2, так как
Vci...(Xi X j)...(x-Vc2)... = Vi...(Xi Xj)(XiV2)... = -Vi...(XiV2)(XiXj)... =
= - хр...(хр х2)х-х j... + хр...(хр х2)х jX-... = 0 mod Id(V2).
Используя замечание к лемме 4, имеем
ViXi...Xp-i(XpV2) = XiXi...Xp-i(XpX2) - X2Xp...X p-i(x pXp) =
0, p — нечетное,
у ^{—X\X2X\...XP+X2X\X\...xp), p — четное.
2) Элемент gd записывается в следующем виде:
a b— -—
gd = Xi Xi...XiXiVi...V2....
Сначала будем двигать V к Vp. При этом будем учитывать, что
...Vi...X1VC2... = ...’Vi...Vc2хр... + ...X1...VC1V2... mod Id(V2),
то есть при перемещении V мы получим слагаемые вида х с..3с{х2... и
Xi...(XiVc2).... Первый полином приводится к Xp...X^i^X, p 2, второй полином приводится к виду
axi...xp-i(xpVi)V'2хр p 2 + вхр...xpxiVc2х. p 2.
Преобразуя первое слагаемое таким же путем, как в пункте 2 при раз-
биении (n - p, i p), мы получим следующее представление элемента gd по модулю Id(V2):
n - p - 2 n - p - 2
gd = Y Xi...XpXiX2 XC + OXp Xp... XpX2 XC .
При нечетном p первое слагаемое принадлежит Id(V2). При четном p делаем следующее:
X i...XpVi'X2 = XpХ2...XpVXiX2 - Х2Xi...Xp'V{V2 =
= XpX2X3...Xp'VpV2 - X2XpX3...X pXiX2 = 'V\V2X3...Xp(XpX2) mod Id(V2).
Далее, пользуясь тождеством (3.6) при k = 1, получим
xi...XpXiX2 = xiX2X3...Xp{xiX2) = —^——xiX2Xi...Xp mod Id(V2).
p(p - i)
Следовательно, любой элемент, построенный по разбиению (n- p, 2, i p-2) при p ^ 2, выражается линейно через bp по модулю Id(V2). То, что элемент bp
не равен нулю в многообразии у2, проверяется следующей подстановкой:
Х2 = + в°2, Х3 = ез, Хр = ер, XI = вн вЯ + ... + в1п_р_х е]п_р_! + в! при четном р И
XI = е!е^ + ... + в(п е^_р при нечетном р, где все образующие различны.
Элемент Х1...хп не равен нулю в многообразии М2 по лемме 2, а подстановка вместо X элемента алгебры С (е\е2) + е0 + ... + (е2п_зе2п_2) + е0 в полином хп показывает, что и хп не равен нулю в у2.
Из леммы 5 видно, что кодлина многообразия М2 является полиномиальной и равна 3п _ 5 для любого п ^ 4.
Теорема 2. Многообразие У имеет почти полиномиальный рост. Доказательство. Многообразие У имеет экспоненциальный рост, так как размерность полилинейной части Рп(у2) равна п2п_г (теорема 1).
Пусть V — некоторое собственное подмногообразие многообразия у. Тогда для некоторых п и р должно выполняться одно из тождественных соотношений по модулю М(У):
1) хп = О,
2) У {У2 х \...хрхП1 р 2 = О,
3) ах{х{...хр+\хП{ р 2 + вх{...хр+\х{ р 1 = О, а2 + в2 Ф О,
4) х 1 х2...хп = О.
Покажем, что в многообразии V выполняется тождество
хо(х{ х2)(хз х4)...(х2т_ 1 х2т) = О (3.9)
для некоторого т.
Если в V выполняется случай 1), то, подставив вместо переменной х полином хо(х1 х2) + (хзх4) + ... + (х2п_ 1 х2п), получим следствие (3.9) при т = п.
Пусть выполняется тождество из 2). Подставим вместо переменной х2 полином х2 + (уу). Получим следствие
— — п_р_2 п
уух1 х 1...хрху = О.
Если р — четное, то преобразуем это следствие с помощью тождества (3.6). Если р — нечетное, то вместо хр подставляем скобку (хрхр+1), а затем применяем тождество (3.6). Получаем новое следствие
уух1(х1 х2)...(хчхч+1)хп1_р_2 = О,
где Ц = р _ 1 при четном р и Ц = р при нечетном р. Далее, вместо х1 подставим (у1 zl) +... + (уп_р_^п_р_ 1) + х1, а переменную у заменим на 11(1213) + + (1415). Получим следствие (3.9) с фиксированным числом т.
Пусть в многообразии V выполняется тождество из случая 3). Если в = = О, то, проводя аналогичные рассуждения, получим следствие (3.9). Если в Ф О, то вместо хр+1 подставим (хр+1 хр+1) и аналогичным образом выводим следствие (3.9).
Случай 4) сводится к случаю 3) при а = О.
Мы показали, что в многообразии V выполняется тождество (3.9) из которого в силу (3.6) следует тождество
хо х 1 х2...х2т_ 1 х2т = О. (3.10)
Следовательно, учитывая разложение (3.8), существует константа С такая, что если диаграмма Юнга имеет большее число клеток вне первой строки чем С, то элемент из Рп(V), соответствующий такому разбиению, принадлежит М(У). Это значит, что последовательность размерностей еп(У) имеет полиномиальный рост.
Лемма 6. Многообразие У имеет почти конечную кодлину.
Доказательство. Кодлина многообразия У является полиномиальной и равна Зп _ 5 для любого п ^ 4 (лемма 5). Пусть V — любое собственное подмногообразие многообразия у2. Тогда в V выполняется тождество
(3.10). Учитывая это тождество и разложение (3.8), заключаем, что V имеет конечную кодлину.
4. у2 как наименьшее многообразие, в котором не выполняется ни одно стандартное тождество
Обозначим через М множество всех элементов алгебры Ь(Х) таких, что любое / из М не имеет своим следствием никакое стандартное тождество, а через М — множество всех полилинейных полиномов из М. Заметим, что множество тождеств М эквивалентно множеству тождеств М.
Лемма 7. Из множества М нельзя получить стандартное тождество.
Доказательство. Для начала отметим следующее. Пусть / е Рп, то есть / = 2хе5п атхХ(1)...хХ(п). Подействуем на этот полином элементом £ое5п( _
— 1)оо групповой алгебры КБп. Получим
(£( _1ГоХ% ат хХ(1) ...хХ(п)) = (^(_1)ха1^Ъ(х1,..., х„).
оеБп те5 п те5 п
Поэтому, если / е М П Рп, то (£о€sn(_1)°о)/ = О.
Доказательство леммы будем вести от противного. Допустим, что из М можно вывести стандартное тождество Б1т(х1,..., хт) = О для некоторого т. Это значит, что выполняется равенство
Б^хи..., хт) = ф1(Л) + ... + фп(/п), (4.11)
где /1,..., /п — некоторые элементы множества М, фг = у1 О...О^П.г и фг(/) е Рп, а ^ есть отображение из М в Ь(Х), которое является либо умножением на некоторый моном справа или слева, либо подстановкой некоторого монома вместо какой-либо переменной. Так как для любого /, г = 1,..., п выполняется свойство того, что /г не имеет своим следствием никакое стандартное тождество, то полином фг(/г) принадлежит множеству М. На обе части равенства (4.11) подействуем элементом Т*оеБт(_1)оо. В результате получим, что полином Б1т(х1,..., хт) является нулевым элементом в алгебре Ь(Х). Но это не так уже потому, что в алгебре С не выполняется ни одно стандартное тождество. Противоречие. Следовательно, из М нельзя вывести стандартное тождество.
Лемма 8. Множество М является вербальным идеалом алгебры Ь(Х).
Доказательство. Сначала покажем, что М является идеалом алгебры Ь(Х). Для этого достаточно проверить, что для любых /, § е М и для любого к е Ь(Х) полиномы /+§, (/)(к), (к)(/) принадлежат М. Данные полиномы являются следствиями тождеств из М, а, следовательно, из М. Но по лемме 7 из М нельзя вывести стандартного тождества. Следовательно, / + §, (/)(к), (к)(/) е М.
Пусть ф — некоторый эндоморфизм алгебры Ь(Х). Тогда ф(М) С М. Предположим противное, то есть существует полином / е М такой, что ф(/) £ М. Тогда, в силу определения множества М, из ф(/) можно вывести некоторое стандартное тождество Б^(х1,..., хт) = О. Но это значит, что данное стандартное тождество является следствием тождества / = О, то есть / £ М. Противоречие. Следовательно, М является вербальным идеалом.
Теорема 3. у2 — наименьшее многообразие алгебр Лейбница, в котором не выполняется ни одно стандартное тождество.
Доказательство. В классе многообразий алгебр Лейбница, в которых не выполняется ни одно стандартное тождество, У2 является минимальным, поскольку в многообразии У2 не выполняется ни одно стандартное тождество (лемма 2), и в любом собственном его подмногообразии выполняется некоторое стандартное тождество, которое является следствием тождества
(3.10) (теорема 2).
Обозначим через Vst многообразие алгебр Лейбница, определяемое тождествами из М. Поскольку М является вербальным идеалом (лемма 8), то в многообразии Vst не выполняется ни одно стандартное тождество. Покажем, что Vst является наименьшим многообразием с таким свойством. Пусть V — многообразие алгебр Лейбница, в котором не выполняется ни одно стандартное тождество, с идеалом тождеств Т. Из определения множества тождеств М следует, что Т с М. Следовательно, Vst является подмногообразием многообразия V.
Из того, что у2 является минимальным многообразием и существует наименьшее многообразие Vst, то У и Vst совпадают.
Из свойств наименьшего элемента вытекает и его единственность.
5. Базис тождеств и базисный ранг многообразия у2
Теорема 4. Базисом тождеств многообразия у2 являются тождества (1.1) и (2.4).
Доказательство. Обозначим через V — многообразие алгебр Лейбница, определяемое тождествами (1.1) и (2.4). Для доказательства того, что У определяется этими тождествами достаточно доказать равенство Рп(У) = = Рп(у). Поскольку У С V, то Рп(У) С Рп(V). При доказательстве леммы 5 использовались только следствия тождеств (1.1), (1.2) и (2.4). Поэтому для доказательства включения Рп(У) С Рп(У) достаточно доказать, что тожде-
ства (1.2) выполняются в многообразии V. Заметим, что тождество (3.7) выполняется в V.
1) Пусть в полиномах (1.2) переменные одной из кососимметрической пары стоят рядом. С помощью тождества (1.1) эти полиномы сводятся к виду хо(ху)АхВу. Представим этот полином на основании тождества (Т) в виде суммы
п
хо(ху)А(ху)В + ^ хо(ху)АхЬ1...Ьг-1(Ьгу)Ьг+1 ...К. г=1
Все слагаемые есть следствия тождеств (1.1), (2.4), (3.7).
2) Докажем, что тождество (см. (1.2))
хо х АУхВу СУ = О
выполняется в V (для остальных тождеств из (1.2) доказательство аналогичное). Вновь воспользуемся тождеством (Т); тогда находим
хохАУВуСу = хохАУуЕу + ^ хохАУ...(Ьгу)...Су (Е = ВС),
г
хохАУуЕу = хо(ху)АУЕу + хохА(ху)Еу + ^ хох...(а]у)..УЕУ.
]
Первое и второе слагаемые сводятся к случаю 1, так как по модулю М^) хо хА(ху)Еу = хо хА(ху)Еу + хоуА(ух)Ех = хо хА( ху)Еу.
Рассмотрим оставшиеся слагаемые:
хо х...(а]у)..УЕу = хо х ...(а}-у)...(ху)Е + хох...(а]-у)...х...(ек'у)... .
к
Применяя тождество (3.7), все слагаемые опять сводятся к случаю 1.
Таким образом, у2 = V. Тождества (1.1) и (2.4) являются независимыми. Действительно, тождество (1.1) не может быть следствием (2.4), так как зависит от меньшего числа переменных. Если бы тождество (2.4) было следствием (1.1), то кодлина многообразия У не ограничивалась бы никаким полиномом (см. [5]), а это противоречит лемме 6.
Лемма 9. Пусть V — некоторое собственное подмногообразие многообразия у2. Тогда существует такое число г = г(V), что любое подмногообразие в V может быть задано системой тождеств, зависящих не более, чем от г переменных.
Доказательство. Многообразие У имеет конечный базис тождеств (теорема 4), и в любом фиксированном собственном подмногообразии V многообразия У выполняется тождество (3.10) для некоторого т. Учитывая структуру Рп(У) (лемма 5), вследствие тождества (3.10) в разложение Рп^) не будут входить те неприводимые Бп-модули, которые соответствуют диаграммам Юнга, имеющих длину первого столбца более некоторого числа. Это и доказывает справедливость леммы.
Теорема 5. Многообразие V имеет бесконечный базисный ранг. Любое собственное подмногообразие в V имеет конечный базисный ранг.
Доказательство. Пусть A — некоторая алгебра с к образующими из многообразия V2. Тогда в А выполняется тождество (3.9) при т = [|] + +1. Действительно, пусть wo, wm — некоторые мономы, зависящие от
образующих ai,..., ак алгебры A. Подставим их в полином (3.9) вместо переменных с соответствующими индексами. Если степень одного из мономов w,, 1 ^ i ^ m, больше единицы, то
W0(wiw2)...(w2m-1 w2m) = 0
в силу тождества (1.1). Если же w, е {ai,..., ак}, i = 1,..., m, то снова получаем нуль в силу тождества (3.7), так как среди этих мономов будут присутствовать, как минимум, два одинаковых. Поскольку тождество (3.9) не выполняется в многообразии V2, то это многообразие не может порождаться своей относительно свободной алгеброй конечного ранга.
Пусть V — некоторое собственное подмногообразие в V?. Рассмотрим относительно свободную алгебру K(Xr, V) данного многообразия ранга r от образующих Xi,...,xr, где число r определяется из формулировки леммы 9. Предположим, что в K(Xr, V) выполняется некоторое тождество f = 0, которое не выполняется в V. Это тождество является следствием некоторой системы тождеств, зависящих не более, чем от r переменных. Тогда эта система тождеств выполняется в многообразии V, что влечет и выполнение тождества f = 0 в V. Таким образом, многообразие V задается своей относительно свободной алгеброй K(Xr, V).
Авторы выражают благодарность С.П. Мищенко за поддержку и внимание к работе.
Литература
[1] Блох А.М. Об одном обобщении понятия алгебры Ли // Доклады Академии наук СССР. 1965. Т. 18. №3. С. 471-473.
[2] V. Drensky, G.M.P. Cattaneo. Varieties of Metabelian Leibniz Algebras // J. Algebra and its applications. 1 (2002). No. 1. P. 31-50.
[3] J.-L.Loday and T. Pirashvili. Universal enviloping algebras of Leibniz algebras and (co)homology.// Math. Ann. 296 (1992). P. 139-158.
[4] Абанина Л.Е., Мищенко С.П. Некоторые многообразия алгебр Лейбница // Математические методы и приложения. Труды десятых математических чтений МГСУ. Москва: Союз. 2002. С. 95-99.
[5] AbaninaL.E., Mishchenko S.P. The variety of Leibniz algebras defined by the identity x(y(zt)) = 0 // Serdika Math. J. 29(2003). P. 291-300.
[6] Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука. 1985.
[7] Воличенко И.Б. Об одном многообразии алгебр Ли, связанном со стандартными тождествами // Весщ АН БССР: Сер. фiз.-мат. наук. 1980. №1. C. 23-30.
[8] Воличенко И.Б. Об одном многообразии алгебр Ли, связанном со стандартными тождествами // Весщ АН БССР: Сер. фiз.-мат. наук. 1980. №2. C. 22-29.
[9] Абанина Л.Е. Структура и тождества некоторых многообразий алгебр Лейбница. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Ульяновск: УлГУ, 2003.
[10] Мищенко С.П. Цветные диаграммы Юнга // Вестник МГУ. 1993. №1. С. 90-91.
Поступила в редакцию 16/FT/2005;
в окончательном варианте — 16/FT/2005.
MANIFOLD OF THE LEIBNIZ ALGEBRAS ASSOCIATED WITH STANDARD IDENTITIES
© 2005 L.E. Abanina, S.M.Ratseev2
Let K be a field of characteristic zero. In this paper the manifold of the Leibniz algebras V connected with associative Grassmann algebra is studied. It is prooved that the variety V2 has almost polynomial growth and is the unique smallest variety in which no standard identity holds. The basis of the space of multilinear identities Pn(V2), basis of the identities of V2 and a complete description of Pn(V2) in the language of Young diagrams through the representation theory of the symmetric group Sn are given.
Paper received 16/FT/2005. Paper accepted 16/FT/2005.
2Abanina Lyubov Evgenjevna, Ratseev Sergey Mikhaylovich (Ratseevsm@rambler.ru), Dept. of Algebraic and Geometric Computations, Ulyanovsk State University, Ulyanovsk, 432700, Russia.
