CC BY-NC-ND
27
DOI: 10.17323/2587-814X.2020.2.48.63
Многомерное логарифмически нормальное распределение в оценке недвижимого имущества
М.Б. Ласкин ®
E-mail: laskinmb@yahoo.com
Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации, Российская академия наук Адрес: 199178, г. Санкт-Петербург, 14 линия, д. 39
Аннотация
Целью исследования является разработка методики оценки рыночной стоимости по совокупности ценообразующих факторов, подчиняющихся совместному логарифмически нормальному распределению. Под совместным логарифмически нормальным распределением понимается распределение случайного вектора, логарифмы компонент которого распределены совместно нормально. Предложен метод оценки рыночной стоимости по условному распределению цен при заданных значениях ценообразующих факторов, а также методы анализа цены предложения с точки зрения ее обоснованности, по условному распределению вектора ценообразующих факторов при заданной цене предложения. Рассмотрены особенности коэффициента застройки в зависимости от площади земельного участка. Приведены дополнительные аргументы в пользу оценки рыночной стоимости как моды условных законов распределения цен. Рассмотрен пример многомерного логарифмически нормального распределения цены и таких ценообразующих факторов, как площадь улучшений (устоявшийся в оценочном сообществе термин, означающий общую площадь возведенных на земельном участке зданий и сооружений) и площадь земельного участка на реальных данных, т.е. для случая трехмерного случайного вектора. Обоснована формула для определения точки абсолютного максимума плотности многомерного логарифмически нормального случайного вектора. Полученные результаты могут быть использованы при создании информационных систем поддержки принятия решений при оценке объектов недвижимого имущества.
Ключевые слова: рыночная стоимость; логарифмически нормальный закон распределения цен; многомерное логарифмически нормальное распределение; оценка недвижимого имущества.
Цитирование: Ласкин М.Б. Многомерное логарифмически нормальное распределение в оценке недвижимого имущества // Бизнес-информатика. 2020. Т 14. № 2. С. 48-63. DOI: 10.17323/2587-814Х.2020.2.48.63
Введение
Одним из распространенных методов оценки рыночной стоимости объектов недвижимого имущества является построение регрессионных зависимостей цены от значений ценообразую-щих факторов. При этом факторы могут быть как качественными (тип дома, обременение, этажность, вид из окна, состояние квартиры/помещения и т.д.), так и количественными (площадь объекта или земельного участка, расстояние до центра города, до метро, других объектов инфраструктуры и т.д.).
Существуют различные мнения относительно разбиения ценообразующих факторов на классы. В контексте настоящей статьи имеется в виду разбиение на качественные и количественные факторы с точки зрения возможности представления значений фактора вещественным числом (если такая возможность существует, то фактор является количественным). Совмещение в одной регрессионной модели количественных и качественных факторов представляет для аналитиков определенную трудность. Однако, эта проблема выходит за рамки настоящей статьи: здесь мы ограничимся только количественными (вещественными) факторами. Оказывается, что такие факторы, рассматривая их как случайные величины на множестве объектов сравнения, как правило, удается приблизить логарифмически нормальным распределением. Также имеются основания предполагать, что цены объектов сравнения также подчиняются логарифмически нормальному закону распределения.
Теоретическое обоснование формирования лог-нормальной генеральной совокупности для цен, образованных последовательными сравнениями, было приведено в работе [1]. На факт подчинения арендных ставок в недвижимости логарифмически нормальному распределению указывали еще Ай-чинсон и Браун в 1963 году [2]. На логарифмическое распределение цен в недвижимости указывали и современные исследователи [3]. Такой подход пока не является традиционным с точки зрения существующей практики оценки недвижимого имущества, поскольку требует применения специальных прикладных статистических пакетов, которые не используются практикующими оценщиками, привыкшими работать с малым количеством объектов сравнения. В то же время быстро меняющаяся информационная среда побуждает исследователей искать новые, нетрадиционные подходы к оценке недвижимого имущества. В качестве примера можно привести работы [4—9], посвященные методу гедо-
нистического ценообразования, т.е. выявления статистической связи между средней или медианной стоимостью жилья, внутренними и внешними цено-образующими факторами.
Статистическая зависимость, как правило, оценивается через модели линейной, логарифмической или частично-логарифмической зависимости. В целом эта же идеология положена в основу отчета о кадастровой стоимости [10], выполненного Санкт-Петербургским ГУ «Кадастровая оценка» в 2018 году. В ряде работ используются нерегрессионные модели оценки объектов жилой недвижимости: например, в работах [11, 12] для прогнозирования стоимости жилых объектов используются нейронные сети, в работах [13, 14] — методы машинного обучения (случайный лес, метод опорных векторов), а в работе [15] сравниваются результаты применения таких методов, как деревья решений, наивный байесовский классификатор и AdaBoost. Такие методы требуют использования больших выборок данных. Другим подходом является использование индексов цен. Например, в работе [16] рассматривается индекс цен на жилье Case-ShШer. В работах [17—19] исследуется индекс повторной продажи, который прогнозирует изменение стоимости перепроданного объекта, исходя из разницы во времени и изменения его атрибутов между первоначальной продажей и последующей перепродажей. Авторы работ [20—23] рассматривают гибридный метод, сочетающий гедонистический подход и метод повторной продажи.
Основным подходом при исследовании цен-пузырей является использование вариаций методов авторегрессии, примененных к усредненным ценам, например, в работах [24—28]. Таким образом, привлечение многомерных логарифмически нормальных распределений также находится в русле современных тенденций поиска нетрадиционных методов в оценке недвижимого имущества.
1. Оценка рыночной стоимости по условным распределениям при фиксированных значениях ценообразующих (количественных/ вещественных) факторов
Пусть V — цена предложения (или сделки), а Х1, ..., Хп — количественные (вещественные) цено-образующие факторы. Пусть Ж= 1п(Т), Y = 1п(Х ), i = 1, п (тогда V = еЖ, X. = ег').
Рассмотрим многомерный нормальный случайный вектор (Ж, Y1, ..., Yn ) с вектором средних
(/i W, ц, ..., ¡iY). Ковариационную матрицу запишем в блочном виде:
CV =
covl
cov
(WJ) {W,YJ COV
где COV — ковариационная матрица случайного вектора Y = (Yp ..., Yn );
cov(w,Y} — вектор [p^a^,..., рШп a^);
ст^,<Ту ...,ay — дисперсии случайных величин W, Y1, ..., Y ; '
1' ' n '
рт,..., Рщгу — соответствующие коэффициенты корреляции.
Тогда, условное математическое ожидание W, при условии Yj = y ...,Y = Уп равно
.....уп=Уп)=
= ¿V +{cOV~1 xcov(w,Y)T
где jUy = [ju¥i,...,juY Условная дисперсия W, при условии, что Yj = y ...,Yn = ynравна
D(W\Y,=yu...,Yn=yn) = = а^ -\C0V~1 xcov{\V,Y^ ,cov(w,Y)J.
При фиксированных значениях ценообразующих факторов Xj = x1, ...,Xn = xn наиболее вероятное значение цены предложения (или сделки, в зависимости от того, какие цены были в исходных данных) V рассчитывается по формуле условной моды
Mode(y\X, =хх= е\...,Х„ =хп=ек) = exp(^ +(COV~lxcov(W,Yjf ,(f-~iTY)--a2w + (C0K_1 xcov(W,Y)T,cov(W,Y)y
(1)
В соответствии с формулировкой Ф3-135 [29], под рыночной стоимостью понимается наиболее вероятная цена, по которой объект оценки может быть отчужден на открытом рынке в условиях совершенной конкуренции. На практике оценщики, как правило, используют средние арифметические, реже средние геометрические значения. Такие оценки могут быть построены как оценки условного математического ожидания и условной медианы:
Е(У\Х, = ехр( у, ),...,Х„=х„= ехр(>„)) =
= ехр(^ + (СОК"1 хСОУ(Ж,(?-;£)) + (2)
Median (V\X1 = xt = ехр(^ ),...,Хп=хп= ехр (уп)) = (3) = exp(/v + COV1 х cov(W, ?f ,{Y
Таким образом, если относительно некоторого ансамбля количественных ценообразующих факторов и цен объектов сравнения удается принять в качестве рабочей гипотезу о совместном логарифмически нормальном распределении (совместном нормальном распределении логарифмов) компонент случайного вектора, то в качестве оценки рыночной стоимости могут быть приняты оценки по формуле (1). Могут быть приняты и оценки по формулам (2) и (3); но при этом следует помнить, что такие оценки не отвечают определению рыночной стоимости, закрепленной в Ф3-135.
Рассмотрим пример, в котором использованы данные, подобранные известными российскими оценщиками и опубликованные на ресурсе [30]. Рассматривается 40 объектов недвижимости производственно-складского назначения с локацией в одном регионе (г. Санкт-Петербург), выставленные на продажу в одном периоде времени. Поскольку авторами примера обоснован отказ от ряда корректировок, в нашем примере мы также будем считать данные сопоставимыми и сравнимыми без дополнительных корректировок. Объекты производственно-складского назначения рассматриваются как единый комплекс, состоящий из земельного участка и улучшений (зданий). Данные представлены в таблице 1.
Объекты сравнения рассматриваются как действующие объекты производственно-складского назначения, выставленные на продажу в текущем использовании. Мы построим общий метод оценки рыночной стоимости (без учета скидки на торг), если для него заданы площади улучшений и земельного участка (полученная оценка, естественно, относится к тому же периоду времени, типу объектов и региону).
В данном случае имеют место случайные величины V — приведенная к 1 кв. м улучшений цена предложения, SB — площадь улучшений, SP — площадь земельного участка. Они образуют трехмерный случайный вектор (F, SB, SP). Пусть W = ln(V), Y = ln(SB), Z = ln(SP), (тогда v = e W, SB = eY, SP = e Z). Для трехмерного нормального случайного вектора (Ж, Y, Z) вектор средних равен (цW, цг ..., ¡iZ). Ковариационная матрица выглядит следующим образом:
Таблица 1.
Исходные данные
Площадь зданий (кв. м) Площадь земельных участков (кв. м) Цена за весь объект (руб.) Отношение цены к площади улучшений (руб./кв. м)
400 2 500 20 500 000 51 250
750 5 000 18 000 000 24 000
1 081 3 378 26 000 000 24 052
1 130 6 638 27 500 000 24 336
1 320 4 167 31 500 000 23 864
1 440 10 000 160 000 000 111 111
1 790 3 462 93 000 000 51 955
1 900 13 000 85 000 000 44 737
2 125 5 623 85 000 000 40 000
2 642 5 183 75 000 000 28 388
2 700 6 800 59 000 000 21 852
1 820 2 737 32 000 000 17 582
2 250 9 252 84 000 000 37 333
2 973 5 388 90 000 000 30 272
3 513 10 000 80 000 000 22 773
3 600 5 000 95 000 000 26 389
4 000 13 558 140 000 000 35 000
4 124 12 866 91 000 000 22 066
4 167 5 000 125 000 000 29 998
4 257 6 861 128 500 000 30 186
5 292 11 143 56 000 000 10 582
5 300 16 000 220 000 000 41 509
6 011 11 319 135 000 000 22 459
6 013 20 781 90 000 000 14 968
6 060 21 790 179 000 000 29 538
6 123 2 390 152 490 000 24 904
6 479 7 337 119 000 000 18 367
6 756 4 220 90 000 000 13 321
10 000 12 000 420 000 000 42 000
10 300 17 000 312 000 000 30 291
10 672 12 194 350 000 000 32 796
10 990 30 000 480 000 000 43 676
12 000 30 000 300 000 000 25 000
13 000 55 000 200 000 000 15 385
14 428 33 000 385 000 000 26 684
15 000 37 000 840 000 000 56 000
18 924 20 600 800 000 000 42 274
22 312 40 162 338 541 000 15 173
34 082 478 000 2 500 000 000 73 353
35 000 160 000 2 400 000 000 68 571
CV =
"W
Pyw°w°y
pwy<jw<jy pwzawaz
PYZ<JY(JZ
PzW^W^Z PZY^Y^Z или в блочном виде:
CV =
coy
cov
(W,Y)T
(W,Y) COV
где COV =
pYZaY°Z
; Y = (Y,Z);
kPzy<jy<tz
cov(w, fj = (p^cr^ay, p^cr^);
— дисперсии случайных величин W, Y,
Z;
Pwy=PwPwz=PzwPyz=Pzy — соответствующие коэффициенты корреляции.
Условное математическое ожидание W, при условии, что Y = y, Z = z :
E(W\Y = y,Z = z) = = /V +{cOV~l *cov(xj)T, (y-Mr,Z-Mz)).
Условная дисперсия W, при условии, что Y= y, Z = z :
D(W\Y = y,Z = z) = = a2w -[cOV-lxcov(xj"), cov(x,Y)J.
Пусть заданы значения площади улучшений SB = sb и площади земельного участка SP = sp. В соответствии с введенными выше обозначениями Y = ln(SB), Z = ln(SP), y = ln(sb), z = ln(sp). Наиболее вероятное значение цены предложения Кпри известных значениях площади улучшений и площади земельного участка рассчитывается по формуле [31]:
Mode(V\SB= sb,SP = sp) =
exp(/v +(COV~1xcov(x,Y))T,(у-fr,z-Mz)~ (4)
-a^ +{cOV-lxcov{wj"f ,cov(\Vj) J)).
Условное математическое ожидание рассчитывается по формуле:
E{V\SB =sb, SP =E) = Hw + (COV1 xcov[X,{y-nY,z-Mz))
+
+— 2
^a^r -^COV'1 xcov(w,?)T ,cov(w,Y)J).
(5)
Условная медиана рассчитывается по формуле: Median{V\SB = sb, SP= sp) = exp(¿v +[cOV-lxcov(\V,Yf, {y-nY,z~(6)
Прежде чем применить формулы (4)—(6) к данным таблицы 1 проверим, есть ли основания предполагать логнормальность распределений компонент случайного вектора (V, SB, SP) (совместную нормальность логарифмов их компонент). Для проверки маргинальных распределений использовался параметрический тест Колмогорова-Смирнова. Получены следующие значения /»-value:
V — цена 1 кв. м улучшений: при параметрах mean-log = 10,3 и sdlog = 0,43 /»-value составляет 0,7016;
SB — площадь зданий: при параметрах meanlog = 8,45 и sdlog = 1,02 /»-value равно 0,9761;
SP — площадь земельного участка: при параметрах meanlog = 9,3 и sdlog = 1,01 /»-value составляет 0,8963.
Проверим три изучаемые случайные величины на совместную нормальность логарифмов. Для этого воспользуемся известным условием совместной нормальности: для того, чтобы многомерный случайный вектор имел многомерное нормальное распределение необходимо и достаточно, чтобы любая линейная комбинация его компонент была распределена нормально. В среде статистического пакета R была реализована следующая процедура:
♦ переменные прологарифмированы;
♦ полученные логарифмические значения переменных центрированы и нормированы, каждая на свое стандартное отклонение;
♦ с помощью стандартной функции R runif(3,0,1) сгенерированы три весовых коэффициента, коэффициенты нормированы на их сумму;
♦ из центрированных и нормированных логарифмов составлена линейная комбинация со случайными положительными коэффициентами, в сумме равными единице;
♦ полученная линейная комбинация тестируется при помощи теста Колмогорова—Смирнова на нормальность, результат теста в виде значения /»-value записывается в массив;
♦ процедура со случайной линейной комбинацией повторяется заданное количество раз, каждый раз записывается /j-value. Затем общий массив /»-value сравнивается с критическим уровнем (0,05).
На приведенном рисунке 1 представлена гистограмма, показывающая, какие значения /»-value были получены при повторении теста 100 000 раз.
Минимальное значение /»-value равно 0,2867691, что выше критического уровня 0,05. Приведенная процедура 100 000-кратного повторения тестов для случайных линейных комбинаций компонент вектора (W, Y, Z) представляется достаточным основанием для того, чтобы сохранить в качестве рабочей гипотезу о совместной нормальности логарифмов изучаемых переменных.
Для логарифмов переменных «Отношение цены к площади улучшений», «Площадь зданий», «Площадь земельного участка», указанных в таблице 1, получены следующие значения вектора средних и ковариационная матрица (таблица 2).
Density
3 -
.hnnflL
KS test result distribution
0,2
0,4
0,6
0,4
1,0
2
0
0
Рис. 1. Результаты тестирования случайных линейных комбинаций центрированных и нормированных компонент вектора (Ш, У, I) = (1п(К), 1п(5В), 1п^Р)) на совместную нормальность тестом Колмогорова-Смирнова
Таблица 2. Средние логарифмов переменных
Отношение цены к площади улучшений ( V) Площадь зданий ( Щ Площадь земельного участка ( ЯР)
Вектор средних
10,2993 8,4469 9,3506
Ковариационная матрица
0,2381 0,0108 0,1467
0,0108 1,0635 0,8978
0,1467 0,8978 1,2140
Таким образом цц= 10,2993; ц= 8,4469; ц2= 9,3506, = 0,2381,
рш <гт= Рш о- ж °у= 0,0108;
Рш Ст2= Рт аж °2 = 0,1467 = 1,0635 сту а2= р2Уаг а2= 0,8978; = 1,2140.
В среде статистического пакета R реализован программный код, позволяющий рассчитать оценку рыночной стоимости по заданным значениям параметров «Площадь зданий», «Площадь земельного участка» (формула (4)). Аналогичные расчеты могут быть выполнены для оценок по медианным значениям или по математическим ожиданиям (формулы (5) и (6)). Результаты представлены в таблице 3.
Из представленной таблицы видно следующее:
♦ оценка по моде всегда ниже оценки по медиане, а оценка по медиане всегда ниже оценки по математическому ожиданию (мнение автора: рыночную стоимость следовало бы определять как оценку по моде, в соответствии с формулировкой Ф3-135, учитывая наблюдаемые на рынке несимметричные распределения цен, площадей и расстояний);
♦ при постоянной площади земельного участка рыночная стоимость в пересчете на 1 кв. м улучшений уменьшается при увеличении площади улучшений;
♦ при постоянной площади улучшений рыночная стоимость в пересчете на 1 кв. м улучшений увеличивается при увеличении площади земельного участка;
♦ по формуле (4) может быть рассчитана рыночная стоимость объекта недвижимости того же класса, что и объекты сравнения, для любых значений площадей улучшений и земельного участка (на ту же дату, для той же локации). Поскольку в оценочной среде нет общего единства мнений от-
носительно используемых для оценки рыночной стоимости числовых характеристик (мода, медиана, математическое ожидание), могут быть применены формулы (5) и (6), строго говоря, не отвечающие определению рыночной стоимости в соответствии с Ф3-135.
2. Соотношение площади улучшений и площади земельного участка при известной цене предложения
В статье [30] рассматривается, в том числе, вопрос о ценовых тенденциях на рынке недвижимости производственно-складского назначения и зависимость рыночной стоимости от «коэффициента плотности застройки» земельного участка, под которым понимается отношение площади улучшений к площади всего земельного участка. Рассматриваемая в настоящей статье модель совместного логарифмически нормального распределения компонент случайного вектора (V, SB, SP) также позволяет посмотреть на проблему формирования ценовых тенденций. Отличие заключается в том, что все компоненты случайного вектора (V, SB, SP) распределены на положительной полуоси, т.е. для каждого заданного значения V = V можно указать наиболее вероятные значения компонент SB (площади улучшений) и SP (площади земельного участка), соответствующие цене предложения. В отличие от предыдущего случая (оценка рыночной стоимости по заданным значениям SB и SP), область возможных отклонений от наиболее вероятного (медианного, среднего) значений находится не на числовой оси, а на плоскости и представляет из себя (как будет показано ниже) вложенные множества, получающиеся из эллипсов рассеяния логарифмированных значений SB и SP при обратном экспоненциальном преобразовании плоскости.
Пусть цена предложения V= V известна. Требуется оценить соотношение площади улучшений и земельного участка для класса объектов с такой начальной ценой предложения, т.е. выделить объекты с нижней, средней и верхней ценовыми тенденциями [30]. Обозначения прежние: V— цена предложения, SB — площадь улучшений, SP — площадь земельного участка, Ж= 1п(Т), У= 1п(£В), 2 = 1п( SP) (т.е. V = еЖ, SB = еу, SP = е2).
По прежнему, рассматриваем трехмерный нормальный случайный вектор (Ж, У, 2) с вектором средних (ц /у /и2) и ковариационной матрицей
Таблица 3.
Оценки рыночной стоимости, приведенной к 1 кв. м улучшений для различных значений площадей улучшений и земельных участков
О ценка РС Плошадь земельного участка в метрах
по моде 2 000 7 000 12 000 17 000 22 000 27 000 32 000 37 000 42 000 47 000
400 26 247 38 298 45 058 50 049 54 096 57 543 60 568 63 279 65 745 68 014
2 400 16 938 24 714 29 076 32 297 34 909 37 133 39 085 40 835 42 426 43 890
X га 4 400 14 605 21 310 25 072 27 849 30 101 32 019 33 702 35 211 36 583 37 845
со 6 400 13 327 19 445 22 877 25 411 27 466 29 216 30 752 32 129 33 381 34 533
со 3 :т 8 400 12 469 18 194 21 406 23 777 25 700 27 337 28 775 30 062 31 234 32 312
10 400 11 835 17 269 20 317 22 567 24 392 25 947 27 311 28 533 29 645 30 668
_а га ^ 12 400 11 337 16 542 19 462 21 618 23 366 24 855 26 161 27 332 28 397 29 377
о ^ 1= 14 400 10 930 15 948 18 763 20 842 22 527 23 962 25 222 26 351 27 378 28 323
16 400 10 588 15 449 18 176 20 189 21 822 23 212 24 433 25 527 26 521 27 436
18 400 10 294 15 021 17 672 19 629 21 217 22 569 23 755 24 818 25 786 26 675
О ценка РС Плошадь земельного участка в метрах
по медиане 2 000 7 000 12 000 17 000 22 000 27 000 32 000 37 000 42 000 47 000
400 31 947 46 615 54 843 60 918 65 844 70 039 73 722 77 021 80 023 82 784
2 400 20 616 30 081 35 391 39 311 42 490 45 197 47 573 49 703 51 640 53 421
X га 4 400 17 777 25 938 30 517 33 897 36 638 38 972 41 021 42 858 44 528 46 064
со 6 400 16 221 23 668 27 846 30 930 33 431 35 561 37 431 39 106 40 630 42 032
со 3 :т 8 400 15 177 22 146 26 055 28 941 31 281 33 274 35 023 36 591 38 017 39 329
10 400 14 405 21 019 24 729 27 468 29 690 31 581 33 242 34 730 36 083 37 328
_а га ^ 12 400 13 799 20 134 23 688 26 312 28 440 30 252 31 843 33 268 34 564 35 757
о ^ 1= 14 400 13 304 19 412 22 838 25 368 27 419 29 166 30 700 32 074 33 324 34 473
16 400 12 887 18 804 22 123 24 574 26 561 28 253 29 739 31 070 32 281 33 395
18 400 12 530 18 283 21 510 23 892 25 824 27 470 28 914 30 208 31 385 32 468
Оценка РС по Плошадь земельного участка в метрах
математическому ожиданию 2 000 7 000 12 000 17 000 22 000 27 000 32 000 37 000 42 000 47 000
400 35 246 51 428 60 506 67 208 72 643 77 271 81 334 84 974 88 285 91 332
2 400 22 744 33 187 39 045 43 370 46 877 49 864 52 485 54 835 56 971 58 937
X га 4 400 19 612 28 616 33 668 37 397 40 421 42 996 45 257 47 283 49 125 50 820
со 6 400 17 895 26 112 30 721 34 124 36 883 39 233 41 296 43 144 44 825 46 372
^ со 3 ^ 8 400 16 744 24 432 28 745 31 929 34 511 36 710 38 640 40 369 41 942 43 389
10 400 15 893 23 189 27 283 30 305 32 755 34 842 36 674 38 315 39 809 41 182
_о та ^ 12 400 15 224 22 213 26 134 29 029 31 377 33 376 35 130 36 703 38 133 39 449
о ^ 1= 14 400 14 677 21 416 25 196 27 987 30 250 32 178 33 869 35 385 36 764 38 033
16 400 14 218 20 746 24 408 27 111 29 304 31 171 32 810 34 278 35 614 36 843
18 400 13 824 20 170 23 731 26 359 28 491 30 306 31 899 33 327 34 626 35 821
СУ =
РцгуСцгСТу Р№2СГЦ,СГ2
Рш<7№<7Е
ру2<уу<т2
или в блочном виде:
С¥ =
СОУ
(Ж,Г)
СОУ
СОУ
где СОГ =
Г /-Г2
\
Ру2СГу<Т2
р2уауа2 а\ у
; У = (У,г);
соу{Ж,?) = (рцтуСТцгСТу, Рш^^г);
&1г>аг>сгг — дисперсии случайных величин Ж, Y, X;
Рш=Рш > Рш=Рш > Руг=Ргу — соответствующие коэффициенты корреляции.
Условное математическое ожидание вектора У = (У,Х), при условии, что Ж = w:
_ . соу(ж,У)Г Е(У\Ж = У,) = Р+-=
ГМгЛ Иг.
Рш—^-Ищ) «т^
(7)
Мг+Рш— Мг+Ргг—(™~Мцг)
Условная ковариационная матрица при условии, что Ж = w:
СОГ(У\Ж = м>) = СО¥
со\{ЖУ^ ХСОУ(Ж,У)
иу
р2Гау<т2
Ру2<ТуСГ2
2
Г 2 2 РуцгОу
(8)
2 2
РШРШ(7у(72 Ршаг ,
Пусть известна цена предложения V = V. В соответствии с введенными выше обозначениями Ж= 1п(^, w = ln(v). Наиболее вероятная комбинация площади улучшений SB и площади земельного участка SP при фиксированной цене предложения рассчитывается по формуле:
Мос1е(У\У = у) = ехр
СОУ
р + -
(IV,у)т
■(^-Мг)
-СОГ +
соу(1¥У}Т хсоу(ж,У}
В таблице 4 представлены расчетные наиболее вероятные комбинации площади улучшений SB и площади земельного участка SP для некоторых значений цены предложения.
Следует отметить, что при каждом значении цены предложения такая наиболее вероятная пара значе-
Наиболее вероятные комбинации площади улучшений SB и площади земельного участка SP, значения коэффициента плотности застройки земельного участка для некоторых значений цены предложения
Таблица 4.
Цена предложения в руб. за 1 кв.м. приведенной площади 7 000 12 000 21 000 28 000 40 000 60 000 80 000 100000
Наиболее вероятная пара:
площадь улучшений в кв.м. 619 634 650 659 669 682 691 698
площадь земельного участка в кв.м. 630 878 239 1 479 1 843 2 365 2 824 3 240
коэффициент плотности застройки 0,98 0,72 0,52 0,45 0,36 0,29 0,24 0,22
плотность
площадь улучшений
площадь ЗУ
плотность
площадь улучшений
площадь ЗУ
плотность
площадь улучшений
площадь ЗУ
Рис. 2. Двумерные распределения SP (площадь земельного участка) и SB (площадь улучшений)
ний SB, SP является единственной (коэффициент плотности застройки в этом случае отвечает наиболее вероятной паре SB, SP). Попытки представить как наиболее удобную, с какой-либо точки зрения, другую пару компонент SB и SP означают выбор точки, для которой существует множество других равновероятных точек, с плотностью меньше максимальной, и для которых коэффициенты плотности застройки, очевидно, будут разными. На рисунке 2 представлены изображения двумерных распределений SB и SP для цены предложения 7 000 руб., 28 000 руб., 100 000 руб. (слева направо) за 1 кв. м . площади, приведенной к площади улучшений.
Хорошо видно, что любая другая точка плоскости SP, SB имеет множество равновероятных значений. Области таких значений при цене предложения 28 000 руб. за 1 кв. м улучшений единого комплекса (земельный участок плюс улучшения) представлены на рисунке 3.
3. Коэффициент плотности застройки (отношение площади улучшений к площади земельного участка)
Предположим, что цена предложения (сделки) известна. Требуется оценить, каким должен быть коэффициент плотности застройки при данной цене и известной площади земельного участка. Обратимся к формулам (7) и (8). При фиксированной цене предложения (V = у) формулы (7) и (8) дают расчетные значения условных математических ожиданий логарифмов площади улучшений (SB| V = у), площади земельного участка (SpV = у) и условной ковариационной матрицы. Теперь предположим, что площадь земельного участка тоже известна. Введем новые обозначения для условных логарифмов площади улучшений (SB\V = у) и площади земельного участка (5р V = у):
Мсопжв =Мг+Рш—(™~Мг)> аж
Мстмр =Мг+Рш
а1пжв =аг(1~Рт>)>
^сопсИ'Р =СГ1{1-Рш),
р = аг<т2 (рш - ршрш )
(части нижних индексов "со^" означают «условное»). Рассмотрим двумерный случайный вектор (SB\ V = у, SP\ V = у) с указанными параметрами. При заданном значении площади земельного участка и заданном значении цены (в приведенном примере цены предложения) (5Р = sp, V = у), условная мода величины SB (площади улучшений) равна (по аналогии с доказательством, приведенным в работе [32]):
Площадь улучшений
8000 -
6000 -
4000 -
2000 -
0 -
2000
4000
6000
8000
Площадь ЗУ
Рис. 3. Линии уровней равновероятных точек на плоскости с координатами SP (площадь земельного участка), SB (площадь улучшений)
0
Мойе(БР\ БР = ер, V = V) = ехр(Х
, +
+р х (1п (56 - ))" ^ (1" Р2 ))■
(9)
' соп(1$В
Условная медиана величины 5Р равна: Мейтп(!5Р | БР = ер, V = у) =
= ехр (МсопЖР+рх-
-{Н^-^соЫЗв))-
Условное математическое ожидание величины 5Р равно:
Е^Р | БР = 8р, V = V) = ехр (Ятс15Р +
^сшиШВ
Предположим, что требуется оценить коэффициент застройки в группе объектов нижней, средней или верхней ценовой категории. Такие оценки могут быть построены в зависимости от площади земельного участка как по модальным, так и по медианным или средним значениям. Однако общий вид поверхностей, показанных на рисунке 2, говорит о том, что наиболее консервативными будут оценки по модальным значениям. Оценки по медианным или средним значениям выглядят завышенными (при V= 28 000 руб./1 кв. м — примерно в 1,4 и 1,7 раза, рисунок 4). Предположим, что нас интересует следующий вопрос: если цена предложения 28 000 руб. за 1 кв. м приведенной площади, а площадь земельного участка равна 30 000 кв. м, то какую площадь улучшений (и, соответственно, какой коэффициент
плотности застройки) следовало бы считать адекватным такой цене и площади земельного участка. Под коэффициентом застройки будем понимать отношение оценочного значения площади улучшений к площади земельного участка, т.е.
Мойе(ЗВ\8Р =
¡¡Р
(как вариант,
МесИап(8В\ЗР = зр) Е(8В\БР = зр)
).
яр яр
На рисунке 4 показано, что оценки по модальным, медианным и средним значениям могут значительно отличаться. Применение формулы (9) к результатам расчета условных параметров при цене 28 000 руб./ кв. м и значению площади земельного участка равного 30 000 кв. м дает результат 7 165 кв. м улучшений, и тогда коэффициент плотности застройки составляет 7 165 / 30 000 = 0,24. Таким образом, исходя из данных примера (таблица 1), другой коэффициент площади застройки при цене 28 000 руб./кв. м, площади земельного участка 30 000 кв. м может пониматься как не отвечающий выставленной цене. Этот же результат можно было получить применением формулы, аналогичной формуле (1). В этом разделе последовательный учет условий (сначала цены V = у, затем площади земельного участка 5Р = sp) применен для того, чтобы показать, что коэффициент плотности застройки не является константой внутри одной ценовой группы и даже для одной конкретной цены, и имеет зависимость степенного характера от площади земельного участка. В левой части рисунка 4 показаны линии модальных, медианных и средних значений площади улучшений, в зависимости от площади
Площадь улучшений
25000
15000
5000 0
Коэффициент застройки 1,0 " 0,8 -0,6 -0,4 -0,2 -0 -
2000 4000 6000
8000
2000
4000
6000
8000
Математическое ожидание
Медиана
Мода
коэффициент застройки по Математическому ожиданию коэффициент застройки по Медиане коэффициент застройки по Моде
Рис. 4. Значения площади улучшений и коэффициентов застройки в зависимости от площади земельного участка
0
0
земельного участка для случая, когда цена предложения равна 28 000 руб./кв. м площади существующих улучшений, в правой части — линии коэффициентов застройки для соответствующих оценок площади улучшений. Из рисунка 4 видно, что при заданной цене (ценовой группе) коэффициент застройки с приемлемой для целей оценки точностью может быть оценен константой только при достаточно большой площади земельного участка. Для участков с малой площадью коэффициент застройки не может быть оценен константой и должен изучаться индивидуально с учетом площади участка.
4. Замечание об общем виде совместного логарифмически нормального распределения вектора (V, SB, SP)
Многомерное распределение компонент вектора (Ж, Y, I) = (1п(Р) 1п^В), 1п(5Р)) совместно нормально и обладает симметрией. Облака рассеяния эмпирических наблюдений будут приобретать вид трехмерных эллипсоидов. Точка максимума плотности имеет координаты, равные средним значениям компонент Ж, Y, I. Распределение компонент вектора (V, SB, SP) ассиметрично, точка максимума плотности не является центром симметрии и может быть рассчитана (см. Приложение) по следующим формулам:
V- = ехР(/%
5Втах = еХР(Му ~
$ртах =ехр(//2 -р^сг2сгу -р2^ст2).
На рисунке 5 показаны: рассеяние исходных данных и рассеяние логарифмов исходных данных, точка максимальной плотности в пространстве (V, SB, SP) с координатами Утах = 20 004 руб./кв.м, SB = 649 кв.м, SP = 1 202 кв.м, а также точка
тах ' тах '
максимальной плотности в логарифмированном пространстве (Ж, Y, I) = (1п(Р), ln(SB), 1п^Р)) с координатами цЖ = 10,30; /и7= 8,45; ц2 = 9,35. На рисунке черным цветом отмечены точки максимальной плотности: слева — в пространстве (V, SB, SP), справа - в пространстве (Ж, Y, I) = (1п(V), ln(SB), ln(SP)).
Если сгенерировать 1000 трехмерных случайных векторов с теми же параметрами, то полученное рассеяние будет иметь вид, показанный на рисунке 6. Слева на рисунке показано рассеяние для 1000 сгенерированных случайных векторов, компоненты которых распределены совместно логарифмически нормально, с теми же параметрами, что и параметры исходной выборки (по которым проводилось тестирование на совместную нормальность логарифмов). Справа показано рассеяние логарифмов компонент 1000 сгенерированных случайных векторов. Черным отмечены точки максимальной плотности: слева - в пространстве (V, SB, SP), справа — в пространстве (Ж, У, I) = (1п( V), 1п^В), 1п^Р)).
Очевидно, что (см. Приложение) точка максимума плотности многомерного вектора (мода), логарифмы компонент которого распределены совместно нормально — единственна. Всем остальным значениям плотности отвечают множества, описываемые в логарифмическом измерении полыми трехмерными эллипсоидами, а в исходных координатах множества, отвечающие одному значению плотности, представляют собой результат
Площадь ЗУ
Логарифм площади ЗУ
44
ш.
ШШ
- ■% * £
-к
ХЧ
Рис. 5. Рассеяние исходных данных (слева), рассеяние логарифмов исходных данных (справа)
то*
(К»
#
З
и д
а ща
ло п
м ф
I' ттТ/Т
31 ж '-1
а ш
ГС ^у £ ® 1»
О От
С с
4—
1 /
! ,1
] п
ТЫ-и
1
Погар\лФ^
Рис. 6. Результат для 1000 сгенерированных случайных векторов
искажения (растяжения) полых эллипсоидов при обратном экспоненциальном преобразовании пространства. Таким образом, именно модальная оценка рыночной стоимости должна приводить к корректному, не создающему конфликтных ситуаций результату. Все остальные (не модальные) оценки рыночной стоимости потенциально являются источником постоянных споров относительно рыночной стоимости объекта оценки.
Заключение
Рассмотрение цен объектов сравнения и значений ценообразующих факторов как многомерных случайных величин открывает новые возможности в оценке недвижимого имущества. Часто оказывается, что эмпирические наблюдения цен и соответствующих им значений ценообразующих факторов хорошо приближаются логарифмически нормальным законом распределения, в том числе многомерным, что позволяет вывести расчетные формулы для различных задач оценки. Громоздкость этих формул компенсируется возможностями современных прикладных статистических пакетов (в частности, R). Кроме того возможность сведения расчетов к хорошо изученному многомерному нормальному закону логарифмированием компонент делает такой выбор модельного распределения предпочтительным.
Условные распределения цен при известных значениях ценообразующих факторов дают возможность оценить рыночную стоимость в полном соответствии с ее определением, закрепленным в российском законодательстве и зарубежных стан-
дартах, как точку максимума плотности условного распределения цен.
Условные распределения ценообразующих факторов при заданной цене предложения позволяют оценить адекватность цены предложения с точки зрения набора ценообразующих факторов.
Вряд ли следует ожидать, что практикующие оценщики готовы применять приведенные в настоящей статье формулы в ежедневной практике оценки и бизнес-анализа. Этого и не требуется. Однажды написанный и отлаженный скрипт (в статистическом пакете R или в других специализированных пакетах) позволит с легкостью решать подобные задачи практически в режиме реального времени. Следует признать, что в период цифровой трансформации экономики и бизнес-анализа оценочному бизнесу пора переходить к продвинутым статистическим пакетам и автоматической обработке данных. ■
Приложение
Утверждение. Абсолютный максимум (мода) плотности случайного логарифмически нормального вектора х достигается в точке с координатами ехр(Д — X х 1), где — вектор математических ожиданий логарифмов компонент, Е — ковариационная матрица логарифмов компонент, 1 — вектор, состоящий из единиц.
Доказательство. Рассмотрим плотность многомерного нормального распределения центрированного случайного вектора у:
№-
(2л)2 1/detE
При замене переменных 3; = 1п(х) плотность лог-нормального распределения случайного вектора х будет:
/(«)- 1 1
(2л:)" tfdotE ГГ=1Х< xexpi-i^-'ta^),^))], где
— Якобиан преобразования координат,
Е — ковариационная матрица, 1п(х) — центрированный случайный вектор. В точке абсолютного максимума плотности совместного логарифмически нормального распределения производная по любому направлению должна равняться нулю, что означает равенство нулю всех частных производных.
1
{ \ 1
V XJJ
df(x) = 1
dxi (2яУ 24Ш
ехр^-^гг'ад.цГ))^
ад)
2яг)" Vdet^ Пмх-
--2ГЧп(*)х- = 0
Х1
После вынесения за скобки общих множителей остается условие:
-1 + (-2ГЧп(х)) = 0 или (-2ГЧп(*)) = 1,
где 1, —1 — векторы размерности п, состоящие из единиц/минус единиц).
Умножим последнее равенство слева на Е:
= —Е х 1.
Здесь Е — единичная матрица (на главной диагонали — единицы, остальные элементы равны нулю), 1 — вектор, состоящий из единиц. Т.е. значения вектора 1п(дс), в котором все частные производные равны нулю, равны построчным суммам ковариационной матрицы, взятым с обратным знаком.
Остается вспомнить, что у = 1п(ж) — центрированный случайный вектор. Если вектор математических ожиданий ц содержит ненулевые значения, то окончательное решение:
1п(лг) = ]й-Ех\или х =ехр(/ц-2'х1).
С учетом отрицательной определенности квадратичной формы, составленной из вторых частных производных в точке х = ехр(^ — Е х 1) (автор опускает эту громоздкую запись, ее результат очевиден из геометрических соображений), точка х = ехр(Д — Е х 1) является точкой максимума плотности случайного логарифмически нормального вектора х.
Утверждение доказано.
Литература
1. Rusakov O.V., Laskin M.B., Jaksumbaeva O.I. Pricing in the real estate market as a stochastic limit. Log Normal approximation // International Journal of Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. 2016. No 10. P. 229-236.
2. Aitchinson J., Brown JA.C. The Lognormal distribution with special references to its uses in economics. Cambridge: University Press, 1963.
3. Ohnishi T., Mizuno T., Shimizu C., Watanabe T. On the evolution of the house price distribution // Columbia Business School. Center of Japanese Economy and Business. Working Paper Series. 2011. No 296.
4. Anselin L., Lozano-Gracia N. Errors in variables and spatial effects in hedonic house price models of ambient air quality // Empirical Economics. 2008. Vol. 34. No 1. P. 5-34. DOI: 10.1007/s00181-007-0152-3.
5. Benson E.D., Hansen J.L., Schwartz Jr. A.L., Smersh G.T. Pricing residential amenities: The value of a view // Journal of Real Estate Finance and Economics. 1998. Vol. 16. No 1. P. 55-73. DOI: 10.1023/A:1007785315925.
6. Debrezion G., Pels E., Rietveld P. The impact of rail transport on real estate prices: an empirical analysis of the Dutch housing market // Urban Studies. 2011. Vol. 48. No 5. P. 997-1015. DOI: 10.1177/0042098010371395.
7. Jim C.Y., Chen W.Y. Impacts of urban environmental elements on residential housing prices in Guangzhou (China) // Landscape and Urban Planning. 2006. Vol. 78. No 4. P. 422-434. DOI: 10.1016/j.landurbplan.2005.12.003.
8. Rivas R., Patil D., Hristidis V., Barr J.R., Srinivasan N. The impact of colleges and hospitals to local real estate markets // Journal of Big Data. 2019. Vol. 6. No 1. Article No 7 (2019). DOI: 10.1186/s40537-019-0174-7.
9. Wena H., Zhanga Y., Zhang L. Assessing amenity effects of urban landscapes on housing price in Hangzhou, China // Urban Forestry & Urban Greening. 2015. No 14. P. 1017-1026. DOI: 10.1016/j.ufug.2015.09.013.
10. Отчет об определении кадастровой стоимости объектов недвижимости на территории Санкт-Петербурга. 2018. №1. [Электронный ресурс]: http://www.ko.spb.ru/interim-reports/ (дата обращения: 05.06.2019).
11. Peterson S., Flanagan A.B. Neural network hedonic pricing models in mass real estate appraisal // Journal of Real Estate Research. 2009. Vol. 31. No 2. P. 147-164.
12. Rafiei M.H., Adeli H. Novel machine-learning model for estimating construction costs considering economic variables and indexes // Journal of Construction Engineering and Management. 2018. Vol. 144. No 12. Article No 04018106.
DOI: 10.1061/(asce)co.1943-7862.0001570.
13. Antipov E.A., Pokryshevskaya E.B. Mass appraisal of residential apartments: An application of Random forest for valuation and a CART-based approach for model diagnostics // Expert Systems with Applications. 2012. No 39. P. 1772-1778.
DOI: 10.1016/j.eswa.2011.08.077.
14. Kontrimas V., Verikas A. The mass appraisal of the real estate by computational intelligence // Applied Soft Computing. 2011. No 11. P. 443-448. DOI: 10.1016/j.asoc.2009.12.003.
15. Park B., Baem J.K. Using machine learning algorithms for housing price prediction: The case of Fairfax County, Virginia housing data // Expert Systems with Applications. 2015. No 42. P. 2928-2934. DOI: 10.1016/j.eswa.2014.11.040.
16. Case K.E., Shiller R.J. Prices of single-family Homes since 1970: New indexes for four cities // New England Economic Review. 1987. September. P. 45-56. DOI: 10.3386/w2393.
17. Englund P., Quigley J.M., Redfearn C.L. The choice of methodology for computing housing price indexes: comparison of temporal aggregation and sample definition // Journal of Real Estate Finance and Economics. 1999. Vol. 19. No 2. P. 91-112.
DOI: 10.1023/A:1007846404582.
18. Epley D. Assumptions and restrictions on the use of repeat sales to estimate residential price appreciation // Journal of Real Estate Literature. 2016. Vol. 24. No 2. P. 275-286. DOI: 10.5555/0927-7544.24.2.275.
19. Malpezzi S. Hedonic pricing models: A selective and applied review // Housing economics and public policy: Essays in honor of Duncan Maclennan (T. O'Sullivan, K. Gibb, eds.). Oxford, UK: Blackwell Science, 2002. P. 67-89. DOI: 10.1002/9780470690680.ch5.
20. Case B., Quigley J.M. The dynamics of real estate prices // Review of Economics and Statistics. 1991. Vol. 73. No 1. P. 50-58.
21. Englund P., Quigley J.M., Redfearn C.L. Improved price indexes for real estate: Measuring the course of Swedish housing prices // Journal of Urban Economics. 1998. Vol. 44. No 2. P. 171-196.
22. Jones C. House price measurement: The hybrid hedonic repeat-sales method // Economic Record. 2010. Vol. 86. No 272. P. 95-97. DOI: 10.1111/j.1475-4932.2009.00596.x.
23. Wang F., Zheng X. The comparison of the hedonic, repeat sales, and hybrid models: Evidence from the Chinese paintings // Cogent Economics & Finance. 2018. No 6. P. 1-19. DOI: 10.1080/23322039.2018.1443372.
24. Brunnermeier M.K. Bubbles // The new Palgrave dictionary of Economics (L.E. Blume, S.N. Durlauf, eds.). New York: Palgrave Macmillan, 2009.
25 Fabozzi F.J., Xiao K. The timeline estimation of bubbles: The case of real estate // Real Estate Economics. 2019. Vol. 47. No 2. P. 564-594. DOI: 10.1111/1540-6229.12246.
26. Fernandez-Kranz D., Hon M.T. A cross-section analysis of the income elasticity of housing demand in Spain: Is there a real estate bubble? // Journal of Real Estate Finance and Economics. 2006. Vol. 32. No 4. P. 449-470. DOI: 10.1007/s11146-006-6962-9.
27. Phillips P.C.B., Shi S. P., Yu J. Testing for multiple bubbles: Historical episodes of exuberance // International Economic Review. 2015. Vol. 56. No 4. P. 1043-1078. DOI: 10.1111/iere.12132.
28. Phillips P.C.B., Shi S. P., Yu J. Testing for multiple bubbles: Limit theory of real time detectors // International Economic Review. 2015. Vol. 56. No 4. P. 1079-1134. DOI: 10.1111/iere.12131.
29. Федеральный закон от 29.07.1998 № 135-ФЗ (ред. от 29.07.2017) «Об оценочной деятельности в Российской Федерации». [Электронный ресурс]: http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_19586/ (дата обращения: 14.03.2020).
30. Слуцкий А.А., Слуцкая И.А. Модифицированный метод выделения и обобщенный модифицированный метод выделения. Применение для анализа сегмента рынка, к которому относится объект оценки. 2020 [Электронный ресурс]: http://tmpo.su/ sluckij-a-a-sluckaya-i-a-mmv-i-ommv-primenenie-dlya-analiza-rynka-3/ (дата обращения: 14.03.2020).
31. Ласкин М.Б. Логарифмически нормальное распределение цен и рыночная стоимость на рынке недвижимости // Известия Санкт-Петербургского государственного технологического института. 2014. № 25 (51). C. 102-106.
32. Ласкин М.Б. Корректировка рыночной стоимости по ценообразующему фактору «площадь объекта» // Имущественные отношения в Российской Федерации. 2017. № 8 (191), c. 86-99.
Об авторе
Ласкин Михаил Борисович
кандидат физико-математических наук, доцент;
старший научный сотрудник, Санкт-Петербургский института информатики и автоматизации,
Российская академия наук (СПИИРАН),
199178, Россия, г. Санкт-Петербург, 14 линия, д. 39;
E-mail: laskinmb@yahoo.com
ORCID: 0000-0002-0143-4164
Multidimensional log-normal distribution in real estate appraisals
Michael B. Laskin
E-mail: laskinmb@yahoo.com
St. Petersburg Institute for Informatics and Automation, Russian Academy of Sciences Address: 39, 14 Line, St. Petersburg 199178, Russia
Abstract
The purpose of the research was to develop a market value appraisal methodology based on a set of a joint logarithmically normal distribution of price-forming factors. Joint logarithmically normal distribution means random vector component logarithms are distributed together jointly normally. This article suggests a method for appraising the real estate market value based on the statistical hypothesis of a joint logarithmically normal distribution and conditional distribution of prices with fixed values of pricing factors. The article suggests a method of offer price analysis from the point of view of its relevance to pricing factor values. We consider the features of the coefficient of development depending on the area of the land plot. Additional arguments are given in favor of estimating market value as a mode of conditional laws of price distribution. An example of a multidimensional log-normal distribution of prices and pricing factors such as the area of the improvements (improvements mean buildings and constructions) area and the land area in real data, i.e. for the case of a three-dimensional random vector. We present a formula for determining the absolute maximum density point of a multidimensional logarithmically normal random vector. The proof is given in the Appendix. The results obtained can be used to create information systems to support decision-making in valuation activities for real estate properties.
Key words: market value; logarithmically normal law of price distribution; multidimensional logarithmically normal distribution, valuation of real estate.
Citation: Laskin M.B. (2020) Multidimensional log-normal distribution in real estate appraisals. Business Informatics, vol. 14, no 2, pp. 48-63. DOI: 10.17323/2587-814X.2020.2.48.63
References
1. Rusakov O.V., Laskin M.B., Jaksumbaeva O.I. (2016) Pricing in the real estate market as a stochastic limit. Log Normal approximation. International Journal of Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, no 10, pp. 229-236.
2. Aitchinson J., Brown J.AC. (1963) The Lognormal distribution with special references to its uses in economics. Cambridge: University Press.
3. Ohnishi T., Mizuno T., Shimizu C., Watanabe T. (2011) On the evolution ofthe houseprice distribution. Columbia Business School. Center of Japanese Economy and Business. Working Paper Series, no 296.
4. Anselin L., Lozano-Gracia N. (2008) Errors in variables and spatial effects in hedonic house price models of ambient air quality. Empirical Economics, vol. 34, no 1, pp. 5-34. DOI: 10.1007/s00181-007-0152-3.
5. Benson E.D., Hansen J.L., Schwartz Jr. A.L., Smersh G.T. (1998) Pricing residential amenities: The value of a view. Journal of Real Estate Finance and Economics, vol. 16, no 1, pp. 55-73. DOI: 10.1023/A1007785315925.
6. Debrezion G., Pels E., Rietveld P (2011) The impact of rail transport on real estate prices: an empirical analysis of the Dutch housing market. Urban Studies, vol. 48, no 5, pp. 997-1015. DOI: 10.1177/0042098010371395.
7. Jim C.Y., Chen W.Y. (2006) Impacts of urban environmental elements on residential housing prices in Guangzhou (China). Landscape and Urban Planning, vol. 78, no 4, pp. 422-434. DOI: 10.1016/j.landurbplan.2005.12.003
8. Rivas R., Patil D., Hristidis V, Barr J.R., Srinivasan N. (2019) The impact of colleges and hospitals to local real estate markets. Journal of Big Data, vol. 6, no 1, article no 7 (2019). DOI: 10.1186/s40537-019-0174-7.
9. Wena H., Zhanga Y., Zhang L. (2015) Assessing amenity effects of urban landscapes on housing price in Hangzhou, China. Urban Forestry & Urban Greening, no 14, pp. 1017-1026. DOI: 10.1016/j.ufug.2015.09.013.
10. Saint Petersburg State Budget Department "Cadastral Valuation City Department" (2018) Report on determining the cadastral value of real estate objects on the territory ofSaint Petersburg, no 1. Available at: http://www.ko.spb.ru/interim-reports/ (accessed 05 June 2019).
11. Peterson S., Flanagan A.B. (2009) Neural network hedonic pricing models in mass real estate appraisal. Journal of Real Estate Research, vol. 31, no 2, pp. 147-164.
12. Rafiei M.H., Adeli H. (2018) Novel machine-learning model for estimating construction costs considering economic variables and indexes. Journal of Construction Engineering and Management, vol. 144, no 12, article no 04018106. DOI: 10.1061/(asce)co.1943-7862.0001570.
13. Antipov E.A., Pokryshevskaya E.B. (2012) Mass appraisal ofresidential apartments: An application of Random forest for valuation and a CART-based approach for model diagnostics. Expert Systems with Applications, no 39, pp. 1772—1778. DOI: 10.1016/j.eswa.2011.08.077.
14. Kontrimas V., Verikas A. (2011) The mass appraisal of the real estate by computational intelligence. Applied Soft Computing, no 11, pp. 443—448. DOI: 10.1016/j.asoc.2009.12.003.
15. Park B., Baem J.K. (2015) Using machine learning algorithms for housing price prediction: The case of Fairfax County, Virginia housing data. Expert Systems with Applications, no 42, pp. 2928-2934. DOI: 10.1016/j.eswa.2014.11.040.
16. Case K.E., Shiller R.J. (1987) Prices of single-family Homes since 1970: New indexes for four cities. New England Economic Review, September, pp. 45-56. DOI: 10.3386/w2393.
17. Englund P, Quigley J.M., Redfearn C.L. (1999) The choice of methodology for computing housing price indexes: comparison of temporal aggregation and sample definition. Journal of Real Estate Finance and Economics, vol. 19, no 2, pp. 91-112. DOI: 10.1023/A1007846404582
18. Epley D. (2016) Assumptions and restrictions on the use of repeat sales to estimate residential price appreciation. Journal of Real Estate Literature, vol. 24, no 2, pp. 275-286. DOI: 10.5555/0927-7544.24.2.275.
19. Malpezzi S. (2002) Hedonic pricing models: A selective and applied review Housing economics and public policy: Essays in honor ofDuncan Maclennan (T. O'Sullivan, K. Gibb, eds.). Oxford, UK: Blackwell Science, pp. 67-89. DOI: 10.1002/9780470690680.ch5
20. Case B., Quigley J.M. (1991) The dynamics ofreal estate prices. Review ofEconomics and Statistics, vol. 73, no 1, pp. 50-58.
21. Englund P, Quigley J.M., Redfearn C.L. (1998) Improved price indexes for real estate: Measuring the course of Swedish housing prices. Journal of Urban Economics, vol. 44, no 2, pp. 171-196.
22. Jones C. (2010) House price measurement: The hybrid hedonic repeat-sales method. Economic Record, vol. 86, no 272, pp. 95-97. DOI: 10.1111/j.1475-4932.2009.00596.x.
23. Wang F., Zheng X. (2018) The comparison of the hedonic, repeat sales, and hybrid models: Evidence from the Chinese paintings. Cogent Economics & Finance, no 6, pp. 1-19. DOI: 10.1080/23322039.2018.1443372.
24. Brunnermeier M.K. (2009) Bubbles. The new Palgrave dictionary ofEconomics (L.E. Blume, S.N. Durlauf, eds.). New York: Palgrave Macmillan.
25. Fabozzi F.J., Xiao K. (2019) The timeline estimation of bubbles: The case of real estate. Real Estate Economics, vol. 47, no 2, pp. 564-594. DOI: 10.1111/1540-6229.12246.
26. Fernandez-Kranz D., Hon M.T. (2006) A cross-section analysis of the income elasticity of housing demand in Spain: Is there a real estate bubble? Journal ofRealEstate Finance and Economics, vol. 32, no 4, pp. 449-470. DOI: 10.1007/s11146-006-6962-9
27. Phillips P.C.B., Shi S.-P, Yu J. (2015) Testing for multiple bubbles: Historical episodes of exuberance. International Economic Review, vol. 56, no 4, pp. 1043-1078. DOI: 10.1111/iere.12132.
28. Phillips P.C.B., Shi S. P., Yu J. (2015) Testing for multiple bubbles: Limit theory of real time detectors. International Economic Review, vol. 56, no 4, pp. 1079-1134. DOI: 10.1111/iere.12131.
29. The Federal Law of29.07.1998 No 135-FZ (edition of29.07.2017) "About assessment activity in the Russian Federation". Available at: http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_19586/ (accessed 14 March 2020).
30. Slytsky A.A., Slytskaya I.A. (2020) The modified extraction method and the generalized modified method of allocation. Usefor analyzing the market segment that the item is being evaluated belongs to. Available at: http://tmpo.su/sluckij-a-a-sluckaya-i-a-mmv-i-ommv-primenenie-dlya-analiza-rynka-3/ (accessed 14 March 2020).
31. Laskin M.B. (2014) Logarithmically normal distribution of prices and market value in the real estate market. Saint Petersburg State Technological Institute Review, no 25 (51), pp.102-106.
32. Laskin M.B. (2017) Market value adjustment for the pricing factor "square". Property Relations in the Russian Federation, no 8 (191), pp. 86-99.
About the author
Michael B. Laskin
Cand. Sci. (Phys.-Math.), Associate Professor;
Senior Researcher, St. Petersburg Institute for Informatics and Automation,
Russian Academy of Sciences (SPIIRAS),
39, 14 Line, St. Petersburg 199178, Russia
E-mail: laskinmb@yahoo.com
ORCID: 0000-0002-0143-4164
