Минимизация расхода топлива сельскохозяйственного самолета, выполняющего опыление Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том ХЬV

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

2014

№ 4

УДК 629.735.33.016

МИНИМИЗАЦИЯ РАСХОДА ТОПЛИВА СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННОГО САМОЛЕТА, ВЫПОЛНЯЮЩЕГО ОПЫЛЕНИЕ

С. Н. СУПРУНЕНКО, Л. Т. ТАНГ

Рассматривается вариационная задача минимизации расхода топлива сельскохозяйственного самолета, выполняющего распыление ядохимикатов или удобрений в горизонтальном полете. Учитывается изменение полной массы самолета в полете и сложный характер зависимости удельного расхода топлива силовой установки от режима полета. Предлагается метод определения экстремали вариационной задачи, основанный на уточнении более простого квазистационарного решения, получаемого исходя из условия равенства силы тяги двигательной установки аэродинамическому сопротивлению самолета. Численные расчеты, выполненные для сельскохозяйственного самолета Р7Ь М-15, показывают, что при достаточно больших расходах распыляемого вещества уточненное решение позволяет заметно повысить топливную экономичность.

Ключевые слова: сельскохозяйственная авиация, воздушные работы, оптимизация режима полета, вариационное исчисление.

ВВЕДЕНИЕ

Использование авиации в сельском хозяйстве является эффективным, а в некоторых случаях и единственным способом обеспечения урожайности. Но выполнение воздушных работ — остается дорогостоящим мероприятием для сельского хозяйства [1]. В стоимость этих работ входят эксплуатационные затраты, оплата летно-технического персонала. Не последнее место занимает и стоимость расходуемого авиационного топлива, которая в 2 — 3 раза выше стоимости топлива, расходуемого обычной наземной техникой при выполнении аналогичных работ. Поэтому выявление оптимальных экономичных режимов полета для сельскохозяйственной авиации является важной задачей в плане снижения общей себестоимости агропродукции.

Пожалуй, главным видом работ сельхозавиации является опыление полей ядохимикатами и удобрениями. В данном случае самолет распыляет соответствующие вещества в режиме полета на малой высоте вдоль грядок. Поскольку при каждом пролете опыляется только сравнительно

узкая полоса, то самолет делает множество пролетов с разворотами за границей обрабатываемого поля. Поэтому оптимизацию режима полета с распылением прежде всего следует рассматривать для прямолинейных участков. Это оправдывает целесообразность постановки вариационной задачи о минимизации расхода топлива в горизонтальном прямолинейном полете на заданную дальность, или, что фактически то же самое, о максимизации дальности при заданном запасе топлива.

Вариационные задачи на минимум расхода топлива или максимум дальности полета ставились уже давно и решались неоднократ-

СУПРУНЕНКО Станислав Николаевич

кандидат технических наук, ведущий научный сотрудник ЦАГИ

ТАНГ Лам Тхань

аспирант ФАЛТ МФТИ

но, но применительно к сельскохозяйственной авиации исследований немного. По-видимому, наиболее полно и плодотворно оптимизация режимов полета сельскохозяйственного самолета, выполняющего опыление, рассмотрена в [2]. Существенно, что полученные результаты учитывают изменение массы самолета за счет распыления химического вещества.

Отмечая работу [2], следует все же отметить ряд сделанных в ней допущений и упрощений, снижающих возможность более глубокой оптимизации режима полета. В частности, при решении вариационной задачи удельный расход топлива принимается постоянным, а сам расчет оптимального режима является, по сути, графо-аналитическим, требующим тщательного анализа промежуточных результатов. Поэтому в настоящей статье сделана попытка дать более точное решение вариационной задачи, а процесс получения конечного результата максимально формализовать за счет алгоритмизации расчетов с опорой на использование современных компьютерных технологий.

Для решения поставленной вариационной задачи предлагается метод определения экстремали, основанный на уточнении приближенного квазистационарного решения, получаемого минимизацией километрового расхода топлива при равенстве тяги двигателя аэродинамическому сопротивлению самолета. Так как отклонения точного оптимального решения от квазистационарного приближения невелики, то без заметной потери точности оказывается возможным использовать технологию линеаризации нелинейных зависимостей, главной из которых в рассматриваемой задаче является зависимость удельного расхода топлива от скорости полета и тяги двигателя.

Результаты численных расчетов получены с использованием характеристик сельскохозяйственного самолета Р2Ь М-15 Belphegor, который производился в Польской Народной Республике в г. Мелец (М1е1ес) по совместному советско-польскому проекту [3]. В исследованиях по этому проекту принимал участие и ЦАГИ. Конструкция самолета уникальна — это биплан с турбореактивным двигателем (АИ-25). Неэффективность турбореактивных двигателей на малых скоростях и довольно высокое лобовое сопротивление принятой компоновки биплана требовали повышенного расхода топлива. В расчетах показано, что использование оптимального режима полета могло бы повысить топливную экономичность этого самолета.

1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И МИНИМИЗИРУЕМЫЙ ФУНКЦИОНАЛ

На режиме прямолинейного горизонтального полета без выполнения распыления уравнения движения самолета имеют вид:

тУ = Р - Ха, Уа = mg , т = -сеР , Ь = V, (1)

где т — масса самолета; V — скорость полета; Ь — координата дальности; Р — тяга двигателя; Ха — сила аэродинамического сопротивления; Уа — аэродинамическая подъемная сила; се — удельный расхода топлива ( сеР — секундный расход топлива). Аэродинамические силы зависят от скоростного напора:

Ха = схЧБ , ¥а = суФ ,

где д = рУ 2/2 — скоростной напор (р — плотность атмосферы), — площадь крыла. Второе уравнение (1) — это условие поддержания горизонтального полета. Из него следует необходимая величина аэродинамического коэффициента подъемной силы:

Су = mg / цБ = с у гп (т, V).

Таким образом, в горизонтальном полете этот коэффициент является функцией массы самолета и скорости полета.

Коэффициент лобового сопротивления зависит от коэффициента подъемной силы, т. е. сх = сх(су). Для получения аналитических результатов обычно берется квадратичная зависимость (квадратичная поляра), но для численно-ориентированных расчетов в этом нет необходимости — зависимость может быть любой. Поляры для самолета М-15 по данным [2] приведены на рис. 1.

0.15 0.2 cs 2 4 6

Рис. 1. Характеристики самолета

В горизонтальном прямолинейном полете

cx = cx (cyг.п(m,V)) = cxг.п(m,V) •

При выполнении разворотов самолет летит с некоторым углом крена у. В этом случае значение коэффициента подъемной силы, необходимое для горизонтального полета, определяется формулой

Су г.п (m, V) = mg /(qS cos у).

Для снижения радиуса разворота значение угла крена берется максимально допустимым, дополнительно могут выпускаться закрылки. В криволинейном полете переменная L будет определять пройденный путь. Очевидно, что участки разворота можно рассматривать точно так же, как и прямолинейные участки. Необходимо только увеличить коэффициент Су гп для компенсации уменьшения вертикальной составляющей подъемной силы из-за крена.

Следует отметить, что простая модель (1) не учитывает наличия нормальной составляющей и снижения тангенциальной составляющей тяги из-за отклонения вектора тяги двигателя от вектора скорости полета. Но для решаемой задачи эти эффекты не имеют принципиального значения и при необходимости могут быть приближенно учтены без изменения структуры уравнений (1) (см. Приложение).

Удельный расход топлива ce зависит от высоты, скорости полета и тяги P, но при полете на постоянной высоте это будет функция только скорости и тяги, ce = ce (V,P). В общем случае эта зависимость достаточно сложная, что является проблемным моментом рассматриваемой задачи, препятствующим получению точного аналитического решения. Поведение этой зависимости для двигателя самолета М-15 приведено на рис. 1.

Полагаем, что время полета не фиксируется. В этом случае дифференциальные уравнения удобно преобразовать к форме с независимой переменной L:

dV /dL = (P -Xa )/(mV), dm / dL = -ceP /V.

(2)

Здесь Xa = cx г.п (m,V)qS = Xa (m,V) — функция от V и m, а величина ceP / V определяет

путевой расход топлива. На практике (см. например [4]) оптимизация полета по топливной экономичности выполняется путем статической минимизации путевого расхода топлива по скорости полета для каждого фиксированного значения массы m самолета в предположении, что тяга двигателя уравновешивает аэродинамическое сопротивление, т. е. принимается P = Xa. В данном случае dV ¡dt = 0 и V = const, благодаря чему определение оптимальной скорости полета в виде зависимости V0pt = V00 (m) требует выполнения сравнительно простой операции:

ce(V,Xa(m,V))Xa(m,VVV ^

min.

V

Полученное решение можно назвать квазистационарным, так как по мере расходования топлива масса самолета т непрерывно уменьшается и оптимальная скорость полета на самом деле оказывается переменной. Но его можно назвать также и квазиоптимальным, поскольку, давая неплохие результаты, оно все же не использует полностью потенциальный резерв снижения тяги за счет учета ускорения ёУ / Для обычной авиации этот резерв незначителен, так как уменьшение массы происходит медленно и соответствующие этому изменению величины ускорения ёУ!ё1 = (<ЛУ0рХ! ёт)(ёт/&) оказываются довольно малыми.

При выполнении сельскохозяйственных работ величины ёУ / & могут оказаться более заметными, так как изменения массы самолета происходит не только из-за расходования топлива, но также из-за убыли распыляемых удобрений или ядохимикатов. В этом случае скорость изменения полной массы самолета определяется соотношением:

ёт „ ётс „ ётс

-= -сеР--- = -сеР--- У,

& & ёЬ

где ёт с /& — скорость расходования массы распыляемого вещества и ёт с /ёЬ = т'с — величина расхода массы распыляемого вещества на единицу расстояния. Как правило, величина т'с — постоянная, определяемая характером требуемой обработки посевов. Таким образом, вместо уравнений (2) следует рассматривать уравнения:

ёУ /ёЬ = (Р -Ха)/(тУ), ёт /ёЬ = -сеР/У - т'с. (2')

Задачу минимизации расхода топлива при заданной дальности полета можно заменить эквивалентной задачей максимизации дальности при заданном расходе топлива. В этом случае рассматривается функционал

Ь1 т1 ёь

3 = I ёЬ = I -ёт ^ тах. (3)

* ёт у

О то

2. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ

При решении вариационной задачи учтем, что основная часть тяги двигателя идет на компенсацию аэродинамического сопротивления, поэтому примем

Р = Ха + АР,

где АР — отклонение силы тяги от значения, идущего на компенсацию Xа . Ввиду малости этого отклонения (АР << Ха) зависимость се(У,Р) можно линеаризовать:

Се = Се (У, Р) = Се (У, Ха + АР) « Се (У, Ха ) + дсе/дР\р=ха АР = СеО + СеР АР , СеР ~ (СеО + СеР АР)(Х а + АР) « СеО Ха + (СеО + СеРХа )АР.

Здесь введены параметры сеО = се (У, Ха), сеР =дсе (У, Р)/дР \Р=Ха, являющиеся функциями У и т.

Из (2') следует:

ёУ ёУ ёт ёт

АР = тУ-= тУ--= тУУ-,

ёЬ ёт ёЬ ёЬ

ёт - сеР . „ сеОХа + (сеО + сеРХа)АР .

-=--тс «---тс.

ёЬ У У

Исключая из обоих уравнений АР , получим:

ёЬ - У

ёт СеО Ха + т'с У

ёУ

1 + (сеО + СеРХа )т — ёт

С учетом этого результата функционал 3 принимает вид:

тОО

3 . Ь = ■ У

щ СеОХа + т'сУ

ёУ

1 + (СеО + СеРХа )т — ёт

ёт. (3')

Для краткости записи последующих формул используем обозначения:

У 1

/х(У, т) =

СеОХа + т'сУ тРО (У, т) + тС '

У2(У, т) =- У (СеО + СеРХа )т = У1(У, т) /з(У, т),

СеОХ а + тсУ

/з(У, т) = (СеО + СеРХа )т, У ' = ёУ/ёт.

Введенная здесь величина т'РО(У, т) = сеОХа/У — это путевой расход топлива в квазистационарном приближении (при допущении Р = Ха). Функционал 3 теперь приобретает более компактный вид:

тО

3 =\[Л(У, т) + У'/2У, т) ]ёт. (3'')

т

Характер поведения функций /1(У,т) и /2(У,т) для случая т'с = О иллюстрируется графиками на рис. 2. Здесь же приведена и функция /5(У, т), которая от параметра т'с не зависит. Характерно, что функция /1У, т) выпукла вверх (один максимум), в то время как две других функций демонстрируют более замысловатое поведение. Следует заметить, что функция 1/ Л(У, т) — это путевой расход общей массы самолета в квазистационарном приближении:

1//1(У,т) = тРО(У,т) + тС .

Так как параметр т'с принят постоянным, то минимизатор по аргументу У для функции VЛ(У,т) и для функции путевого расхода топлива тР0(У,т) один и тот же, и понятно, что он не зависит от т'с . С другой стороны, минимизация функции /1(У, т) и максимизация обратной ей функции 1//х(у,т) тоже дают одинаковый результат для У. Из этого следует, что операция определения максимума функции /1 (У, т) должна приводить к получению квазистационарного приближения УО(т), которое от параметра т'с не зависит. Данные рассуждения позволяют

/,(У,т), м/кг МКт), кг-м/(и-с) /э(У, от), кг2/(н-с)

20 30 40 50 У, М/с 20 30 40 50 V, М/С 20 30 40 50 V, М/С Рис. 2. Поведение функций /¡(У,т), /2(У,т) и /3(У,т) в случае тс = О (т1 = 6 т, т2 = 4.5 т, т3 = 3 т)

заключить, что в подынтегральном выражении функционала (3'') слагаемое /1(У,т) является основным, так как максимизация только этого слагаемого уже дает хорошее приближение для искомого решения. Но одно это слагаемое не обеспечивает учет динамики изменения массы и не дает решения, зависящего от т'с . Это обеспечивает второй член подынтегрального выражения,

Ф'1г(У,т). Практические вычисления, связанные с определением зависимости У0(т), несложные. В данном случае переменная т рассматривается как фиксированный параметр и требуется поиск экстремума функции только по одной переменной V в заданном интервале (диапазон возможного изменения V известен).

3. РЕШЕНИЕ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ

Формула (3'') представляет собой стандартную запись функционала вырожденной вариационной задачи. Необходимым условием экстремума такого функционала будет соотношение [5]:

д д

—Ш, т)-—/2(ф, т) = 0, (4)

дф дт

которое следует из общего уравнения Эйлера, определяющего экстремаль. Выражение (4) представляет собой уравнение вида ^ (V, т) = 0 для определения зависимости V = V (т), которая задает оптимальное соотношение между скоростью полета и массой самолета.

Характерная особенность вырожденной задачи — экстремаль V (т) не проходит через заданные граничные условия по скорости V0 = V(т00) и VI = V(т^) и реализуется на режиме промежуточной тяги. Но экстремаль может быть дополнена участками полета с максимальной и минимальной тягой, что позволяет согласовать заданные граничные условия и учесть ограничения на уровень тяги. Возможно включение в экстремаль участков, являющихся дугами границы допустимой области фазовой плоскости (V, т). Для решаемой задачи это означает, что начало и завершение полета выполняется с максимальной и минимальной тягой, а участки выхода кривой V (т) за пределы разрешенной области в плоскости (V, т) заменяются границами этой области.

Интересно отметить, что вырожденная вариационная задача может иметь решения и в классе разрывных функций. В частности, В. Ф. Кротовым для задачи максимизации дальности полета получено решение типа «пунктирной тяги» [6]. Являясь интересным в плане выявления абсолютного оптимума, такое решение для обычных самолетов все же мало пригодно, так как оно не учитывает ограничения по эксплуатации и безопасности, запрещающие частые включения-выключения двигателей. Поэтому, ориентируясь на практическую реализацию, здесь мы рассматриваем только непрерывную экстремаль.

Определить экстремаль V (т) из (4), если функции ^^, т) и /, т) представлены в виде явных формульных зависимостей от аргументов V и т, несложно. В данном случае частные производные этих функций в соотношении (4) можно определить тоже в явном виде, а получающееся явное уравнение ^ (V, т) = 0 без проблем решается численно (относительно аргумента V для набора значений аргумента т). Но в общем случае получить явные аналитические формулы для функций /1(У,т) и /2(У,т) затруднительно, так как эти функции зависят от заданных таблично характеристик самолета и двигателя. В связи с этим ниже рассматривается приближенный метод определения зависимости V (т), не требующий предварительного формирования уравнения для экстремали.

4. ПРИБЛИЖЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭКСТРЕМАЛИ

Как уже отмечалось выше, квазистатическое решение, основанное на замене Р на Ха в выражении минимизируемого путевого расхода топлива ётШЬ, дает неплохое приближение для экстремали. Поэтому примем в качестве исходного нулевого приближения решение ^(т), получающееся из условия

д/^, m)|дV = 0, д2/^, m)|дV2 < 0.

Зависимость ^(т) — это квазистационарное решение, от параметра т' не зависящее. Это решение удовлетворяет уравнению (4) при отсутствии второго слагаемого, т. е. при условии д/2(У, т)/дт = 0. Очевидно, учет этого слагаемого вносит всего лишь небольшую поправку

к Уo (т). Поэтому при решении уравнения (4) относительно аргумента V примем

V = V0(m) + AV (т), (5)

где AV — малая величина. Такой подход позволяет использовать разложения функции / (V, т) и /2 (V, т) в степенные ряды по аргументу AV. Так как поправка AV уже сама по себе мала, то для соблюдения баланса порядков малости порядок разложения функции /2(У, т) по степеням AV может быть взят на единицу меньше порядка разложения функции / (V, т) . Подставляя разложения в (4), получим степенное уравнение относительно AV. В первом приближении достаточно ограничиться для /1(V, т) — квадратичной аппроксимацией, а для /2(У, т) — линейной. В этом случае для искомого значения AV получается линейное уравнение.

Однако надо учесть, что для практики обычно требуются расчеты с вариацией значений параметра т'с . Этот параметр входит в уравнение (4) нелинейно (присутствует в знаменателе функции /l(V, т)), поэтому в получаемой формуле расчета AV он будет присутствовать неявным образом, что увеличивает общий объем вычислений. Этого можно избежать, т. е. получить расчетные формулы с явным присутствием параметра т'с, если в (4) вместо функции / (V, т) использовать обратную ей функцию

Фх (V, т) = [ /1 (V, т)]-1 = се0 Xa|V + т'с = т'р0 (V, т) + тС.

Здесь, как и ранее, через m'P0(У,т) = се0Xобозначен путевой расход топлива при полете на квазистационарном режиме. Замена в уравнении (4) функции /l(V,т) на функцию Фх (V, т) приводит к уравнению

^hV^-MVM^^+^Vm)^^ = о, (6)

dV dm dm

или, с учетом m'c = const:

dmkVm) -MV,m)dmPmm) + [mpo(V,m) + mC]Щ^- == 0. (6')

dV dm dm

В этом уравнении параметр m'c присутствует уже линейным образом. Основная часть решения уравнения, т. е. приближение V0(m), определяется первым слагаемым, поскольку это решение удовлетворяет условию dm'po(V, m)/dV = 0. Поэтому при использовании подстановки (5) имеет смысл переписать (6') в виде

dmpo(VQ + AV,m) J - + Ay dm'poVo + AV,m) _

dAV | 3 o ' dm

1 _ , (6'')

_ [mPoV +AV, m) + mC ] Шд^ [.

dm j

Для определения уточняющей поправки AV в первом приближении, в уравнении (6'') следует использовать следующие аппроксимации:

ioo

для левой части

тРО (Уо + АУ, т) = тРО (Уо , т) + ^-АУ 2 тРО (У, т) \у=у :

2 дУ2 О

дт'РО(УО +АУ, т) дАУ

= АУ

1 ^ д2

2

д2

дУ2

тРО(У, т)\

У=Уо '

для слагаемых правой части (с точностью до АУ)

/3(УО +АУ,т) дтРО(УО +АУ,т) « /3(УО,т)+

+АУ

дт

дтРо(Уо,т) д/,(У,т)

дт

дУ

У=Уо

+/эУо, т)

дт

д2 тРо (У, т) дтдУ

У=Уо

тРО(УО +АУ,т) д/3(Уо +АУ,т) « тРо(УО,т)

дт

т , д/3(Уо +АУ, т) ^ т ,

тс-« тс

дт

д/3(Уо, т) дт

д/3(Уо,т)+Ау У=У

дт дтдУ о

д 2 /3(У, т)

+ АУ

дтдУ

' \ У=Уо

Таким образом, для составления уравнения относительно АУ нужно знать функции и частные производные

/э(У, т),

д/3(У, т) д/3(У, т) д 2Л(У, т)

дт

дУ ' д 2т'РО(У, т) дтдУ

дтдУ д 2 т'РО(У, т) дУ 2

т'РО(У,т).

дтРО (У, т) дт

определяемые вдоль квазистационарного решения У = Уо(т). Изначально это зависимости от аргументов У и т. Но поскольку аргумент У заменяется на квазистационарное решение У = УО(т), то получаются зависимости только от аргумента т. Для сохранения компактности последующих формул эта функциональная зависимость будет подразумеваться без использования соответствующих обозначений. Например, производная д/1(У,т)/дУ \У=УО(т) записывается как д/дУ и

т. д. С учетом этого уравнение (6''), с точностью до АУ включительно, можно записать в следующем виде:

АУ д2тРо = / _дтРО

дУ 2

дт

РО

дт

дт

- + АУ

дтРо д/3 , д2тРо „, д2/ъ _, д2/3 ^

дт дУ

+ /3

дтдУ

~тРо

дтдУ

-- тс

дтдУ

Отсюда следует искомая формула для определения поправки:

/3

дтРо - (тРо + тС)

АУ = ■

дт

дт

д2т'РО дт'РО д/3 д2т'Р

дУ2

дт дУ

- /3

РО

дтдУ

+ (тРо + тС)

д 2 /3 дтдУ

(7)

Параметр т'с присутствует в формуле явно, так что любые изменения этого параметра легко учесть без пересчета других коэффициентов, что существенно сокращает объем требуемых вычислений. Так как числитель и знаменатель (7) зависят от т, то (7) определяет зависимость АУ(т).

- т

Обычно интенсивность расходования распыляемой массы существенно выше, чем интенсивность расходования массы топлива (т'с >> т'р0). Для этих случаев формулу можно упростить

При отсутствии опыления (т'с = 0) формула расчета будет иметь такой же вид, только вместо т'с надо взять т'Р0 .

Полученные формулы позволяют в принципе определить оптимальную зависимость V = V (т). Однако реальные расчеты требуют решения еще некоторых дополнительных вопросов. Основная проблема в том, что в приведенном алгоритме требуется довольно точное вычисление производных первого и второго порядка по двум аргументам в условиях, когда исходные данные по топливорасходным характеристикам двигателя, а также аэродинамические характеристики самолета могут быть заданы в виде графиков или таблиц. Очевидный способ получения решения — использование полиномиальных или сплайн аппроксимаций для функций. Перспективно также последующее привлечение технологии символьных вычислений. Расчетные результаты, представленные в разделе 5 данной статьи, были получены с использованием процедуры расчета оптимальной скорости путем определения решения для набора фиксированных значений аргумента т. Для определения частных производных, фигурирующих в формуле (7), применялось численное дифференцирование. Чтобы улучшить качество дифференцирования, исходные табличные данные по зависимостям сх (с ) и се (V,Р) предварительно аппроксимировались полиномами.

В дополнение к экстремали V = V (т) интерес для практики представляет также расчет и других зависимостей. Рассмотрим этот вопрос подробнее. Прежде всего для экстремали V(т) следует определить зависимость Р (т), показывающую значения тяги, необходимой для реализации оптимального режима. Используя уравнение для скорости полета (здесь и далее будем полагать, что скорость полета Vравна оптимальному значению V, т. е. V = V(т))

3 дт с дт

AV =

(7')

5. ДАЛЬНЕЙШИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

запишем

Жт Ж

Учитывая в этом уравнении, что скорость изменения массы определяется формулой

получаем

т—(сеР + т V) = Ха - Р.

Жт

(8)

Это уравнение можно переписать в виде

Р = Ха -т—[се(V,Р)Р + тV].

Жт

(8')

Расчеты показывают, что с уменьшением массы т значение оптимальной скорости У = У (т) тоже уменьшается, поэтому в уравнении (8) имеет место ёУ/ёт > О. Это позволяет записать

АР = Р - Ха = -т—[се(У,Р)Р + т'сУ] < О. ёт

Неравенство показывает, что требуемая для реализации оптимального режима тяга меньше значения, необходимого для компенсации аэродинамического сопротивления (т. е. меньше тяги квазиоптимального режима). Оптимальная зависимость Р (т) определяется путем решения уравнения (8') для последовательности значений параметра т. Уравнение нелинейное, и для получения численного решения можно воспользоваться каким-либо итерационным методом. В данном случае вполне применим метод последовательных приближений с началом итераций со значения Р = X а.

Теперь воспользуемся вторым уравнением (2') для изменения массы. Преобразуем его к виду:

ёт

ёЬ = —

тС + Се (У, Р)Р/У

Интегрированием получаем выражение для пролетаемого расстояния Ь при уменьшении массы самолета от начального значения т(О) до конечного значения т(Ь):

т(О) , Ь = г -ёт-.

т(Ь) тС + Се (У, Р)Р/У

Интеграл вычисляется с использованием оптимальных зависимостей У = У (т) и Р = Р (т), причем величина се (У, Р) Р/У = тР (т) представляет собой путевой расход топлива оптимального режима в зависимости от текущей массы т. Однако вместо разового вычисления интеграла удобнее использовать процедуру численного решения обыкновенного дифференциального уравнения

ёЬ =--1---(9)

ёт тС + се (У, Р)Р/У

с начальным условием т = т(О), Ь = О. В этом случае сразу же получается оптимальная зависимость Ь = Ь (т) для последовательности значений т < т(О).

Для определения расхода топлива следует учесть, что полная масса складывается из трех составляющих:

т = то + тР + тс,

где то — масса «сухого» самолета, тР — масса топлива, тс — масса распыляемого вещества. В начальный момент распыления

т(О) = то + тР (О) + тс (О). После пролета расстояния Ь полная масса самолета уменьшится на величину Ат = т(О) - т = тР (О) - тР + тс (О) - тс = АтР + Атс.

Здесь АтР = тР (О) - тР — масса израсходованного топлива, Атс = тс (О) - тс — масса израсходованного распыляемого вещества. Поскольку Атс = т'сЬ , то можно записать

т(О) - т = АтР + т'сЬ (т),

откуда следует

bmP = m(0) - m - m'cL (m).

(10)

При таком порядке вычислений получается зависимость расхода топлива от полной массы Amp (m). Но наиболее наглядной и удобной для практического использования будет зависимость расхода топлива от пройденного пути L. Чтобы ее получить, надо знать оптимальную зависимость m = m (L). На этом этапе можно выполнить обращение найденной ранее зависимости

L = L (m), или же воспользоваться численным интегрированием дифференциального уравнения

dm dL

= - cePlV - mC,

с начальным условием Ь = 0, т = т(0). После определения зависимости т = т(Ь), затраты топлива для полета на расстояние Ь несложно вычислить по формуле (10), в которой переменная т заменяется на зависимость т (Ь), а зависимость Ь (т) — на переменную Ь.

6. ПРИМЕР ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ

Для демонстрации эффективности предложенного решения нами рассмотрен численный пример с использованием данных по сельскохозяйственному самолету PZL М-15. Суммарная площадь двух крыльев S = 67.2 м2, минимальный и максимальный вес самолета Gmin = 3600 кг и Gmax = 5800 кг. Графики для поляры планера и для топливорасходных характеристик двигателя по данным [2] приведены на рис. 1 (см. раздел 1). Максимальная тяга Pmax используемого двух-контурного турбореактивного двигателя АИ-25 довольно высокая — на режиме взлета она составляет 1500 кгс. Но у двигателя такого класса большой удельный расход топлива на малых скоростях, на которых производится опыление. К тому же, реализованная компоновка биплана обладает повышенным лобовым сопротивлением. Как видно из приведенного на рис. 1 графика поляры, минимальное значение коэффициента cx составляет величину 0.045, по сути в два раза большую, чем у обычной конструкции. Указанные факторы являлись основными причинами повышенного расхода топлива этого самолета при выполнении воздушных работ. Наши расчеты показывают, что полет на оптимальном режиме, задаваемом экстремалью V = V (m), обеспечивает снижение расхода топлива, которое становится довольно значимым, если распыляемое вещество расходуется интенсивно. Рассмотрим полученные результаты подробнее.

Расчетные графики экстремальных зависимостей V = V (m) для значений путевого расхода распыляемого вещества m'c = 0.05; 0.10; 0.15 кг/м приведены на рис. 3. При ширине захвата 40 м (ширина обрабатываемой полосы в одном пролете) это эквивалентно нормам расхода по площади соответственно 12.5, 25 и 37.5 кг/га, что достаточно типично для того времени, когда самолет М-15

эксплуатировался. На этом же рисунке приводятся графики зависимостей для квазиоптимальной скорости V = V (m) и так называемой наивыгоднейшей скорости V = Vjj в (m), которая соответствует полету с минимальным значением аэродинамического сопротивления Xa (по сути с максимальным аэродинамическим качеством) [7]. Зависимость V^ (m) приведена здесь не только для сравнения, но и в качестве границы, отделяющей первые режимы полета от вторых, пилотирование на которых небезопасно из-за неустойчивости самолета по скорости. Поведение графиков показывает, что для одной и той же массы m оптимальные скорости V меньше квазиоптимального значе-Рис. 3. Экстремальные зависимости 1Ь,п ния • Если распыление не выполняется (т'с = 0), то

Рис. 4. Расход топлива по дистанции и сравнительная экономичность оптимального режима

это отличие очень мало (приведенные графики V(т) и ^(т) почти сливаются). Но в случаях с распылением отличие уже заметное. Отклонение графиков тем больше, чем больше параметр расхода т'с . Необходимо отметить, что с ростом т'с графики экстремали V (т) приближаются к графику Vнв (т), но остаются выше него. Т. е. для экстремали соблюдается условие V (т) > Vнв (т) и, таким образом, экстремаль обеспечивает полет на первых режимах. Для реализации оптимального режима заведомо выполняется Р(т) < Ртах и проблемы недостатка тяги не возникает.

Графики расхода топлива тр, а также графики абсолютной и относительной величин сэкономленного топлива Дтр и гтр в зависимости от пролетаемой дистанции Ь приведены на рис. 4. Расчеты выполнены для значения начальной массы т(0) = 6000 кг. Экономия топлива здесь определяется как величина снижения расхода топлива оптимального режима полета в сравнении с расходом топлива, которое требуется для квазиоптимального режима полета:

ДтР = тР0 - тР , етР = ДтР/тР0 х 100%,

где тР0 — расход топлива для квазиоптимального режима ^(т). Графики в левой части рис. 4 иллюстрируют эффективность оптимального режима при отсутствии опыления, а в правой части — с опылением. Следует обратить внимание, что графики с опылением приведены для более коротких дистанций полета, поскольку из-за дополнительной загрузки запас топлива на однократный полет сокращается. В соответствии с полученными расчетными данными для пролета предельной дистанции Ь = 400 км без распыления на квазиоптимальном режиме требуется 780 кг топлива, а на оптимальном режиме всего лишь на 2 кг меньше, т. е. выигрыш очень небольшой. Но в случае полета с распылением экономия топлива от использования оптимального режима уже более заметна. Характерно, что с возрастанием пролетаемой дистанции относительная экономичность оптимального режима в сопоставлении с квазиоптимальным возрастает, и при больших нормах распыления может достигать порядка 20% и больше.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В статье предложено решение задачи минимизации расхода топлива для сельскохозяйственного самолета, выполняющего в горизонтальном полете распыление ядохимикатов или удобрений. Метод решения вариационной задачи учитывает изменение массы самолета в полете и основывается на предположении о малости отклонения строго оптимального режима от квазистационарного (квазиоптимального) приближения, использующего предположение о равенстве тяги силовой установки и аэродинамического сопротивления самолета.

В рамках принятого подхода минимизируемый функционал оказывается вырожденным, что позволяет свести поставленную вариационную задачу к определению экстремали, не зависящей от граничных условий. Экстремаль в виде оптимальной скорости полета в зависимости от текущей массы самолета определяется путем расчета уточняющих поправок к квазистационарному

приближению. Наиболее сложными расчетными элементами предложенной вычислительной процедуры являются частные производные первого и второго порядка для некоторых функций от скорости и массы самолета.

Расчеты с использованием характеристик сельскохозяйственного самолета PZL М-15 (биплан с турбореактивным двигателем) показывают, что уточнение простого квазистационарного решения с целью получения более глубокого минимума по расходу топлива может быть вполне целесообразным и с ростом интенсивности расхода распыляемого вещества становится все более выгодным.

Приложение

ВОЗМОЖНОЕ УТОЧНЕНИЕ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ

В уравнениях (1) не учитывается отклонение вектора тяги от вектора скорости полета. Это учитывает более точная модель движения

тУ = Р cos(a + ф) - Ха, Уа + Р sin(a + ф) = mg,

где ф — угол отклонения вектора тяги от продольной оси самолета. Ниже показывается, как эта модель может быть приближенно представлена в таком же виде, как и в (1).

Из уравнения равновесия по вертикали следует

су (а) = [mg - Р 8т(а + ф)]/qS .

Второе слагаемое в этой формуле — всего лишь небольшая добавка к первому слагаемому, поэтому, используя приближенную оценку Р « Ха = сх (су )qS, получим соотношение

Су (а) » mg|qS - Сх (Су (а)) 8ш(а + ф),

которое представляет собой уравнение относительно угла атаки а. Решение этого уравнения дает значение а = а гп (т,У) и, соответственно,

су г.п (т,У) = су (а г.п (т,У)) сх г.п (т,У) = сх (су г.п (т,У)).

В дифференциальном уравнении, определяющем изменение скорости полета, сумму действующих сил (тангенциальных составляющих) представим в виде:

Р шз(а + ф) - Ха = Р - Ха - Р + Р ^(а + ф) = Р - X*, ха = Ха + Р[1 - cos(a + ф)].

Второе слагаемое в выражении для Ха* существенно меньше первого, поэтому вполне достаточен приближенный учет его путем замены Р наХа. В результате получается

X* » [2 - cos(a + ф)]Xa = [2 - cos(a^ (т,У) + ф)]схг.пqS.

Нетрудно видеть, что структура дифференциального уравнения, описывающего изменение скорости полета, стала такой же, как в (1). Но величина аэродинамического сопротивления Ха заменилась на скорректированную величину X*, которая учитывает уменьшение су гп и соответственно сх гп из-за наличия дополнительной составляющей Р 8т(а + ф), отсутствующей в исходной модели (1). Благодаря такому подходу все полученные в статье формулы остаются в силе, только вместо Ха следует брать X* .

Представленные выше вычисления можно несколько упростить, если принять

sin(a + 9) «а + ф, cy « cy0 + c^а.

В этом случае удобнее вычислять не угол атаки, а коэффициент Су, учитывая связь

а = (cy - cyoVcа .

Уравнение равновесия по вертикали принимает вид:

cy = mg/qS-cx(cy)[ф+ (cy -cyo)/c'a].

Наиболее простой способ получения решения этого уравнения — использовать метод последовательных приближений по схеме

cy | i = mg/qS - cx (cy | i-1 )[Ф + (cy | i-1 - cy o )/ca ] 1 = 1, 2,....

В качестве начального приближения берется величина cy | o = mg/qS. Ввиду малости поправки достаточно ограничиться одной или двумя итерациями. Приняв найденное значение су в качестве cy гп, далее по этому значению определяются угол атаки агп и коэффициент cx гп .

Процедура повторяется для интересующего набора значений m, V.

Если использовать приближение cos^ + ф) « 1 - 0.5(а + ф)2, то для вычисления X* получается упрощенная формула

X* « [1 + 0.5(а,п + ф)2]cx,пqS.

ЛИТЕРАТУРА

1. Полухин А. Малая авиация в сельском хозяйстве: дорого, но выгодно // Аграрное обозрение. 2011, № 1 (23), с. 20 — 23, (www.agroobzor.ru).

2. Федоров Л. П. Экономические режимы полета сельскохозяйственного самолета // Труды ЦАГИ. 1979, вып. 1990.

3. Бабенко И., Олейник В. «Бельфегор» и битва за урожай // Авиация и время. 2006, № 2, с. 4 — 16, (www.aviation-time.kiev.ua).

4. Григорьев В. А., Святодух В. К. Оптимальный крейсерский режим полета неманевренного самолета по критерию дальности // Ученые записки ЦАГИ. 1986. Т. XVII, № 5, с. 24 — 34.

5. Петров Ю. П. Вариационные методы теории оптимального управления. — М.: Энергия, 1965, 220 с.

6. Кротов В. Ф. Об оптимальном режиме горизонтального полета самолета // Сб. Механика, вып.104, МВТУ им. Н. Э. Баумана. — М.: Оборонгиз, 1961, с. 54 — 66.

7. Аэромеханика самолета: Динамика полета / Под ред. А. Ф. Бочкарева и В. В. Андриевского. 2-е изд. — М.: Машиностроение, 1985, 360 с.

Рукопись поступила 28/XI2013 г.