Многочлены Эрмита Текст научной статьи по специальности «Математика»

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №5/2016 ISSN 2410-700X_

4. Сократить HTML.

Сжатие HTML-кода (в том числе встроенного кода JavaScript или CSS) позволяет сократить объем данных, чтобы ускорить загрузку и обработку.

Сжатие кода на ресурсе https://www.gosuslugi.ru/ позволит уменьшить его размер на 4,4 КБ (21 %).

5. Сократить JavaScript.

Сжатие кода JavaScript позволяет сократить объем данных, чтобы ускорить загрузку, обработку и выполнение. Предлагается сократить код JavaScript на ресурсе

«https://www.gosuslugi.ru/pgu/htdocs/js/2012/jquery. validate.js», чтобы уменьшить его размер на 3,4 КБ (33 %).

Вот главные направления, по которым возможно вести оптимизацию сайта Госуслуги РФ. Применение вышеперечисленных стратегий позволит значительно снизить время загрузки и повысить производительность сайта ЭГУ РФ, что в свою очередь будет способствовать увеличению количества пользователей.

В заключении необходимо отметить, что программирование является неотъемлемой частью написания сайта. На разработчиков сайтов возлагается ответственность не только за хороший интерфейс и визуализацию, но и за скоростные характеристики загрузки web-страницы. Выявить те или иные недостатки или причины, по которым скорость загрузки недостаточна, можно проведя тестирование сайта. Сеть Интернет может предложить множество бесплатных инструментов тестирования в режиме онлайн. С их помощью разработчики сайтов могут значительно упростить решение своих задач. Список использованной литературы

1. Экономика фирмы. Учебник. Под ред. Иващенко Н.П. - М.: Проспект, 21 янв. 2016 г. - 408 с.

2. Экономика инноваций: [учебник для студентов высших учебных заведений, обучающихся в магистратуре по экономическим специальностям] / А. И. Базилевич [и др.]; под ред. В. Я. Горфинкеля. - М: ВУЗОВСКИИ УЧЕБНИК, 2009 - 416 с.

3. Поисковая оптимизация. Практическое руководство по продвижению сайта в Интернете. 3-е изд. Севастьянов Иван Олегович. Изд. дом Питер, 24 сент. 2015 г. - 272 с.

4. Корпоративный веб-сайт на 100проц.: требуйте от сайта большего! Роман Овчинников. Изд. дом Питер, 26 мар. 2009 г. - 322 с.

5. Звоним через интернет. Экономим в 100 раз. Василий Леонов. Litres, 24 окт. 2014 г.

6. Сайт анализа скорости загрузки web-страниц: https://developers.google.com/speed/pagespeed/insights.

7. Сайт ЭГУ РФ: https://www.gosuslugi.ru.

© Фандрова Л.П., Бурзянцева Е.Ю., 2016

УДК-681.5.015

Фатеев Денис Сергеевич,

бакалавр группы МП-42 Сабурова Виктория Владимировна,

бакалавр группы МП-30 Сорока Владимир Григорьевич.

бакалавр группы МП-45 Национальный исследовательский университет «МИЭТ», г. Москва

E-mail: [email protected]

МНОГОЧЛЕНЫ ЭРМИТА Аннотация

В статье рассмотрены многочлены Эрмита, их свойства и применение.

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №5/2016 ISSN 2410-700X_

Ключевые слова

Многочлены Эрмита ,разложение в ряд, полиномы Чебышева-Эрмита.

Многочлены Чебышева-Эрмита—специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. В теории вероятностей полиномы Эрмита обычно определяются выражением:

, dn

Hmath(x) = (-1)nex2/2_e-x2/2

dx

В физике обычно используется другое определение:

n

Hnphys(x) = (-1)nex2^e-x2

В частности,

Я0 = 1,Я2 = 4х2 — 2, Я4 = 16х4 — 48х2 + 12.

Я! = 2х,Я3 = 8х3 — 12х, Многочлены Чебышева-Эрмита ортогональны на всей оси относительно веса е — х. Дифференциальное уравнение для

У = Яп (х). у" — 2ху' + 2пу = 0

Рекуррентные формулы:

Яп + 1(х) — 2хЯп (х) + 2пЯп — 1(х) = 0 я;(х) — 2пЯп-!(х) = 0[1]

Иногда за Нп принимают многочлены, отличающиеся от указанных выше множителями, зависящими от пд иногда в качестве веса берут e-3/2 . Основные свойства этой системы были изучены П. Л. Чебышевым(1859) и Ш. Эрмитом (1864).[2] Общее уравнение для многочленов Эрмита имеет вид:

[!1 .. . . 1

Z(_lVn! n(n-1) _ тп(п-1)(п-2)(п-3)

(п — 2/)! 2 2

Свойства

1)Для любой функции, которая записывается как суперпозиция экспонент /(х) = £^=1 сйеЯй*можно записать следующее разложение по многочленам Эрмита:

V

/(х) = V ЛпЯп(х),Лп = ^ V cfcec

n=0 'fc=1

Разложения известных гиперболических и тригонометрических функций имеют вид:

t2n — ^ t2n+1 ch tx = е 2 ^„M, ^ tx = е 2 ^ (2n + 1)l^2W+i(x),

n=0( )! n=0 (

^ t2n t2n+1

cos tx = e 2 ¿(-1)П^ТУЯ2п(*), sintx = e 2 ¿(-1)"(2n + ^ tf2n+i(*),

n=0 ( )! n=0 ( )!

2)Производная -ого порядка от многочлена Эрмита Hn(x), n > k также есть многочлен Эрмита: dk

^Hn(x) = n(n - 1) ... (n-k + 1)Hn-k(x)

3) Имеет место следующая формула сложения для многочленов Эрмита:

И )2

(а? + a| + - + a2)2 |ai xi + a2 x2 + - + a2xn ■ H

+ ai + + an

m1 m1

a a" Я Я

m1! mn! Hmi(Xl) Hmn(xn)

mi+-mn=^

= V a^

= V m! mn! Hmi(

+ Х2) = Лп^п(Х)[2]

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №5/2016 ISSN 2410-700X_

4)Многочлен Hn(x) содержит члены только той же чётности, что и само число n: H2n(-x) = H2n(x),H2n+i(-x) = -H2n+i(x),n = 0,1,2, ...

Применение

В квантовой механике многочлены Эрмита входят в выражение волновой функции квантового гармонического осциллятора. В безразмерных переменных уравненияШрёдингера, которое описывает состояние квантового гармонического осциллятора, имеет вид:

I ^п(л) =

Решениями этого уравнения являются собственные функции осциллятора, которые отвечают собственным значениямАп = 2п + 1 . Нормированные на единицу, они записываются как:

х2 (-1)п

■фп(х) = р 2 — И*г(г), п = п = 0,1,2, ...

V2 Пп\^п

В данном выражении используются именно «физические» многочлены ЭрмитаН^(х) . Многочлены Эрмита используются в решении одномерного уравнения теплопроводности^ — ихх = 0 на бесконечном интервале. Это уравнение имеет решение в виде экспоненциальной функциии(х, t) = gax+a2t . Поскольку такую функцию можно представить в виде разложения по многочленам Эрмита, а с другой стороны она может быть разложена в ряд Тейлора по а:

7 ПП

еах+а f = ln=o^Pn(*,t) [1] то функцииРп(х, t), которые являются решением уравнения теплопроводности и удовлетворяют

начальному условиюРп(х, t = 0) = хп , выражаются через многочлены Эрмита следующим образом:

2

-yndy

X \ 1 Г+т (х-у)2

Для получения последнего равенства был использован интеграл Пуассона — Фурье. В лазерной физике, а точнее - в теории открытых (оптических) резонаторов, многочлены Эрмита входят в выражение, описывающее распределение амплитуды в поперечном сечении соответствующей поперечной моды Эрмита-Гаусса (собственно, произведение одного из многочленов Эрмита и функции Гаусса), характерной для оптических резонаторов с прямоугольной формой зеркал резонатора.[2] Список использованной литература:

1. Зорич В.А. Математический анализ М.: ФАЗИС; Наука; Ч.1. - 1997, 568с.; 4.II. - 1984, 640с.

2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики: 2-е изд., стер. — М.: Наука, 1969. — 288 с.

© Фатеев Д.С., Сабурова В.В., Сорока В.Г. 2016

УДК 004

Хлестова Дарья Робертовна

Студентка 2 курса ИУБП БашГУ, г. Уфа, РФ E-mail: [email protected] Попов Кирилл Геннадьевич к.э.н., доцент кафедры информационной безопасности БашГУ, г. Уфа, РФ

E-mail: [email protected]

ОСОБЕННОСТИ ЗАЩИТЫ КОНФИДЕНЦИАЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ НА ПРЕДПРИЯТИЯХ

Аннотация

В данной статье рассматриваются особенности обеспечения защиты конфиденциальной информации