CC BY
5Математические заметки СВФУ Январь—март, 2022. Том 29, № 1
УДК 517.957
МНОГОМЕРНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ ПО ПЕРВЫМ ПРОИЗВОДНЫМ И. В. Рахмелевич
Аннотация. Исследовано многомерное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка с квадратичной формой по первым производным, при этом рассмотрены случаи как автономного уравнения, так и неавтономного уравнения, в котором коэффициенты квадратичной формы являются функциями независимых переменных. Выполнена редукция данного уравнения к обыкновенному дифференциальному уравнению, и получены решение типа бегущей волны, автомодельное решение и решения в виде квадратичного полинома и обобщенного полинома произвольной степени, а также приведены условия существования этих решений. Показано, что существует решение типа бегущей волны для неавтономного уравнения, которое не инвариантно относительно преобразования сдвига по независимым переменным. Доказана теорема об условиях аддитивного и мультипликативного разделения переменных в случае, когда матрица коэффициентов квадратичной формы относительно первых производных блочно-диагональная, а также для этого случая получены решения типа агрегированной бегущей волны. Данные решения являются обобщениями известных решений типа бегущей волны и зависят от линейных комбинаций по некоторым подмножествам множества независимых переменных. Исследована зависимость найденных решений от коэффициентов уравнения.
Б01: 10.25587/SVFU.2022.68.65.005
Ключевые слова: дифференциальное уравнение в частных производных, квадратичная нелинейность, решение типа бегущей волны, агрегированная бегущая волна, автомодельное решение.
Введение
Среди различных классов нелинейных уравнений в частных производных, изучаемых в современной математической физике, уравнения со степенными нелинейностями имеют важнейшее значение для развития теории и для практических приложений. Поэтому таким уравнениям уделяется большое внимание в известных пособиях и справочниках [1-3] и в оригинальных работах [4—11]. Поскольку большинство этих уравнений не являются интегрируемыми, при их исследовании важное значение имеет нахождение точных решений, обладающих некоторыми специальными свойствами. К их числу относятся, в частности, решения типа бегущей волны и автомодельные решения [1—3,12,13]. В работе [14]
© 2022 Рахмелевич И. В.
для линейных многомерных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами был исследован новый класс решений — решения типа агрегированных бегущих волн (АБВ), которые зависят от линейных комбинаций по некоторым подмножествам множества независимых переменных. Данная работа посвящена изучению точных решений многомерного уравнения второго порядка с квадратичной формой по первым производным. При этом рассматриваются как автономные, так и неавтономные уравнения.
1. Постановка задачи. Решения типа бегущей волны и автомодельные решения
Рассмотрим дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка относительно неизвестной функции u = u(X):
EN d2u , . _ du du .
+ = (i-i)
i= 1 L i,j=1
Здесь X = {x1,... ,xn} — множество независимых переменных, ai (i € I) — постоянные коэффициенты, bij (X) (i,j € I) — некоторые заданные функции,
I = {1,...,N}.
Вначале рассмотрим случай автономного уравнения bij-(X) = const. Поскольку уравнение (1.1) инвариантно относительно преобразований сдвига, оно имеет решение типа бегущей волны:
N
u = U(z), z = ^2 CnXn. (1.2)
n= 1
Подставляя (1.2) в уравнение (1.1), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) относительно U(z):
aU''(z) + в [U '(z)]2 = 0, (1.3)
где
NN
a = ^2 aic2, в =^2 bijcicj. (1.3а)
i=1 i,j= 1
Для уравнения (1.3) возможны следующие частные случаи:
(а) a = в = 0. Тогда решением является произвольная дважды дифференцируемая функция U(z).
(б) a = 0, в = 0. Уравнение (1.3) имеет только решение U(z) = const.
(в) a = 0, в = 0. Решение уравнения (1.3) — линейная функция U(z) = U1z + Uo.
(г) a = 0, в = 0. Решение уравнения (1.3) имеет вид
a
U(z) = -\n\z-z0\+U0. (1.4)
Замечание. Инвариантность относительно преобразований сдвига является лишь достаточным условием существования решений типа бегущей волны,
но не является необходимым условием [13]. Поэтому такие решения могут существовать для некоторых неавтономных уравнений. В частности, нетрудно показать, что уравнение (1.1) имеет решение типа бегущей волны, если bij = bij(z), где z определяется второй формулой (1.2). В этом случае, подставляя функцию U(z) из (1.2) в уравнение (1.1), получаем следующее ОДУ:
aU" (z)+ n(z)[U'(z )]2 = 0, (1.5)
где a определяется первой формулой (1.3а),
N
n(z) = £ bj(z)cicj. (1.5а)
i,j=1
Решая уравнение (1.5) в предположении, что a = 0, находим
= + ^ ф(*) = ±/.(*)<**, (1.6)
Uo, C — произвольные постоянные.
В результате приведенных выше рассуждений доказана теорема о решении типа бегущей волны для неавтономного уравнения.
Теорема 1.1. Пусть a = 0, bij = bij (z) (i,j G I), где z определяется второй формулой (1.2). Тогда уравнение (1.1) имеет решение типа бегущей волны, определяемое формулами (1.6), (1.5а).
Следующая теорема определяет достаточные условия существования автомодельного решения уравнения (1.1).
Теорема 1.2. Пусть элементы матрицы bij удовлетворяют условиям
bij(X) = const, bj = 0 (i = j), Ьш = qat (Vi G I). (1.7)
Тогда уравнение (1.1) имеет автомодельное решение вида
1N
U(z) = -ln\z-z0\+U0, z=T\xn. (1.8)
q
y n= 1
где Uo, z0 — произвольные постоянные.
Доказательство. Решение уравнения (1.1) ищем в виде
N
u = U(z), z = Д xn. (1.9)
n=1
Согласно второму из условий (1.7) матрица Ьц диагональная. Подставляя (1.9) в уравнение (1.1), преобразуем это уравнение к виду
N a N b
U) > -2 +[U (Z), 2
i=1 Xi i=1 Xi
Учитывая третье из условий (1.7), из уравнения (1.10) получаем
N
{и"(г)+д[и'(г)}2}^24=^ (1-И)
2
■ 1 х2
г=1 1
откуда следует ОДУ относительно и (г):
и"(г) + 9[и'(г)]2 = 0. (1.12)
Решая уравнение (1.12), находим решение в виде (1.8). Теорема доказана.
Теорема 1.3. Пусть элементы матрицы Ьг, определяются выражениями Ъц (X ) = Ьц,о хв Ц (г = Л Ьгг (X ) = Ьгг,с жг2а, (1.13)
где Ьг,,0 — заданные постоянные, а» = -1. Тогда уравнение (1.1) имеет решение в виде обобщенного полинома
N
Е^г (1.14)
в следующих случаях.
1. Если Ьц — диагональная матрица, то ог, сг определяются выражениями:
аг( 1 + 2аг)
стг = -2аг, сг =---—--. (1.15)
2агЬгг,о
2. Если Ьц не является диагональной, то решение (1.14) существует при выполнении следующих условий:
о О , 1 ^ г, ага, (1 + 2аг)(1 + 2ац)
/Зг = 2аг + 1, > --—г—т^-— = 0. (1.16)
■ ■ / -ч Ьгг,оЬ,-," 0
При этом Ог, сг также определяются выражениями (1.15).
Доказательство. Подставляя (1.13) и (1.14) в уравнение (1.1), получаем
N N
Е{агОг(Ог - 1)СгЖГ'-2 + Ьгг,0^2} + Е Ьг,,оПгП, = 0. (1.17)
г=1 г,, = 1(г=,)
Здесь введены обозначения
Сг = ОгСгЖГ' ^г = ОгСгЖГ'+в'-1. (1.17а)
Уравнение (1.17) можно удовлетворить только в том случае, если ог при любом г € I удовлетворяют условию ог — 2 = 2(ог + аг — 1), откуда следует, что ог определяются первым из выражений (1.15). Если Ьг, — диагональная матрица, то вторая сумма в левой части (1.17) равна 0. Так как аг = —1, показатель степени в первой сумме в (1.17) ог — 2 = 2(ог + аг — 1) = 0, поэтому соответствующий коэффициент сг должен удовлетворять условию агог(ог — 1)сг + Ьгг,0ог2с2 = 0, откуда следует, что сг определяется вторым из выражений (1.15).
Если матрица bij недиагональная, то уравнение (1.17) можно удовлетворить только в том случае, если все показатели степени во второй сумме в (1.17) равны 0, откуда с учетом (1.15) следует первое из условий (1.16). Кроме того, вторая сумма в (1.17) также должна быть равна 0, откуда следует второе из условий (1.16). Теорема доказана.
Решение уравнения (1.1) в виде квадратичного полинома определяется следующей теоремой.
Теорема 1.4. Пусть элементы матрицы bij определяются выражениями
= — (Vi.jG/), (1.18)
XX i j
где bij,o — заданные постоянные. Тогда уравнение (1.1) имеет решение в виде квадратичного полинома:
N
u = Y, Cix2, (1.19)
i=1
причем коэффициенты ci должны удовлетворять условию
NN
"^2<iiCi + 2 ^^ bij,oCiCj = 0. (1.20)
i=i i,j=i
Доказательство. Аналогично теореме 1.3, подставляя (1.19) в уравнение (1.1), после простых преобразований получаем, что (1.19) является решением уравнения (1.1), если коэффициенты ci удовлетворяют условию (1.20). Доказательство закончено.
2. Решения, зависящие от подмножеств независимых переменных
Рассмотрим решения более сложного вида, которые зависят от нескольких линейных комбинаций на отдельных подмножествах независимых переменных. Предположим, что множество значений I = {1,... , N} индекса, нумерующего независимые переменные, разбито на K непересекающихся подмножеств Ik (k G £). Здесь и далее S = {1,..., K} — множество значений индекса k. Пусть матрица коэффициентов B = (bij-) — блочно-диагональная матрица вида
B = blockdiag(Bi,...,BK), Bk = (bij )iJeIk. (2.1)
При выполнении условия (2.1) решение уравнения (1.1) ищем в виде
к
u = U(z), z = ^2 Vk(yk), yk =£ CnXn, (2.2)
k=1 nGlfe
где U(z),Vk(yk) — неизвестные функции, подлежащие определению. Подставляя (2.2) в уравнение (1.1), после дифференцирования и элементарных преобразований приводим уравнение к виду
к к к
U''(z)£ ak [Vk(yk )]2 + U' (z)£ ak V¿'(yk) + [U' (z)j2^ /3k [V¿(yk )]2 = 0, (2.3) k=1 k=1 k=1
причем коэффициенты ак, вк определяются выражениями
Еагс2' вк = Е ^• (2.3а)
¿е/к ¿.¿е/к
Проанализируем решения уравнения (2.3) для некоторых частных случаев. (1) ак = вк = 0 при всех к € 2. Тогда
и = и ЕУк(Ук) , Ук = Е с"Жп' (2.4)
\к=1 / пе/к
является решением уравнения (1.1) при произвольных дважды дифференцируемых функциях и (г), Ук (ук).
(2) Пусть существуют такие С что 21 и 22 = 21 П 22 = 0, причем ак = вк = 0 при всех к € 21; Ук (ук) = ук при всех к € 22. Тогда уравнение (2.3) приводится к уравнению вида (1.3), коэффициенты которого определяются выражениями
а = £ "к, в = Е вк • (2.5)
кеВ2 кеН2
При а = 0, в = 0 аналогично (1.4) решение можно записать в виде а 1
кеН1 ¿е/к кеН2 ¿е/к
где Ук (ук) — произвольные функции при к € 21.
(3) Пусть вк = дак = 0 для всех к € 2, где д = 0 — некоторая постоянная. Тогда уравнение (2.3) можно привести к виду
к к
2
{и''(г) + д[и'(г)]2}Е "к[К(Ук)]2 + и'(г) £ аЙ^"(Ук) = 0, (2.7)
к=1 к=1
к
2 Е "кУк'(Ук)
+ #-= 0,
1 } Е "к[Ук'(Ук)]2
к=1
Уравнение (2.7а) может быть сведено к ОДУ относительно и (г), Ук (ук) только в том случае, если второе слагаемое в левой части (2.7а) зависит только от г. Нетрудно видеть, что при этом функции Ук (ук) должны удовлетворять уравнениям
УЛУк )= р[К(Ук)]2 + Як, (2.8)
причем постоянные Як связаны соотношением
к
= 0. (2.8а)
к=1
Подставив (2.8) в (2.7а), с учетом (2.8а) получим уравнение для и (г):
+ ри' (г) + д[и' (г)]2 = 0, (2.9)
Уравнение (2.9) допускает понижение порядка путем замены ад = и'(г). Решая
получившееся уравнение первого порядка и интегрируя повторно, находим
и (г) = - 1п(С ехр(р,г) - 1) -
9 9
(2.10)
Здесь г определяется второй формулой (2.2), а функции Ук(ук) находятся в результате решения уравнения (2.8):
У/с (у/) = А ^ (ук) + Вй^(у^),
(2.11)
где , Вк — произвольные постоянные, а функции (ук), (ук) определяются выражениями
) при рвк < 0, № (у/)= ^ сов(Акук) при рвк > 0, (2.11а)
) =
Здесь введено обозначение Ак
при рвк > 0, при = 0, при рвк < 0, при рвк > 0, при = 0.
(2.11б)
у/)
81П(А/У/) № |р*к|1/2.
В результате проведенных выше рассуждений доказана
Теорема 2.1. Пусть матрица коэффициентов В = (Ь^-) — блочно-диаго-нальная матрица вида (2.1). Тогда уравнение (1.1) имеет решение вида (2.2), причем
(1) если ак = = 0 при всех к € где ак, вк выражаются с помощью формул (2.3а), то и (г), Ук (ук) — произвольные дважды дифференцируемые функции;
(2) если = вк = 0 при всех к € 21 С то решение имеет вид (2.6), при этом Ук (ук) — произвольные дважды дифференцируемые функции при к € 21;
(3) если вк = 9ак = 0 для всех к € 2, то функции и (г), Ук (ук) определяются формулами (2.10), (2.11), (2.11а,б).
Следующая теорема определяет достаточные условия для аддитивного и мультипликативного разделения переменных в уравнении (1.1) в случае блочно-диагональной матрицы коэффициентов квадратичной формы.
Теорема 2.2. Пусть матрица коэффициентов В = (Ь^) — блочно-диаго-нальная матрица вида (2.1), ик(Хк) — некоторые дважды дифференцируемые функции. Тогда
(1) если функции при всех к € 2 удовлетворяют уравнениям
Е-
дж2
+ Е ^ (X)
дж^ дж.,-
: Мк,
(2.12)
где «к — постоянные, связанные соотношением
к
£«к = О,
к=1
то функция
к
и(Х ) = ^ «к (Хк)
(2.12а)
(2.13)
к=1
является решением уравнения (1.1).
(2) если функции ик(Хк) при всех к € 2 удовлетворяют переопределенным системам уравнений
\ - д2Мк ^ дикдик
¿е/к
то функция
¿¿е/к
к
джг дж,
и(Х) = Д «к (Хк)
(2.14)
(2.15)
к=1
является решением уравнения (1.1).
Доказательство. (1) Подставляя (2.13) в уравнение (1.1), с учетом (2.1) получаем
д2ик
к=1 ге/к
¿¿е/к
джг дж,
(2.16)
Каждое слагаемое во внешней сумме в (2.16) зависит только от определенного подмножества независимых переменных Хк. Согласно известному алгоритму разделения переменных [2,12], так как эти слагаемые зависят от разных переменных, а их сумма равна 0, то функция (2.13) удовлетворяет уравнению (1.1) тогда и только тогда, когда все функции ик(Хк) удовлетворяют уравнению (2.12), а постоянные «к — условию (2.12а).
(2) Подстановка выражения (2.15) в уравнение (1.1) после некоторых преобразований дает следующее:
к
к=1
к
«к (Хк )
,г=1,г=к
ге/к
д2ик '' дж2
+
к
Д ик(Хк) ,г=1,г=к
Емад^Фн». (2.1Ч
¿¿е/к
Уравнение (2.17) можно удовлетворить в том и только в том случае, если при всех к € 2 функции ик(Хк) удовлетворяют переопределенным системам (2.14). Теорема доказана.
2
Следствие. Если матрица коэффициентов квадратичной формы определяется выражением (2.1), причем bj = const при любых i, j G I и для любого к G S
uk(Xk) = Uk(zk), Zk = ^ сгжг,
ieik
то уравнение (1.1) имеет решение (2.15), если для любого k G S выполнено одно из следующих условий:
(1) коэффициенты ci удовлетворяют системе уравнений
= 0, bijCiCj =0, (2.18)
ieik i.jeifc
при этом функция Uk(zk) является произвольной;
(2) коэффициенты ci удовлетворяют второму из уравнений (2.18), а функция Uk (zk) линейна.
Доказательство. Если для любого к g S
uk (Xk) = Uk (zk), Zk = ^ ciXi'
ieik
то система (2.14) принимает вид
Uk(zk) X) aiC? = 0, [Uk(Zk)]2 X bijCiCj = 0. (2.19)
ieik i,jeik
Рассматриваются только решения, существенно зависящие от всех переменных, поэтому Uk(zk) = const. Следовательно, коэффициенты ci должны удовлетворять второму из уравнений (2.18). Первое из уравнений (2.19) удовлетворяется либо если
X aic2 = 0
ieik
откуда следует, что ci должны удовлетворять системе (2.18), либо если Uk'(zk) , т. е. Uk(zk) — линейная функция, что соответствует второй из указанных выше групп условий. Доказательство закончено.
Пример. Функция, определяемая выражением
к
u(x )=п( fc,
k=i ieik
является решением уравнения (1.1), если удовлетворяются следующие условия.
(1) При тех значениях к, при которых = 1, коэффициенты ci удовлетворяют обоим уравнениям системы (2.18).
(2) При тех значениях к, при которых = 1, коэффициенты ci удовлетворяют второму уравнению указанной системы, так как в этом случае Uk(zk) = Zk.
Заключение
В данной работе исследованы точные решения многомерного уравнения в частных производных с квадратичной формой по первым производным. Получены решения типа бегущей волны для автономного и неавтономного уравнений, автомодельные решения и решения в виде квадратичного полинома. Доказана теорема об условиях аддитивного и мультипликативного разделения переменных в случае, когда матрица коэффициентов квадратичной формы относительно первых производных является блочно-диагональной. Получены решения типа агрегированных бегущих волн для рассматриваемого уравнения с квадратичными нелинейностями в указанном выше случае, когда матрица коэффициентов квадратичной формы является блочно-диагональной. Результаты работы могут быть использованы для исследования многомерных уравнений с более сложными нелинейностями.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кудряшов Н. А. Методы нелинейной математической физики. Долгопрудный: Изд-во «Интеллект», 2010.
2. Полянин А. Д., Зайцев В. Ф., Журов А. И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. М.: Физматлит, 2005.
3. Polyanin A. D., Zaitsev V. F. Handbook of nonlinear partial differential equations. 2nd ed. Boca Raton; London; New York: Chapman Hall/CRC Press, 2012.
4. Галактионов В. А., Посашков С. А. О новых точных решениях параболических уравнений с квадратичными нелинейностями // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1989. Т. 29, № 4. С. 497-506.
5. Гладков А. Л. О поведении решений некоторых квазилинейных параболических уравнений со степенными нелинейностями // Мат. сб. 2000. Т. 191, № 3. С. 25-42. https://doi.org/ 10.4213/sm462.
6. Косов А. А., Семенов Э. И. О точных многомерных решениях системы уравнений реакции — диффузии со степенными нелинейностями // Сиб. мат. журн. 2017. Т. 58, № 4. С. 796-812. https://doi.org/10.17377/smzh.2017.58.408.
7. Косов А. А., Семенов Э. И. Функция Ламберта и точные решения нелинейных параболических уравнений // Изв. вузов. Математика. 2019. № 8. С. 13-20. https://doi.org/10. 26907/0021-3446-2019-8-13-20.
8. Рахмелевич И. В. О двумерных гиперболических уравнениях со степенной нелинейностью по производным // Вестн. Томск. гос. ун-та. 2015. № 1. С. 12-19. https://doi.org/10. 17223/19988621/33/2.
9. Рахмелевич И. В. О решениях многомерного дифференциального уравнения произвольного порядка со смешанной старшей частной производной и степенными нелинейностя-ми // Владикавказ. мат. журн. 2016. Т. 18, № 4. С. 41-49.
10. Рахмелевич И. В. О многомерных уравнениях в частных производных со степенными нелинейностями по первым производным // Уфим. мат. журн. 2017. Т. 9, № 1. С. 98-109. https://doi.org/10.13108/2017-9-1-98.
11. Рахмелевич И. В. Многомерное неавтономное уравнение, содержащее произведение степеней частных производных // Вестн. СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5, вып. 1. С. 119-130. D0I:10.21638/11701/spbu01.2018.113.
12. Полянин А. Д., Журов А. И. Методы разделения переменных и точные решения нелинейных уравнений математической физики. М.: Изд-во ИПМех РАН, 2020.
13. Полянин А. Д. Неклассические (неинвариантные) решения типа бегущей волны и автомодельные решения // Докл. АН. 2004. Т. 398. № 1. С. 33-37.
14. Рахмелевич И. В. О решениях типа агрегированных бегущих волн для линейных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами // Науч. ведомости Белгород. гос. ун-та. Математика. Физика. 2016. Т. 43, № 13. С. 30—38.
Поступила в редакцию 25 мая 2021 г. После доработки 28 августа 2021 г. Принята к публикации 28 февраля 2022 г.
Рахмелевич Игорь Владимирович
Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, пр. Гагарина, 23, Нижний Новгород 603950 igor-kitpd@yandex.ru
Математические заметки СВФУ Январь—март, 2022. Том 29, № 1
UDC 517.957
MULTI-DIMENSIONAL SECOND-ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH QUADRATIC FORM ON THE FIRST DERIVATIVES I. V. Rakhmelevich
Abstract: We study multi-dimensional partial differential equations of the second order with quadratic form on the first derivatives, while considering the cases of autonomous and nonautonomous equations in which the coefficients of the quadratic form are functions of independent variables. The equation is reduced to the ordinary differential equation. We obtain solutions of the traveling wave type, self-similar solutions, and solutions in the form of quadratic polynomial and generalized polynomial. The existence conditions for these solutions are given. We prove that solutions of the traveling wave type exist for nonautonomous equations which are not invariant with respect to shift transformations of independent variables. A theorem giving the conditions of additive and multiplicative separation of variables is proved in the case when the matrice of coefficients of the quadratic form on the first derivatives is block-diagonal, and solutions of the aggregated traveling wave type are obtained in this case. These solutions are generalizations of some known solutions of the traveling wave type and depend on linear combinations of subsets of the set of independent variables. We study the dependence of the obtained solutions on the equation coefficients.
DOI: 10.25587/SVFU.2022.68.65.005
Keywords: partial differential equation, quadratic nonlinearity, solution of traveling wave type, aggregated traveling wave, self-similar solution.
REFERENCES
1. Kudryashov N. A., Methods of Nonlinear Mathematical Physics [in Russian], Izd. Dom Intellekt, Dolgoprudnyi (2010).
2. Polyanin A. D., Zaitsev V. F., and Zhurov A. I., Methods of Solving Non-Linear Equations in Mathematical Physics and Mechanics [in Russian], Fizmatlit, Moscow (2005).
3. Polyanin A. D. and Zaitsev V. F., Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations, 2nd ed., Chapman Hall/CRC Press, Boca Raton; London; New York (2012).
4. Galaktionov V. A. and Posashkov S. A., "New exact solutions of parabolic equations with quadratic nonlinearities," USSR Comput. Math. Math. Phys., 29, No. 2, 112-119 (1989). https: //doi.org/10.1016/0041-5553(89)90016-5
5. Gladkov A. L., "Behaviour of solutions of certain quasilinear parabolic equations with powertype nonlinearities," Sb. Math., 191, No. 3, 341-358 (2000). http://dx.doi.org/10.1070/SM2000v191n03ABEH000462
6. Kosov A. A. and Semenov E. I., "Multidimensional exact solutions to the reaction-diffusion system with power-law nonlinear terms," Sib. Math. J., 58, No. 4, 619-632 (2017). https://doi.org/10.1134/S0037446617040085
7. Kosov A. A. and Semenov E. I., "The Lambert function and exact solutions of nonlinear parabolic equations," Russ. Math., 63, No. 8, 10-16 (2019).
© 2022 I. V. Rakhmelevich
8. Rakhmelevich I. V., "On two-dimensional hyperbolic equations with power nonlinearity on the derivatives [in Russian]," Vestn. Tomsk. Gos. Univ., Mat., Mekh., No. 1, 12-19 (2015).
9. Rakhmelevich I. V., "On the solutions of multi-dimensional arbitrary order differential equation with mixed senior partial derivative and power nonlinearities [in Russian]," Vladikavkaz. Mat. Zhurn., 18, No. 4, 41-49 (2016).
10. Rakhmelevich I. V., "On multi-dimensional partial differential equations with power non-linearities in first derivatives," Ufa Math. J., 9, No. 1, 98-108 (2017). DOI:10.13108/2017-9-1-98
11. Rakhmelevich I. V., "A multi-dimensional nonautonomous equation containing a product of powers of partial derivatives," Vestn. St. Petersb. Univ., Mat., 51, No. 1, 87-94 (2018). DOI: 10.3103/S1063454118010090
12. Polyanin A. D. and Zhurov A. I., Methods of Separation of Variables and Exact Solutions of Nonlinear Equations of Mathematical Physics [in Russian], IPMech Publ., Moscow (2020).
13. Polyanin A. D., "Nonclassical (noninvariant) traveling-wave solutions and self-similar solutions," Dokl. Math., 70, No. 2, 790-793 (2004).
14. Rakhmelevich I. V., "On the solutions of the aggregated traveling waves type for linear partial differential equations with variable coefficients [in Russian]," Belgorod. Gos. Univ. Nauchn. Vestn., Mat., Fiz., 43, No. 13, 30-38 (2016).
Submitted May 25, 2021 Revised August 28, 2021 Accepted February 28, 2022
Igor V. Rakhmelevich
Nizhny Novgorod State University,
23 Gagarin Avenue, Nizhny Novgorod 603950, Russia
igor-kitpd@yandex.ru
