CC BY
45ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
МНОГОМЕРНАЯ МАШИНА ПОСТА Дубенко К.И.
Дубенко Кирилл Игоревич - аспирант, кафедра связи на железнодорожном транспорте, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ростовский государственный университет путей сообщения, г. Ростов-на-Дону
Аннотация: в статье анализируется возможность преобразования классической машины Поста в её многомерную вариацию.
Ключевые слова: машина Поста, алгоритмизация, конечные автоматы, клеточные автоматы, машина Тьюринга.
Машина Поста - абстрактная вычислительная машина, предложенная Эмилем Леоном Постом, которая отличается от машины Тьюринга большей простотой. Обе машины алгоритмически «эквивалентны» и были придуманы для уточнения понятия «алгоритм» [1].
Машина Поста состоит из каретки (или считывающей и записывающей головки) и разбитой на ячейки бесконечной в обе стороны ленты (см. пример ниже). Каждая ячейка ленты может находиться в 2 состояниях — быть либо пустой — 0, либо помеченной меткой 1. За такт работы машины каретка может сдвинуться на одну позицию влево или вправо, считать, изменить символ в своей текущей позиции.
Работа машины Поста определяется программой, состоящей из конечного числа строк. Для работы машины нужно задать программу и её начальное состояние (то есть состояние ленты и позицию каретки). Кареткой управляет программа, состоящая из пронумерованных не обязательно упорядоченных строк команд, если в каждой команде указана строка, на которую нужно перейти. Обычно принимается, что если в команде переход не указан, то переход происходит на следующую строку [1].
Машины Тьюринга и Поста классифицируются следующим образом. По отношению к случайности: детерминированные, недетерминированные, стохастические. По количеству лент: одноленточные, многоленточные. По свойствам ленты: ленты, бесконечные в оба направления, ленты, бесконечные в одном направлении. Также, я предлагаю классифицировать по двум другим признакам. Так как при переходе с ленты на некое п-мерное поле, наблюдаются изменения в способах программирования. Таким образом, предлагается добавить классификацию по свойствам поля (одномерное, многомерное) и по количеству кареток (однокареточная, многокареточная), так как это также сильно влияет на работу с машиной.
Целью представляемой работы было показать сводимость (или же принципиальную несводимость) многомерной (многокареточной) машины Поста к одноленточной (однокареточной). Что значит показать полноту многомерной (многокареточной) машины Поста по Тьюринга [2]. Поскольку, в случае неполноты по Тьюрингу, мы получаем новую машину с новыми свойствами, которая в состоянии, вероятно, сильно упрощать алгоритмы. Классическая машина Поста является полной по Тьюрингу [3]. Таким образом, следует показать лишь сводимость к ней многомерной машины Поста.
Кроме того, интерес заключается в том, что многомерная машина Поста и клеточные автоматы по многим признакам похожи.
Клеточный автомат может мыслиться как стилизованный мир. Пространство представлено равномерной сеткой, каждая ячейка которой, или клетка, содержит
несколько битов данных; время идет вперед дискретными шагами, а законы мира выражаются единственным набором правил [4].
Такое исследование представилось интересным также благодаря следующим причинам: схожесть систем (обе имеют бесконечное поле, возможный алфавит из 0 и 1, возможность описания правил) [5]; машина Поста с двухмерным полем и двумя каретками имеет хороший потенциал к сжатию данных; не было обнаружено исследований такого рода, проведённых кем-либо ранее.
А клеточные автоматы, в свою очередь, представляют интерес для криптографии. Ведь сейчас появляется всё больше блочных алгоритмов шифрования на их основе.
Итак, первое, что нам придётся использовать это теорема: для любой машины Тьюринга существует машина Тьюринга, работающая на полубесконечной ленте [6]. Поскольку машина Тьюринга и Поста эквивалентны, то применим данную теорему к машине Поста.
2' 3' 4* 5' ...
2 3-15 ... .....
I 1 I
I' I 2' 2 3' 3 4' 4 5' 5
Рис. 1. Эквивалентность двухленточной и одноленточной машины Поста
Доказательство этой теоремы конструктивное, то есть мы дадим алгоритм, по которому для любой машины Поста может быть построена эквивалентная машина Поста с объявленным свойством. Во-первых, произвольно занумеруем ячейки рабочей ленты МТ, то есть определим новое расположение информации на ленте. Затем перенумеруем ячейки, причём будем считать, что символ «*» не содержится в словаре. Наконец, изменим машину Поста, удвоив число её состояний, и изменим сдвиг головки считывания-записи так, чтобы в одной группе состояний работа машины была бы эквивалентна её работе в заштрихованной зоне, а в другой группе состояний машина работала бы так, как исходная машина работает в незаштрихованной зоне. Если при работе МП встретится символ '*', значит головка считывания-записи достигла границы зоны. Получим следующую карту состояний.
Работа исходили МТ Г 5 1
х/у.Ь / \ иЛг.Н
Р ) I г
Рис. 2. Состояния МП при переходе к полубесконечному виду
Далее требуется перейти к многомерному полю. Для простоты рассмотрим на ограниченном отрезке.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2 V
3
4
5
6
7
8
9
10
Рис. 3. Соответствие полубесконечной МП и МП с двухмерным полем
Отметим отдельно, что асимметричная нумерация верхней и нижней частей полубесконечной (многоленточной машины) необходима, так как иначе невозможно будет полностью отразить расположение и состояние всех «зажженных» клеток многомерной машины Поста. Однако, несмотря на такое преобразование, это не влияет на предполагаемую эквивалентность полубесконечной машины Поста и машины Поста с многомерным полем. Для простоты восприятия ленты на рис. 3 выделены белым и серым цветами.
Для использования в МП многомерного поля требуется задать новые опции движения кареток. Таким образом, при двухмерному поле, добавим варианты движения вверх и вниз. Пронумеровав ленту и поле таким образом, как видно на рис. 3, мы сможем задать правила перехода. Движение по верхней (серой) ленте полубесконечной МП будет соответствовать движению каретки на поле вправо и влево (счёт столбцов). Движение по нижней (белой) ленте будет соответствовать движению каретки вверх и вниз по полю (счёт строк).
На рис. 3 видно, что правило для соответствия предполагает использование двух меток вместо одной. Таким образом, учитывая предыдущее, для перобразования в одноленточную МП многомерной, потребуется уменьшение сложности программы в 4 раза. Так как мы удвоили количество состояний при переходе от одноленточной МП к полубесконечной. Затем усложнили правила (введение новых свободностей движения) для перехода к многомерной. Также, при добавлении кареток, исходная МП усложняется в два раза за каждую новую каретку (соответственно программа на многомерной многокареточной машине упрощается).
Из вышестоящего получается, что использование многомерной многокареточной машины Поста возможно лишь для упрощения программирования и дальнейшего сопоставления с классической, так как принципиально новых эффектов при использовании такой конфигурации не обнаружено. Выявлено лишь упрощение программы благодаря внесённым при конфигурировании новым правилам.
Список литературы
1. Успенский В.А. Машина Поста / Гл. ред. физ.-мат. лит. 2-е изд., испр. М.: Наука, 1988. 96 с.
2. Brainerd W.S., Landweber L.H. Theory of Computation. Wiley, 1974. 278 p.
3. Neary T., Woods D. Four small universal / Turing machines. / Fundamenta Informaticae, / 91(1):123-144, / 2009.
4. Астафьев Г.Б., Короновский, А.А., Храмов, А.Е. Клеточные автоматы: Учебно-методическое пособие. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2003. 24 с.
5. Успенский В.А. Машина Поста. 2-е изд., испр. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 96 с.
6. КарповЮ.Г. Теория автоматов: СПб.: Питер, 2003. 208 с.
