Многокритериальная оптимизация теплового состояния непрерывнолитой заготовки Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 681.142.2

О. С. Логунова, П. П. Макарычев МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ТЕПЛОВОГО СОСТОЯНИЯ НЕПРЕРЫВНОЛИТОЙ ЗАГОТОВКИ

Аннотация. Рассматривается методика постановки и решения многокритериальной задачи оптимизации режимов равномерного охлаждения заготовки, получаемой методом непрерывного литья, в зоне вторичного охлаждения. Ключевые слова: многокритериальная оптимизация, тепловое состояние, литая заготовка, процесс охлаждения, сталь.

Abstract. The technique of setting up and solving problem of multicriteria optimization of uniform cooling of the billet obtained by the method of continuous casting in the zone of secondary cooling is considered.

Keywords: multicriteria optimization, thermal state, cast billet, cooling process, steel.

При охлаждении заготовки в ней формируются внутренние дефекты, развитие которых во многом определяется ее тепловым состоянием в зонах вторичного охлаждения. Исследование процессов затвердевания заготовки в промышленных условиях связано с высокими материальными и трудовыми затратами, а в ряде случаев, таких как прямое измерение температуры поверхности заготовки, и со сложностями проведения экспериментов. Поэтому наиболее рациональным является исследование теплового состояния заготовки методами математического моделирования и многокритериальной оптимизации [1, 2].

Постановку задачи многокритериальной оптимизации теплового состояния заготовки в процессе литья можно условно разделить на три этапа. Первый этап связан с построением математической модели теплового состояния заготовки в виде уравнения теплопроводности в пространственновременных координатах с начальными и граничными условиями. На втором этапе определяется набор критериев и ограничений, выполнение которых позволяет обеспечить оптимальное температурное поле заготовки в соответствии с условиями поставленной задачи. Третий этап связан с заданием отношения порядка на множестве критериев в соответствии с предпочтениями потребителя или производителя.

Решение задачи многокритериальной оптимизации можно осуществить неградиентным методом случайного поиска, который практически не имеет ограничений на вид и свойства исследуемых зависимостей. Применение этого метода требует предварительного выполнения ряда шагов, которые также можно отнести к постановке задачи: преобразование записи ограничений и критериев к виду функций потерь, определение вида функции для управляющих параметров и многогранника допустимых решений, построение схемы и условий переходов по зонам технологической линии.

Предположим, что требуется определить оптимальные режимы охлаждения заготовки, получаемой методом непрерывного литья. Режимы должны обеспечивать получение равномерного падения температуры заготовки по ее сечению, максимально возможную среднемассовую температуру по объему и в поверхностном слое при поддержании постоянной скорости вытягивания

в ходе разливки и при ограничении на диапазоны по баллу развития внутренних дефектов.

На первом этапе модель теплового состояния заготовки строится в виде дифференциального уравнения с частными производными по независимым переменным х, у, х:

с/ (Т )р,- (т)

дГ; (х,у,х) _ д

(

дх

дх

дТі (х,У,х)

Л

дх

(

Л-------

ду

*■! (Т, )

дті (х,У,х) ду

Л

. (1)

Требуется найти решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным и граничным условиям. Начальные условия задаются в виде известной функции, описывающей распределение температур по сечению заготовки после выхода ее из кристаллизатора:

Т1 (х, ^0 ) = /1 (х, У).

Система граничных условий третьего рода, соответствующая четырем граням заготовки, с учетом несимметричности охлаждения имеет вид

дТі

дх

дТі

дх

дТі

а

х_—

2

а

х_— 2

ду

дТ1

ду

у _-

_ «1 (х) _«2 (х) _ «3 (х) _ а4 (х)

Ті [ 2, у, х) - иі (х)

т (-а, у, х)-и 2 (х) Ті (х' 2х)- из (х)

Т1І х,-^х I - и4 (х)

(2)

При записи выражений (1), (2) использованы следующие обозначения: рг- - плотность рассматриваемой фазы, кг/м3 ; Т(х, у, х) - температура расплава в данной точке, °С; х - время, с; а, Ь - ширина и толщина заготовки, м; X - коэффициент теплопроводности, Вт/м -°С; с - теплоемкость рассматриваемой фазы, Дж/кг -°С ; аг- (х) - суммарные коэффициенты теплообмена

с внешней средой, Вт/м2 • °С ; иг- (х) - температура окружающей среды в текущий момент времени, °С; / - индекс, определяющий номер фазы состояния заготовки. Для фазы твердой / = 1, жидкой / = 2 и двухфазной зоны i = 3 .

На втором этапе определяется набор критериев и ограничений. Возникающие в поперечном сечении заготовки и оказывающие непосредственное влияние на нарушение однородности (сплошности) заготовки градиенты температур не должны превышать критических значений:

АТ(х, у, х) ^ АТКр ;

Ах

Ах

ь

ь

2

АТ(х, у, т) < АГкр

Ау < Ау ,

где А?Кр - критические значения перепада температур по сечению заготовки

в направлении осей координат. Рекомендации по определению величины перепада представлены в работе [2].

Функции цели, определяющие среднюю температуру по объему и в поверхностных слоях заготовки, задаются в следующем виде:

ЖT (x, У, т) dV V

Il = —-----------------------> max ;

Uт {і f у т) ds

т S v 2 J

12 = —--------------------> max;

2 Sj •

|f T [ x, ± г J dS2

J S2

13 = —--------------------> max,

3 S'2

где V - объем заготовки на ее металлургической длине, м3; S1 и S2 - площади поверхности соответственно узкой и широкой граней заготовки, м2.

Вытягивание заготовки из кристаллизатора выполняется с постоянной скоростью v(т) = const. Функции, определяющие качество заготовки при непрерывном литье, имеют вид

Ik = Ik (i (т), V, [C ], [ S ], [ Р],...)^ min, к = 4,5,6,...,

где [C], [S], [Р] - процентное содержание углерода, серы, фосфора и других

химических элементов в стали, перечень которых может быть увеличен или сокращен в зависимости от рассматриваемой марки стали и сечения заготовки, %. Оценка параметров качества заготовки производится с использованием шкал, соответствующих шкалам ОСТ 14-11-73, или соотношения

Р (x, у ) = - ^ D (x, y), (3)

n . 1 I =1

где D(x, у) - бинарная функция для отметки «дефектной» точки на изображении, имеющая вид

D (x, у) = j1'Fi{x’У)> 1 ^ а' (4)

[0, для остальных случаев;

Р( x, у) - вероятность наличия дефекта в данной точке по эмпирическим данным [3, 4]; n - число исследуемых образцов.

На третьем этапе решения задачи на классе выбранных критериев и ограничений можно задать бинарное отношение предпочтения в зависимости от требований производства (заказчика). Например, объем выпуска важнее качества и т.д.

Сформулированная задача решена неградиентным методом случайного поиска. В качестве управляющего параметра выбрана кусочная функция для значений коэффициента теплоотдачи с поверхности заготовки со стороны большого и малого радиуса машины непрерывного литья заготовок (МНЛЗ) и для узкой грани заготовки в виде

(

\

а

(г) = а1 (т<Х1 ) + £ а -г,- <т<тг. ) + а х>^ г

I=2

I

V г =1

(

\

а

(г)=аМ-г1 (г<г )+£аМ (-1 <г<г)+аМ Т>Ег

М

М

г >

V г=1

( 8 >

а

УI

(г) = аУ-г1 (г<г)++Е аУ-г (-1 <г<г)+ аУ г>Е г

У

г =1

(5)

где а, - коэффициент теплоотдачи в ,-й зоне водяного и воздушного охлаждения МНЛЗ; г, - фиктивная переменная, определяющая наличие и подключение зоны охлаждения в выбранном режиме: г, = 1 при наличии зоны и г, = 0 при ее отсутствии; г - текущее время рассмотрения; г, - время прохождения заготовкой ,-й зоны вторичного охлаждения; а9 - коэффициент теплоотдачи

с поверхности заготовки в зоне воздушного охлаждения; ^ г, - время нахо-

,-1

ждения заготовки в зоне охлаждения. Количество зон охлаждения определяется конструкцией МНЛЗ. Согласно технологической инструкции в машине для отливки заготовок прямоугольного сечения предусмотрено восемь зон, в сортовой машине только четыре.

Многогранники допустимых значений для коэффициентов теплоотдачи (5) задаются по априорным данным, полученным в условиях ОАО «Магнитогорский металлургический комбинат» (рис. 1). При этом функции потерь имеют вид

Ш1П

0<г<п 0< Д <п

\Т1+1,Д Т1, Д

Ах

, при Ш1П

0<г<п 0< Д <п

Т+1,Д т,, Д

Ах

> АТ

тр?

0, при шах

0<г<п 0< Д <п

Т+1, Д Т1, Д

Ах

(6)

<АТ

тр

где Ткд - значение температуры заготовки в узлах пространственно-временной сетки разбиения при численном решении уравнения (1); АТтр - требуе-

мое значение температуры, определенное экспериментально, при котором существует наименьшая угроза нарушения однородности заготовки и, в частности, из-за образования внутренних трещин, перпендикулярных широкой грани заготовки; п - количество отрезков разбиения;

12 -

Ткон п п Ткон п п

і ллтк - Ттр , при І ЛІТІ! - Ттр > Ткр

к-0 ]-0 і-0 к-0 ]-0 і-0

0, при

Ткон п п

ЛЛЛТк - ттр

к-0 ]-0 і-0

< Т

кр ’

(7)

13 -

Ткон п Ткон п

м м і 0 - тр 43 , при м м і 0 - тр 43 > Ткр

к-0 і-0 к-0 і-0

0, при

Ткон п

ЦТк0 -Т

к-0 і-0

тр

< Т

кр

(8)

ЇА -

Ткон п Ткон п

ЛЛтк - тТр , при ЛІТ* - Ттр > Ткр

к-0 і-0 к-0 і-0

0, при

Ткон п

ІІТк -Ттр

к-0 і-0

< Т

кр

(9)

где Трр - требуемое значение среднемассовой температуры заготовки после прохождения всех зон вторичного охлаждения, °С; Ткр - критическое отклонение среднемассовой температуры, определяющее перегрев или переохлаждение заготовки, °С; ткон - продолжительность нахождения заготовки в зонах вторичного охлаждения, с.

Границы диапазона возможных значений скорости вытягивания от 0,4 до 1,3 м/мин. Значения (8) или (9) используются для определения качества получившейся заготовки. Таким образом, постановка задачи многокритериальной оптимизации теплового состояния непрерывнолитой заготовки определена следующим образом:

1) множество возможных решений уравнения (1) при условиях (2), (3) и

(4), (6);

2) функции потерь определяются в соответствии с выражениями (6), (9);

3) приоритет выбранных критериев оптимизации в виде второго бинарного отношения.

Для решения задачи многокритериальной оптимизации теплового состояния заготовки предлагается блочная схема (алгоритм), которая приведена на рис. 2.

Каждый блок схемы соответствует зоне вторичного охлаждения, принятой для выбранной конструкции машины непрерывного литья заготовок и представляет собой структуру, приведенную на рис. 3.

1200

1000

<й

£

о

о

5

к

го

800

600

400

200

<я

н

о

о

1400

1200

1000

800

еъ

о

*

о

§

к

го

600

400

200

1000

250

600 600

200

200

«о 400

200

200

350

100

300

50

200

50

100

20

I II III IV V VI VII VIII Воздушное Номер зоны вторичного охлаждения

а)

1200

400

800

300

700

20

500

20

400

400

20

20

ТЯГ

20

250

20

100

20

° I II 1 III 1 IV 1 V VI VII ?ш Воздушное

Номер зоны вторичного охлаждения

—Максимальное значение Минимальное значение

б)

Рис. 1 Многогранники допустимых значений для коэффициента теплоотдачи с поверхности заготовки: а - со стороны большого и малого радиуса машины непрерывного литья заготовок; б - со стороны узкой грани заготовки

Рис. 2 Схема решения задачи многокритериальной оптимизации

Рис. 3 Схема блока оптимизации неградиентным методом Заключение

Разработанная авторами методика постановки задачи многокритериальной оптимизации теплового состояния заготовки в процессе непрерывного литья методом математического программирования отличается от ранее известных подходов гибкостью, универсальностью и общностью расширения списка критериев и ограничений.

Предложено модульное построение и использование блоков оптимизации, которое делает возможным организовать поддержку решения многокритериальных задач выбора оптимального варианта инструментальными программными средствами. Обосновано применение методики постановки и решения задачи оптимизации в случае равномерного охлаждения заготовки при ее нахождении в зонах вторичного охлаждения.

Список литературы

1. Логунова, О. С. Математическое моделирование макроскопических параметров затвердевания непрерывных слитков / О. С. Логунова, Д. Х. Девятов, И. М. Ячиков, А. А. Кирпичев // Известия вузов. Черная металлургия. - 1997. -№ 2. - С. 49-52.

2. Темлянцев, М. В. Исследование разрушения заготовок из конструкционных рессорно-пружинных сталей с катаной и литой структурой при комбинированных тепловых обработках / М. В. Темлянцев, В. С. Стариков // Известия вузов. Черная металлургия. - 2003. - № 4. - С. 56-58.

3. Логунова, О. С. Оценка качества непрерывнолитой заготовки статистическими методами с использованием программных средств / О. С. Логунова, Д. Х. Девя-тов, Х. Х. Нуров // Известия вузов. Черная металлургия. - 2005. - № 9. - С. 54-58.

4. Логунова, О. С. Стохастическая модель качества непрерывнолитой заготовки / О. С. Логунова // Сталь. - 2005. - № 12. - С. 21-23.

Логунова Оксана Сергеевна кандидат технических наук, доцент, кафедра вычислительной техники и прикладной математики, Магнитогорский государственный технический университет им. Г. И. Носова

E-mail: [email protected]

Макарычев Петр Петрович

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой математического обеспечения и применения электронных вычислительных систем, Пензенский государственный университет

E-mail: [email protected]

Logunova Oksana Sergeevna Candidate of technical sciences, associate professor, sub-department of computer science and applied mathematics, Magnitogorsk State Technical University of a name G. I. Nosova

Makarichev Petr Petrovich Doctor of technical sciences, professor, head of sub-department of mathematical support and application of computer systems, Penza State University

УДК 681.142.2 Логунова, О. С.

Многокритериальная оптимизация теплового состояния непрерывнолитой заготовки / О. С. Логунова, П. П. Макарычев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2009. -№ 2 (10). - С. 193-200.