CC BY
43
ВЕСТНИК 1/2011
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ В НЕЧЕТКИХ
УСЛОВИЯХ
MULTICRITERIONAL OPTIMIZATION UNDER THE ILLEGIBLE
CONDITIONS
В.П. Игнатов
V.P. Ignatov
ГОУ ВПО МГСУ
В работе рассматриваются общие теоретические основания формирования эффективных проектных решений.
In the work the general theoretical basis of the formation of the effective design solutions are examined.
В области методологии оптимального проектирования строительных объектов и их элементов сделано уже много. В отдельных работах используется неформальная декомпозиция процесса поиска эффективного решения, применяются эвристические критерии эффективности и способы аппроксимации области проектных данных более простыми выпуклыми кривыми, создаются гибкие технологии поиска решений за счет использования разных методов оптимизации, а также реализации диалоговых режимов работы и др. [1,2].
В то же время при формировании эффективных проектных решений еще редко проводится учет стохастичности характеристик материала конструкций, параметров среды, погрешностей строительства, влияния допусков проектных параметров на устойчивость процедур оптимизации и получаемых решений. Практически не рассматриваются вопросы неточности проектной информации, особенно на начальных этапах проектирования, где традиционные строгие методы оптимизационных задач фактически не применимы, а сама задача поиска эффективных альтернатив является некорректной и можно говорить лишь о приемлемом решении [3].
Еще в работе [4] отмечалось, что современная теория и практика решения оптимизационных задач (в том числе и для конструкций) в основном строятся на основе классической постановки. Суть ее "состоит в нахождении в наперед заданной неизменной допустимой области Р точки (или множества точек) р, в которой заданная скалярная функция f(p) принимает экстремальное значение". В этой работе утверждалась также необходимость рассмотрения векторной целевой функции. Обращалось внимание и на то, что допустимая область Р может меняться в процессе оптимизации. И именно, в целенаправленном изменении этой области и заключается основная содержательная сущность процесса оптимизации (в том числе для проектно-конструкторских задач). При этом, так как часть ограничений, задающих допустимую область, могут быть взаимосвязаны, то изменение одних ограничений приводит к изменению других. Управление этим процессом можно осуществлять введением некоторой функции штрафа.
1/2П11 ВЕСТНИК
_угогт_мгсу
В работе также отмечается, что "заблаговременный выбор конечной допустимой области невозможен ввиду того, что последовательность областей Р0 , Р^... может не быть упорядочена по вложению". А "огромная трудоемкость формирования новых ограничений не позволяет выполнить эту работу заблаговременно, поскольку при этом потребовалось бы сделать много лишней работы по изменению несущественных ограничений" [4]. Отмечалось также, что требования, предъявляемые к проектируемой конструкции, а также область допустимых значений критериев обычно уточняются специалистом в процессе решения самой задачи многокритериальной оптимизации. При этом "ясного представления, что считать функциональными ограничениями, а что критериями качества, нет"[4]. К тому же активность этих условий заранее не известна. Из анализа доступных автору программных средств оптимизации можно сделать следующие выводы:
* задачи коррекции и согласования систем противоречивых ограничений в них не рассматривались;
* реализовано много поисковых методов оптимизации, требующих вычисления производных функций целей и ограничений, что при проектировании реальных объектов часто получить невозможно в связи с алгоритмическим характером функций и отсутствием у них производных;
* практически не рассмотрены нечеткие постановки задач оптимального проектирования;
* диалоговые технологии использованы в основном для задания шагов и/или начальной точки поиска, точности решения, критерия останова и т.п.;
* не использованы возможности диалоговых технологий для формирования и исследования влияния системы ограничений на параметры объекта строительного проектирования, а также для оперативного изменения постановок задач оптимального проектирования с целью изучения такого объекта с различных точек зрения.
Обычно не существует допустимого решения, при котором все критерии достигали бы своего экстремального значения, что связано с их конфликтностью. В этом случае часто ищется множество неулучшаемых (Парето-оптимальных) решений. Однако в реальных задачах оптимизации это множество имеет сложную структуру и построение ее в вычислительном аспекте представляет большую проблему. Ее решение виделось в организации диалоговых технологий, когда, на основе опыта и знаний высококвалифицированных специалистов, проектировщик мог бы раскрывать различного рода неопределенности, связанных с множеством ограничений, целями проектирования, и выбором соответствующих методов оптимизации.
Многокритериальная задача оптимизации может рассматриваться в различных постановках и ограничениях. В качестве общих требований для создаваемых программных средств оптимизации, отвечающих реальному процессу выбора рациональных проектных решений с учетом вышесказанного, можно предложить следующие:
* ограничения при решении задачи оптимизации могут быть двух видов: прямыми, т.е. в виде интервальных ограничений на величины конкретных параметров, и функциональными, связывающими между собой несколько параметров;
* границы функциональных ограничений могут задаваться посредством указания интервалов их изменений, что отражает неполноту имеющейся информации;
* функциональные ограничения, могут иметь нечеткий характер, а необходимая степень их выполнения задается или устанавливается в процессе решения задачи оптимизации;
ВЕСТНИК ^/20!!
* отсутствие необходимого объема информации о непротиворечивости функциональных ограничений может быть компенсировано возможностью их исследования, корректировки или исключения части из них;
* проектировщик должен иметь возможность ориентироваться в пространстве критериальных функций.
Реальное проектирование обычно связано с поиском на множестве допустимых альтернатив решения, удовлетворяющего в наибольшей степени выделенному набору свойств (критериям). Если выразить в формализованном виде критерии качества и ограничения, то условия для решения указанной задачи будут иметь вид:
р(х) = (Жх),...,^(х)) [х е D
где х = (хь х2 ,...,хп) - вектор параметров объекта; х е X;
Б(х) - вектор частных критериев Бк(х); к е
Б = {х е Б0I а < ^(х) < bj; ] е 1т-п} - множество допустимых параметров объекта;
Бо = {х |Л1 < х1 < Б1; 1 е 1п};
^(х) - функция проектных параметров; 18 = {1, 2,., 8}.
Здесь множество ограничений разбито на две части: на подмножества прямых и функциональных ограничений.
Учитывая вышеизложенные требования о возможности в реальном проектировании выбора проектных альтернатив в условиях нечеткой информации о целях и ограничениях, для программной реализации возможен следующий подход к решению поставленной задачи, который основан на идеологии Белмана-Заде о симметричности целей и ограничений и состоит в следующем.
Рассматривается нечеткое множество решений X' по ограничениям, характеризуемое функцией принадлежности |д(ф, с, г, 1), и нечеткое множество решений X" по критериям с функцией принадлежности у(х, ю, Р). Здесь ц = л ц2 л ...л цп л ...лц
т
где |Д1 = ц (ф1, с , Г1, 11 ) =
ехр(ф1-г1)с1, если ф1 < г1 ; 1, если г1 < ф1 < 11; ехр(11-ф1)с1, если ф1 > 1 ;
(х1, Л1 , Б1), если 1 < 1< п;
(ф1, Г1, 11 )
I- (^1 (х), а1, Ь1 ), если п < 1 < т; с = (с1,..., с1,..., ст ) - вектор строгости выполнения ограничений и 0< с1 < 1. В функции принадлежности у(х, ю, Р) = у1 лу2 л ...л ум, вектор ю = (ю1, ..., Юм) характеризует строгость достижения системой критериев Б(х) = (Б1(х), ..., Бы(х)) желательных значений, заданных вектором Р = (Р1, ..., Рм), где ' 1, если Fj (х) < Pj ;
Уj = у(x, ю^ pj )
. ехр(-ю^(х)^)), если Fj (х) > Pj
1/2П11 ВЕСТНИК
_угогт_мгсу
На основе вышеуказанного принципа симметрии целей и ограничений можно сформулировать функцию принадлежности компромисса для нечеткого множества Н = X' n X":
h(x,P) = min(|i (ф, c , r, t ), у (x, ю, P )).
Тогда множество Argmax h(x) по всем x е D0 будет являться множеством компромиссных решений сформулированной нечеткой задачи многокритериальной оптимизации. Таким образом, сформулированная задача многокритериальной оптимизации в нечетких условиях сводится к задаче безусловной глобальной оптимизации. Для ее решения можно использовать известные методы безусловной оптимизации в четких условиях.
При реализации указанной постановки возникают три задачи.
1. Сформированную проектировщиком систему ограничений необходимо оценить на совместность. При отрицательном результате провести ее коррекцию с целью достижения совместности при условии задания специалистом степени (строгости) выполнения каждого ограничения.
2. Если задан вектор критериев F(x) = (Fl(x), ..., FN(x)), то необходимо найти такой вектор параметров х* = (х1*,..., xn*), который удовлетворял бы системе ограничений, а доставляемые им значения вектору критериев были бы приемлемы для специалиста (ЛПР).
3. Среди приемлемых решений найти приемлемое Парето-оптимальное решение.
Решение первой задачи возможно за счет изменения строгости выполнения ограничений или исключения части из них. Признаком решения задачи является достижение значения |i(^(x*), с, r, t) = 1, где
x* = argmax |i(^(x), с, r, t) = argmax (min |i (^i(x), ci, ri, ti)) по всем x e Rn и n < i < m.
Если указанное значение < 1, то система ограничений несовместна. В этом случае можно выполнить следующие подстановки:
a/ = min (aj , ^j(x*)) и Ъ/ = max (bj , ^j(x*)).
Тогда система aj'< jx) < bj', n < j < m будет заведомо совместной, а ограничиваемая ею область - содержать хотя бы одну точку х*.
Решение второй задачи находится путем поиска x* = argmax h(x, P) по всем x е Rn. Если h(x*, P) = 1, то x* является приемлемым решением при заданном векторе Р = (Р1, ..., PN), в противном случае такого решения нет.
Поиск решения третьей задачи осуществляется в условиях совместности системы ограничений и существования приемлемого решения х* при заданном векторе Р желательных значений компонент вектора критериев F(x). Если не существует такого решения х', удовлетворяющего системе ограничений, что Fi(x') < (Fi(x*) - Ei ; i = 1,..., N,
где Б; - точность значений полученных критериев, то приемлемое решение х* является Парето-оптимальным решением.
Необходимо отметить, что все три задачи сводятся к решению безусловной глобальной оптимизации в четких условиях.
Для решения задачи безусловной глобальной оптимизации в ПМК "ДИСМОК" были использованы метод сопряженных направлений Пауэла и метод случайного поиска с памятью [5].
Следует также отметить, что, задавая для разных ограничений различную строгость их выполнения, мы влияем на направление поиска искомой точки внутри облас-
ВЕСТНИК 1/2011
ти ограничений. Это обстоятельство можно использовать при исследовании задачи оптимального проектирования.
Литература.
1. Герасимов В.М., Почтман Ю.М., Скалозуб В.В. Многокритериальная оптимизация конструкций. -Киев.: «Вища школа», 1985.
2. Дубов Ю.А., Травкин С.И., Якимец В.Н. Многокритериальные модели формирования и выбора вариантов систем. -М.: «Наука», 1986.
3. Игнатов В.П. Методологические аспекты оптимального проектирования сложных конструкций. Тезисы докл. 2-й Всесоюзной школы-семинара «Актуальные проблемы оптимизации конструкций». НС по КП «Кибернетика», ЦНИИСК, Суздаль-Владимир, 1990, -с.39.
4. Глушков В.М. О системной оптимизации. -Киев.: «Кибернетика»,1980, № 5, -с. 89-90.
5. Диалоговая система многокритериальной оптимизации конструкций (ДИСМОК). Авторы: Игнатов В.П., Карибов О.А., Котанов B.C. -М.: ЦНИИпроект, МОФАП, вып. 1-315-1, 1986, -с.65.
The literature
1. Gerasimjv V.M., Pochtman U.M., Skalozub V.V. Multicriterional optimization of constructions. -Kiev.: "Vishchay school", 1985.
2. Dubov U.A., Travkin S.I., Yakimets V.N. Multicriterional models of formation and selection of the versions of systems. - M.: "Science", 1986.
3. Ignatov V.P. Methodological aspects of the optimum design of complex constructions. Theses of report. 2-1 All-Union of school-seminar "Vital problems of the optimization of constructions". TSNIISK, Suzdal- Vladimir, 1990, p.39.
4. Glushkov V.M. On the system optimization. - Kiev.: "Cybernetics", 1980, № 5, p. 89-90.
5. The interactive system of the multicriterional optimization of constructions (DISMOK). Authors: Ignatov V.P., Karibov O.A., Kotanov V.S. - M.: TsNIIproek], MOFAP, iss. 1-315-1, 1986, p.65.
Ключевые слова: проект, моделирование, математические модели, проектирование, иерархия, нечеткие множества.
Keywords: project, simulation, mathematical models, design, hierarchy, fuzzy sets. Рецензент: M.C. Вайнштейн доктор технических наук профессор ОАО Моспроект
