CC BY
105
3. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. -М.: Высшая школа, 1988. - 448 с.
4. Клих Ю. А., Антощук С. Г., Николенко А. А. Адаптивные базисные функции вейвлетного преобразования // Труды Одес. политехн. ун-та. - Одесса, 2004. -Вып. 2(22). - С. 121-125.
Надшшла 7.02.05 Шсля доробки 26.09.05
У статт1 представлено та математично обгрунто-вано метод пошуку екстремум1в в умовах завад з ви-ко-ристанням ?Апербол1чного вейвлет-перетворення, що доз-
воляв nideuw,umu 3aeadocmiuKicmb i 3nu3umu nymnueicmb do AOKaAbnux eKcmpeM.yM.ie.
At the article the extremum searching method under hindranced conditions of using hyperbolic wavelet transform is presented and mathematically substantiated, that allowing to increase noise-immunity and reducing sensitivity to local extremums.
УДК 519.816:004.942
В. И. Дубровин, Н. А. Миронова, В. А. Конопля
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ
Проведено исследование метода анализа иерархий. Рассмотрено применение данного метода для задач группового принятия решений. Решена задача многокритериальной оптимизации технологического процесса с использованием метода анализа иерархий.
ВВЕДЕНИЕ
Деятельность руководителя крупной компании связана с необходимостью постоянно принимать решения различной сложности с учетом большого количества экономических, социальных, политических, юридических и моральных факторов [1], что приводит к постановке задачи многокритериальной оптимизации с привлечением экспертов (специалистов в различных областях знаний) или лиц, принимающих решение (ЛПР). Для повышения степени объективности и качества процедуры принятия решений целесообразно учитывать мнения группы экспертов [2-6]. При этом обоснованный вывод можно получить при помощи методов принятия групповых решений.
При использовании в процессе принятия решений субъективной информации, представленной в виде количественных или качественных оценок, возникают условия неопределенности. Причинами возникновения неопределенности являются: неполнота знаний ЛПР о свойствах объектов, недостаточная степень уверенности ЛПР в правильности экспертных оценок, противоречивость знаний, нечеткость представления информации [7]. Поэтому для реализации задачи принятия решений в условиях неопределенности необходимо обеспечивать сравнение факторов, не имеющих количественных характеристик, либо совместно сравнивать количественные и качественные характеристики. В ка© Дубровин В. И. , Миронова Н. А., Конопля В. А., 2005
честве инструмента для решения таких задач могут применяться эвристические методы [1, 8-9], методы на основе экспертных оценок [10], а также метод анализа иерархий (МАИ) [2-6].
МАИ [2] позволяет группе людей взаимодействовать по интересующей их проблеме, модифицировать свои суждения и в результате объединять групповые суждения в соответствии с основным критерием: при проведении попарных сравнений объектов по отношению к некоторой характеристике, или характеристик по отношению к главной цели. Обратные связи обеспечивают ключ к объединению групповых суждений рациональным образом.
МЕТОД АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ
При принятии управленческих решений и прогнозировании возможных результатов ЛПР обычно сталкивается со сложной системой взаимозависимых компонент (ресурсы, желаемые исходы или цели), которую нужно проанализировать. МАИ (Analytic Hierarchy Process), предложенный Т. Л. Саати [2-6], сводит исследование сложных систем к последовательности попарных сравнений их отдельных составляющих. Метод отличается простотой и дает хорошее соответствие интуитивным представлениям решения проблемы. МАИ предусматривает следующие этапы: построение иерархии, формирование матрицы попарных сравнений (МПС), получение вектора приоритетов, оценка степени согласованности МПС, анализ чувствительности альтернатив.
Этап 1. Построение иерархии.
На данном этапе исследователь представляет струк-
туру сложного объекта (процесса, системы) в виде иерархической модели, которая позволяет структурировать всю имеющуюся информацию по проблеме в графическом виде, а также разделить ее на составные ком-поненты и анализировать их по отдельности. Для этого экспертом строится иерархия, начиная с вершины (цель решаемой задачи), через промежуточные уровни (критерии, по которым сравниваются элементы последующих уровней иерархии) к самому нижнему уровню (перечню альтернатив). Иерархия - некоторая абстракция структуры системы, предназначенной для изучения функциональных взаимодействий ее компонент и их воздействий на систему в целом. Наиболее распространенным и простым видом иерархии является холлархия - иерархия, в которой разрешены связи «многие ко многим». В качестве характеристики степени достижения цели применяют критерии - это категории, которые ЛПР использует для оценки различных альтернатив, где альтернативы - каждое возможное решение задачи; все решения являются взаимоисключающими и рассматриваются в процессе анализа.
Этап 2. Формирование матрицы попарных сравнений.
Сравнение элементов иерархии осуществляется методом попарных сравнений [1], сущность которого состоит в том, что путем сравнений в общем случае каждого объекта со всеми другими из данного множества определяются элементы матрицы А размерности п х п, где элемент ац есть соответствующее действительное чис-ло, которое определяет результат сравнения объекта г с объектом ] относительно некоторого их общего критерия
А =
а11 а12 а1п а21 а22 а2п
ап1 ап2 апп
(1)
Результаты сравнений объектов по качественным кри-териям выражают в так называемой фундаментальной шкале отношений (табл. 1).
Правомочность этой шкалы доказана теоретически в работе [2] при сравнении со многими другими шкалами.
Можно выделить следующие свойства МПС:
- все элементы матрицы А положительны: -¿ц > 0 для всех г,] = 1,..., п;
- элементы матрицы А являются обратносим-
метричными: а
1
]1
для всех г,] = 1,..., п;
- диагональные элементы агг должны быть равны единице, так как они выражают оценку критерия относительно самих себя;
если суждение совершенно при всех сравнениях,
то должно выполняться следующее условие агк
= -И
агк'
для всех г,],к, тогда матрица является согласованной. Следовательно, матрица (1) имеет вид
А=
'12
.а
1п
1/а
12
1 ...а
2п
1 /ап1 1/ап2 -1
(2)
Второй этап проводится для всех уровней иерархии. В результате получаем МПС критериев одного уровня иерархии между собой, критериев нижнего уровня иерархии относительно критериев высшего уровня иерархии и альтернатив относительно критериев. Этап 3. Получение вектора приоритетов.
т
Пусть Ж = (Ж!,Ж2,.,жп) - локальный вектор приоритетов, основным свойство которого является то,
п
что I = 1 (сумма компонент вектора равна 1).
г = 1
Для каждой из полученных матриц формируют локальный вектор приоритетов Ж, который можно вычислить с использованием теории матриц [1] и методами приближенной оценки [2].
Существует четыре способа получения приближенной оценки локального вектора приоритетов:
1) суммировать элементы каждой строки и нормализовать делением суммы на сумму всех элементов; сумма полученных результатов будет равна единице. Первый элемент результирующего вектора будет приоритетом первого объекта, второй - второго объекта и т. д.:
Ж =
Ц = 1
I I
(3)
1 ц = 1
2) суммировать элементы каждого столбца и получить обратные величины этих сумм. Нормализовать их так, чтобы их сумма равнялась единице, разделить каждую обратную величину на сумму всех обратных величин:
Ягц = Ь
г]'
г = 1
Ж = V I Sг],
г = 1
где Si] - промежуточная переменная;
1
а
Таблица 1 - Фундаментальная шкала отношений (степени значимости)
Степень значимости Определение Объяснение
1 одинаковая значимость альтернативы имеют одинаковый ранг по данным критериям
3 слабая значимость существуют соображения в пользу предпочтения одной из альтернатив, однако эти соображения недостаточно убедительны
5 существенная или сильная значимость имеются надежные данные или логические суждения для того, чтобы показать предпочтительность одной из альтернатив
7 очевидная или очень сильная значимость существует убедительное доказательство в пользу одной альтернативы перед другой
9 абсолютная значимость свидетельства в пользу предпочтения одной альтернативы другой в высшей степени убедительны
2,4,6,8 промежуточные значения используются в ситуациях, когда необходимо компромиссное решение
обратные величины если альтернативе г при сравнении с альтернативой ] приписывается одно из определенных выше чисел, то альтернативе ] при сравнении с альтернативой г приписывается обратное значение используются в ситуациях, когда согласованность была постулирована при получении N числовых значений для образования матрицы
3) разделить элементы каждого столбца на сумму элементов этого столбца (нормализовать столбец), затем сложить элементы каждой полученной строки и разделить эту сумму на число элементов строки (процесс усреднения по нормализованным столбцам)
= а„-/ I ац
г] г]
г = 1
Ж = I Sг] ]
]=1
(5)
4) умножить п элементов каждой строки и извлечь корень п-й степени; нормализовать полученные элементы
Sг] = п|П аг],
Ж = ^^гЦ /I Sгj. г = 1
(6)
Наиболее математически обоснованным является метод собственного вектора [1], состоящий в следующем. Уравнение
\АШ -= 0
(7)
называется характеристическим уравнением матрицы А (где X - характеристическое число или собственное значение матрицы А ).
Уравнению (7) соответствует система линейных однородных уравнений
(а 11 - Х)»1 + а^^ + .+-1пжп = 0,
а21®1 + (а22 - Х)Ш2 + . + а2пШп = 0, ап1Ш1 + а22Ш2 + . + (апп~К)тп = 0.
(8)
Необходимым и достаточным условием существования нетривиального решения этой системы уравнений, для которого Зг = (1, п)[Шг^ ф 0], является равенство нулю детерминанта этой системы (только при выполнении этого условия система имеет бесконечное множество решений, среди которых обязательно есть нетривиальное). Записав выражение детерминанта этой системы и приравняв его нулю, получим уравнение п -й степени относительно X, которое имеет п корней (не обязательно различных и отличных от нуля). Значения этих корней называются характеристическими числами или собственными значениями матрицы А. Каждому характеристическому числу соответствует своя система линейных уравнений, которую можно получить, подставив в (8) соответствующее характеристическое число. Решение полученной системы относительно шг1 определяется с точностью до скалярного множителя, которое и является собственным вектором матрицы сравнений. В [2] предлагается в качестве ло-
кального вектора приоритетов использовать компоненты собственного вектора, соответствующего максимальному характеристическому числу ^тах.
Далее проводится иерархический синтез [11] для взвешивания собственных векторов весами критериев и вычисляется сумма по всем соответствующим взвешенным компонентам собственных векторов уровня иерархии, лежащего ниже. Для определения вектора глобальных приоритетов ОШ = (Т^,..., Шп) в матрице локальные приоритеты, присущие каждой альтернативе, умножаются на приоритет соответствующего критерия и результат суммируется. Затем соответствующие значения глобального приоритета каждой альтернативы сравниваются между собой. Относительно выгодная альтернатива имеет самое высокое значение глобального приоритета.
Этап 4. Оценка степени согласованности МПС.
На каждом уровне иерархии необходимо проверять согласованность МПС. Для оценки согласованности суждений исследователя необходимо использовать отклонение величины максимального собственного значения ^тах от порядка матрицы попарных сравнений п. Значение ^тах можно вычислить приближенным методом [11]. Для этого сначала суммируется каждый столбец МПС, затем сумма первого столбца умножается на первую компоненту вектора приоритетов, сумма второго - на вторую компоненту и т. д. Значение ^тах будет равно сумме полученных чисел:
Допустимыми считаются значения СК < 0, 10. Если для МПС отношение согласованности СК > 0, 10, то это свидетельствует о существенном нарушении логичности суждений, допущенном экспертом при заполнении матрицы, поэтому эксперту предлагается пересмотреть данные, использованные для построения матрицы, чтобы улучшить согласованность.
Далее оценивается согласованность всей иерархии с помощью суммирования показателей однородности всех уровней, приведенных путем «взвешивания» к первому иерархическому уровню, где находится корневая вершина - цель. Число шагов алгоритма по вычислению согласованности определяется конкретной иерархией. Отношение согласованности для всей иерархии определяется по формуле (11).
Этап 5. Анализ чувствительности альтернатив.
Средства анализа чувствительности предоставляют возможность тестировать результат решений от изменения входных данных [11].
ПРИМЕНЕНИЕ МАИ ДЛЯ УЧЕТА МНЕНИЯ ЧЛЕНОВ ГРУППЫ ЛПР
Для повышения степени объективности и качества процедуры принятия решений целесообразно учитывать мнения группы экспертов [2-3]. Для нахождения единого группового мнения вычисляют среднегеометрическое оценок участников процесса принятия групповых решений%:
( n \
"max" £ Wj Z aj
j = 11 i = 1 /
(9)
Согласованность суждений оценивается индексом согласованности (consistency index - CI) или отношением согласованности (consistency ratio - CR) в соответствии со следующими выражениями:
CI =
(^max-n)
n - 1 ,
(10)
A
9ij
= Й
2 k aijaij---aij
где д^ - агрегированная групповая оценка, принадлежащая г-й строке и / -му столбцу МПС; к - число МПС, каждая из которых составлена одним экспертом.
Агрегацию суждений участников можно осуществить также с помощью собственных векторов матриц парных сравнений. При этом результаты будут эквивалентны тем, которые получены на уровне элементов матриц, если однородность составленных матриц достаточна и удовлетворяет условию СИ < 0, 10.
CI =
CI
М( CI)'
(11)
где М( С1) - математическое ожидание С1 случайным образом составленной МПС в фундаментальной шкале, значение которого приведено в табл. 2.
Таблица 2 - Значения математического ожидания С1 случайным образом составленной МПС
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
M (CI) 0 0 0,58 0,90 1,12 1,24 1,32 1,41 1,45 1,49
ВЫБОР ОПТИМАЛЬНОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО МАРШРУТА ПРОИЗВОДСТВА ИЗДЕЛИЙ
На отечественных предприятиях опыт составления технологического маршрута производства изделий хранится в бумажном архиве или в виде знаний экспертов (технологов). На основе анализа этапов производства изделий (пресс-форм и штампов) в ХРП «Завод инструментального производства» был выделен следующий набор критериев: фонд времени (К\), затраты электроэнергии (К2), технические ограничения производства ( К3 ), степень сложности процесса изготовления изде-
лия (K4), себестоимость технологического процесса (K5). Целью (Goal) является выбор оптимальной технологической карты маршрута производства пресс-форм и штампов. В данном случае альтернативы - соответствующие технологические карты процесса изготовления изделий (Р1,Р2,Рз,Р4). Иерархия представлена на рис. 1.
Построение МПС критериев одного уровня иерархии между собой и альтернатив относительно критериев осуществляется экспертами. Результаты сравнения объектов представлены в табл. 3-9. Для всех МПС определяем приближенную оценку локального вектора приоритетов W по первому способу (3), максимальное собственное значение Xmax (9), индекс согласованности CI (10), отношение согласованности CR (11).
Рисунок 1 - Иерархия выбора оптимального технологического маршрута производства изделий
Таблица 3 - МПС критериев одного уровня иерархии между собой
Критерии K1 K2 K3 K4 K5 Оценки W
K1 1 3 1/3 1/6 1/5 0,090
K2 1/3 1 1/6 1/7 1/9 0,034
K3 3 6 1 1/3 1/5 0,144
K4 6 7 3 1 1/3 0,331
K5 5 9 5 3 1 0,401
W = (0,09;0,034;0,144;0,331;0,401)T
^max = 5 245
CI = 0, 06 CR=0,05
Таблица 4 - МПС альтернатив относительно критерия K
Критерии K1 P1 P2 P3 P4 Оценки W
P1 1 3 7 5 0,623
P2 1/3 1 1 1 0,130
P3 1/7 1 1 1 0,122
P4 1/5 1 1 1 0,125
Таблица 5 - МПС альтернатив относительно критерия K2
Критерии K2 P1 P2 P3 P4 Оценки W
P1 1 1 1 1/8 0,113
P2 1 1 1 1/6 0,115
P3 1 1 1 1/3 0,121
P4 8 6 3 1 0,652
W = (0, 623 ;0,130;0,122;0,125)T
^max = 4 045 CI = 0, 015 CR = 0, 016
W = (0,113;0,115;0,121;0,562)T
^max = 4 06 CI = 0, 02 CR = 0, 022
Таблица 6 - МПС альтернатив относительно критерия К3
Критерии К3 Р1 Р2 Р3 Р4 Оценки Ш
Л 1 1/5 1/7 1/3 0,055
Р 2 2 5 1 1 3 0,331
р3 7 1 1 5 0,463
Р4 3 1/3 1/5 1 0,150
Таблица 7 - МПС альтернатив относительно критерия К4
Таблица 8 - МПС альтернатив относительно критерия К5
Критерии К4 Р1 Р2 Р3 Р4 Оценки Ш
Р1 1 1/7 1/6 1/2 0,067
Р2 7 1 1 1 0,368
р3 6 1 1 3 0,405
Р4 2 1 1/3 1 0,160
Критерии К5 Р1 Р2 Р3 Р4 Оценки Ш
Р1 1 2 5 8 0,495
Р2 1/2 1 3 7 0,356
р3 1/5 1/3 1 1 0,078
Р4 1/8 1/7 1 1 0,070
Ш = (0,055;0,331;0,463;0,150)7
^тах = 4 210 С1 = 0, 071 СИ = 0, 079
Ш = (0, 067;0,368;0,405;0,160)7 Хтах = 4 120 С1 = 0, 039 СИ = 0, 043
Ш = (0, 623;0,130;0,122;0,125)7 Хтах = 4 120 С1 = 0, 040 СИ = 0, 044
Таблица 9 - Определение глобальных приоритетов
Далее вычисляем приближенную оценку глобального вектора приоритетов ОШ = (0, 289;0, 328; 0,247; 7
0,136) , индекс согласованности иерархии С1=0,041, отношение согласованности СИ = 0, 046. Отношение согласованности СИ < 1, что позволяет сделать вывод о согласованности суждений экспертов при заполнении МПС для всей иерархии.
Для определения выгодной альтернативы находим наибольшее значение компоненты вектора глобального приоритета в табл. 9. Для приведенного примера наилучшей альтернативой является выбор технологической карты маршрута производства изделия Р2 (значение компоненты вектора глобального приоритета равное 0,328).
ВЫВОДЫ
Принцип иерархизации, положенный в основу метода анализа иерархий, предполагает последовательную декомпозицию множества целей с ростом степени детализации к нижним уровням. Построение иерархий хорошо согласуется с принципами системного подхода к анализу задачи и может оказать существенную помощь в процессе формирования и формализации предпочтений ЛПР. Одним из главных достоинств метода анализа иерархий является то, что веса критериев и оценки по субъективным критериям назначаются не прямым
Альтернативы Критерии Вектор глобальных приоритетов
К1 К2 К3 К4 К5
0,090 0,034 0,144 0,331 0,401
Р1 0,623 0,113 0,055 0,067 0,495 0,289
Р2 0,130 0,115 0,331 0,368 0,356 0,328
Р3 0,122 0,121 0,463 0,405 0,078 0,247
Р4 0,125 0,652 0,150 0,160 0,070 0,136
волевым методом, а на основе метода попарных сравнений. Другое достоинство - структурирование проблемы в виде составных компонент. В методе анализа иерархий предусмотрены средства оценки степени согласованности суждений, проведение анализа чувствительности альтернатив, использование относительно простого математического аппарата, участие различных специалистов или групп, заинтересованных в решении проблемы. Преимуществом метода анализа иерархий является также то, что схема применения метода не зависит от сферы деятельности (в которой принимается решение).
В качестве проблем, связанных с применением метода анализа иерархий, можно отметить трудность оценки отношения сложных элементов, предложенную шкалу для оценки элементов, резкое увеличение количества оценок с увеличением набора элементов, ограничение не более 9 элементов, приближенный перерасчет отношений значимости элементов. В качестве недостатка метола анализа иерархий можно выделить то, что попарные сравнения используются для получения количественных значений, но корректнее и надежнее использовать парные сравнения для получения только качественных заключений (типа критерий 1 важнее критерия 2, не уточняя на сколько важнее).
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Тоценко В. Г. Методы и системы поддержки принятия решений: Алгоритмический аспект. - К.: Наукова думка, 2002. - 381 с.
2. Саати Т. Л. Принятие решений. Метод анализа иерархий. - М.: Радио и связь, 1993. - 320 с.
3. Андрейчиков А. В., Андрейчикова О. Н. Анализ, синтез, планирование решений в экономике. - М.: Финансы и статистика, 2002. - 368 с.
4. Saaty T. L. Theory of the Analytic Hierarchy Process. Part 2.1 // Системы досл^ження та ¡нформацшш технологи. - 2003. - № 1. - С. 48-71.
5. Saaty T. L. Theory of the Analytic Hierarchy Process and Analytic Network Process - examples. Part 2.2 // Системы досл1дження та ¡нформацшш технологи. - 2003. - № 2. - С. 7-33.
6. Андрейчиков А. В., Андрейчикова О. Н. Развитие интеллектуальной системы социально-экономического прогнозирования и принятия решений в условиях неопределенности. // Информационные технологии. -1999. - № 2. - С. 14-21.
7. Харитонов Е. В. Согласование исходной субъективной информации в методах анализа иерархии. // Математическая морфология: Электронный математический и медико-биологический журнал. [Электронный ресурс] -Электрон. дан. - Смоленск: СГМА, 1999. - Т. 3. - Выпуск 2. - Режим доступа: http://www.smolensk.ru/ user/sgma/MMORPH/N-5-html/5.htm, свободный. - Загл. с экрана.
8. Петров Э. Г., Новожилова М. В, Гребенник И. В., Соко-ло-ва Н. А. Методы и средства принятия решений в социально-экономических и технических системах. - Херсон: ОЛД^плюс, 2003. - 380 с.
9. Гафт М. Г. Принятие решений при многих критериях. -М.: Знание, 1979. - 64 с.
10. ЛитвакБ.Г. Экспертные оценки и принятие решений. - М.: Патент, 1996. - 271 с.
11. Арсеньев Ю. Н, Шелобаев С. И, Давыдова Т. Ю. Принятие решений. Интегрированные интеллектуальные систе-мы. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. - 270 с.
Надшшла 19.09.05
Проведено досл1дження методу анал1зу 1ерархш. Роз-глянуто використання даного методу для задач групового прийняття рШень. ВирШено задачу багатокритер1-альноЧ оптим1зацп технологлчного процесу з використан-ням методу анал1зу 1ерархш.
The Analytic Hierarchy Process is investigated by the authors. Usage of this method for group decision making problems is considered in the article. The multicriterion optimization task of the process technology based on Analytic Hierarchy Process method is solved.
УДК 681.5.001.63:519.711
В. В. Киричевський, С. М. Гребенюк, С. i. Гоменюк, Р. В. Киричевський
ЧИСЕЛЬНЕ МОДЕЛЮВАННЯ НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНОГО СТАНУ ЕЛАСТОМЕРНИХ ЕЛЕМЕНТ1В СИТ ГРОХОТ1В
У САПР «М1РЕЛА+»
Показано можливост1 застосування САПР «М1РЕ-ЛА+» щодо визначення напружено-деформованого стану конструкцш. Розраховано напружено-деформований стан еластомерних елемент1в сит грохот1в.
Створення зносостшких i високоефективних прои-ваючих поверхонь iз еластомерiв е основним напрям-
© Киричевський В. В., Гребенюк С. М., Гоменюк С. I., Киричевський
ком !хнього удосконалення в сучаснш техшщ прось вання. Широке поширення до тепершнього часу вони одержали на тдприемствах кольорово! i чорно! мета-лургп, у вугшьнш промисловосп i промисловоси будь вельних матерiалiв. При використанш гумових сит у порiвняннi, наприклад, iз дротовою аткою, спостерь
Р. В., 2005
