МИНИМИЗАЦИЯ СОЦИАЛЬНЫХ ПОТЕРЬ С УЧЕТОМ ВЗАИМОВЛИЯНИЯ ИНФЛЯЦИИ И БЕЗРАБОТИЦЫ Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 519.86:338.24

DOI 10.23672/e8379-8159-3928-r

Антипина Наталья Валерьевна

кандидат физико-математических наук, доцент,

доцент кафедры математических методов и цифровых технологий, Байкальский государственный университет natant2012@mail.ru

Natalya V. Antipina

Candidate of Physical

and Mathematical Sciences,

Associate Professor,

Associate Professor of the Department

of Mathematical Methods

and Digital Technologies,

Baikal State University

natant2012@mail.ru

Минимизация социальных

потерь с учетом взаимовлияния инфляции и безработицы

Minimization of social losses,

taking into account the mutual influence of inflation and unemployment

Аннотация. Для сокращения потерь общества разрабатываются механизмы их стабилизации с учетом теоретических подходов различных экономических школ. Математический аппарат тоже востребован при решении такого рода проблем, что проявляется возможностью формализации экономических задач в виде экономико-математических моделей и их исследовании. В статье рассмотрена задача нахождения оптимального соотношения темпов инфляции и безработицы с целью минимизации причиненного социального ущерба от их дисбаланса. Предложена и исследована соответствующая математическая модель, которая формализуется в виде задачи вариационного исчисления, а также ее модификация с учетом денежно-кредитной политики государства.

Ключевые слова: инфляция, безработица, функция социальных потерь, уравнение Эйлера, вариационное исчисление, дифференциальные уравнения, математический маятник.

Annotation. To reduce the losses of society, mechanisms of their stabilization are being developed taking into account the theoretical approaches of various economic schools. The mathematical apparatus is also in demand when solving such problems, which is manifested by the possibility of formalizing economic tasks in the form of economic and mathematical models and their study. The article considers the problem of finding the optimal ratio of inflation and unemployment rates in order to minimize the social damage caused by their imbalance. A corresponding mathematical model is proposed and investigated, which in the form of a calculus of variations problem is formalized, as well as its modification taking into account the monetary policy of the state.

Keywords: inflation, unemployment, social loss function, Euler's equation, calculus of variations, differential equations, mathematical pendulum.

В

ведение.

Отличительной чертой настоящего и обозримого будущего времени является быстрый и неуклонный рост значимости социальных факторов во всей совокупности движущих сил экономического роста. Все факторы, негативно отражающиеся на жизни социума и приносящие психологический или моральный ущерб, относят к социальным потерям.

Принято считать, что социальные потери невозможно оценить экономически. Однако некоторые виды социального ущерба могут быть оценены экономическими показателями (например, прямые расходы в области образования и социального обеспечения). Несмотря на актуальность проблем, связанных с социальными потерями в различных областях жизнедеятельности, на данный момент математические исследования по этому вопросу являются немногочисленными.

Диссонанс между инфляцией и безработицей также приводит к социальным потерям. Инфляция, как долгосрочный процесс снижения покупательной способности, проявляющийся в глобальном поднятии цен на товары и услуги, неоднозначно влияет на финансовые и социальные условия жизни людей. Разделить последствия инфляции на чисто экономические и чисто социальные не представляется возможным, поэтому будем говорить, что в статье уделяется внимание ее преимущественно социальным последствиям, которые, в частности, негативно отражаются на стабильности финансового положения людей и их уверенности в гарантированных заработках. В связи с этим, исследование проблемы взаимосвязи инфляции и безработицы остается актуальным по сей день.

В такого рода ситуациях можно применить аппарат математического моделирования [1-6], а именно, ввести функцию общественных потерь [7], оценивающую причиненный ущерб и

минимизировать её при заданных условиях (ограничениях).

Формирование ожиданий инфляции предполагается адаптивным:

Акцентируем внимание на том, что построение и исследование экономических моделей на основе аналогии с задачами физики и механики стало закономерным [8-10], что позволило перенести свойства решений этих задач на поведение показателей в моделях экономики. Подтверждением этому является появление дисциплин «Физическая экономика», «Эконофизика» [10], использующих современный математический аппарат нелинейной динамики и статистической физики.

В статье предлагается математическая модель минимизации дисконтированных социальных потерь, связанных с дисбалансом темпа инфляции и темпа роста безработицы [11]. Предложенная модель исследуется методами теории обыкновенных дифференциальных уравнений и вариационного исчисления.

1. Постановка задачи и описание экономико-математической модели.

Обозначим через УЕ равновесное значение национального дохода при полной занятости. Предположим, что уровень инфляции в течение временного промежутка [0,Т] является постоянным. Отклонение значения У в некоторый момент времени г от равновесного УЕ нежелательно, так же как и отклонение реальной скорости инфляции р от равновесной нулевой. Исследуем «взаимодействие» инфляции и безработицы на временном промежутке [0,Т], считая, что в начальный момент времени г = 0 скорость инфляции равна п0.

Предположим, что функция социальных потерь является квадратичной:

L = (Ye — Y)2 + ар2,

(1)

где а >0 - это коэффициент чувствительности к изменению инфляции.

В данном случае, принципиально не то, в каком виде будет записана эта функция (сумма абсолютных значений отклонений или квадратов их отклонений), так как значение социальных потерь является абстрактным (по аналогии со значением функции полезности потребителя), а тот факт, что с ее помощью становится возможным сравнивать эффективность различных комбинаций инструментов экономической политики государства. Для этого достаточно, чтобы она возрастала с ростом отклонений любого из целевых показателей и была чувствительна в разумных пределах и в нужных пропорциях к этим отклонениям.

Возрастающие ожидания взаимовлияния Фил-липса [12, с. 364] между величинами (УЕ - У) и р описываются уравнением:

где ß >0, п = n(t) ции.

ожидаемый темп инфля-

п' = j(p — п),

где 0 < j <1.

Из уравнений (2) и (3) следует, что:

(3)

Отсюда:

п' = —ßj(YE — Y)

YE — Y =-ï-.

E ßj

Подставляя (4) в (2), получим: р = - п' + п.

(4)

(5)

С учетом соотношений (4) и (5) функция социальных потерь (1) запишется так:

L{u,п') = (ßj/ + а (у + п) . (6)

Задача состоит в нахождении оптимальной скорости инфляции n*(t), минимизирующей общие социальные потери в течение периода времени [0,Т], с учетом нормы дисконтирования S, 0< S < 1.

Таким образом, математическая модель поставленной задачи построена:

/0Т F (л, л', t)dt = /0Т L(n, л')e~stdt ^ min, (7)

л(0) = л0, л(Т) = 0, (8)

где функция L(n, л') определяется формулой (6).

2. Исследование математической модели взаимовлияния инфляции и безработицы.

Модель (7), (8) представляет собой задачу вариационного исчисления [13, с. 405]. Для ее решения используем уравнение Эйлера [13, с. 418]:

F — — F', = 0,

n —t n '

или подробнее:

Р - ^ - #„,*"(£) - = 0. (9)

Найдем частные производные первого и второго порядка функции Р по ее аргументам, учитывая вид функции (6):

р = —ß(YE — Y) + п,

(2)

Fn = 2а (— + п)(

-st

F'. =

п' 2а п' 2 m?+Т(Т+п

-st

1 + aß2

ß2j2

п' +— п j

-st

2

F",f = -2 S

П t

1 + aß2 а n' +— n

ß2j2

-st

F",, = 2 1 + aß2 e-stF", =-e-st Fn'n' 2 ß2j2 e ' rn'n j e ■

Тогда уравнение Эйлера (9) примет вид (аргумент С для простоты опустим):

1+ аР2 ,, ,. 1+аР2 , ( 8а\

п2 2 п - 8 п2 2 п' — (а +--}П = 0.

Р2]2 Р2]2 V ] '

Упрощая последнее уравнение (умножением на

Р2]2 ,

1+ар2), получим окончательный вид уравнения Эйлера:

п — оп--;— п = 0. (10)

1+аР2 к '

Согласно теории обыкновенных дифференциальных уравнений [11, с. 45], для решения уравнения

(10) запишем его характеристическое уравнение

X2 — 8Л — =0.

1+аР2

Его корни являются действительными числами и различны (нетрудно проверить, что дискриминант положителен):

X., = 2 {о ± (")

Общее решение уравнения (10) найдем по формуле л:*(*0 = С1е+ С2егде С1 и С2 - произвольные постоянные, а Л1 и Х2 даются формулой

(11).

Наконец, используя условия (8), найдем С1 и С2 как решение системы:

С1 + С2 = п0 С1е + С2еХ2Т = 0.

Получим:

С п0е*2Т С п0е*1Т >0

С1 = е^1Т_е^2Т < 0,С2 = е^1Т_е^2Т > 0.

Знаки постоянных С1 и С2 очевидны, благодаря тому, что Л1 > Х2 >0 и монотонности показательной функции.

Таким образом, решение уравнения (10), оно же и оптимальное решение задачи (7), (8), имеет вид:

пЧО = -^ТЬТ (еЯ1ТеЯ2' — еЯ2ТеП

г £ [0,Т]. (12)

Очевидно, наблюдается «плавное» экспоненциальное снижение темпа инфляции в течение промежутка времени [0,Т]. Для подсчета минимального значения функционала (7) найдем производную функции (12):

n*'V = -¿fyjr &еЪтe^ - ıe^e

Минимальные общие дисконтированные социальные потери в течение периода времени [0,Т] при темпе инфляции n*(t) определяются непосредственным подсчетом путем подстановки п*(t) и п*'(t) в функционал (7).

3. Модификация модели.

Введем следующие обозначения: U - темп роста безработицы, W - темп роста заработной платы, Т - производительность труда. Предположим, что темп роста заработной платы линейно зависит от темпа роста безработицы, с учетом влияния роста инфляции, то есть:

W = а - ßU + hn, а > 0, ß > 0,0 < h< 1,

где п - ожидаемый темп роста инфляции.

Тогда соотношение Филлипса [12, с. 364], связывающее темпы роста заработной платы и безработицы, будет иметь вид:

р = W - Т = а - ßU + hn - Т■ (13)

Далее, обозначим через m темп роста номинального денежного баланса М и постулируем, что:

U' = -k(m - р), к >0, (14)

где разность (m - р) - это темп роста реальных денег. Соотношение (14) экономически описывает денежно-кредитную политику государства.

Таким образом, получаем модифицированную модель взаимовлияния инфляции и безработицы:

/0Т F(n, п', t)dt = /0Т L(n, п')e~stdt ^ min, (15)

р = а - ßU + hn - Т■ (16)

n' = j(p - n), (17)

U' =-k(m - р)' к > О, (18)

n(0) = n0, n(T) = 0. (19)

Проведем анализ этой модели по аналогии с исследованием, описанном в п. 1. Подставляя (16) в уравнения динамической системы (17), (18) и упрощая их, получим следующую систему дифференциальных уравнений первого порядка с неизвестными функциями U и n:

(п' = j(h - 1)п - jßU + j(a - Т)

iU' = Шп - kßU + к(а - ß - Т). ( )

Сведем эту систему к дифференциальному уравнению второго порядка путем дифференцирования по г ее первого уравнения и дальнейшей подстановкой в него выражения для производных п' и и' из этой же системы (20). В результате получим уравнение:

п'' + {рк + }(1 - К))п' + ]Ркп = ]Ркт, (21)

аналогичное дифференциальному уравнению (10), но, в отличие от него, являющееся неоднородным.

Специфика уравнения (16) состоит в том, что если ввести обозначения:

*=т к1=

к2 = ^ш2 - к*, (22)

то оно в точности совпадет с уравнением колебания математического маятника [14, с. 408], учитывающим сопротивление среды и воздействие постоянной возмущающей силы:

п'' + 2к±п' + ш2п = ш2т. (23)

Здесь к1 - это коэффициент пропорциональности силы сопротивления среды и скорости инфляции, ш - частота динамических колебаний.

Очевидно, что для существования ш и к2 необходимо выполнение условий:

)Рк >0, ш2 < к2. (24)

Общее решение уравнения (23) находится как сумма общего решения по/о соответствующего однородного уравнения:

п'' + 2к1п' + ш2п = 0. (25)

и частного решения пч/н уравнения (23). Уравнение (25) визуально аналогично уравнению (10), однако, с учетом второго из условий (24), корни его характеристического уравнения являются комплексными:

К,2 = -к± ± к2\,

где г - мнимая единица.

Следовательно, решение однородного уравнения (25) таково:

по/о = е (С^ОБк^ + С2зтк2€),

где С1 и С2 - произвольные постоянные, а к1 и к2 даются формулами (22).

Частное решение пч/н = т уравнения (23) очевидно.

Таким образом, общее решение уравнения (18) имеет вид:

п'(г) = е~к11(С1соБк2г + С2Б1пк2г) + т. (26)

С учетом граничных условий (19) решение задачи (15) - (19) таково:

п'(г) = (("о - т)зт(к2(Т - г)) -

-тек'т Б1пк2г^ + т. (27)

Полученное решение (27) задачи (15) - (19) дает информацию о периодичном характере динамики темпа инфляции п на фоне изменения темпа роста безработицы и. Амплитуда этих колебаний равна А = + С2. Минимальные общие дисконтированные социальные потери в течение периода времени [0,Т] находятся по аналогии с базовой модель п.1.

Анализируя полученную зависимость оптимального темпа инфляции п'(г) от темпа роста безработицы и, делаем вывод о том, что асимптотически в модели (15) - (19) (то есть при г ^ ю) ожидаемый темп инфляции п становится равным темпу роста номинального денежного баланса т. Так что, вид решения (27) указывает на гармонические затухающие колебания темпа инфляции п относительно его равновесного значения т с амплитудой А и частотой ш.

Литература:

1. Аксенюшкина Е.В. Решение одной задачи оптимального распределения ресурсов / Е.В. Аксенюшкина // Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика. 2019. № 1. С. 3-12.

2. Леонова О.В. Моделирование процессов убытков страховщика с помощью вероятностных распределений на примере страховой компании РОСГОССТРАХ / О.В. Леонова, П.Г. Сорокина // Baikal Research Journal. 2017. Т. 8. № 4.

3. Шуплецов А.Ф. Моделирование оптимальной стратегии развития предпринимательской деятельности промышленной компании на основе эффективного использования потенциала

Literature:

1. Aksenyushkina E.V. Solution of one problem of optimal distribution of resources / E.V. Aksenyushkina // Bulletin of the Buryat State University. Mathematics, computer science. 2019. № 1. P. 3-12.

2. Leonova O.V. Modeling the processes of losses of an insurer using probability distributions on the example of the insurance company ROSGOSSTRAKH / O.V. Leonova, P.G. Sorokina // Baikal Research Journal. 2017. Vol. 8. № 4.

3. Shupletsov A.F. Modeling of the optimal strategy for the development of entrepreneurial activity of an industrial company based on the effective use of the potential of intangible resources / A.F. Shupletsov,

нематериальных ресурсов / А.Ф. Шуплецов, П.В. Харитонова // Baikal Research Journal. 2013. Т. 8. № 6. C. 8-14.

4. Ованесян С.С. Модель оптимизации налоговой нагрузки отраслей региона / С.С. Ованесян, Н.И. Черхарова // Baikal Research Journal. 2013. Т. 8. № 2. C. 27-35.

5. Chiang A.C. Fundamental methods of mathematical economics. New-York : McGraw-Hill, 1974. 785 p.

6. Angel de la Fuente. Mathematical methods and models for economists. Cambridge : Cambridge Univ. Press, 2000. 835 p.

7. Кузнецова О.С. Неопределенность функции общественных потерь и оптимальная макроэкономическая политика / О.С. Кузнецова; Нац. ис-след. ун-т «Высшая школа экономики». М. : Изд. дом «Высшей школы экономики», 2012. 24 с.

8. Математическая модель перехода предприятий к оптимальному эколого-экономическому режиму работы / Д.С. Чернавский [и др.] // Вестник МГТУ «СТАНКИН». 2012. № 3(22). С. 110-114.

9. Романовский М.Ю. Введение в эконофизику. Статистические и динамические модели / М.Ю. Романовский, Ю.М. Романовский. М. : ИКИ, 2007. 280 с.

10. Similarities and differences between physics and economics / H.E. Stanley [et al.]. 2001. Vol. 299. № 1. - P. 1-15.

11. Журавлев С.Г. Дифференциальные уравнения: сборник задач : учеб. пособие для вузов / С.Г. Журавлев, В.В. Аниковский. М. : Изд-во «Экзамен», 2005. 128 с.

12. Брю С.Л. Экономикс: принципы, проблемы и политика / С.Л. Брю, К.Р. Макконнелл. М. : ИН-ФРА-М, 1999. 974 с.

13. Пантелеев А.В. Методы оптимизации в примерах и задачах. М. : Высш. шк., 2005. 544 с.

14. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. М. : Наука, 1965. Ч. 1. 468 с.

P.V. Kharitonova // Baikal Research Journal. 2013. Vol. 8. № 6. P. 8-14.

4. Ovanesyan S.S. Model for optimizing the tax burden of the region's industries / S.S. Ovanesyan, N.I. Cherkharova // Baikal Research Journal. 2013. Vol. 8. № 2. P. 27-35.

5. Chiang A.C. Fundamental methods of mathematical economics. New-York : McGraw-Hill, 1974. 785 p.

6. Angel de la Fuente. Mathematical methods and models for economists. Cambridge : Cambridge Univ. Press, 2000. 835 p.

7. Kuznetsova O.S. Uncertainty of the social loss function and optimal macroeconomic policy / O.S. Kuznetsova; National research University «Higher School of Economics». M. : Ed. house of the Higher School of Economics, 2012, 24 p.

8. Mathematical model of the transition of enterprises to the optimal environmental and economic mode of operation / D.S. Chernavsky [et al.] // Bulletin of MSTU «STANKIN». 2012. № 3(22). P. 110-114.

9. Romanovsky M.Yu. Introduction to econophysics. Statistical and dynamic models / M.Yu. Romanovsky, Yu.M. Romanovsky. M. : IKI, 2007. 280 p.

10. Similarities and differences between physics and economics / H.E. Stanley [et al.]. 2001. Vol. 299. № 1. P. 1-15.

11. Zhuravlev S.G. Differential equations: collection of problems. Proc. allowance for universities / S.G. Zhuravlev, V.V. Anikovsky. M. : Publishing house «Exam, 2005. 128 p.

12. Brew S.L. Economics: principles, problems and politics / S.L. Brew, K.R. McConnell. M. : INFRA-M, 1999. 974 p.

13. Panteleev A.V. Optimization methods in examples and problems. M. : Higher. school, 2005. 544 p.

14. Buchholz N.N. Basic course of theoretical mechanics. M. : Science, 1965. Part 1. 468 p.