CC BY
73
Наука для авиации
Многокритериальная оптимизация планов перевозок грузов
Рассматривается оптимизация планирования перевозок грузов по нескольким критериям и обоснование выбора варианта плана на основе многокритериального подхода.
A. А. Богданов,
доктор техн. наук, профессор, заведующий кафедрой экономики, директор Института экономики и управления транспортными системами СПбГУ ГА
Е. Н. Зайцев,
доктор техн. наук, профессор кафедры организации и управления в транспортных системах СПбГУ ГА
С. А. Кабанов,
доктор техн. наук, профессор кафедры систем обработки информации и управления Балтийского государственного технического университета «ВОЕНМЕХ» им. Д. Ф. Устинова
B. Г. Староселец,
доктор техн. наук, профессор кафедры механики СПбГУ ГА
Методы решения транспортной задачи, заключающейся в составлении оптимальных планов перевозок по критерию стоимости, широко известны. Однако на практике могут оказаться не менее актуальными планы перевозок, составленные на основании других критериев (продолжительности перевозок, суммарного времени занятости транспортных средств перевозок и др.). В таком случае каждый из планов окажется наилучшим по одному из критериев, но будет уступать другим планам по остальным. Поэтому требуется обоснованный выбор плана в условиях многокритериальности. Рассмотрим решение такой задачи для простого случая — составления планов перевозок по критериям стоимости и времени.
Оптимизация перевозок по критерию стоимости
Классическая транспортная задача линейного программирования, как известно, заключается в составлении такого плана перевозок, который обеспечивает все пункты назначения необходимыми перевозками грузов из всех пунктов отправления при минимальных суммарных издержках. Это так называемая транспортная задача по критерию стоимости. Она заключается в составлении плана перевозок ЦхД который обеспечивает минимум целевой функции
при соблюдении условий
ы И
1Л = а,(' = 1.т)>
м
т -
1=1
хч - 0>
где х. — количество груза, перевозимого из пункта отправления А1 в пункт назначения В.;
с. — стоимость перевозки единицы груза из пункта А1 в пункт В; а — запасы груза на пункте отправления А;; Ь —потребности в грузе пункта назначения В; т — количество пунктов отправления; п — количество пунктов назначения.
В классической транспортной задаче суммарный запас груза, сосредоточенный на всех пунктах отправления, равен суммарной потребности в этом грузе во всех пунктах назначения, т. е.
т л
и ,•=1
Кроме того, считается, что все пункты отправления соединены маршрутами со всеми пунктами назначения.
Если перечисленные условия не соблюдаются, то задачу можно привести к классической (см., напр.: [1]).
Рассмотрим простой пример решения классической транспортной задачи по критерию стоимости из [там же].
Имеются пункты отправления А1, А2, А3 с запасами груза (в условных единицах): а1 = 40, а2 = 80, а3 = 60. Потребности пунктов назначения В1, В2, В3: Ь1 = 30, Ь2 = 100, Ь3 = 50. Стоимости перевозок единицы груза заданы матрицей:
10 1 3
Ы=6 2 5
12 5 14
Решение данной задачи методом потенциалов позволяет найти оптимальный план перевозок:
0 0 10
||*»||= 30 40 10. (1)
0 60 о
Это означает: из А1 в В3 следует перевезти 40 единиц груза; из А2 в В1 - 30, в В2 - 40, в В3 - 10; из А3 в В2 - 60. Суммарные издержки на перевозку грузов составят:
Ь1 = 3 -40 + 6-30 + 2-40 + 5-10 + 5-60 = 730 единиц стоимости.
Оптимизация перевозок по критерию времени
Наилучшим планом перевозок по критерию времени будет считаться тот план, при котором время Т окончания всех перевозок минимально.
Обозначим через г^ время, необходимое для перевозки груза из пункта А; в пункт В.. Предполагается, что время не зависит от количества перевозимого груза х,. Математически транспортная задача по критерию времени формулируется следующим образом.
Требуется определить план перевозок, при котором
(2)
Г = пиптахг,,
*,>о '
при ограничениях
2>(/=а,.,/ = 1,т;
н
(3)
-£х„=Ьр) = 1,п. (4)
(=1
Задача (2)-(4) не является задачей линейного программирования. Однако последовательно решая ее по критерию стоимости (т1? играет роль стоимости перевозок) и запрещая после каждого
№ 6 (43) 2012
«Транспорт Российской Федерации» | 77
Наука для авиации
решения элементы матрицы ЦтД для которых х~ ^xlfxl =тахт~),
xt>0
можно получить решение задачи (2)-(4). Запрещение xtj проводится заменой данного элемента на достаточно большое число М. Если на следующей итерации окажется, что стоимость перевозок превышает М, то план, полученный на предыдущей итерации, является оптимальным.
Пусть для рассмотренного примера с исходными данными Цс^Ц,*!,, bt,i = 1,2,3;/ = 1,2, Ъ;т = Ъ,п = 3 дополнительно определена матрица
3 2 4
1 0,5 2. (5)
1,5 2,5 3
Тогда решение задачи по критерию стоимости методом потенциалов (при замене cl: на т~) приводит к оптимальному плану
0 40 0 = 20 60 0 . (6) 10 0 50
В соответствии с этим планом и матрицей (5) имеем г J = xiß = 3. Заменяем в матрице (5) все значения х^ >3 на большое число М:
М 2 М |г®||= 1 0,5 2 . (7)
1,5 2,5 М
Вновь решаем задачу по критерию стоимости (с учетом запрещенных маршрутов: 1,1; 1,3; 3,3). Получаем оптимальный план
0 40 0
0 30 50 . (8)
30 30 0
Этому плану с учетом матрицы (7) соответствует = тЪ2 =2,5. Заменяем г32 в матрице (7) на М:
М 2 М ||т-</)|| = 1 0,5 2 . (9)
1,5 М М
При решении задачи по критерию стоимости для матрицы (9) выясняется, что составить даже допустимый план невозможно. Следовательно, оптимальным следует считать план перевозок (8), для которого Т 2 = 2,5. Этому плану соответствует суммарная стоимость (на основании матрицы ||с1?|)
!2=1-40 + 2-30 + 5-50 + 12-30 + 5-30 = 860 .
Плану (1), составленному по критерию стоимости, согласно матрице (5), соответствует 7] = тах{4;1;0,5;2;2,5} = 4.
Многокритериальная оптимизация
Таким образом, имеем два плана перевозок: 5j = Цх^'Ц - по критерию стоимости и S2 = ||x?'||- по критерию времени. Обозначим критерии, соответствующие плану S1: / (S1) = L1, / (S1) = T1. Аналогично для плана S2: f1 (S2) = L2, f2 = T2. Оптимальное значение критерия / равно /1° = min {L1, L2} = min {730, 860} = 730. Оптимальное значение критерия /2° = min {T1, T2} = min {4; 2,5} = 2,5.
Перейдем к относительным критериям:
fcSJ-f" 730-730 n.
fi
730
= 0;
Й- /с \_ /ДОд) ~/2" _ 2,5-2,5 п
Для сведения многокритериальной задачи к однокритериаль-ной используем метод идеальной точки в пространстве критериев, изложенный в [2]. В соответствии с этим методом вводится новая целевая функция
и
где ¡¡! - коэффициент важности /-го критерия; К (Б,) — ¡-й критерий системы Б,;
К0 — минимальное значение критерия К некоторой идеальной системы
Б*, имеющей все критерии с минимальными значениями {К10, К20.....К;0}.
Если коэффициенты важности одинаковы, то ^ а если важность критерия уменьшается с увеличением номера критерия, то
/-(/-1)
i
I )
i-i
Пусть в рассматриваемом случае все критерии имеют одинаковую важность. Тогда с учетом того, что J = 2, получим ßl=ß2 = = 0,5. Согласно формуле для W (S), имеем:
W(S,) = {а + ß2 [^(S,)-K°2J =
= [о, 5(0 - О)2 + 0,5(0,6 - О)2 ~f2 = 0,42426;
W(S2) = (А [K2(S2)-K°2]2^2 =
= [о, 5(0,178 - О)2 + 0,5(0 - О)2 = 0,12586.
Так как Щ52) < W^), то лучшим является план S2, т. е. план, составленный по критерию времени.
Если считать более важным критерий стоимости, то получим
= 2-q-i) = 2 :
Hl 2 n'r!
s/ 3
2-(2-l) _ 1 "3.
Тогда
н
Zi
M
W(S2)=
|(0-0)2+|(0,6-0)2 |(0,178-0)2+|(0-0)2
X
= 0,3464;
X
= 0,14534.
В этом случае все равно Щ52) < РУф), и план Б2 лучше плана Б1.
Если важность критерия времени выше, чем критерия стоимости, то тем более план Б2 лучше плана Б1.
Следует заметить, что при других значениях и х^ оптимальным может оказаться план Б1.
Заключение
Итак, все рассмотренное показывает, что обоснованно планировать перевозки грузов можно по нескольким критериям. При этом каждому критерию соответствует свой оптимальный вариант перевозок; по выбранному критерию этот вариант лучше других, а по другим — хуже.
Определение лучшего варианта осуществляется путем преобразования критериев, их ранжирования, введения коэффициентов важности и вычисления значений целевых функций. Целевые функции характеризуют, на сколько рассматриваемый вариант далек от идеального. Лучшему варианту системы массового обслуживания соответствует минимальное значение целевой функции.
На обоснованность выбора лучшего варианта плана точность определения коэффициентов важности критериев влияет в меньшей мере (зачастую не влияет), чем отбор критериев для выбора лучшего варианта системы. □
Литература
1. Староселец В. Г. Основы теории управления транспортными системами. Монография. СПб.: ГУ ГА, 2008. 218 с.
2. Сафронов В. В. Основы системного анализа: методы многокритериального ранжирования. Монография / Поволж. кооп. ин-т Российского ун-та кооперации. Энгельс: Ред.-изд. центр ПКИ, 2007. 185 с.
7S I «Транспорт Российской Федерации»
№ 6 (43) 2012
