CC BY
39
УДК 519.71
Лепихин Т.А.
Санкт-Петербургский государственный университет, г. Санкт-Петербург, Россия
МИНИМИЗАЦИЯ ВРЕМЕНИ ПЕРЕХОДА МОБИЛЬНОГО РОБОТА НА ЗАДАННУЮ
ТРАЕКТОРИЮ
АННОТАЦИЯ
В статье предлагается метод решения задачи минимизации времени перевода мобильного колесного робота из некоторого начального положения на заданную траекторию. Строится кинематическая и динамическая модель объекта управления. Рассматривается подход к формированию опорных точек, по которым ориентируется робот во время движения. Приводятся результаты имитационного моделирования с вариациями параметров.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
Мобильный робот, оптимизация, быстродействие, перевод на траекторию.
LepikhinT.A.
Saint-Petersburg State University, St. Petersburg, Russia
TIME MINIMIZATION FOR RIDING A MOBILE ROBOT TO THE DESIRED TRAJECTORY
ABSTRACT
The paper proposes a method for solving the problem of minimizing mobile wheeled robot transfer time from an initial position to a predetermined trajectory. Kinematic and dynamic model of the control object is described. An approach to the formation of ground control points, which orients the robot while in motion. We give the simulation results with parameter variations.
KEYWORDS
Mobile robot, optimization, time minimization, transferring to trajectory. Введение
В настоящее время ставится и решается большое количество задач так или иначе имеющих отношение к всевозможным роботам. Несомненно, это обусловлено огромным интересом ко всем направлениям робототехники: моделирование робототехнических систем, разработка систем управления, бои роботов и соревнования различных уровнеи сложности, военное и общегражданское применение роботов.
В рамках даннои работы рассматривается задача перехода мобильного колесного робота на заданную траекторию за наименьшее время. Подобные задачи могут ставиться в условиях обхода роботом существенного препятствия и возвращения на исходныи курс, либо возвращение к первоначальнои траектории в случае непредвиденного отклонения.
Объектом исследования является мобильньш колесньш робот, представляющии собои трехколесную платформу одним передним рулевым колесом и двумя задними ведущими колесами. Структурная схема рассматриваемого объекта управления представлена на рис. 1.
Кинематическая модель
Рассмотрим кинематическую и динамическую модели рассматриваемого объекта управления. Пусть xc,yc - декартовы координаты точкиС, расположеннои в середине заднеи оси,
xg, yg - центра масс платформы в точке G, и пусть в - угол между продольнои осью платформы и
осью ОХ (положительным направлением), тогда вектор обобщенных координат qg = (xg,yg ,oJ или
qc = (xc,yc,в)Т полностью описывает положение системы в инерциальнои прямоугольнои системе координатОХУ. Отметим, что при равенстве угловых скоростеи на задних колесах аг = со1 платформа
будет двигаться строго по прямой, перпендикулярной к задней оси, в случае же если колеса вращаются в противоположные стороны при одинаковых скоростях аг = -ю1 платформа
поворачивается на угол со = в .В общем случае, угловые скорости на правом и левом колесах различны, за счет чего движение мобильнои платформы в горизонтальнои плоскости является сложным.
2г
\
У
X
Рис.1. Структурная схема колесного робота
Приведенное ниже уравнение [1] описывает скорости мобильнои платформы при движении без проскальзывания:
r r
V 2 2
a r r
_ ~2R ~2R
где r - радиус колеса, R - половина расстояния между задними колесами.
Выражая из уравнении скорости центра масс скорости по координатам, получим:
xg = vcosd -dasind
yg = vsin0 + da cosd
В матричнои форме уравнение (2) перепишется в виде (3):
(1)
( xg ' cosd - d sind^
qg = yg = sind d cosd
ld V , 0 1 V
a
= A ■ V .
(2)
(3)
Тогда кинематическую модель движения колесного робота может быть представлена в следующем виде:
(r rd . r rd . ^
—cosd--Sind —cosd +--Sind
2 2R 2 2R
r rd r rd
— sind +--cosd —sind--cosd
2 2R 2 2R
r ~2R
r
~2R
a,
(4)
Динамическая модель
Ускорение центра масс получается из уравнения векторного положения точки Gи выглядит следующим образом:
а8 = (у - dв2)• ев +1 vв)■ ев , (5)
где первое слагаемое представляет собои радиальную компоненту, вторая - тангенциальную.
Прямолинеиное движение мобильнои платформы обеспечивается силои тяги F и крутящим моментом т . Пустьт - полная масса платформы, Jg - момент инерции вращения вокруг центра масс. Тогда можно записать следующие выражения:
v
g
F = ту - mdв2 г = (/я + md2 )? + mdv ■
С другой стороны выражения (6) могут быть представлены через вращательные моменты
1 К
ведущих колес гг,г1 в виде: F = —(гг +г1), г =—(тг + г1). Тогда динамическая модель выглядит
г г
следующим образом:
В г = М V + С , (7)
где B =
(1 1 ^
r r
R R
\ r r J
M =
0 J g + md
C =
^— mdd 2 ^ mdvQ
Планирование пути и синтез управляющего воздействия
В качестве качественнои характеристики процесса управления выступает время [2, 3]. Следовательно, оптимизационную задачу можно поставить в виде (8):
где ds =
ds = tJ x2 (u ) + y 2 (u )du
EP J t = f _ J v
(8)
Рис. 2. Планирование пути Предлагаемый в работе подход основан на параметризации пути [2], т.е. при стабилизации робота на траектории вводится некоторое желаемое значение q0 (xd, yd ,Qd), к которому стремится робот и которое, соответственно, находится в допустимои окрестности траектории. Введем следующую параметризацию траектории:
xr (t ) = Xr (s(t))
yr (t)= Yr (s(t)) . d(t ) = ©(s(t))
Выбор функции s(t) зависит от следующих нюансов:
• Если робот проскочит заданную позицию, ему придется возвращаться, что существенно повлияет на время перехода;
• Если робот не дойдет до указанной позиции, то придется поворачивать и как следствие такой же результат с превышением времени перехода.
Поэтому выберем такую функцию u(s) [4], что s =—. Выразим из функционала время
u(s)
s
через u(s) и получим следующее выражение: t(s)= Ju(¡-i)d^. Тогда для конечнои позиции sfinish
sstart
получаем время желаемого переходного процесса в виде (9):
0
m
r
Z =
t
Т = |и(\л)1^ . (9)
Собственно, задача состоит в выборе такои функции и(я), которая обеспечивает
минимальное значение функционала (9) [2, 3].
Для решения поставленнои задачи, разобьем весь путь на промежуточные точки я,,(аг(, я1,...,яп-1, как показано на рис. 3, т.е. имеем п+1 точек. Чем больше п, тем точнее
получается решение, но при этом требуется больше времени вычислений.
<? S2 SS</ \
\
\
ч
^—о
Рис. 3. Разбиение траектории Стоить также отметить, что в промежуточных позициях должны выполняться ограничения на максимальную скорость перехода между точками. Кроме того, необходимо регулировать шаг отрезка , •к+1 ], поскольку кривизна текущего пути может быть различна. Ввиду сказанного, для
X 2 (•) + у 2 (•)
большои кривизны выбирается шаг равньш Дя = а ^ ' '=, а для малои соответственно
Д = а Д —. Малая кривизна характеризуется граничным соотношение -а (меньше
4(х '(• ))2 +(у '(• ))2 м
- малая, больше - большая).
Make choice
Рис.4. Сема компьютерной модели
Программная реализация
Моделирование проводилось в подсистеме Simulink пакета МА^АВ. При формировании компьютернои модели принято, что желаемая траектория робота задается изначально набором точек N на плоскости (хк,ук). В качестве наиболее быстрого перехода между соседними позициями можно выбрать прямолинеиное движение. Начальная позиция робота считается значительно смещеннои относительно траектории. Общая схема системы представлена на рис. 4.
Рис. 5. График ошибки позиционирования относительно траектории
Рис. 6. Графики движения системы вдоль прямой при различных значениях параметров
Рис. 7. Вариация параметров Приведем краткое описание блоков модели:
• Блок "Targets" содержит набор точек (xk, yk);
• блок "Make choice" отвечает за выбор актуальной точки для выхода на траекторию, т.е. перех°д в т°чку sfimsh ;
• блок "Trajectory" генерирует оптимальную траекторию;
• блоки "Error" и "Control" вычисляют отклонение от траектории и управляющее воздействие соответственно;
• блок "WMR" моделирует кинематику объекта управления.
Рассмотрим пример применения реализуемои модели. Заданы две точки (0;0),(20;65). Оптимальньш путь находится по трем опорным точкам сплаина. Исходная позиция робота -
5.42, - . Переходные процессы отработки ошибки, оптимальнои траектории представлены на рис. 5, 6.
Лучшее возможное время получилось равным 6.89 с. при учете ограничений на скорость.
Рис. 8. Опорные точки и траектория движения
Заключение
В работе показан подход к решению задачи перехода робота на заданную траекторию с оптимизациеи по быстродеиствию путем планирования траектории с помощью опорных точек. Проведено компьютерное моделирование кинематико-динамическои модели с реализациеи алгоритма выбора опорных точек и подсчетом функционала качества. Результаты, полученные при моделировании, подтверждают состоятельность метода.
Тем не менее, есть возможность еще улучшить время переходного процесса за счет выбора прямолинеиного движения. Однако в этих случаях возможны трудности, поскольку движение робота осуществляется с максимальнои скоростью. Могут возникнуть ситуации, при которых робот может опрокинуться. Поэтому в работе наиден, можно сказать, некии квазиоптимальныи вариант решения, удовлетворяющии ограничениям, накладываемым на возможное движение робота.
Литература
1. Oriolo G., De Luca A., Vendittelli M. Control of Wheeled Mobile Robots: An Experimental Overview // IEEE Transactions on control systems technology, VOL. 10, №. 6, 2002.
2. Veremey E.I., Sotnikova M.V., Eremeev V.V., Korovkin M.V. Modal parametric optimization of control laws with special structure. Source of the Document International Conference on Control, Automation and Systems, 2014, pp. 1278-1283.
3. Sotnikova, M., Veremey, E., Zhabko, N. Wheel angular velocity stabilization using rough encoder data. International Conference on Control, Automation and Systems, 2014, pp. 1345-1350.
4. Kanayama Y, et al. A Stable Tracking Control Method for a Non-Holonomic Mobile Robot // Proc. IEEE/RSJ Int. Workshop Intelligent Robots and Systems, 1991, P. 1236-1241.
References
1. Oriolo G., De Luca A., Vendittelli M. Control of Wheeled Mobile Robots: An Experimental Overview // IEEE Transactions on control systems technology, VOL. 10, №. 6, 2002.
2. Veremey E.I., Sotnikova M.V., Eremeev V.V., Korovkin M.V. Modal parametric optimization of control laws with special structure. Source of the Document International Conference on Control, Automation and Systems, 2014, pp. 1278-1283.
3. Sotnikova, M., Veremey, E., Zhabko, N. Wheel angular velocity stabilization using rough encoder data. International Conference on Control, Automation and Systems, 2014, pp. 1345-1350.
4. Kanayama Y, et al. A Stable Tracking Control Method for a Non-Holonomic Mobile Robot // Proc. IEEE/RSJ Int. Workshop Intelligent Robots and Systems, 1991, P. 1236-1241.
Поступила 21.10.2016
Об авторах:
Лепихин Тимур Андреевич, доцент кафедры компьютерных технологий и системСанкт-Петербургского государственного университета, кандидат физико-математических наук, LepikhinTA@gmail.com.
