CC BY
29
Геонаноматериалы Geo-nanomaterials
УДК 539.3
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ОЦЕНКА НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ ГЕОМАТЕРИАЛОВ
И.А.БРИГАДНОВ, д-р физ. -мат. наук, профессор, brigadnov@mail. ги Санкт-Петербургский горный университет, Россия
В статье предлагается оценка несущей способности конечного образца из геоматериала в текущей конфигурации, которая может быть как отсчетной недеформированной, так и актуальной деформированной. Предлагается вариационный подход к решению задачи в напряжениях в выбранной контрольной подобласти, в которой в зависимости от инженерных соображений оцениваются среднеквадратичные значения любых компонент напряжений и по их совокупности делатся вывод о несущей способности текущей конфигурации образца по отношению к заданным внешним воздействиям. Данный подход позволяет оценить несущую способность геоматериала, например, при чистом сжатии.
Ключевые слова: геоматериал, деформируемое твердое тело, несущая способность, вариационная задача в напряжениях, концентраторы напряжений, многокритериальная оценка.
Оценка несущей способности геоматериалов является актуальной научно-технической проблемой [1, 7]. В настоящее время для решения этой задачи широко применяются классические методы линейной теории упругости, поскольку в большинстве случаев рассматриваются разрыхляющиеся материалы, для которых эффекты пластического деформирования незначительны. Однако в реальности геоматериалы имеют весьма сложный состав, включая глины и другие сверхпластичные материалы. Поэтому применение только методов линейной теории упругости существенно ограничено.
В настоящей работе предлагается оригинальный подход к оценке несущей способности геоматериалов, основанный на многокритериальном подходе. В рамках этого подхода возможен анализ несущей способности конечного образца из геоматериала в отсчетной не-деформированной или актуальной деформированной конфигурациях. Для этого используется вариационный подход к решению задачи в напряжениях в выбранной контрольной подобласти, в которой в зависимости от инженерных соображений оцениваются среднеквадратичные значения любых компонент напряжений и по их совокупности делается о несущей способности текущей конфигурации образца по отношению к заданным внешним воздействиям.
Итак, будем рассматривать конечный образец из геоматериала как деформируемое твердое тело, занимающее в текущей конфигурации ограниченную липшицеву область Q е R3. Тело находится в равновесном напряженно-деформированном состоянии под действием внешних стационарных воздействий [6, 9, 10]: на непустой части границы Г1 с лебеговой мерой Г1 > 0 задано фиксированное перемещение, в ^ приложена объемная сила
с плотностью /, а на части границы Г2 = 5Й/Г1 - поверхностная сила с плотностью g.
Введем в рассмотрение множество допустимых скоростей перемещений:
Гф)={у ^ Я3; у(х) = 0,x е Г1}.
Тогда мощность внешних сил на допустимых скоростях перемещений представляет собой сумму двух билинейных функционалов [9]:
A(n, f,g,v)=J f • vdn + J g • vdy,
n Г2
где точка обозначает скалярное произведение векторов в R3.
Мощность внутренних напряжений T на допустимых скоростях перемещений также представляет собой билинейный функционал [9]:
n(n, T0, v )=J T0--(V® v)Tdn, (1)
n
где V = 8 / 8x - символический вектор или набла-оператор Гамильтона. Здесь и далее две последовательные точки обозначают двойное скалярное произведение (свертку) тензоров второго ранга, символ ® - диадное (тензорное) произведение векторов, а верхний индекс T -операцию транспонирования [8].
Если текущая конфигурация совпадает с отсчетной недеформированной, тогда T0 -первый (несимметричный) тензор номинальных напряжений Пиола-Кирхгоффа. Если же текущая конфигурация является актуальной, тогда T0 - симметричный тензор истинных напряжений Коши [6, 9]. В любом случае согласно принципу виртуальной мощности справедливо основное равенство статики [9]:
П (n,T0, v)= A (П, f, g, v), Vv e V(n). (2)
В зависимости от выбора класса допустимых скоростей перемещений можно поставить несколько различных задач, связанных с оценкой несущей способности как отсчетной, так и актуальной конфигураций твердого тела. Например, если твердое тело в отсчетной конфигурации находится в натуральном состоянии и рассматриваются поля скоростей V(n) n W1,1 (n, R3), тогда для внешних сил f e L (n,R3) и g e L (г2 ,R3) в теле определяется статически равновесное поле напряжений минимальной интенсивности [2, 3, 12, 13]
T* = arginf T : T e G},
G = {T e L (n, М3): П (n, T0, v) = A (n, f, g, v), Vv e V(n)n W11 (n, R3)},
где Tm = Inf {sup(T(x)|: x e n\ ю): |ю| = о)} для непрерывных полей совпадает с наибольшим по интенсивности напряжением в n [5]. Здесь и далее символ М3 - пространство вещественных матриц 3 х 3 , а |T| = (T-T)12 - модуль тензора второго ранга.
В задаче (2) рассматривается самое широкое множество допустимых скоростей перемещений, что связано с оценкой глобальной устойчивости отсчетной конфигурации твердого тела [2, 3, 12, 13]. На практике важна инженерная оценка несущей способности текущей конфигурации твердого тела по отношению к внешним воздействиям для более узкого класса допустимых скоростей перемещений. Поэтому ограничимся рассмотрением допустимых скоростей перемещений v eW1,2 (n, R3) и допустимых напряжений T e L (n, М3), что существенно упрощает задачу, поскольку в этом случае поля v и T являются элементами соответствующих гильбертовых пространств со счетным базисом [5, 10, 11].
При оценке несущей способности твердого тела по отношению к внешним воздействиям необходимо учитывать особенности топологии области, поскольку наиболее критичными являются зоны концентрации напряжений (выточки, разрезы и т.д.). Поэтому выделим некоторую компактную липшицеву подобласть юс n, содержащую концентратор напряжений. Воздействие оставшейся части тела на выделенную (далее контрольную) по-
добласть можно заменить следующими краевыми условиями: часть границы подобласти у1 ^ Г1 закреплена, а на оставшейся части границы у2 = 5ю \ у1 задана внешняя сила пТ°, где п - внешняя по отношению к контрольной подобласти нормаль к границе у2 [6, 9, 10]. Заметим, что закрепленная часть границы у1 может отсутствовать.
Введем в рассмотрение множество допустимых скоростей перемещений в ю :
V (ю) = {у еW12 (й, Я3): у(х) = 0, х е у1}
и квадратичный функционал на ¿2(Д М3) вида
К(ю, Т ) = -рт | Т-И-ТЛО., (3)
2| ю|ю
где О - тензор 4-го ранга, в общем случае зависящий только от координаты х .
В зависимости от выбора тензора О функционал К(ю, Т) имеет различный физический смысл:
• если О = Е - первый единичный тензор 4-го ранга [8], тогда К12 является среднеквадратичной интенсивностью напряжений в ю;
• если О = Е -11 ® I, где I - единичный тензор 2-го ранга [8], тогда К12 является среднеквадратичной интенсивностью касательных напряжений в ю :
• если О = 11 ® I, тогда К12 является среднеквадратичной интенсивностью гидростатического давления в ю;
1 Г V ^
• если О = —I Е--1 ® I I - тензор жесткости материала, обратный тензору упру-
2ц ^ 1 + V )
гости, где ц - модуль сдвига, а V - коэффициент Пуассона [4, 6, 9], тогда К является удельной внутренней энергией деформированного твердого тела в ю.
В общем случае выбор контрольной подобласти ю и тензора О определяется инженерно-техническими соображениями.
Как и ранее, в контрольной подобласти справедливо основное равенство статики
п(ю, Т0,у)= А(ю,/,пТ0,у) для любого допустимого поля скоростей перемещений V е V(ю), где функционал П определен формулой (1), а функционал А имеет вид
A (и, f, n -T0, v) = J f • vdQ + J n • T0 • vdy.
у
Поставим следующую задачу: среди всех статически равновесных полей напряжений в контрольной подобласти и найти такое, которое минимизирует функционал К(&, Т), а именно,
T* = arg inf {К(и, T): T e G}, (4)
G = {T e ii (и, М3): П (и, T0, v )= а(и, f, nT0, v) Vv e V (и)}.
С математической точки зрения в рассматриваемой задаче ищется минимум квадратичного функционала на линейном аффинном многообразии в пространстве напряжений. Далее будем рассматривать только тензоры D, удовлетворяющие сильному условию Коул-
I
мана-Нолла, для которых существует постоянная а > 0 такая, что Q• • D • •Q > аQ для любого Q e M3 и почти всех x ею [6, 10]. В этом случае функционал К(и, Т) является строго выпуклым и коэрцитивным на i2(®, M3) и поэтому гарантируется существование и единственность решения задачи (4) [10, 11].
Сформулированная задача имеет ясный физический смысл. Например, если рассматривается отсчетная недеформированная конфигурация твердого тела, контрольная подобласть ю = О и в качестве D берется тензор жесткости изотропного линейно-упругого материала, тогда задача (4) приобретает следующий смысл: среди всех статически равновесных полей напряжений найти такое, которое обладает минимальной внутренней энергией. Если при этом часть границы Г1 жестко закреплена, тогда сформулированная задача совпадает с классическим вариационным принципом Кастильяно в линейной теории упругости [6].
Если взять D = Е, тогда искомое поле напряжений является самым слабым в среднеквадратичном смысле среди всех статически равновесных полей напряжений в контрольной подобласти ю вне зависимости от материала, из которого состоит твердое тело.
В контрольной подобласти ю рассматриваются самые слабые поля напряжений, глобально уравновешенные во всем теле О, т.е. предполагается, что в ю твердое тело сопротивляется внешним воздействиям самым слабым образом. В действительности, тело может уравновешивать существенно более интенсивные внешние воздействия. Таким образом, ищется оценка снизу для несущей способности текущей конфигурации твердого тела по отношению к заданным внешним воздействиям и контрольной подобласти.
Если величина {^ (ю, Т *} превышает заданный уровень напряжений, тогда топология подобласти ю не может обеспечить несущую способность всего твердого тела по отношению к заданным внешним воздействиям. Поясним наши рассуждения. Любой материал, из которого состоит твердое тело, может выдержать только конечный уровень напряжений (касательных, обжимных, разрывных, комбинированных и т.д.). Для заданных внешних воздействий и контрольной подобласти ю мы решаем задачу (4) для различных тензоров D. Если найденные минимальные допустимые поля напряжений выше заданного уровня, тогда топология области & не допускает более слабых равновесных полей напряжений в контрольной подобласти ю , т.е. текущая конфигурация твердого тела не обладает несущей способностью по отношению к заданным внешним воздействиям.
Предлагаемый подход принципиально отличается от классического метода жестко-пластического анализа несущей способности отсчетной конфигурации твердого тела, в рамках которого используется точечный критерий максимальной интенсивности касательных напряжений [4]. В данном подходе в зависимости от инженерных соображений оцениваются среднеквадратичные значения любых компонент напряжений в различных подобластях юс & и по их совокупности делается вывод о несущей способности текущей конфигурации твердого тела. Например, оценка среднеквадратичного значения гидростатического давления необходима для анализа несущей способности разрыхляющихся материалов, в частности горных пород или бетонов. А среднеквадратичное значение разрывных напряжений в окрестности концентратора (шейки или выточки) позволяет оценить прочность образца, например в натурных экспериментах на разрывной машине.
Напомним, что одним из недостатков жесткопластического анализа, от которого свободен предлагаемый подход, является неопределенность поля напряжений в жестких подобластях тела [4].
В качестве простейшего примера, показывающего содержательность предлагаемого подхода, рассмотрим задачу сферически симметричного нагружения твердой сферы внутренним давлением в отсчетной недеформированной конфигурации. Легко убедиться, что в этом случае основное равенство статики (2) принимает вид
(5)
где а и Ь - внутренний и внешний радиусы сферы; {Тгг,Тее,Тфф} - ненулевые компоненты
тензора напряжений в сферической системе координат; Р > 0 - избыточное внутреннее давление. Внешняя поверхность сферы свободна от нагрузок.
С инженерной точки зрения для оценки прочности сферы, нагруженной внутренним давлением, естественно взять в качестве критерия среднеквадратичное значение разрывных напряжений, т.е. использовать в качестве целевого следующий функционал:
~ в
К(Т) = № + ) Г 2 *.
(6)
Например, на классическом упругом решении
ТУ = --
Р
л2 -1
в 13 -1
Р
ту = ту =
ее фф 2(л2 -1)
В ) + 2
(7)
где л = Ва > 1 - безразмерный геометрический параметр. Среднеквадратичное значение разрывных напряжений
а У =
К1/2 (ту ) =1Р (л6 + 12л31п л + 3л3 - 4|/2(л3 -1)
■3/2
Если ограничиться рассмотрением гладких сферически симметричных полей с компонентами Тее = Тфф, тогда из основного равенства статики (5) стандартными приемами вариационного исчисления [10, 11] легко получить дифференциальное уравнение равновесия и краевые условия:
йТ 2
+ -(Тгг -Тфф)= 0, ге(а,В),
йг гу'гг фф>
Тгг (а) = -Р , Тгг (В) = 0.
Выразив из этого уравнения ТЧЩ) через радиальное напряжение и подставив его в функционал (6), приходим к следующей вариационной задаче:
где
Т* = а^ {I(Тгг): Тг (а) = -Р, Тгг (В) = 0 },
I(Тгг) = | (гТ2 + 4гъТгХг + 4г2Тг2)йг .
После решения соответствующего уравнения Эйлера и удовлетворения краевым условиям, находим требуемые оптимальные напряжения:
т*=_Р. Г аа У В -1
л-1 )\г
* *
ее= фф = 2(л-1) Ы'
Р Г а
(8)
для которых среднеквадратичное значение разрывных напряжений вычисляется по формуле
а* = К1/2(Т*) = Р(л-1)-1/2(л3 - 1р.
Для примера рассмотрим неоптимальные допустимые напряжения:
Тн = -
Р
л2 -1
в 12 -1
г
Тн = Т н =
Р
фф „„2
л2 -1
(9)
г
для которых среднеквадратичное значение разрывных напряжений имеет вид
K1/2 (г н )= P (л-1)"
1/2
4 5 6 7 Геометрический параметр
Зависимость коэффициента запаса прочности на разрыв от геометрического параметра для упругого ( 1), неоптимального (2) и оптимального (3) напряжений
10
Пусть материал сферы характеризуется предельным напряжением на разрыв стн, тогда величина Р/стн представляет собой безразмерный коэффициент запаса прочности на разрыв. На рисунке приведены зависимости оценок этого коэффициента от геометрического параметра ^ для трех построенных решений: Р/сту - кривая 1, Р/стн - кривая 2 и
Р/ст* - кривая 3. Видно, что даже неоптимальные допустимые напряжения (9) дают лучшую оценку снизу для прочности сферы на разрыв по сравнению с классическим упругим решением (7). При этом оптимальные допустимые напряжения (8) наилучшим образом оценивают снизу прочность сферы на разрыв. Максимальный эффект достигается для толстостенной сферы.
Интуитивно ясно, что инженерная оценка несущей способности отсчетной недефор-мированной конфигурации сферы при нагружении внутренним давлением должна опираться на самый слабый (в нашем случае оптимальный) вариант распределения напряжений (8), что крайне важно для сосудов высокого давления.
В заключение еще раз отметим, что предлагаемый многокритериальный анализ несущей способности конечного образца из геоматериала позволяет построить абсолютные оценки снизу для внешних силовых воздействий, гарантированно разрушающих образец, что крайне важно для процесса дробления горных пород [1].
=
ЛИТЕРАТУРА
1. Борщ-Компониец В.И. Практическая механика горных пород. М.: Недра, 2013. 322 с.
2. Бригадное И.А. Оценка несущей способности нелинейно упругих тел // Изв. РАН. МТТ. 2001. № 1. С.6-15.
3. Бригадное И.А. Двойственный подход к оценке несущей способности нелинейно упругих тел // Изв. РАН. МТТ. 2004. № 2. С.39-46.
4. Клюшникое В.Д. Математическая теория пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1979. 208 с.
5. КуфнерА. Нелинейные дифференциальные уравнения / А.Куфнер, С.Фучик. М.: Наука, 1988. 304 с.
6. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.
7. Николаевский В.Н. Геомеханика и флюидодинамика. М.: Недра, 1996. 447 с.
8. ПальмоеВ.А. Элементы тензорной алгебры и тензорного анализа. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2008. 109 с.
9. Поздеее А.А. Большие упруго-пластические деформации / А.А.Поздеев, П.В.Трусов, Ю.И.Няшин. М.: Наука, 1986. 232 с.
10. Сьярле Ф. Математическая теория упругости. М.: Мир, 1992. 472 с.
11. ЭкландИ. Выпуклый анализ и вариационные задачи / И.Экланд, Р.Темам. М.: Мир, 1979. 400 с.
12. Brigadnov I.A. Duality method in limit analysis problem of non-linear elasticity // Computer Assisted Mech. Eng. Sci. 2003. Vol.10. P.375-380.
13. Brigadnov I.A. Limit analysis method in elastostatics and electrostatics // Math. Meth. Appl. Sci. 2005. Vol.28. P.253-273.
REFERENCES
1. Borshch-Komponiets V.I. Prakticheskaya mekhanika gomykh porod (Practical rock mechanics). Moscow: Nedra, 2013, p.322.
2. Brigadnov I.A. Otsenka nesushchei sposobnosti nelineino uprugikh tel (Estimation of bearing capacity of a nonlinear elastic solids). Izv. RAN. MTT. 2001. N 1, p.6-15.
3. Brigadnov I.A. Dvoistvennyi podkhod k otsenke nesushchei sposobnosti nelineino uprugikh tel (Duality approach to assessing the bearing capacity of a nonlinear elastic solids). Izv. RAN. MTT. 2004. N 2, p.39-46.
4. Klyushnikov V.D. Matematicheskaya teoriya plastichnosti (Mathematical theory of plasticity). Moscow: Izd-vo MGU, 1979, p.208.
5. KufnerA., FuchikS. Nelineinye differentsial'nye uravneniya (Nonlinear differential equations). Moscow: Nauka, 1988, p.304.
6. Lur'e A.I. Nelineinaya teoriya uprugosti (Nonlinear theory of elasticity). Moscow: Nauka, 1980, p.512.
7. Nikolaevskii V.N. Geomekhanika i flyuidodinamika (Geomechanics andfluidodynamics). Moscow: Nedra, 1996, p.447.
8. Pal'mov V.A. Elementy tenzornoi algebry i tenzornogo analiza (Elements of tensor algebra and tensor analysis). St Petersburg: Izd-vo Politekhn. un-ta, 2008, p.109.
9. Pozdeev A.A., Trusov P.V., Nyashin Yu.I. Bol'shie uprugo-plasticheskie deformatsii (Large elastic-plastic deformations). Moscow: Nauka, 1986, p.232.
10. S'yarle F. Matematicheskaya teoriya uprugosti (Mathematical elasticity). Moscow: Mir, 1992, p.472.
11. Ekland I., Temam R. Vypuklyi analiz i variatsionnye zadachi (Convex analysis and variational problems). Moscow: Mir, 1979, p.400.
12. Brigadnov I.A. Duality method in limit analysis problem of non-linear elasticity. Computer Assisted Mech. Eng. Sci. 2003. Vol.10, p.375-380.
13. Brigadnov I.A. Limit analysis method in elastostatics and electrostatics. Math. Meth. Appl. Sci. 2005. Vol.28, p.253-273.
MULTICRITERIA ESTIMATION OF BEARING CAPACITY OF GEOMATERIALS
I.A.BRIGADNOV, Dr. of Physics & Mathematics, Professor, brigadnov@mail.ru Saint-Petersburg Mining University, Russia
In the article the problem of an estimation of bearing capacity of geomaterials as a deform-able solid is considered in the current configuration, which may be as the reference (undeformed) or the actual (deformed). We propose an original variational approach to the problem for stresses in selected subdomains, in which, depending on different engineering considerations, average integral values of different component of stresses are estimated and from their aggregate the bearing capacity of the current configuration of the solid is estimated regarding to given external influences. In each of the selected subdomain the weakest stress field is obtained which is globally balanced with external influences. For example, the assessment of the average integral hydrostatic pressure is needed for study of bearing capacity of geomaterials.
Key words, geomaterial, deformable solid, bearing capacity, variational problem for stresses, stress concentrators, multicriteria estimation.
