МНОГООБХОДНЫЕ УСТОЙЧИВЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ДИФФЕОМОРФИЗМА ПЛОСКОСТИ С ГОМОКЛИНИЧЕСКОЙ ОРБИТОЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925.53 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2021. Т. 8 (66). Вып. 3 МБС 34Б10

Многообходные устойчивые периодические точки диффеоморфизма плоскости с гомоклинической орбитой*

Е. В. Васильева

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

Для цитирования: Васильева Е. В. Многообходные устойчивые периодические точки диффеоморфизма плоскости с гомоклинической орбитой // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2021. Т. 8(66). Вып. 3. С. 406-416. https://doi.org/10.21638/spbu01.2021.303

Изучается диффеоморфизм плоскости в себя с неподвижной гиперболической точкой и нетрансверсальной гомоклинической к ней точкой. Известны различные способы касания устойчивого и неустойчивого многообразия в гомоклинической точке. Периодические точки, траектории которых не покидают окрестность траектории гомоклинической точки, делятся на счетное множество типов. Периодические точки, принадлежащие одному типу, называются п-обходными, если их траектории имеют п витков, которые лежат вне достаточно малой окрестности гиперболической точки. Ранее в статьях Ш. Ньюхауса, Л. П. Шильникова, Б. Ф. Иванова и других авторов изучались диффеоморфизмы плоскости с нетрансверсальной гомоклинической точкой, предполагалось, что эта точка является точкой с конечным порядком касания. В этих работах показано, что в окрестности гомоклинической точки могут лежать бесконечные множества устойчивых двухобходных и трехобходных периодических точек. Наличие таких множеств зависит от свойств гиперболической точки. В данной работе предполагается, что гомоклиническая точка не является точкой с конечным порядком касания устойчивого и неустойчивого многообразия. В работе показано, что при любом фиксированном натуральном п окрестность нетрансверсальной гомоклинической точки может содержать бесконечное множество устойчивых п-обходных периодических точек с отделенными от нуля характеристическими показателями.

Ключевые слова: диффеоморфизм, нетрансверсальная гомоклиническая точка, устойчивость, характеристические показатели.

1. Введение. В работе рассматривается диффеоморфизм плоскости в себя с неподвижной гиперболической точкой и нетрансверсальной гомоклинической к ней точкой. Предполагается, что гомоклиническая точка не является точкой с конечным порядком касания. Основная цель предлагаемой статьи — показать, что при определенных условиях произвольно малая окрестность гомоклинической точки содержит бесконечное множество устойчивых многообходных периодических точек с отделенными от нуля характеристическими показателями. В [1] приведен пример двумерного диффеоморфизма с бесконечным множеством периодических точек, траектории которых лежат в ограниченном множестве плоскости, и их характеристические по-

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант №19-01-00388).

(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2021

казатели отделены от нуля. Известно, что в этом случае при малых возмущениях у диффеоморфизма остается сколь угодно много устойчивых периодических точек с отделенными от нуля характеристическими показателями.

Точка, которая лежит в пересечении устойчивого и неустойчивого многообразия гиперболической точки, называется гомоклинической точкой. В случае касания этих многообразий в гомоклинической точке она называется нетрансверсальной гомоклинической точкой. Периодическая точка, траектория которой не покидает окрестность траектории гомоклинической точки, но имеет п (п > 3) витков, лежащих вне достаточно малой окрестности гиперболической точки, называется многообходной или п-обходной периодической точкой.

В работах [2-6] изучалась окрестность нетрансверсальной гомоклинической точки. Предполагалось, что гомоклиническая точка является точкой с конечным порядком касания устойчивого и неустойчивого многообразия.

Пусть / — диффеоморфизм плоскости в себя с гиперболической неподвижной точкой в начале координат и нетрансверсальной гомоклинической к ней точкой, а А, ц — собственные числа матрицы Д/(0), причем 0 < А < 1 < ц. Пусть

В работах [2-6] предполагалось, что в > 1, и было показано, что существует такое неограниченное множество ©, что при в € © окрестность нетрансверсальной гомо-клинической точки содержит счетные множества двухобходных или трехобходных устойчивых периодических точек, однако из [3] следует, что существует неограниченное множество ©1 такое, что при в € ©1 окрестность нетрансверсальной гомо-клинической точки не содержит устойчивых двухобходных периодических точек.

Предлагаемая работа является продолжением работ [7, 8]. В этих статьях предполагается, что нетрансверсальная гомоклиническая точка не является точкой касания конечного порядка устойчивого и неустойчивого многообразия. Даны достаточные условия существования в окрестности гомоклинической точки счетных множеств однообходных или двухобходных устойчивых периодических точек с отделенными от нуля характеристическими показателями. В предлагаемой статье даны условия, достаточные для того, чтобы при любых в > п, где п — натуральное число (п > 3), окрестность гомоклинической точки содержала бесконечное множество п-обходных устойчивых периодических точек с отделенными от нуля характеристическими показателями.

2. Основные определения и обозначения. Пусть / — С1 -диффеоморфизм плоскости в себя с гиперболической неподвижной точкой в начале координат, / : К2 ^ К2, /(0) = 0. Предположим, что

1п ^

где 0 < А < 1 <

Зафиксируем натуральное число п > 4. Предположим, что

1п ^

(1)

Как обычно, пусть Ws(0), W"(0) — устойчивое и неустойчивое многообразия гиперболической точки. Известно, что

Ws(0) = (z G R2 : lim || fk(z) ||= Л ,

[ k^+w J

W"(0) = {z G R2 : lim || f-k(z) ||= 0

[ k^+w

где fk, f-k — степени диффеоморфизмов f и f-1.

Пусть точка w такова, что w = 0, w G Ws(0)p| W"(0), такая точка является гомоклипической точкой. Предположим, что Ws(0), W"(0) касаются друг друга в точке w, тогда w — петрапсверсальпая гомоклипическая точка. Ясно, что

lim || fk(w) ||= lim || f-k(w) ||=0.

k^+w k^+w

Предположим, что f в некоторой ограниченной окрестности V0 начала координат имеет вид

'(;)=(Дх) ,2)

при (x, y) G Vo.

Пусть wi = (0,y0), w2 = (x0, 0) — две такие точки из орбиты гомоклинической точки w, что wi G Vo, w2 G Vo. Предположим, что при некоторых Л, Д таких, что А<А < 1, 1 < Д < д, справедливо включение

V = {(x,y): |x| < Л-1 |x01, |y| < Д|у0|} С Vo. (3)

Предположим, что

x0 > 0, y0 > 0. (4)

Из определения гомоклинической точки следует, что существует натуральное число w > 1 такое, что f" (wi) = w2. Предположим, что f k(wi) G V, k = 1, 2, ..., w — 1.

Пусть U — такая окрестность точки w1, что U С V, f" (U) С V, fk (U) p| V = 0, k =1, 2, ..., w — 1, и множества U, f (U), ..., f"(U) попарно не пересекаются. Назовем

U0 = VUf (U )U ...Uf "-1(U)

расширеппой окрестпостью гомоклипической точки.

Периодическая точка u G U является п-обходпой периодической точкой, если ее траектория лежит в U0 и пересечение ее орбиты с U состоит из n различных точек.

Обозначим через L сужение f" |и. Ясно, что L — отображение класса C1. Запишем отображение L в координатах:

l(x,y) = l ew „, „,0

х0 + ^\(ж,у - у0) ^2 (х, у - у0)

где у — у0), ^2(ж,у — у0) — С1 -функции, определенные в и, такие, что ^1(0, 0) = *а(0,0) = 0.

Точка т2 называется гомоклинической точкой с конечным порядком касания, если существует такое натуральное число I > 1, что

э^2(0,0) _ _ ¿>'-^2(0,0) _п 0'^2(О,О)

ду ду1-1 ду1 [Ь)

В работах [2-6] предполагалось, что гомоклиническая точка является точкой с конечным порядком касания. В предлагаемой работе, как и в работах [7, 8], изучается иной способ касания устойчивого и неустойчивого многообразия.

3. Формулировка теорем. Пусть / — С1 -диффеоморфизм плоскости в себя с гиперболической неподвижной точкой в начале координат и нетрансверсальной го-моклинической к ней точкой. Предположим, что в некоторой ограниченной окрестности начала координат выполнены условия (2). Пусть т = (0, у0), т = (х0, 0) — две такие точки из орбиты гомоклинической точки т, что выполнены условия (3), (4) и определена расширенная окрестность V0. В окрестности V точки т определено отображение Ь = fш .

Предположим, что координатные функции отображения Ь имеют вид

- У0) = а(у - у0) + х^1(ж,у - y0), 0 0 0 (6)

^2(ж,у - у ) = Ьх + д(у - у ) + х^(х,у - у ), где а, Ь — действительные числа такие, что

а < 0, Ь > 0, (7)

а функции д, ср\, таковы, что 951(0,0) = 952(0,0) = 0, д(0) = ^ ^ = 0. Ясно,

«у

что у>1, ^>2 и их производные первого порядка ограничены в V, а функция д и ее производная ограничены в окрестности нуля.

Характер касания устойчивого многообразия с неустойчивым в точке т определяется свойствами функции д. Опишем свойства этой функции с помощью последовательностей. Пусть а = а(к), £ = £(к) — такие положительные, стремящиеся к нулю последовательности, что при любом к выполняется

а (к - 1) - £(к - 1) - а(к) - £(к) > 0. (8)

Пусть ¿0 = ¿0(к) — такая возрастающая последовательность натуральных чисел, что существует натуральное число в > п такое, что

¿0(к) - ю(к - 1) >в (9)

при любом к.

Предположим, что при любом к

(АМ"Г(Й) < £(к). (10)

Пусть функция д такова, что существуют такие последовательности а(к), е(к), ¿0 (к) с перечисленными свойствами, что при любом к

д (а(к)) = (у0 + Д(к)) ^« (11)

где Д = Д(к) — стремящаяся к нулю последовательность действительных чисел.

Предположим, что существует такое действительное число а > 1, что при любом к справедливо неравенство

Л

< (12)

при Ь € (<г(к) — е(к), <г(к) + е(к)).

Из условий (11), (12) следует, что точка и>2 не является точкой с конечным порядком касания. Очевидно, что в этом случае условия (5) не выполняются.

Пусть г1 = н(к), ¿2 = ¿2(к), ..., ¿п-1 = ¿п-1(к) — такие возрастающие последовательности натуральных чисел, что

2 < ¿0(к) — ¿т(к) < в — 1, |гт(к) — ¿г(к)| > 1, (13)

где т = 1, 2,..., п — 1, I = 1, 2,..., п — 1, т = I.

Предположим, что функция д такова, что существует такой набор последовательностей ¿1 = н(к), ¿2 = ¿2(к), ..., ¿п-1 = ¿п-1(к), удовлетворяющих условиям (13), что при любом к следующая система уравнений имеет решение:

д(6) — М-^^ + а2Ь2А®! «+^-1« «£п-1 = = д-^ (й)у° — 6А41(Й) (х0 + аД(к)) — а62А®1 «+^-1« ^¿о «ж0, д(Сз) — + абА^ (%(к) = д-^« у0 — «ж0,

д(£п-2) — £п-1 + абА^-3^ £„-3 = м-4п-2(й)у0 — 6а^-з(Д:) х0,

д(£п-1) + абА^« £„-2 = м-4"-1(й)(у0 + а(к)) — бА^- «ж0.

Пусть £2 = £2(к), £3 = (к), ..., £и-1 = £п-1(к) — решение системы (14). Определим последовательность = ^1(к) следующим образом:

&(к) = Д(к) + 6(х0 + аС„-1(к)).

Теорема 1. Пусть / — диффеоморфизм плоскости в себя с неподвижной гиперболической точкой в начале координат и нетрансверсальной гомоклинической к ней точкой. Пусть выполнены условия (1)-(4), (6)-(12). Предположим, что существует такой набор возрастающих последовательностей натуральных чисел ¿1 = ¿1(к), ¿2 = ¿2(к), ..., ¿п-1 = ¿п-1(к), удовлетворяющих (13), что система уравнений (14) разрешима. Предположим, что при любом к справедливы неравенства

д(Ык)) — (у0 + 6(к))^-<1 (Й) + А4°(й)ь (х0 + аа(к)) | < е(к)М-(п-1)4о(й). (15)

Тогда в любой окрестности гомоклинической точки лежит счетное множество п-обходных устойчивых периодических точек, характеристические показатели которых отделены от нуля.

Отметим, что для выполнения условий (15) необходимо, чтобы ^1(к) € (ст(к) — е(к), а(к) + е(к)). В противном случае неравенства (15) противоречат (11), (12).

Поскольку д(£) — С1-функция одной переменной, определенная в окрестности нуля, удовлетворяющая (11), (12), то существуют такие последовательности Т1 = П(к), Т2 = Т2(к), что (Т1 (к),Т2(к)) С (а(к) + е(к), а(к — 1) — е(к — 1)) и

> -(0+1)(п-2)"Чо(й) /16)

Л

при Ь € (п(к), Т2(к)).

Теорема 2. Пусть д(£) — С1 -функция одной переменной, определенная в окрестности нуля, удовлетворяющая условиям (8)-(12). Предположим, что при любом к справедливы включения

у М

С (д(п(к)),д(г2(к))),

(17)

где последовательности т1 (к), т2(к) определены условиями (16). Тогда для любого набора возрастающих натуральных последовательностей ¿1 = ¿1(к), ¿2 = ¿2(к), ..., ¿п-1 = ¿п-1(к), удовлетворяющих условиям (13), система уравнений (14) разрешима.

4. Доказательство теоремы 1. Пусть к — достаточно большое натуральное число. Пусть а, £, Д, ¿0, ¿1,..., ¿п-1, £1, £2,..., £п-1 — элементы соответствующих последовательностей с достаточно большим номером к. При доказательстве теоремы индекс к у последовательностей опускается.

Для любого к определим Ж0 = А®"-1 (х0 + а£п-1), Ж1 = А®0(х0 + аа), хт = А«т-1 (ж0 + а£т-1), где т = 2, 3,..., п - 1. Определим множества

где т =1, 2,..., п - 1. Считаем, что ит С V при т = 0,1,..., п - 1.

Покажем, что справедливы включения /®тЬ (Цт) С Цт+1, где т = 0,1,..., п -

Пусть (ж,у) € Ц). Ясно что ж = Ж0 + «0, у = у0 + а + «0, где |и01 < А®0(|а| + 1)£, |-у0| < £. Обозначим

Из условий (2), (6) будем иметь

Ж0 = А®0 [ж0 + а(а + «0) + (х0 + «0)^1 (х0 + «0,а + «0)] ,

у0 = м®0 [Ь(х0 + «0) + д(а) + д(а + «0) - д(а) + (х0 + М0)^2(х0 + «0,а + «0)], откуда, с учетом условий (11), получим

|ж0 - Ж11 < А®° [|а|е + (|жо| + А®0 (|а| + 1)е)|^1(ж0 + и0, а + г;0)|] ,

\уо- (у°+а)| <

< м®0 [ЬА®0(|а| + 1)£ + |д(а + «0) - д(а)| + (|ж01 + А®0 (|а| + 1)£)|^(х0 + и, а + «)|] .

Ц = {|х - х01 < А®0 (|а| + 1)£, |у - (у0 + а)| < с}, Цт = {|х - хт| < А®0 (|а| + 1)£, |у - (у0 + £т)| < £м-(®т+®т+1+-+®п-1)} ,

2, /®"-1 Ь (Ц„-1) С Ц0.

Пусть (ж, у) € Ц1. Ясно что ж = х1 + и1, у = у0 + £1 + , где |и11 < А®0 (|а| + 1)е, И| < ем-(®1+®2+'"+®п-1). Обозначим

х1 У1

/ ®1 Ь

Из условий (2), (6) получим

ж1 = А®1 [ж0 + а(£1 + «1) + (х1 + «1)^1 (х1 + «1, £1 + «1)] , У1 = М®1 [Ь(х1 + «1) + д(£1) + д(£1 + «1) - д(£1) + (ж1 + «1)^2 (х1 + «1, £1 + «1)]. Из условий (15) будем иметь

\х1-х2\ < А*1 + (\х1\ + Х^(\а\ + 1)е)\^1(х1+и1^1+у1)\] ,

\У1 ~ (У° + £2) | < ^ [ЬУ°(П + 1)е + \д(& + «1) - 3(£1)| + +

+М®1 (|х 11 + А®0 (|а| + 1)е)|^2(х1 + иь£1 + «1)|.

Из свойств функций д следует

|д(£1 + «1) - д(£1)| < 0.5ем-(®1+®2+-+®п-1),

откуда получаем

\Х1-Х2\ < А<0(|а| + 1)е, \У1 ~ (у° + £ 1)|

Включение /®1 Ь (Ц1) С Ц2 доказано. Включения /®тЬ (Цт) С Цт+1, где т = 2, 3,..., п - 1, /®"-1 Ь (Цп-1) С Ц доказываются аналогично с учетом условий (14), следовательно, получим /®"-1 Ь ... /®0Ь(Ц0) С Ц0.

Из предыдущих рассуждений следует, что существует такая точка ¿0 € Ц0, ¿0 = (ж*, у*), что / ®"-1 Ь.../ ®0 Ь(^) = ^0 ив Ц лежит периодическая точка исходного диффеоморфизма. Пусть ¿т = (хт,ут), ¿т € Цт — такие точки из орбиты периодической точки, что ¿т = /®т-1 Ь ... /®0Ь(г0), т =1, 2,..., п - 1. Определим

2 = £/®"-1 Ь ... /®0Ь(^0) = £/®п-1 Ь(г„-1)... /Ь(^0).

Для того чтобы доказать устойчивость точек ¿0, оценим собственные числа этой матрицы. Ясно, что

/ Ь(^) =

А®

дх1рг{х,у-у°) дх

А®

а +

дх1рг{х,у-у°) ду

(<1д{у-у°) дх1р2{х,у-у°У

V

И*

где т = 0, 1, 2, . . . , п - 1. Легко видеть, что

Бе12= (-аЬ)"(Ам)"®0 А,

где величина А зависит от к, но является ограниченной для всех к. Введем обозначения

(т) / * * 0\

^2 = ^2 (хт,ут - у ),

(18)

_ - у0)

9т , I

«у

где т = 0,1, 2,..., п — 1. Следующие равенства определяют матрицы Ф, Фт, где т = 0,1, 2,. .., п — 1:

( 0 А'т а N

(А^)4° Фт = ^^ — (б + ^д^ ,

-1

А®п-1-т а

(АМ")4° Ф = 2 — П ' 1 (п-1-шЬ , 1

11 \ (6 + ^2 ) ^п-1-т дп-1-т,

Элементы матриц Ф, Фт, где т = 0,1, 2,..., п — 1, зависят от к, но являются ограниченными для всех к.

Индукцией по I при I = 1, 2,..., п — 1, легко показать, что

' / 0 а'1 т а \

Д (ь + ^-т)) дг-т^ =

= ( А'° в11 (I) А'° в12 (I)

^(г+1)'°в21(1) А'°в22(1) + м<<>+<1д0д1 ...дг

где ви(0, в12(I), в21 (I), в22(I), I = 1, 2,..., п — 1, зависят от к, но являются ограниченными для всех к.

Из (12) имеем |д01 < д-ат°, следовательно, существует такая не зависящая от к величина В, что

Тг2 < ,

где Тг2 — след матрицы 2, а 7 = — п,п(а — 1)].

Пусть р1, р2 — собственные числа матрицы 2. Известно, что

Р1Р2 = Det2,

Р1 + Р2 = ТГ2.

Покажем, что существуют такие С > 0 и к0, что при любом к > к0 и т = 1, 2 справедливы неравенства

|Рт|< СМ-7'° . (19)

Предположим, что (19) не выполняются, тогда для любого С > В существует такая последовательность номеров к, что

М >СМ-^°,

следовательно,

И>|Р11 — |ТГ2| > (С — В) ,

откуда

> С (С — В) .

Последнее неравенство противоречит равенствам (18). Неравенства (19) доказаны.

Характеристические показатели т = 1,2, периодических точек ¿о € Ц определяются следующим образом:

= (¿0 + ¿1 + . . . + ¿п-1 + пш)-1 1п |рт|,

где т =1, 2.

Из условий (13), (19) следует, что при достаточно больших к выполняется

^Ш < -71пм(2п)-1,

где т = 1, 2.

Последние неравенства доказывают теорему 1.

5. Доказательство теоремы 2. Пусть к — достаточно большое натуральное число. В доказательстве этой теоремы у последовательностей а, е, Д, ¿о , ¿1,..., ¿п-1, Т1, т2 индекс к опускается. Предполагается, что С2, Сэ,..., Сп-1 действительные переменные.

Пусть Р = {(^2, Сэ, • • •, Сп-1) , Сш € (т1, Т2) т = 2, 3,..., п - 1}. Определим на этих множествах при любом к отображение С : Р ^ К"-2, или в координатах

с (С2 ,Сэ,...,С"-1)

( С (С2,Сэ,...,С"-1)

СЭ ^ . . . , С"-1) \ Сп-1 (С2,С3,...,С"-1) /

где

С (С2,Сэ, . . . , Сп-1) = 5(С2) - М-'2Сэ + а262Л^ +®"-1 М®0Сп-1, Сэ (С2, Сэ,... ,С"-1) = 5(Сэ) - М-'3С4 + абЛ®2С2,

С"-2 (С2, Сэ,..., Сп-1) = 5(С"-2) - М ®"-2Сп-1 + абЛ®"-3Сп-э, Сп-1 (С2, Сэ,..., Сп-1) = 5(Сп-1) + абЛ®"-2Сп-2.

Пусть Яп-2 — определитель порядка п - 2 вида

Det

/Мг1

2

абЛ®2

-М 2

¿«3

М

<1дЦп-2) абЛ®"-2

-М

/

Ясно, что

Я

1=

'

«?2 «4э

0

Яп-2

Пользуясь свойствами определителя, легко показать, что

#«-2 = dg¥n-l}ffn-3 + оь (\(рГТ-2 Яп_4,

n-1

БеШО (£2, £3,..., £п-1) = Я„-2 + (-1)п-1(аЬ)п-1А®1 +®2+-+®п-1 м®0 . Из последних формул и условий (16), (17) следует, что

БеШО(£2,£з,...,£п-1) > 0

при любых (£2,£з, ... ,£п-1) € Р. Легко видеть, что отображение О взаимно однозначно на Р.

Из условий (13) при достаточно больших к и любом т = 2, 3,..., п - 1 имеем

|Ст (6,£„-1)-</(£т)| -!)•

Из этих неравенств и условий (17) следует, что при достаточно больших к справедливы включения

(£2, • • • , £n-l) , £m G

+ -¿o+s-i

y м

m = 2, 3, • • •, n — 1

} С G(P)•

Из последних включений следует существование решения системы (14). Теорема 2 доказана.

Литература

1. Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. Москва, Наука (1977).

2. Newhouse Sh. Diffeomorphisms with infinitely many sinks. Topology 12, 9—18 (1973).

3. Иванов Б. Ф. Устойчивость траекторий, не покидающих окрестность гомоклинической кривой. Дифференц. уравнения 15 (8), 1411—1419 (1979).

4. Гонченко С. В., Шильников Л. П. О динамических системах с негрубыми гомоклиническими кривыми. Доклады АН СССР 286 (5), 1049-1053 (1986).

5. Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. Динамические явления в многомерных системах с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре. Докл. Академии наук 330 (2), 144-147 (1993).

6. Стенькин О. В., Шильников Л. П. О бифуркациях периодических движений вблизи негрубой гомоклинической кривой. Дифференц. уравнения 33 (3), 377-384 (1997).

7. Васильева Е. В. Диффеоморфизмы плоскости с устойчивыми периодическими точками. Дифференц. уравнения 48 (3), 307-315 (2012).

8. Васильева Е. В. Устойчивость периодических точек диффеоморфизма плоскости в случае наличия гомоклинической орбиты. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия 6 (64), вып. 1, 44-52 (2019). https://doi.org/10.21638/11701 /spbu01.2019.103

Статья поступила в редакцию 16 февраля 2021 г.;

после доработки 14 марта 2021 г.; рекомендована в печать 19 марта 2021 г.

Контактная информация:

Васильева Екатерина Викторовна — д-р физ.-мат. наук; ekvas1962@mail.ru

Multi-pass stable periodic points of diffeomorphism of a plane with a homoclinic orbit*

E. V. Vasil'eva

St. Petersburg State University, 7—9, Universitetskaya nab., St. Petersburg, 199034, Russian Federation

For citation: Vasil'eva E. V. Multi-pass stable periodic points of diffeomorphism of a plane with a homoclinic orbit. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2021, vol. 8(66), issue 3, pp. 406-416. https://doi.org/10.21638/spbu01.2021.303 (In Russian)

A diffeomorphism of a plane into itself with a fixed hyperbolic point and a nontransversal point homoclinic to it is studied. There are various ways of touching a stable and unstable manifold at a homoclinic point. Periodic points whose trajectories do not leave the vicinity of the trajectory of a homoclinic point are divided into a countable set of types. Periodic points of the same type are called n-pass periodic points if their trajectories have n turns that lie outside a sufficiently small neighborhood of the hyperbolic point. Earlier in the articles of Sh. Newhouse, L. P. Shil'nikov, B. F. Ivanov and other authors, diffeomorphisms of the plane with a nontransversal homoclinic point were studied, it was assumed that this point is a tangency point of finite order. In these papers, it was shown that in a neighborhood of a homoclinic point there can be infinite sets of stable two-pass and three-pass periodic points. The presence of such sets depends on the properties of the hyperbolic point. In this paper, it is assumed that a homoclinic point is not a point with a finite order of tangency of a stable and unstable manifold. It is shown in the paper that for any fixed natural number n, a neighborhood of a nontransversal homolinic point can contain an infinite set of stable n-pass periodic points with characteristic exponents separated from zero. Keywords: diffeomorphism of plane, nontransversal homoclinic point, stability, characteristic exponents.

References

1. Pliss V. A. Integral Sets of Periodic Systems of Differential Equations. Moscow, Nauka Publ. (1977). (In Russian)

2. Newhouse Sh. Diffeomorphisms with infinitely many sinks. Topology 12, 9—18 (1973).

3. Ivanov B. F. Stability of the trajectories that do not leave the neighborhood of a homoclinic curve. Differ. Uravn. 15 (8), 1411-1419 (1979). (In Russian)

4. Gonchenko S. V., Shil'nikov L. P. Dynamical systems with structurally unstable homoclinic curves. Dokl. Akad. Nauk SSSR 286 (5), 1049-1053 (1986). (In Russian)

5. Gonchenko S. V., Turaev D.V., Shil'nikov L. P. Dynamical phenomena in multidimensional systems with a structurally unstable homoclinic Poincare curve. Dokl. Akad. Nauk 330 (2), 144-147 (1993). (In Russian) [Engl. transl.: Dokl. Math. 17 (3), 410-415 (1993)].

6. Sten'kin O. V, Shilnikov L. P. On bifurcations of periodic motions near a structurally unstable homoclinic curve. Differential Equations 33 (3), 375-383 (1997). (In Russian)

7. Vasil'eva E. V. Diffeomorphisms of the plane with stable periodic points. Differentsial'nye Urav-neniya 48 (3), 307-315 (2012). (In Russian) [Engl. transl.: Differential Equations 48 (3), 309-317 (2012). https://doi.org/10.1134/S0012266112030019].

8. Vasil'eva E. V. Stability of periodic points of a diffeomorphism of a plane in a homoclinic orbit. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy 6 (64), вып. 1, 44-52 (2019). https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2019.103 (In Russian) [Engl. transl.: Vestnik St. Petersburg University, Mathematics 52, iss. 1, 30-35 (2019). https://doi.org/10.3103/S1063454119010138].

Received: February 16, 2021 Revised: March 14, 2021 Accepted: March 19, 2021

A u t h o r's i n f o r m a t i o n: Ekaterina V. Vasil'eva — ekvas1962@mail.ru

*The work is supported by Russian Foundation for Basic Research (grant No. 19-01-00388).