CC BY
35
УДК 519.6 А.И. ТЯТЮШКИН
ББК 22.18 зав. лабораторией Института динамики систем и теории управления,
доктор технических наук, профессор, г. Иркутск
e-mail: tjat@icc.ru
А.И. КОЛМАКОВА
аспирант Байкальского государственного университета
экономики и права, г. Иркутск e-mail: kolmakova.a.i@mail.ru
МНОГОМЕТОДНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ УПРАВЛЕНИЯ В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ВЫБОРА НАЛОГОВОЙ СТАВКИ
Формулируется математическая постановка задачи в виде системы дифференциальных уравнений, описывающих налогообложение прибыли предприятий. Рассматривается задача поиска оптимального программного управления на основе задачи максимизации. Предлагается вычислительная технология расчета оптимального управления, основанная на применении нескольких процессоров для поиска численного решения задачи несколькими методами оптимизации одновременно.
Ключевые слова: оптимальное управление; динамическое программирование; налог на прибыль; модель деятельности предприятия.
A.I. TYATYUSHKIN
Doctor of Engineering, Professor, Head of the Laboratory, Institute for System Dynamics and Control Theory, Irkutsk
e-mail: tjat@icc.ru
A.I. KOLMAKOVA
post-graduate student, Baikal State University of Economics and Law, Irkutsk
e-mail: kolmakova.a.i@mail.ru
MULTIMETHOD OPTIMIZATION OF CONTROL IN ECONOMIC MODEL OF CHOOSING TAX RATE
Mathematical problem is formulated as a system of differential equations that describe the taxation of companies' profits. The problem of the search of an optimal programmed control method based on maximization problem is studied. The authors suggest using computational technique of optimal control calculation. This technique is based on the use of several processors for the search of numerical solution of the problem by several optimization methods simultaneously.
Keywords: optimal control; dynamic programming; profits tax; enterprise activity model.
Система налогообложения является одним из важнейших факторов, влияющих на решение об инвестировании, особенно если речь идет о прямых иностранных инвестициях. В целом на принятие решений об инвестировании оказывают влияние как налоговые, так и неналоговые факторы, при помощи которых осуществляется сравнение потенциальной прибыли от инвестиций и риска. Обычно компании при выборе того или иного проекта принимают во внимание различие в законных
ставках налога, направляя доходы в страны с низким налогообложением [2]. Оптимальность налогообложения принято оценивать с двух сторон:
- общий эффект для благосостояния общества;
- выгода для определенного налогоплательщика (экономического агента).
Приведем общую постановку задачи оптимального управления. Пусть управляемый процесс описывается системой
© А.И. Тятюшкин, А.И. Колмакова, 2012
■
(1)
I еТ = у0, ^], х(Ц еRn, иЦ) еRr с терминальными условиями
(2)
и фазовыми ограничениями
1(и, I) = Я'(х, I) = 0; ' = 1, s; I еТ. (3)
Управление стеснено следующими ограничениями:
(4)
где и — ограниченное замкнутое множество из £г. Вектор-функция ^х, и, /) непрерывно дифференцируема по х и и и непрерывна по t; — непрерывно дифференци-
руемые функции.
Пусть на правых концах траекторий системы (1) определена непрерывно дифференцируемая выпуклая скалярная функция
которую требуется минимизировать.
Градиенты функционалов I.(u), j = 0, m с помощью и со-
пряженной системы
Vj =-fxx u, O'Vj^,
'
вычисляются по формулам
VI (и) = -HU (V j , x, u, t); j = b m.
Для каждого t e T можно аналогично вычислить градиенты
_
где H(Ф, X, и, t,T) = Ф'.^, т) f(x, и, т), Фj (t, т),
j = 1, s — решения сопряженных систем
дФ. (t, т) df(x, и, т)
‘
Ф, (t, t)=-
dg1 (x(t)) . т—
[6].
Перейдем теперь к рассмотрению алгоритмов для решения задач с ограничениями на управление (4), но без ограничений (2)-(3). Предположим, что при некотором найдено решение системы (1)
Полагая } = 0, проинтегрируем сопряженную систему от t = t1 до t = ^ при На ее решении вычислим управление из принципа максимума и найдем значения скалярной функции
Если для заданного ик и найденных
■
принцип максимума нарушается > 0, то можно реализовать одну итерацию метода [1] для улучшения ик.
Множество точек, в которых нарушается принцип максимума, обозначим через
где — точка максимума этой функции на Тг. Варьируя г, можно найти его оптимальное значение гк, при котором управление
■
■
(5)
доставит наименьшее значение целевому функционалу. При поиске гк можно использовать несколько потоков для одновременного интегрирования системы (1) с управлениями
(5), соответствующими разным значениям гк.
В силу структуры управлений, генерируемых итерационной формулой (5), релаксации алгоритма могут прекратиться еще до получения управления, удовлетворяющего принципу максимума. Тогда для продолжения процесса оптимизации необходимо применить другой алгоритм. Так, например, восстановить сходимость обычно удается с помощью построения выпуклой комбинации двух управлений: ик+'(1) = и (I) + а[йк(I) - и (I)], а е[0, 1]. (6)
Вычисления по формулам (5) и (6) можно вести параллельно, выбирая из полученных приближений такое ик + 1, которому соответствует меньшее значение функционала. Если значения функционала будут сравниваться через несколько итераций, то в качестве критерия для сравнения эффективности методов (5) и (6) следует использовать значения приращений функционала, полученные на соседних итерациях каждого из методов.
Если в итерационной формуле (6) управление будет вычисляться из линеаризо-
ванного принципа максимума
.
и е и
то получим итерации метода условного градиента. Очевидно, для систем, линейных по управлению, это управление будет совпадать с управлением, найденным из принципа максимума.
Сформулируем постановку задачи об оптимизации ставки налога на прибыль.
В нашем случае переменными состояния будут затраты на производство х1; налоговые отчисления х2; количество основных производственных фондов (ОПФ) х3; количество трудовых ресурсов х4 в момент t. В качестве управления возьмем налоговую ставку v(t).
Система уравнений, описывающая экономическую систему, будет иметь следующий вид [5]:
■
dt
■
ГА \
---- =-Т-Г-+1(Ах,' хз 2 х4 3 - Х1)У;
= Ь'(1- у)(1 - а)(1- и)Ах1'х3а2X а - %х3;
dt пI + п^ + п3
Значения параметров данной задачи выбираются из интервалов, определяемых экономическим смыслом:
— доля выручки, которая составит затраты на производство в следующем периоде;
— рентабельность чистой прибыли;
— коэффициент эффективности использования основных фондов;
— коэффициент производственных затрат (норма материалоемкости);
— доля, которую составляет реальный темп непроизводственного потребления р(^ относительно его максимально возможной величины;
— коэффициент амортизации;
— функция, показывающая изменение численности персонала;
— производственная функция Кобба-Дугласа F '= Ах^х^2 х/3;
— функция, характеризующая изменения численности персонала,
,
■
где f — часть затрат на производство, которая составляет фонд оплаты труда; —
функция изменения заработной платы.
Проведем численное исследование модели на основе данных годовой отчетности ОАО «Иркутскэнерго» за 2002-2010 гг. [3]. Начальные значения для расчетов взяты из годовой отчетности: х,(0) = 36 588 536 тыс. р. ; *2(°) = = 2 631 461 тыс. р.; х3(0) = 35 011 803 тыс. р.;
х4(0) = 8 072 чел. Значения параметров получены на основе годовой отчетности.
Найдем оптимальную ставку налога на прибыль для и с
помощью комплекса программ «ОРТСО№ [4]. Для каждого из приведенных в первом разделе класса задач в пакете «ОРТСО№ программно реализовано несколько методов оптимизации. При расчете оптимального управления в каждой конкретной задаче автоматически используется своя многометодная схема оптимизации. Рассмотрим динамику показателей деятельности ОАО «Иркутскэнерго» для полученной оптимальной ставки налога на прибыль (рис. 1).
“ “ Затраты на производство, тыс. р.
.....Налоговые отчисления, тыс. р.
- • - Количество ОПФ, тыс. р.
Численность работников, чел.
Рис. 1. Поведение модели
при оптимальной ставке налога на прибыль
в 2010-2015 гг.
В ходе оптимизации ставки налогообложения прибыли предприятия было установлено, что на протяжении 5 лет наблюдается рост производственных затрат, налоговых отчислений, количества ОПФ и количества трудовых ресурсов. К окончанию рассматриваемого периода ставка налога на прибыль доходит до 24% (рис. 2), а налоговые отчисления достигают 17,24 млрд р. вместо первоначальных 2,63 млрд р.
30
20
10
0
2010 2011 2012 2013 2014 2015 Рис. 2. Оптимальная ставка налога на прибыль предприятия за 2010—2015 гг., %
Частая смена ставки может привести к непредсказуемым последствиям. Поэтому целесообразно установление ставки налога на прибыль в размере 15% для всего исследуемого периода. Тогда сумма налоговых отчислений к концу 2015 г. составит 12 931 644 тыс. р.
Таким образом, если сравнить ситуацию при начальных значениях и ситуацию, смоделированную при ставке налога на прибыль в 15%, то налоговые отчисления уменьшатся, т.е. выпадающие доходы по итогам пятилетнего периода составят 1 235 264 тыс. р. Возместить их помогут инвестиционные
проекты (доходы в виде инвестиций для последнего года исследуемого периода — 8 819 010 тыс. р.). Такая ставка налога на прибыль позволит увеличить количество оборотных и инвестиционных средств в 1,5 раза к 2015 г.
На практике многометодная технология существенно повышает надежность получения правильных результатов при расчете оптимального управления реальными объектами, что в значительной мере обеспечивает эффективность и безопасность их движения по оптимальной траектории.
Список использованной литературы
1. Васильев О.В., Тятюшкин А.И. Об одном методе решения задач оптимального управления, основанном на принципе максимума // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1981. Т. 21, № 6. С. 1376-1384.
2. Влияние налогообложения на инвестиции [Электронный ресурс]. URL: www.investmarket.ru/Reports/ show.asp?id=87.
3. Годовые отчеты ОАО «Иркутскэнерго» [Электронный ресурс]. URL: http://www.irkutskenergo.ru/qa/
768.2.Мт1.
4. Горнов А.Ю. Комплекс программ OPTCON для решения прикладных задач оптимального управления // Информационные и вычислительные технологии и системы: материалы Всерос. конф. Улан-Удэ, 2003.
Ч. 1. С. 112-115.
5. Москаленко А.И. Оптимальное управление моделями экономической динамики. Новосибирск, 1999.
6. Тятюшкин А.И. Многометодная технология оптимизации управляемых систем. Новосибирск, 2006.
Referenses
1. Vasil'ev O.V., Tyatyushkin A.I. Ob odnom metode resheniya zadach optimal'nogo upravleniya, osnovannom na printsipe maksimuma / / Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki. 1981. T. 21, № 6. S. 1376—1384.
2. Vliyanie nalogooblozheniya na investitsii [Elektronnyi resurs]. URL: www.investmarket.ru/Reports/show. asp?id=87.
3. Godovye otchety OAO «Irkutskenergo» [Elektronnyi resurs]. URL: http://www.irkutskenergo.ru/qa/
768.2.html.
4. Gornov A.Yu. Kompleks programm OPTCON dlya resheniya prikladnykh zadach optimal'nogo upravleniya / / Informatsionnye i vychislitel'nye tekhnologii i sistemy: materialy Vseros. konf. Ulan-Ude, 2003. Ch. 1. S. 112—115.
5. Moskalenko A.I. Optimal'noe upravlenie modelyami ekonomicheskoi dinamiki. Novosibirsk, 1999.
6. Tyatyushkin A.I. Mnogometodnaya tekhnologiya optimizatsii upravlyaemykh sistem. Novosibirsk, 2006.
