Многокритериальные задачи: оптимальность по конусу и ее обобщение Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.934

© В.А. Матвеев

[email protected]

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ЗАДАЧА: ОПТИМАЛЬНОСТЬ ПО КОНУСУ И ЕЕ ОБОБЩЕНИЕ

Ключевые слова: многокритериальная задача, оптимальность по конусу, уточнение оптимального по конусу решения.

Abstract. In article a multicriteria problem is considered. As a general rule the Pareto optimality was made use as a decision to such topic. Usually, there is an infinite set of that results. The optimality concept is refinement by extension of preference relation in criteria space. In this way the cone optimality is defined. The properties of this solution are investigated. Proposed method is made possible to reduce the set of optimal results or ever though extracted an unique situation as a decision in multicriteria problem. The model example is brought.

1. Постановка задачи

Рассматривается задача принятия решений (ЗПР), качество решения в которой оценивается несколькими критериями. Используем терминологию и обозначения из [1;2]. Моделью такой ЗПР является многокритериальная задача. Это система

<X,f(x) >. (1.1)

Здесь имеется одно лицо, принимающее решение (ЛПР). Задано множество допустимых исходов x € X С Rn, среди которых ЛПР делает свой выбор. Выделен конечный набор желаемых свойств или критериев. В модели эти свойства описаны функциями: каждая функция представляет одно свойство. Оценка исходов основана только на этих свойствах (функциях).

Обычно информацию о всех критериях объединяют в одну, векторную функцию выигрыша / : X ^ Ят, т ^ 1. Значения этой функции каждому исходу ставят в соответствие количественную оценку для выделенных свойств

Дх) = (Л(х),---,/т( х)).

Это векторная оценка для исхода х € X . Не уменьшая общности, считаем, что критерии /¿( х), г = 1,,т являются позитивными. Тогда на содержательном уровне цель ЛПР состоит в выборе такого исхода, что доставляет возможно большие значения одновременно всем компонентам векторной функции выигрыша Дх) . Отметим, что в соответствии с работой [2], множество X и /

ночную структуры ЗПР, представленную в (1.1).

Общепринятый подход к определению решения в задаче (1.1) основан на отношении доминирования по Парето в критериальном пространстве Ет [2, с. 56]. Именно исход х* € X называется Парето-оптимальным в задаче векторной оптимизации (1.1), если для каждого х существует г € {1 ,...,т}, /¿(х) < /¿(х*) или /(х) = Дх*) . Парето-оптимальность исхода х* € X означает, что, если возможно перейти к другому исходу и увеличить при этом значение какого-либо критерия, то обязательно найдётся другой критерий, значение по которому в этом случае уменьшится.

В [2, с. 58] отмечено, что ^кандидатом© на оптимальное решение в многокритериальной задаче может являться только Парето оптимальный исход. Однако Парето оптимальных решений в задаче (1.1) может быть несколько, а в непрерывном случае даже бесконечное множество. Это связано с эффектом несравнимости исходов в векторном критериальном пространстве. Несравнимость исходов является формой неопределенности, именно ценностной неопределенностью [2, с. 55]. Она связана с тем, что в условиях неполной информированности ЛПР стремится достичь нескольких, часто противоречивых целей. Как указано в

работе [2, с. 58], выбор между несравнимыми исходами является сложной концептуальной проблемой и составляет основное содержание многокритериальной оптимизации.

2. Оптимальность по конусу в многокритериальной задаче

Достаточно общий подход к определению оценочной структуры в задаче (1.1) предлагает отношение предпочтения по конусу в критериальном пространстве Rm, m ^ 1. Для сравнения векторных исходов рассматривается отношение предпочтения по конусу. Будем рассматривать выпуклый, заострённый, выступающий, пространственный конус K [3, с. 1075]. Конус K порождает в векторном критериальном пространстве отношение порядка (векторную упорядоченность) по правилу

f >k g & f - g e K. (2.1)

Такой конус К называют конусом доминирования в Rm, m ^ 1.

Часто конусом доминирования является многогранный конус

K = {f e Rm|Af ^0m}. (2.2)

Здесь представлена система m однородных неравенств и 0m —

нулевой вектор в Rm . Зафпксирована A — квадратная матрица порядка m . Будем считать, что матрица A = (aj, i, j = 1,..., m является неотрицательной, т.е aij ^ 0. Кроме того, полагаем, A

многогранных конусов являются

Rm = {x e Rm|Ex ^0m} = {x e Rm|Xi ^ 0,i = l,...,m} (2.3)

и его внутренность

Rm = {x e Rm|xi > 0, ^ = 1,..., m}. (2.4)

Конусы Rm, Rm определяются единичной матрицей E .

Использование векторной упорядоченности (2.1) позволяет

K.

Определение 2.1. Исход х* € X называется оптимальным по конусу К в задаче векторной оптимизации (1.1), если для любого исхода х € X го условия /(х) /(х*), сле-

х х*

что для всех х € X, х ф х* справедливо х — х* € К. Если для конуса К выполнено включение С К, то оптимальное решение х* € X будем называть максимальным по конусу.

—К

К

жество оптимальных или максимальных(минимальных) по конусу К решений задачи векторной оптимизации (1.1) обозначается X* С XX* С X) .

Определение оптимального по конусу решения является достаточно общим. Оно включает в себя как частный случай Парето оптимальные решения. Действительно, такое решение полу.,

использовать конус Лт из (2.3).

Замечание 2.1. В качестве решения задачи векторной оптимизации (1.1) также используют оптимальные по Слейтеру решения [5, с. 67]. Так, исход х* € X называется максимальным по Слейтеру в задаче векторной оптимизации

(1.1), если для каждого х € X существует г € {1,..., т} , что /г(х) < /г(х*) . Максимальность по Слейтеру выделенного исхода х* € X означает, что нет другого исхода, векторная оценка которого по всем критериям больше, чем у выделенного исхода. Заметим, что максимальность по Слейтеру является максимальностью по конусу для конуса доминирования Щт из (2.4).

Замечание 2.2. В многокритериальной задаче

(1.1) определяется А-оптимальное решение [4, с. 187]. Пусть задана постоянная т х т матрица А = (а^) с положительными элементами, т.е. а^ > 0, г, ^ = 1,...,т. Такая матрица А выделяет в векторном пространстве Кт многогранный конус согласно равенству (2.2). Этот многогранный конус, а зна-

А

рядоченность согласно соотношению (2.1). Исход в задаче (1.1), оптимальный относительно такой упорядоченности, называется А

А

А

в (2.2).

Заметим, что оптимальность по конусу более общее понятие, А

данный положительной матрицей, с помощью которого опреде-А

пуклых, заострённых, выступающих конусов в векторном пространстве Лт, т ^ 1.

Теорема 2.1. Пусть в многокритериальной задаче

(1.1) множество допустимых исходов X С Еп компактно, векторная функция выигрыша / : X ^ Кт непрерывна, конус доминирования К является выпуклым, заострённым, выступающим в Кт . Тогда в задаче (1.1) существует исход, оптимальный по

К

Доказательство следует из существования гиперплоскости в Кт , разделяющей компактное множество X и соответствующий .

Теорема 2.2. Рассматриваются многокритериальная задача (1.1) и конусы доминирования К, К . Пусть X* С X, X* С X — множества исходов, оптимальных по коК ,К К С К

чение X С X! .

Действительно, пусть х* € X* . Тогда, согласно определению 2.1, Ух ф х*, х — х* € К • По условию К С К , значит, х — х* € К . Последнее означает, что х* € X* . Следовательно, X* С X* , что и требовалось доказать.

Из теоремы 2.2 следует, что в задаче векторной оптимизации

(1.1) оптимальные по Парето исходы являются уточнением опти-

мальных по Слейтеру исходов, т.к. Кт С Ку • Теорему 2.1 можно применить к многогранным конусам из (2.2). Тогда получается

Теорема 2.3. Рассматриваются многокритериаль-.

К = {х € Кт|Ах ^ От}

А

нусу К исходы, являются оптимальными по Парето.

Оптимальность по Парето является оптимальностью по многогранному конусу Кт, определённому единичной матрицей Е

т

равенств, которая задаётся в матричной форме Ах ^ 0т . Для

А

т

Ех ^ 0т . Это означает, что Кт С К . Тогда по теореме 2.1 каждое оптимальное по конусу К решение является оптимальным по Парето, что и требовалось доказать.

Таким образом, оптимальность по конусу является уточнением оптимального по Парето решения. Такой подход позволяет сократить множество претендентов на оптимальный исход. В то же время предпочтение по конусу порождает определённые вопросы, связанные с наилучшим решением задачи (1.1). Во-первых, какие свойства, какой содержательный смысл имеют оптимальные по конусу решения, чем они выделяются среди па-ретовских решений. Во-вторых, каким образом выбирать конус доминирования, ведь таких конусов бесконечное множество. В-третьих, как уточнять оптимальное по конусу решение, если таких решений достаточно много.

Рассмотрим конус доминирования, представленный многогранным конусом (2.2) с неотрицательной невырожденной квадратной матрицей А = (а^), *,,?’ = 1,..., т . Не уменьшая общности, можно считать, что матрица А является стохастической

[4, с. 381]. У такой матрицы

m

a,ij = 1, i = 1,..., m. (2.5)

j=i

Произвольную неотрицательную невырожденную матрицу можно привести к условию (2.5), вынося из каждой строки соответствующий множитель. Хотя матрица при таком преобразовании изменится, но конусы доминирования для исходной и преобразованной матриц будут совпадать.

Рассмотрим произвольную i -ю строку стохастической матрицы A :

m

(ail ■ ai2■ • • • ■ aim) ■ ^ ' aij — 1 ■ aij >0 j i — l,...,m. j

При определении оптимальности по конусу элементы этой строки умножаются соответственно на значения критериев, представленные в векторной функции выигрыша, и складываются. Каждая строка матрицы А даёт новый i -й критерий Fi . При этом элемент 0 ^ aij ^ 1 этой строки является ^весовым коэффициентом©, т.е. множителем или весом, с которым исходный критерий fi(x) ВХОДИТ В НОВЫЙ критерий Fi{x)

Fi(x) = anh{x) + aaf (x) + •• ■ + aimfm{x).

Если j -й элемент в i -й строке матрицы равен нулю, т.е. aij = 0 ,

Fi

jx) ■

Каждая строка стохастической матрицы А определяет новый критерий. В этом критерии учитывается отношение ЛПР к принимаемому решению. В то же время совокупность строк матрицы А представляет неопределённость ЛПР относительно общей итоговой цели. Строки матрицы можно представлять как мнения нескольких экспертов относительно итоговой цели. Эксперты по-разному видят конечную цель, поэтому строки матрицы линейно-независимы (матрица является невырожденной). В

то же время мнение экспертов является важной информацией и позволяет сократить множество претендентов на оптимальное решение.

В задаче векторной оптимизации (1.1) оптимальное по конусу решение относительно многогранного конуса доминирования К из соотношения (2.2) можно рассматривать как оптимальное по Парето решение для векторной функции выигрыша

Здесь А о / композиция отображений / : X ^ Кт,

А : Кт ^ Кт . Тогда оптимальное по конусу К (определённому матрицей А ) решение в задаче (1.1) равносильно оптимальному по Парето решению в задаче векторной оптимизации

Рассмотрим модельный пример применения оптимального по конусу решения в многокритериальной задаче.

Пример 2.1. Рассматривается двухкритериальная задача (1.1), где множество допустимых исходов

Это множество представлено на рис. 1. Задан векторный критерий /(г,0) = (Д(г, 0),/(г, 0)) = (ГСО80,Г8Ш0). Здесь допустимые исходы (г, 0) € К х Ф = [ОД] х [0, п/2]. Предполагается, что ЛПР в двухкритериальной задаче выбирает исход так, чтобы доставить возможно большие значения обоим критериям: / г, 0 г 0 / г, 0 г 0.

позитивными. Эта двухкритериальная задача представлена как система в

(X, А о /(X).

(2.6)

X = К хФ = [ОД] х [0,п/2].

([0, 1] х [0, п/2], (ГСО50, Г5Ш0)).

(2.7)

п/

О 1 А г

Рис. 1. Множество исходов X

Рис. 2. Множество /(X)

Оценочная структура в задаче определяется в области достижимости

/(X) = к /і,/2) Є Я | /і = ГГО89,/2 = Г8Іп9,(г,9) еХ.

Она представлена на рис. 2.

Задан многогранный конус доминирования

К = (ж є Я | Ах =

3 2

4 1

Жі

Ж2

^0 2>.

(2.8)

Конус К образуют векторы х = (х1,хг), координаты которых удовлетворяют системе неравенств

Зхх + 2x2 ^ 0,

4хх + Х2 ^ 0.

Многогранный конус доминирования К из (2.8) представлен на рис. 3.

Отметим, что в данном случае важность (вес) критериев оценивается первым экспертом в отношении 3:2 и вторым экспертом в отношении 4:1. В задаче требуется найти исходы, оптимальные

относительно конуса К , в соответствии с определением 3.1. Рассмотрим оценки допустимых исходов, представленные на рис. 2. Расположим конус доминирования в Я2 так, что его вершина совпадает с оценкой некоторого исхода. Если в этом случае множество точек конуса не пересекается с множеством оценок всех допустимых исходов (за исключением общей вершины), то соответствующий исход является оптимальным по конусу К. В соответствии с этим оптимальные по кoнvcv исхоттьт пасположе-ны на сторон ,

В этом случае г * = 1. Выделим на дуге оценки, оптимальные по конусу. Они расположены на участке дуги (рис. 2).

В пространстве критериев координаты точки N (точки М) на-

где А = (1, 0)

2

^(2,-3)

Рис. 3. Конус К

ХОДЯТСЯ ИЗ условия / 2

V1-/!

4

1

В результате получаем координаты точек

На дуге NM (рис. 2) представлены все оценки, оптимальные по конусу. Этим оценкам соответствуют оптимальные исходы. На рис. 1 эти исходы составляют отрезкок CD. Координаты точки С (точки D ) найдём из условия

(г* cos в*, г* sin в*) = (4/л/17,1/V17)

((г* cosd*, г* sin в*) = (3/VT3,2/VT3)).

Учитывая, что r* = 1, для значения в € [0, п/2] получаем уравнение tan# = 1/4 (tan# = 2/3). Тогда в* = arctaп1/4(в* =

/

С(г*,в*) = (1, arctan 1/4), D^*^*) = (l,arctan2/3).

Эти точки представлены на рис. 1.

В данном примере получены все максимальные по конусу исходы (г*,в*), r* = 1, arctan 1/4 ^ в* ^arctan 2/3. Они изображены отрезком CD на рис. 1. Множество соответствующих оценок

Л* ,/2*)е

€ {(r* sin в*, r* cos в*) | r* = 1, arctan 1/4 ^ в* ^ arctan 2/3}

указаны дугой NM на рис. 2.

Отметим, что в данной многокритериальной задаче (2.7) максимальные по конусу решения являются уточнением максимальных по Парето решений. Действительно, паретовские исходы представляются отрезком AB на рис. 1 и их оценки — всей дугой PNMQ на рис. 2.

3. Уточнение оптимального по конусу решения

Рассмотренный выше пример показывает, что оптимальность по конусу позволяет сузить множество претендентов на наилучшее решение в многокритериальной задаче. Так, на рис. 1 сторона AB представляет оптимальные по Парето решения и его

часть — отрезок СД, выделяет оптимальные по конусу К решения. Этот подход позволяет существенно сузить множество оптимальных решений. Но это не снимает проблему уточнения решения. Оптимальных по конусу решений может быть достаточно много. Рассмотрим следующую последовательность уточнений.

Обозначим через К конус К из (2.2) и X* С X соответствующее множество оптимальных по этому конусу решений. Этот конус определён матрицей А. Обозначим через К и X* С X конус и множество оптимальных по нему решений для матрицы А2 . Аналогично для натурального п обозначим Кп и X,* С X конус и множество оптимальных по этому конусу решений, определённых матрицей Ап .

Теорема 3.1. Пусть матрица А является неотрицательной, невырожденной, неразложимой, стохастической. Тогда для любого натурального п

а) матрица Ап является неотрицательной, невырожденной, неразложимой, стохастической;

б) для соответствующих конусов имеет место включение Кп С Кп

в) для соответствующих множеств оптимальных по конусу решений имеет место включение X, Э X)*+1 .

Пункт а) следует из правила умножения неотрицательных матриц. Многогранный конус Кп определяется как решение однородной системы линейных неравенств Ап / ^ 0т. Многогранный конус Кп+1 определяется как решение для следствия последней системы, именно Ап+1 / = ААп/ ^ 0т . Напомним,

А

сто включение конусов Кп С Кп+1 . Наконец, в) следует из теоремы 2.2.

Для матрицы А из теоремы 3.1 верны условия теоремы Фро-бениуса [4, с. 355], именно справедлива

Теорема 3.2. Пусть матрица А является неотрицательной, невырожденной, неразложимой, стохастической. Тогда существует предел последовательности lim An = Ao-A

гом, равным 1, все строки матрицы равны левому собственному вектору, относящемуся к максимальному собственному значению А = 1, и сумма координат этого вектора равна 1.

Последнее утверждение является основанием для уточнения оптимального по конусу К решения, определённого .

Определение 3.1. Рассматривается многокритериальная задача (1.1) и многогранный конус К (2.2), определённый квадратной матрицей А порядка m. Считаем, что матрица А является неотрицательной, невырожденной, неразложимой, стохастической. Пусть вектор aT = (%, a2,..., am),

Smi ai = 1, ai >0 является левым собственным вектором для

А

ж* € arg max(ai/i(x) + a2/2(x) + • • • + am/m{ж))

x€X

будем называть уточнённым по конусу оптимальным (максимальным, минимальным) решением многокритериальной задачи (1.1).

Теорема 3.3. Пусть в многокритериальной задаче

(1.1) множество допустимых исходов X С Rn компактно, векторная функция выигрыша / : X ^ Rm непрерывна, квадрат-

m

рожденной, неразложимой, стохастической. Тогда в задаче существует уточнённое по конусу, порождённому матрицей А, оптимальное решение.

Существование уточнённого решения следует их компактно-

X

ции /ж, a) = ai/i(x) + a2/2(ж) + •• • + am/m(ж), гДе

aT = (ai, a2,..., am), mi a* = a» есть левый собствен-

ный вектор матрицы А или, по другому, собственный вектор для .

Теорема 3.4. Уточнённое по конусу К оптимальное (максимальное, минимальное) решение ж* € X в многокри-

.

ным, минимальным) по конусу К решением, и, значит, оптимальным (максимальным, минимальным) по Парето решением.

Уточнённое по конусу оптимальное решение многокритериальной задачи (1.1) является также оптимальным по конусу решением. Этот конус К определяется положительной матрицей A го теоремы 3.2 и

К0 = {/ € Rm | А0/ >0m} =

= {/ I ai/i(x) + ••• + am/m ж) > о ,где aT A = aT}. (3.1)

Здесь вектор-строка aT = (ai, a2,..., am), S mi a» = 1, a» > 0, является левым собственным вектором для матрицы А или собственным вектором для строк этой матрицы, относящимуся к наибольшему положительному собственному значению А = 1. В этом случае по определению левого собственного вектора aTA aT / Rm

aTA/ aT/.

что неравенство из (3.1) есть следствие системы неравенств А/ > 0m го (2.2). Значит, верно включение конусов K С K , где

.,

,

согласно теореме 2.3, — оптимальным по Парето.

Суммируя результаты из вышеприведённых утверждений, получается

Теорема 3.5. Пусть квадратная матрица А порядка m является неотрицательной, невырожденной, неразложимой, стохастической. Тогда

а) существует предел последовательности lim An = Aq;

б) предельная матрица Ао является неотрицательной, невырожденной, неразложимой, стохастической и все строки этой матрицы равны левому собственному вектору

симальному собственном,у значению А = 1;

с) для последовательности матриц Ап, п = 1,2,..., соответствующая последовательность многогранных конусов Кп, п = 1, 2,..., определённая аналогично (2.2), удовлетворяет цепочке включений К С К С К С ■ ■ ■ С Кп С ■ ■ ■ С К;

д) соответствующая последовательность множеств, оптимальных по конусу Кп, п = 1,2,..., решений в задаче вектор.

Найдём уточненное по конусу максимальное решение двухкритериальной задачи рассмотренного выше примера.

Продолжим рассмотрение двухкритериальной задачи (2.7). Для неё конус доминирования К представлен в (2.8). Его можно задать с помощью стохастической матрицы, которую, так же как

.

Найдем предел последовательности матриц lim An = Aq.

А

делим соответствующий левый собственный вектор

и—* СЮ

аТ = (ai, a2,..., am), mi ai = 1, аг > 0, относящемуся к мак-

X* D X* D X* D ••• D XU D ••• D X*.

и

XT = (xi,x2), Xi + X2 = l, Жі ^0,¿ = 1,2

из решения системы двух уравнений

— |ж! + |ж2 = О,

дЖ1 - дЖ2 = О. Получаем хт = (|, |) . Тогда по теореме матрица

2/3 1/3

Ао =

//

,

максимальным решением многокритериальной задачи (2.7) будут решения задачи математического программирования (задача максимизации): ([0,1] х [0,п/2], 2гсоз# + тэт#). Здесь максимальное значение достигается при г* = 1, = агйап1/2.

Эти же значения будут доставлять единственное уточнённое максимальное по конусу решение двухкритериальной задачи (2.7). Это решение представлено на рис. 1. Тогда уточнённый максимальный по конусу векторный выигрыш будет /* = (/*,/*) = (2/\/5,1/\/5). Он приведён в критериальном пространстве на рис. 2.

Список литературы

1. Подиновский В. В., Ногин В. Д. Оптимизация гарантий в многокритериальных задачах управления. М.: Наука, 1982.

2. Розен В. В. Математические модели принятия решений в экономике. М.: Книжный дом ’’Университет”: Высш. шк., 2002.

3. Математическая энциклопедия. М.: Сов. энцикл., 1979.

4. Жуковский В. И., Салуквадзе М. Е. Парето оптимальные решения многокритериальных задач. Тбилиси: Мецниереба, 1996.

5. Гантмахер Ф.П. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

6. Веллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969.