Минимальные поверхности Текст научной статьи по специальности «Математика»

6. Skjetne, Roger. Nonlinear Ship Manoeuvering Model: Identification and adaptive control with experiments for a model ship [Text] / Roger Skjetne, 0yvind N. Smogeli, Thor I. Fossen // Modelling, Identification and Control. - 2004. - Vol. 25, № 1. - pp. 3-27.

7. Casados, Manuel Haro. Identification of the nonlinear ship model parameters based on the turning test trial and the backstepping procedure [Text] / Manuel Haro Casados, Ramon Ferreiro // Ocean Engineering. - 2005. - vol. 32. - pp. 1350-1369.

8. Phillips, Alexander B. Evaluation of manoeuvring coefficients of a self-propelled ship using a blade element momentum propeller model coupled to a Reynolds averaged Navier Stokes flow solver [Text] / Alexander B. Phillips, Stephen R. Turnock, Maaten Furlong // Ocean Engineering. - 2009. - vol. 36. - pp. 1217-1225.

9. Олійник, П.Б. Побудова математичної моделі системи керування судном на основі ідентифікації параметрів судна з метою визначення законів керування [Текст] / П.Б. Олійник, В.М. Тєут // Системи управління, навігації та зв’язку, № 1(13), 2010. -с. 28-36.

10. Іванов, C.B. Автоматична ідентифікація параметрів судна / C.B. Іванов, П.Б. Олійник, В.М. Тєут [Текст] // Системи управління, навігації та зв’язку. - 2010. - № 4(16). - с. 6-11

11. Шейхот, А.К. Совершенствование систем управления морскими подвижными объектами на основе идентификации и адаптации: автореферат дисс... канд. техн. наук.: 05.22.19 / Шейхот Андрей Константинович; ФГОУ ВО «Морской государственный университет им. адм. Г. И. Невельского». - Владивосток, 2008. - 24 с.

12. Nomoto, K. On the steering qualities of ship [Text] / K. Nomoto, T. Taguchi, S. Hirano // International Shipbuilding Progress. - 1957. - vol.4, № 35. - p. 56-64.

13. Гроп, Д. Методы идентификации систем [Текст] / Д. Гроп - М., «Мир», 1979 - 302 с.

-----------------------□ □--------------------------

Актуальність даної роботи полягає в тому, що результати роботи можуть бути покладені в основу написання інших робіт і застосовані в різних сферах діяльності. Подальше використання навичок, набутих в процесі написання даної роботи, можуть бути реалізовані в подальшому, при виконанні робіт, що стосуються побудови поверхонь

Ключові слова: Шерк, мінімальні поверхні, рівняння Лагранжа, циліндричні поверхні, теорема, катеноїд

□-----------------------------------□

Актуальность данной работы заключается в том, что результаты работы могут быть положены в основу написания других работ и применены в различных сферах деятельности. Последующее использование навыков, приобретенных в процессе написания данной работы, могут быть реализованы в дальнейшем, при выполнении работ, касающихся построения поверхностей

Ключевые слова: Шерк, минимальные поверхности, уравнение Лагранжа, цилиндрические поверхности, теорема, катеноид -----------------------□ □--------------------------

УДК 517.2+517.3+517.5(071)

МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

И. А. К и р н о з *

E-mail: inst@adidonntu.org.ua

Е. А. Королёв

Кандидат физико-математических наук, доцент Кафедра высшей математики* E-mail: inst@adidonntu.org.ua М. Е. Королёв

Кандидат физико-математических наук, доцент Кафедра прикладной математики и информатики* E-mail: inst@adidonntu.org.ua *Автомобильно-дорожный институт "Донецкий национальный технический университет" ул. Кирова, 51, г. Горловка, Украина, 84624

1. Введение

Исследования, о которых идёт речь в статье, относятся к области фундаментальных и прикладных аспектов математики и кибернетики. Актуальность рассматриваемой темы нашей статьи является обоснованной и нами доказанной, так как данная работа является составляющей процесса обучения в сфере минимальных поверхностей. В процессе написания статьи будут получены навыки работы с построением минимальных, цилиндрических поверхностей, а так же поверхностей переноса. Рациональное использование полученных знаний даст возможность

для дальнейшего исследования и написания других работ, касающихся построения поверхностей. Наша работа является наглядным пособием того, как знания

о минимальных поверхностях из одной области могут стать надёжным помощником во многих других отраслях нашей деятельности, в случае умелого использования приобретённых навыков.

2. Определение минимальной поверхности

Пусть М2 с Я3 - двумерная гладкая поверхность, где Я3 отнесено к декартовым координатам х, у, z.

© И. А. Кирноз, Е. А. Королёв, М. Е. Королёв, 2013

Пусть поверхность задается радиус-вектором г = г(и^) = {х(и^),у(и^)^(и^)} , (1)

где параметры и и V изменяются в некоторой области D на евклидовой плоскости, причем они определяют регулярные координаты в окрестности точки Р е М2. (рис. 1).

вид

I = Edu2 + 2Fdu + Gdv2;

4. Вторая квадратичная форма поверхности и средняя кривизна

Граница раздела двух сред, находящихся в равновесии, является поверхностью постоянной средней кривизны.

Для поверхности (1) вторая квадратичная форма записывается обычно в виде:

II = Ldu2 + 2Mdudv + Vdv2,

(4)

где

L = -(ruu,n), M = -(r„v,n), N = -(rw,n),

п = п(и^) - единичный вектор нормали к поверхности (рис. 1).

Обозначим матрицы I и II квадратичных форм соответственно

A=

EF

FG

и B =

LM

MN

Рис. 1. Двумерная гладкая поверхность

В этом случае первая квадратичная форма имеет

Тогда следующие две скалярные функции являются инвариантами относительно преобразования координат и являются важными геометрическими характеристиками и называются гауссовой и средней кривизнами соответственно.

(2)

K = detA-1B H = SpurA-1B

(5)

где

В данный момент особый интерес представляет для нас средняя кривизна

E = (ЛЛХ F = (ЛЛХ G = CWvX

а площадь поверхности М2 выражается двойным интегралом по области D задания параметров и и V по формуле:

S = JJVEG - F2dudv .

H = SpurA-1B = Spur

Spur

1

EG - F2

1 fG -F]

F E 1-F E ,

F G

-FM GM -FM

+EM - FM +EN

EG - F2

(3)

H=

Минимальная поверхность определяется следующим свойством:если на поверхности М2 взять любую достаточно малую область с границей Г, то площадь этой области будет наименьшей среди всех гладких поверхностей с этой границей.

3. Эксперименты Плато с мыльными пленками

Когда бельгийский физик Плато (1801-1883 г.г.) начал опыты по изучению конфигурации мыльных пленок, он вряд ли предполагал, что они послужат толчком к возникновению значительного научного направления, бурно развивающегося до настоящего времени и известного сегодня под общим названием проблема Плато. В 1866 году Плато установил, что если погрузить в мыльный раствор замкнутый контур Г (например, из проволоки), то после его извлечения оттуда образуется поверхность М2 минимальной площади по сравнению с любой другой поверхностью, которую можно натянуть на этот контур, т.е. минимальная поверхность.

GL - 2FM + EN EG - F2

(6)

Важный шаг в понимании внутренней геометрии поверхностей раздела сред был сделан Пуассоном, который в 1828 году показал, что поверхность раздела двух сред, находящаяся в равновесии (при условии, что мы пренебрегаем силой тяжести), является поверхностью постоянной средней кривизны.

Пуассон доказал, что если двумерная гладкая поверхность М2 с Я3 является границей раздела двух сред, находящихся в равновесии, то средняя кривизна Н поверхности постоянна и равна

H = h(p - P2)

(7)

1

где постоянная Х = — называется коэффициентом по-Ь

верхностного натяжения, Р1 и Р2 - давления в средах, а Р1 - Р2 - разность давления в средах.

Особый интерес представляет случай мыльной пленки, натянутой на проволочный контур L. Здесь разности давлений с обеих сторон пленки нет. Сле-

Е

довательно, давление на одну сторону пленки совпадает с давлением на противоположную её сторону в окрестности каждой точки на поверхности. Здесь H = h(P4 - P2) = const = 0. Итак, равнодействующая сил равна нулю, а поэтому средняя кривизна пленки, как минимальной поверхности, равна нулю.

Равенство нулю средней кривизны H для минимальных поверхностей доказал Менье еще в 1776 году в мемуаре ”О кривизне поверхности”. В большинстве работ XIX века и в настоящее время минимальные поверхности определялись и изучались именно исходя из равенства Н = 0 . Мы также будем иметь в виду именно это определение.

GL - 2FM + EN = О.

(ІО)

Подставим в (10) выражения для E, F, G, L, M, N получим

ZZ (1 + Z2)(—, uu )-2Z Z (------

V v/v fZToZTo u vV

+(1+Zu)(-

Откуда

Vzu+Z2+1 '

Z

)+

Vzu+z2+і

)=О.

(l+z2)zuu - 2zuZvZ„v+(l+zu)zw=О.

5. Уравнение Лагранжа

Рассмотрим минимальные поверхности вида

Z = Z(x,y),

(8)

т.е. поверхности, для которых Н = 0.

Перейдем к параметрическому заданию поверхности (8). Для этого положим X = Х(и) = и, Y = Y(v) = V тогда Z = Z(x(u),y(v)) = Z(u,v) и поверхность (8) можно задать в следующем параметрическом виде вектор - функцией

Учитывая, что u = x, v = ф , последнее уравнение примет вид

(1 + Zф)Zxx - 2ZxZlfZ^ + (1+ Z^ = О.

‘х’ фф

(ІІ)

Уравнение (11) называется уравнением Лагранжа. Это нелинейное уравнение второго порядка в частных производных было получено Лагранжем в 1760 году при минимизации площади поверхности z = z(x,у) .

Используем уравнение Лагранжа для нахождения отдельных минимальных поверхностей.

' = r(u,v) = {u, v, z, (u,v)}.

(9)

6. Минимальные поверхности вращения

Вычислим коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности (9)

Т.к.

ги = {1 0 ^ }, г; = {0 1 ^ } ,

Гии={0 0 Z1Ш }, Е={0 0 Zw } , ZЦ; = {0 0 ZЦ;} ,

Пусть кривая X = х(и)Д = z(u) , принадлежащая плоскости XOZ вращается вокруг оси OZ. Тогда уравнение полученной поверхности вращения будет иметь вид

x = x(u) cos v y = x(u)sinv . z = z(u)

Исключая параметры u и v из (12), получим

(І2)

E = (ru,ru) = 1 + Z2u , F = (ru,0 = ZuZv, G = (Г2,Г2) = 1 + Z2v ,

Z = Z(x2 + y2).

Воспользуемся полярными координатами

(13)

r +r n = 7^^ =

i j k І О Zu О 1 Z„

-Zui - Zvj + k

Zu + Zv V(-Zu)2 - (-Zv)2 + 1

. -Zui - Zvj + k

' n/zu+zv+1 ’

L = -(ruu,n) = -

N = -(rw,n) = -

Vzu+zv+1

zvv

Vzu+zv+1.

Vzu+zv+1 ’

x = rcosф, y = rsinф, r = Jx2 + y2, y = arctgy. (14)

x

Легко найти следующие соотношения:

x rcos ф y . ,

rx = ) „ „ =-----= cosф, ry = . = sinф,

•y/x2 + y2

-y/x2 + y2

Фx = — *(4) = -^ = -^ = -“*, (15)

І + (-У

x

y)2 x2 x2 + y2 r2

ф, =

1 g 1 x rcos ф cos ф

y y)2 x x2 + y2

1+(-)2 x

Так как функция Z = Z(r2) не зависит от ф , то

и так как H = О , то из (6) следует, что

Zф= О.

(16)

ru + rv

r

Z

Z

uu

uv

r

r

С учетом (15) и (16) имеем:

Zx = Zrrx + Ефх = ZrC0S ф,

Zy = Zrry + ^ф = ZrSin i

Zxx = (Zx )x = (Zr C0sф)х = (Zr C0sФ)гГх + (Zr C0sф)ффх =

: Zrr cos ф + Z

2 sin2 ф

(І7)

1+P:

2 = c2r2; —г +1 = c2r2; —r = c2r2 -1;

P2 P2 P2

P2 =

c2r2 -І

’ P=±.

c2r2 -І

Поверхность симметрична относительно плоскости Z = 0 , поэтому возьмем верхнюю часть, для которой 1

P=

І

c2r2 -1 Vc2r2 - і

Zxy = (Zx )ф = (Zr cos ф)2ф + (Zr cos ф)ффф =

= Zrrcos ф sin ф- Zr

sin ф cos ф

Zyy = (Zф )ф = (Zr cos ф)ф = (Zr cos ф)ггф + (Zr cos ф)ффф =

2 cos2 ф

= Zrrsin ф + Zr-------------,

Так как P = —, то dr

dz

І dr І d(rc)

г; dz = - -

dr Vc2r2 - i’ Vc2r2 -1 ^(cr)2 -1 ’

f dz = - f ,d(cr) ’ Z = -ln+ Icr Wc2r2 - - + c,.

J ^.^cry1- cl Iі

(І9)

Используя соотношение (17), уравнение Лагранжа (11) примет вид

2 sin2 ф 2 2

(Zrrcos ф + Zr-)(1+ Zr sin ф) -

r

-2(ZrrCos ф sin ф-)*

где с1 - постоянная, которую можно положить равную нулю, т.к. этого всегда можно добиться сдвигом на постоянную величину всей поверхности вдоль оси OZ.

Из уравнения (19)следует

І

ecz = cz + Vc2r2 - і,

cr Wc2r2 -1

*(1 + Zr cos ф)(1 + Zrsin ф) +

+(Zrr sin2 ф + Zr ) *(1 + Z2 cos2 ф) = 0 r

После несложных преобразований, получим 3 1

Zrr + (Zr + Z3)*- = 0.

r

Найдем решение этого уравнения. Имеем

Z

І

Zr + Z3 r

(І8)

dP

Положим Zг = Р, тогда Zгг = Рг = — и уравнение

dг

(18) примет вид

dP =-йг; г dP г ^

Р(1+р2)=-Т’ г Р(1+р2)=-г т 1 1 Р

Так как ------^ =---=-, то

Р(1 + Р2) Р 1+Р2

Складывая полученные уравнения, имеем

Vcv^

c2r2 + 2crVc2r2 - і + c2r2 - і + і

cr + уіc2r2 - і

= 2cr.

Таким образом

---------= cr,

2

откуда

chcz = cr или chcz = c^x2 + y2.

(2О)

Уравнение (20) является уравнением катеноида, т.е. поверхности, полученной вращением цепной линии вокруг оси 0Z, (рис. 2).

f (----------~2)dP = -f

P І + P2

dr

x = -chcz. c

(2І)

lnP-^ln(1 + P2) = -lnr - lnc, где С - постоянная.

Разрешим это уравнение относительно Р.

P , 1 P 1 V-+P2"

ln і----= = In—; , =—; -------= cr;

Vi+P2 cr Vi + P2 cr P

Действительно, уравнение (21) можно записать в следующем виде

сЬ = chcz,

откуда

z = - archcz .

c

-уз

І

І

r

r

r

r

r

Или в параметрическом виде

(22)

где С - параметр.

Вращая кривую (22) вокруг OZ, получим уравнение катеноида в параметрическом виде

х = rcos ф у = г sin ф .

z = ^агсЬсг с

(23)

х = rcosф у = тп ф , z = 2(ф)

где криволинейными координатами фи г служат полярные координаты.

Выделим из этого класса минимальные поверхности, т.е. те поверхности, которые удовлетворяют уравнению Лагранжа (11).

Используя (14), для поверхностей вида (24) запишем

sin ф _ cos ф

х = 7ф ’ 7у = 2ф ,

Исключая параметры z и у, получим уравнение катеноида

7 = иПФ 27 cosфsinф

7хх = 2фф 2 27ф 2

г г

z = ^агсЬсг^х2 + у2

sin ф cos ф cos2ф 7 sin2ф

7ху = -7фф--------г-----------2 ф—2--------7ф—

у г г г

в явном виде, или

сЬс2 = с^/х2 + у2 -

= сс^-2 sin ф cos ф

2уу 2фф 2 2ф 2

х = 2

г

г

в неявном виде.

Используя эти соотношения, находим, что уравнение Лагранжа (11) приобретает для таких поверхностей особенно простой вид ^ф=0.

Дважды интегрируя это уравнение, получим

Z = кф + с, (25)

где к и с - постоянные.

Константу С можно положить равную нулю, т.к. этого всегда можно добиться сдвигом на эту постоянную величину всей поверхности вдоль оси ОZ.

Учитывая (25), поверхность (24) примет вид

Рис. 2. Поверхность, полученная вращением цепной линии

11

Так как при z = 0 функция х = — сЬ^ равна —, то

сс радиус окружности пересечения катеноида с плоскос-

1

тью z = 0 равен —.

с

Таким образом, единственной поверхностью вращения, удовлетворяющей уравнению Лагранжа, т.е. являющейся минимальной поверхностью вращения, есть катеноид (20).

х = rcosф у = ф .

2 = гф

(26)

Исключая параметры фи г, получим уравнение поверхности в явном виде

2 = к■ агС^у , х

(27)

7. Минимальные поверхности в классе поверхностей вида

Z= Z(ф).

Рассмотрим класс поверхностей вида

которая называется геликоидом - поверхность, образованная прямой линией, которая вращается вокруг оси OZ и одновременно движется параллельно ей (винтовая поверхность).

Таким образом, единственной минимальной поверхностью класса (24) является геликоид (27) (винтовая поверхность).

8. Минимальные поверхности переноса

-----^Т~ (!+*82ау) - 2 *0(-tgax) tgay + —а— (1+tg2ax) =

со82ахч ' со82ауч '

Поверхностью переноса называют поверхность, полученную в результате движения кривой г1 = г1(и) без деформации вдоль другой кривой г2 = г2(и) .

Поверхности переноса можно задать в следующем векторном виде

2 2 2 2 со^ ах со^ ау со^ ах со^ ах

г = г(и^) = г1(и)+r2(v) .

(28)

9. Минимальные цилиндрические поверхности

Известна следующая теорема

Теорема. Единственной минимальной поверхностью переноса является поверхность Шерке

г = г(и^)1 •jarccosu,arccosv,lnU- , а [ V |

г1(и)= — {агсоми, 0, 1пи} ,

_ І

2^) = - {0, О 1

г,^)= —-І0, arccosv, -lnv} . а

Поверхность, образованная прямыми, параллельными заданной прямой 1 и пересекающими заданную кривую Ь, называется цилиндрической поверхностью (или цилиндром) (рис. 3).

(29

То, что поверхность (29) является поверхностью переноса, следует из того, что ее можно представить в виде (28), где

1

или в параметрическом виде

Рис. 3. Цилиндрическая поверхность

х = — ага^и а

у = — arccosv. а

-1 и

2 = — ІП —

(30)

Исключая параметры и и ; в уравнении (30), приходим к явному заданию поверхности Шерке

Кривую L называют направляющей цилиндра. Прямые, которые образуют цилиндр, называют образующими цилиндра.

Теорема. Единственной минимальной цилиндрической поверхностью является плоскость.

Доказательство. То, что плоскость является минимальной поверхностью следует из того, что функция (32) удовлетворяет уравнению Лагранжа (11).

2 = ах + Ьу + с .

(32)

1, cosax

ъ = — 1п---------

а cos ау

(31)

Покажем, что поверхность (31) удовлетворяет уравнению Лагранжа (11), т.е. является минимальной поверхностью.

Действительно, из уравнения (31) следует

7 = 1 cosax 7=

а cosay

7 = 1 cosax 7у =

asin ах

cosay

= ^ах,

а cos ау

cosax

cos ау

(-asinay)

= tgay,

7_ = --

а

cos ау

, 7 = 0.

ху

Подставим полученные значения в уравнение Лагранжа (11), получим

Так как любую цилиндрическую поверхность можно получить перемещением направляющей L вдоль любой ее образующей, то цилиндрические поверхности являются поверхностями переноса. А так как единственной минимальной поверхностью переноса является поверхность Шерке (рис. 4), которая не есть цилиндрическая поверхность, то из этого следует справедливость теоремы.

Рис. 4. Поверхность Шерка

1

1

а

а

*

1

1

а V

а

l0. Выводы

Данная работа является составляющей процесса обучения. В процессе выполнения работы были получены навыки работы с построением минимальных, цилиндрических поверхностей, а так же поверхностей переноса. Рациональное использование полученных

знаний дает возможность для дальнейшего исследования и написания других работ, касающихся построения поверхностей. Наша работа является наглядным пособием того, как знания о минимальных поверхностях из одной области могут стать надёжным помощником во многих других отраслях нашей деятельности, в случае умелого использования приобретённых навыков.

Литература

1. Минимальные поверхности [Текст] : довідник / Г. Кархер, Л. Саймон, Х. Фудзимото, С. Хильдебрандт, Д. Хоффман, 2ООЗ. -З52 с.

2. Павленко Ю.Г. Лекции по теоретической механике [Текст] / Ю.Г. Павленко, 2ОО2.

3. Перельман, Я. И. Занимательная физика [Текст] / Я. И. Перельман. - Книга 1: ЛитРес, 2ОО9.

4. Элементы большой науки [Электронный ресурс]. - Режим доступа: \www/ URL: http://elementy.ш/news/430564/ -1О.ОЗ.2О1З г. -

Загл. с экрана.

5. Большая Советская Энциклопедия, БСЭ [Электронный ресурс]. - Режим доступа: \www/ URL: http://bse.sd-Hb.com/aгtide076-681.html/ - 1О.ОЗ.2О1З г. - Загл. с экрана.

6. Литературный интернет-журнал «Русский переплёт» [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.pereplet.ru/obrazovan-ie/stsoros /9W.html/ - 1О.ОЗ.2О1З г. - Загл. с экрана.

7. Академик [Электронный ресурс]. - Режим доступа: \www/ URL: http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/115741З/ -1О.ОЗ.2О1З г. -Загл. с экрана.

8. Большая Советская Энциклопедия, БСЭ [Электронный ресурс]. - Режим доступа: \www/ URL: http://bse.sci-lib.com/aгticle068-272.html/ - 1О.ОЗ.2О1З г. - Загл. с экрана.

9. NAUKOVED.RU [Электронный ресурс]. - Режим доступа: \www/ URL: http://naukoved.ru/content/view/890/44/—1О.ОЗ.2О1З г. -Загл. с экрана.

10. Астронет [Электронный ресурс]. - Режим доступа: \www/ URL: wwwmath.msu.ru/content_root/programs/kaf/special/.../minpov-fom.doc/ - 1О.ОЗ.2О1З г. - Загл. с экрана.

11. Прикладная математика. Справочник математических формул. Примеры и задачи с решениями [Электронный ресурс]. - Режим доступа: \www/ URL: http://www.pm298.ru/spec29.php/ - 1О.ОЗ.2О1З г. - Загл. с экрана.

-------------------□ □----------------------

У роботі розглянута модель автоматичного проектування раціональних схем розкрою листових матеріалів на деталі взуття. На основі теоретичних висновків, які висвітлюються в даній роботі, розроблена програма в середовищі програмування БеІрШі

Ключові слова: модель, проектування, задача, методи, алгоритми, годограф, вектор, розкрій, програма, САПР

□---------------------------------□

В работе рассмотрена модель автоматического проектирования рациональных схем раскроя листовых материалов на детали обуви. На основе теоретических выводов, освещаемых в данной работе, разработана программа в среде программирования БеІрШі Ключевые слова: модель, методы, алгоритмы, годограф, вектор, раскрой, программа, САПР

-------------------□ □----------------------

УДК 685.З

АВТОМАТИЧНЕ ПРОЕКТУВАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ СХЕМ РОЗКРОЮ ЛИСТОВИХ МАТЕРІАЛІВ НА ДЕТАЛІ

ВЗУТТЯ

Т. М. Гаврилов

Аспірант

Відкритий міжнародний університет розвитку людини

«Україна»

вул. Львівська, 23, м. Київ, Україна, 03115 E-mail: tarasgavrilov@gmail.com

l. Вступ

Сучасні виробництва не зможуть вижити в конкурентній боротьбі, якщо не будуть випускати нову у виробництво.

продукцію кращої якості, більш низької вартості за менший час.

А це можна досягти завдяки впровадження САПР

©