CC BY
9
УПРАВЛЯЕМЫЕ СИСТЕМЫ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Краткое сообщение УДК 517.977
DOI: 10.18101/2304-5728-2023-2-42-48
МИНИМАКСНАЯ ЗАДАЧА ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С НАЧАЛЬНЫМ ВОЗМУЩЕНИЕМ
© Срочко Владимир Андреевич
доктор физико-математических наук, профессор, Иркутский государственный университет Россия, 664000, г. Иркутск, ул. К. Маркса, 1 [email protected]
Аннотация. Рассматривается линейная система с управляющими параметрами в правой части и неопределенным начальным возмущением. Целевая функция формулируется как положительная линейная комбинация квадратичных слагаемых на множестве фазовых траекторий. Ставится минимаксная задача в соответствии с принципом гарантированного результата. Проведена регуляризация задачи: получены явные условия на параметры линейной комбинации, которые обеспечивают целевой функции вогнуто-выпуклую структуру. Это свойство открывает возможность эффективного численного решения минимаксной задачи.
Ключевые слова: линейная управляемая система, начальное возмущение, минимаксная задача, параметрическая регуляризация.
Для цитирования
Срочко В. А. Минимаксная задача параметрической оптимизации линейной системы с начальным возмущением // Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика. 2023. № 2. С. 42-48.
Введение
В теории оптимального управления линейно-квадратичные задачи (ЛКЗ — линейная система, квадратичный функционал) занимают приоритетное место в силу сохраняющейся актуальности как в теоретическом, так и в прикладном отношениях. Спектр возможных постановок и результатов в этой области достаточно широк.
В данной работе продолжается направление и технология решения ЛКЗ, представленная в публикациях [1, 5]. Отметим основные характеристики рассматриваемой задачи:
- линейная система с управляющими параметрами в правой части и неконтролируемым начальным воздействием;
- целевая функция как линейная свертка квадратичных слагаемых с положительными параметрами;
- минимаксная задача (минимум по управлению, максимум по начальному воздействию) в соответствии с принципом гарантированного результата [4].
В результате анализа проведена параметрическая регуляризация поставленной задачи: получены явные условия на параметры линейной комбинации (линейные неравенства), которые обеспечивают целевой функции вогнуто-выпуклую структуру (вогнутость по возмущению, выпуклость по управлению). Такое благоприятное свойство открывает воз -можность эффективного численного решения минимаксной задачи (соответствующие задачи на максимум и минимум являются выпуклыми).
1 Постановка задачи
Пусть два векторных параметра и е Яг, V е Я" объединены для t е [¿0, /^1 ] линейной системой:
х(/) = А(/) х(/) + В(/)и, х (/0) = V (1)
с непрерывными матричными функциями А(/), В (/) и ограничениями
и еи, vеV относительно выпуклых компактных множеств.
Рассмотрим решение х(/, V, и) системы (1), соответствующее начальному воздействию V и управлению и .
Определим матричные функции ] (/), ]2 (/), / е [/0, ¿1 ] размеров (п х п) и (п х г) дифференциальными уравнениями:
] = А(/)^(/0) = Е , ] = А(/)] + В(/), ^2(/0> = 0 ,
где Е — единичная матрица, O — нулевая матрица.
Тогда фазовая траектория х(/, V, и) выражается по формуле Коши:
х(/, V, и) = ]1(/^ + ]2(/)и , / е [/0, /1]. (2)
На множестве траекторий х[/] = х(/, V, и), vеV, и еи определим целевую функцию:
(р(V, и) = 1 а < х[^], Р х[?1 ] > +
J |1 ß < x[t], Q(t) x[t] >+g< x[t], D(t)u >\dt
+ W-ß< xltl, Q(t)x|t| >+g<. t0
с положительными параметрами (весовыми коэффициентами) a, ß, g .
Здесь матрицы квадратичных форм Р, Q(t) симметричны, матричные функции Q(t), D(t), t е [i0, tj] непрерывны. Поставим минимаксную задачу:
min max f(v, u). (3)
ueUveV
Выделим функцию максимума:
y(u) = max f(v,u) (4)
v e V
и представим задачу (3) в традиционной форме:
y(u) ® min, u e U. (5)
Задача (3) соответствует правилу гарантированного результата [4]: минимизировать функцию y(u), которая с позиции управляющей стороны u формализует наихудшую реализацию неконтролируемого воздействия v в рамках целевого критерия j(v, u).
Подчеркнем, что матрицы Р, Q(t) в выражении для j(v,u) являются, вообще говоря, знаконеопределенными. Тем не менее выделим случай знакоопределенности противоположного характера: Р < 0, Q(t) > 0 или наоборот.
Остается отметить, что в этих ситуациях глобальное решение задачи (3) носит в настоящее время проблематичный характер.
2 Параметрическая регуляризация задачи
Используя формулу (2) для x(t, v, u), представим явное выражение функции j(v, u) . После подстановок и несложных преобразований получаем следующую структуру:
j(v,u) = 2 < v,(«Р„ +ßQn)v > +
+ 2 < u,(aP22 + ßQ22 + YD2)u > +< v, («Pl2 + ßQi2 + rD)u > .
Здесь введены матричные обозначения
t1
Pij = Fi (ti)TPFj(ti), Qij = Jf (t)TQ(t)Fj (t)dt, i, j = 1,2, i < j ;
to t
D1 = J F1(t)TD(t)dt,
to
ri>
]dt .
D2 = J [F2(t)TD(t) + D(t)TF2(t)
*0
Отметим свойство симметричности:
^ =?и, Ог = Ои, i = 1,2; ^ =В2.
Выделим матрицы вторых частных производных: 2 2
+Р&1. ЩЦ- = а?гг + РО22 +
ду2 ди2
В рамках задачи (3) обеспечим для функции p(v,u) свойство вогнутости по v и выпуклости по u с помощью параметров a, ß, g . Соответствующие условия представим через экстремальные собственные значе -ния Amin , 1max возникающих матриц. При этом будем использовать известные представления через отношение Релея:
о , AS < v, Av > . < u, Bu >
Amax (A) = max-, Лит (B) = mln-. (6)
vФ0 < V, V > uФ0 < u, u >
Свойство вогнутости функции p(v, u) по v эквивалентно спектральному неравенству:
1max(«Pl1 +ßQll) £ 0.
С учетом представления (6) получаем (максимум суммы не больше суммы максимумов):
1max(aP11 + ßQ1l) £a1 max (P11) + ß1 max (Q11).
Это приводит к достаточному условию вогнутости (линейное неравенство):
a1max(P11) + ß1max(Q11) £ 0. (7)
Аналогично, выпуклость функции p(v, u) по u соответствует неравенству:
1min(aP22 +ßQ22 + ГЩ) > 0.
С учетом выражения (6) и свойства операции min получаем оценку снизу
Лшп (a P22 +ßQ22 + gD2 ) £ a1min (P22 ) + ß1min (Q22 ) + g^mrn (D2 ) вместе с достаточным условием выпуклости
almin (P22 ) + ßlmin (Q22 ) + glmin (Dj) > 0. (8)
Таким образом, линейные неравенства (7), (8) вместе с условием положительности параметров a, ß, g обеспечивают целевой функции p(v, u) вогнуто-выпуклую структуру, что является существенно благоприятным фактором в рамках минимаксной задачи (3).
Отметим, что строгие неравенства в (7), (8) обеспечивают вогнуто-выпуклое свойство в строгом смысле.
В заключение проведем характеризацию минимаксной задачи (3) после ее регуляризации. В этом случае составляющие задачи (4), (5) являются выпуклыми: максимум вогнутой функции p(v, u) по v gV и минимум выпуклой функции y(u) для u gU. Если регуляризация прошла по строго вогнутому сценарию (строгое неравенство (7)), то внутренняя задача на максимум
p(v, u) ® max , v gV имеет единственное решение v (u) и функция y(u) приобретает свойство дифференцируемости с градиентом:
Уу(и) = дф(и)>Ы) . ди
Проведем стандартную конкретизацию ограничений и € и, V € V в форме двусторонних неравенств:
и €[и_, и+ ], I =1 г; Vj , VI- ], 7 = 1,п.
С учетом простейшей структуры ограничений составляющие мини-макс задачи (4), (5) допускают эффективное решение известными методами выпуклого программирования [2, 3].
3 Пример
Определим иллюстрирующую задачу следующими соотношениями
ад = *2(0, *1(0) = 0,
Х2(0 = и , %2 (0) = V , г € [0, 1] , и € и = [и_, и+ ], V € Я, 1
р(у,и) = _1 ах|(1) + у|х1(г)иЖг , а> 0, у>0.
0
Найдем условия на параметры и соответствующее минимаксное управление.
В данном случае
1 2
х2(г,V,и) = V + иг, х1(г,V,и) = VI+—иг ,
р^,и) = _1 а^2 + 2vu + и2) + — уи^ + — и). 2 2 3
Условия стационарности и строгой вогнутости по v :
рр,=_а(и + V) + — уи = 0 ^ vst = | — У_1\и, 2 ^ 2 а 0
р'у = _а < 0 .
Условие выпуклости по и :
1 1
ри=_а+^у^ 0 ^ а£ 3У.
Таким образом, вогнуто-выпуклое свойство функции р(V, и) обеспечивается условиями:
а> 0, у> 0, а£ 1 у. (9)
Найдем явное выражение для функции у (и) = шах^(у, и) при отсутст-
V
вии ограничений на V . В этом случае
= Ушах , у(и) = РОшах , и) .
После несложных преобразований получаем итоговое выражение:
С учетом условий (9)
, ч 1 ! 1 g 2 ö 2
y(u)=2443)u.
g> 3, ig-2 > 0.
a 4 a 3
Следовательно, задача y(u) ® min, u eU выдает минимаксное
управление u * : проекция нуля на отрезок U для любой пары параметров
a, g с условием (9).
Заключение
В статье реализуется подход, связанный с редукцией невыпуклой квадратичной задачи (знаконеопределенные матрицы вторых производных) к выпуклым задачам оптимизации, допускающим эффективное численное решение. Эта редукция проводится с помощью неопределенных параметров в целевой функции и обеспечивается конструктивными условиями в терминах линейных неравенств. Представленный подход к регуляризации невыпуклых линейно-квадратичных задач с многочленными целевыми функционалами имеет перспективы дальнейшего развития.
Литература
1. Аргучинцев А. В., Срочко В. А. Решение линейно-квадратичной задачи на множестве кусочно-постоянных управлений с параметризацией функционала // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 3. С. 5-16. Текст: непосредственный.
2. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. Москва: МЦНМО, 2011. 620 с. Текст: непосредственный.
3. Измаилов А. Ф., Солодов М. В. Численные методы оптимизации. Москва: Физматлит, 2005. 304 с. Текст: непосредственный.
4. Красовский Н. Н. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата. Москва: Наука, 1985. 520 с. Текст: непосредственный.
5. Срочко В. А., Аксенюшкина Е. В. Параметрическая регуляризация линейно-квадратичной задачи на множестве кусочно-линейных управлений // Известия Иркутского государственного университета. Сер. Математика. 2022. Т. 41. С. 57-68. Текст: непосредственный.
Статья поступила в редакцию 13.06.2023; одобрена после рецензирования 14.06.2023; принята к публикации 23.06.2023.
MINIMAX PROBLEM OF PARAMETRIC OPTIMIZATION OF A LINEAR SYSTEM WITH AN INITIAL PERTURBATION
Vladimir A. Srochko
Dr. Sci. (Phys. and Math.), Professor,
Irkutsk State University
1, K. Marx str., Irkutsk, 664000, Russia
Abstract. A linear system with control parameters in the right part and an indeterminate initial perturbation is considered. The objective function is formulated as a positive linear combination of quadratic terms on a set of phase trajectories. A minimax problem is set in accordance with the principle of guaranteed results. The regularization of the problem is carried out: explicit conditions for the parameters of the linear combination are obtained, which provide the concave-convex structure of the objective function. This property opens up the possibility of an effective numerical solution of the minimax problem.
Keywords: linear controlled system, initial perturbation, minimax problem, parametric regularization.
For citation
Srochko V. A. Minimax Problem of Parametric Optimization of a Linear System With an Initial Perturbation // Bulletin of Buryat State University. Mathematics, Informatics. 2023. N. 2. P. 42-48.
The article was submitted 13.06.2023; approved after reviewing 14.06.2023; accepted for publication 23.06.2023.
