CC BY
8МЕЖПРЕДМЕТНЫЕ СВЯЗИ КУРСА ОБЩЕЙ ФИЗИКИ С КУРСОМ
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Саидахметова Замира Вахабовна
Ташкентский химико-технологический институт
Асатов Уралбой Ташниязович Ташкентский химико-технологический институт Бозоров Исмоил Тухтаевич
Ташкентский химико-технологический институт Аннотация. Это статья по методике преподавания физики в вузе. Материал посвящен перечислению и анализу физических процессов основываясь на математику.
Ключевые слова: математика, язык, колебательный характер, электрическое поле.
INTERDISCIPLINARY CONNECTIONS OF THE COURSE OF GENERAL PHYSICS WITH THE COURSE OF HIGHER MATHEMATICS
Abstract. This is an article on the methodology of teaching physics at the university. The material is devoted to the enumeration and analysis of physical processes based on mathematics.
Keywords: mathematics, language, oscillatory character, electric field.
ВВЕДЕНИЖ.
Существует мнение, что поскольку физика - это наука идей и опытов, то ее можно преподавать без строгого математического аппарата, что для введения основных идей и объяснения экспериментов достаточна весьма скромная математическая подготовка. Мы придерживаемся иной точки зрения: для овладения общим курсом физики студент не только должен знать современный математический аппарат, но и обязан уметь его применять.
Какие же функции выполняет математика в преподавании физики? Очевидно, прежде всего те же, что и в науки физики. Математика - это язык физики. Как и в любой деятельности, человек для того, чтобы мыслить и объяснить что - то другим, нуждается в специальном языке. Таким языком для физики является математика, которая и позволяет думать на особом, исключительно ясном и гибком международном языке. Как очень образно указал Р. Фейнман, «Математика - не просто другой язык. Математика - это язык плюс рассуждения, это как бы язык и логика вместе. Математика - орудие для размышления. В ней сконцентрированы результаты точного мышления многих людей. При помощи математики можно связать одно утверждение с другим» (18).
Наиболее распространенным методом изучения физических явлений математическими методами является моделирование этих явлений в виде дифференциальных уравнений. Это объясняется тем, что для их составления достаточно знать только локальные связи и не нужна информация обо всем явлении в целом. Например, при составлении уравнений колебаний маятника мы начинаем не с того, казалось бы, очевидного, что маятник, выведенный из положения равновесия, совершает колебательное движение, а используем лишь тот факт, что возвращающая сила пропорциональна смещению.
^ = -к ■ АХ
В результате получается уравнение, решение которого имеет колебательный характер. Это решение позволяет провести качественный и количественный анализ колебательной системы в целом. Таким образом, данная математическая модель дает возможность изучить явление в общем виде, предсказать его развитие, делать количественные оценки изменений, происходящих в нем с течением времени. Именно так и было открыто волнообразное распространение электромагнитных возмущений: от локальных свойств явления к уравнениям, а от уравнений к описанию явления в целом.
При изучении раздела «Физические основы механики» не обходимо иметь понятие об основах векторной алгебры, о производной, простейших правилах дифференцирования, неопределенном и определенном интеграле и умения интегрировать простейшие дифференциальные уравнения. При рассмотрении вращательного движения твердого тела и гравитации необходимы знания частной производной, градиента, скалярного, векторного и двойного векторного произведения векторов, потока вектора, циркуляции вектора.
В разделе «Молекулярная физика и термодинамика» используется тот же математический аппарат. Кроме того, необходимы сведения о криволинейном интеграле, условии независимости его от пути интегрирования, а также знание основных понятий и определений теории вероятностей и математической статистики.
При изучении электродинамики необходимы понятия дивергенции, циркуляции, ротора, причем желательно, чтобы они были записаны с помощью оператора Гамильтона, который широко используется в оптике, физике атомов и молекул, физике твердого тела. В разделе «Колебания и волны» используются дифференциальные уравнения второго порядка, а также функции комплексной переменной.
Завершающим этапом изучения основ электродинамики в курсе общей физики является изучение уравнений Максвелла. Это означает, что изучение электродинамики в курсе общей физики идет в основном по индуктивному пути - на основе анализа ряда простейших экспериментальных фактов (электризация тел, взаимодействие заряженных тел и проводников с током, явление электромагнитной индукции и т.п.) формируются определенные конкретные законы, которые затем обобщаются в уравнениях Максвелла. Следовательно здесь основной путь - от частного к общему, что впрочем не исключает и некоторых элементов дедукции. Такой путь рекомендован программой и принят подавляющим большинством учебников для высшей школы. Конечно, принципиально возможен и другой путь - постулирование уравнений Максвелла и вывод из них всех положений электромагнетизма.
Однако такой подход, по - видимому, более пригоден для изучения физики на более высоком уровне, в частности, в курсе теоритической физики или спецкурсе.
При индуктивном подходе уравнения Максвелла выступают как обобщения теоремы Остроградского - Гаусса для векторов электрического и магнитного поля, закона полного тока и закона электромагнитной индукции Фарадея. В интегральной форме в Международной системе единиц они имеют вид:
йФ йг
ES ds = --J7 (1)
Это соотношение выражает количественную связь между изменяющимся магнитным
В Е
полем В и вихревым электрическим полем Е и является одним из основных уравнении в теории Максвелла.
Когда электрическое поле изменяется то вокруг этого поля появляется магнитное поле. Значит изменяющиеся электрическое поле это есть ток смещения. Значит существует три разновидности токов.
1. Упорядоченное движение зарядов это есть ток. (В металлах создаёт ток свободные
1
?
2. Индукционный ток, появляется при пересечение переменного магнитного поля закрытый контур.
электроны) J =
£ ■ ЛФ =- Л г
3. Ток смещения - переменное электрическое поле. Переменное магнитное поле создаёт переменное электрическое поле. Плотность тока смещения будет:
. _ ¿О
]с= И
0 - вектор электростатической индукции. Напишем закон полного тока:
| И5йБ = Зполн
Б
/
1 - есть длина закрытого контура, находящийся внутри проводника по которому течет переменный ток. S - площадь закрытого контура.
а = Г а + Г
аг
J - = f imm,„-,ds =f ids +f ^^ds
" полный J J полный J J rlt
Б Б Б
с СО С Г ^ г СМ I — ая = — I О • ая = —
\ аг аг
N - поток вектора электростатического смещения. Значить:
г Ш
J - = J + —
полный ^^
f HsdS=j+^ (2)
К этим уравнения нужно добавить еще два уравнения, выражающие теорему Остроградского - Гаусса для электрического и магнитного полей:
| ° ¿8 = 1 (3)
S
j BdS
= 0
К этому добавляются еще соотношения между векторами полей:
D = ss0 E
(4)
(5)
В = щЛо Н
(6)
} = ХЕ (7)
Уравнения (1-7) составляют систему уравнений Максвелла.
Они являются наиболее общими уравнениями для электрических полей.
Отметим, что величины е,М и X входят в уравнения Максвелла как материальные постоянные, т.е. как заданные величины характеризующие свойства среды.
При рассмотрении связи между консервативной силой, например, силой тяготения, и потенциальной энергией может быть введён дифференциальный оператор Гамильтона (набла -оператор) в курс общей физики. Элементарная работа консервативной силы по определению равно полному дифференциалу потенциальной энергии с обратным знаком:
вл=е • да=-ди
Учитывая, что
Е• М = Едх + Еду+Е • дг
х у у г
и по известному студентам свойству полного дифференциала функции нескольких
S
переменных
имеем:
1ТТ ди 1 ди . ди .
dU = —— dx + —— dy +---dz
дх
F =
dU_.
дх
ду
f =-ди.
у ду'
дz
F =
ди
дz
Или в векторной форме:
F = Fx • ^х + Fy • ey + Fz • ez =-
гди _ ди _ ди
ex +-ey +■
дх ду дz
е е е
Заметим, что запись вектора с помощью обозначения ортов х' у' г удобнее, чем с
помощью ортов г' ^ ^ поскольку / - это обозначение и силы тока, и мнимой единицы, ^ -это обозначение вектора плотности тока в курсе общей физики.
Выражения для силы тока можно символически записать в виде:
3 = -Уи = gradU
z
где,
^ д ^ д ^ д ^ V =— е н--е н--е
/"■V х ^ у z
дх ду д2
Аналогично в электростатике выводится соотношение между напряженностью и потенциалом электростатического поля:
Е = - gradф =-Ар
Правильность физической интерпретации математической модели может быть установлена только непосредственным опытом. Так, например, рассматривать уравнение Максвелла как математическую модель реального физического процесса стало возможным лишь после экспериментального подтверждения Герцем фактического существования электромагнитных волн.
Объём и глубина трактовки этого вопроса в разных учебных пособиях для вузов различаются существенно. Так в книге (3) уравнение Максвелла вообще отсутствует; в книгах (2,5,6) они даны только в интегральной форме; в книге (14) они выражены в дифференциальной форме.
Ссылаясь на известные теоремы Гаусса и Стокса, приводим уравнения Максвелла к дифференциальной форме.
V-Е = -М
дt (8)
Y7 U ■ 5D
V- H = J +--,Q4
dt (9)
Теперь уже нетрудно доказать, что в однородном и изотропном диэлектрике при отсутствии свободных зарядов и токов проводимости, возможны электромагнитные волны, а
также найти скорость этих волн. Для этой цели уравнения (8 и 9) приведем к системе с двумя векторами поля:
V-E = -
дБ_
dt
-L (V. B )=ss0 f
(Л(Л0 dt
1
Учитывая, что ^о = , получим:
V-E = -V-B = -
dB dt
s/л dE
c2 "dt
(10) (11)
Умножим к уравнению (10) оператор набла векторно, т.е. продифференцируем его векторно по координатам. Посколько координаты и время- независимые переменные, то операции дифференцирования по ним перестановочны. Тогда, пользуясь (11) получим:
о
v(ve) = -v^ = -—(vB ) = Щд-Е
y ' dt dt с2 dt2 (12)
Значит:
2 - Sji д2 E
V2 E =
c
2 di2 (I)
Студентам следует указать, что точно такое же уравнение получается и для вектора магнитной индукции.
2 - ец д2В
" ~ " (П)
и рекомендовать вывести это уравнение самостоятельно, применив векторно оператор набла к уравнению (11). здесь следует показать, что полученные уравнения являются волновым. Это можно сделать, предположив, что в диэлектрике распространяется плоская поперечная волна.
Графические изображения (I) и (II) получится следующее:
Рис. 2
Теперь мы рассмотрим что мы понимаем когда мы говорим свет. Существует при изучение света следующие две теории:
1. Свет состоит из мелких частиц (фотонов) и распространяется порциями то в одну сторону, то в другую сторону. - это Ньютовская теория.
Энергия одной порции светового луча есть:
Е = НУ
Здесь Е - энергия одной порции Н - коэффициент Планка V - частота
2. Свет - это электромагнитная волна. Максвеллская теория. Уравнение электромагнитной вольны (математическая формула света):
Е = Еш^ ^Ф* + Ф)
(1)
Н = Н шь^М + Здесь: Е - напряженность электрического поля Н - напряженность магнитного поля
Графическое изображение электромагнитной волны следующее: ь z
t - время электромагнитной волны (света) ф2 - начальные фазы электромагнитной волны (света)
1 - длина волны электромагнитной волны (света). Скорость света в вакууме равен: с=3108м/с=3105 км/с. Свет от солнца до Земли доходит за 8 секунд. Длина волны света:
1 = с • Т
с - скорость света с=3105 км/с Т - период колебания света
Распространение электромагнитного колебания в вакууме или в среде есть электромагнитная волна. Уравнение электромагнитной вольны это (1).
Векторная диаграмма электромагнитной волны имеет следующий вид:
(CRFEl
VE
Е Н
- вектор напряженности электрического поля.
вектор напряженности магнитного поля.
т = - [Т ] = -Ы- = с п [п]
Период это время нужное за одно полное колебание. Частота колебания обозначается через V
п
V = —
г
число колебаний за единицу времени Единица измерения частоты Гц- Герц
м [п] 1 г
[V] = — = - = Гц V] с
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
Физику невозможно объяснить без математики. Уравнении Максвелла это есть теоремы Остроградского Гаусса, ток смещения, превращение электрического поля в магнитное, магнитного поля в электрическое и т.д. Физические законы доказываются математическими уравнениями.
При помощи математики можно связать одно утверждение с другим.
(CRFEl
REFERENCES
1. В.М. Вергасов, Активизация мыслытельной деятельности студента в высшей школе. Киев, Головное издательство издательского объединения "Вища школа" 1971 г.
2. Детлаф А.А., Яворский Б.М., Милковская Л.Б. Курс физики (Для вузов) Изде. 4 - е -М. Высшая школе 1973 г.
3. Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики. Т.З. Оптика, физика атомов и молекул, физика атомного ядра и микрочастиц. - М.: Наука, 1977. -495 с.
4. С.Г. Калашников "Электричество" Издательство "Наука" Москва 1964 г. - 668 с.
5. Китайгородский А.И. Введение в физику: Учебное пособие для вузов. -М.: Наука, 1973. 668 с.
6. Матвеев А.Н. Преподование физики в высших учебных заведениях. -Калининград, 1976.
7. Махмутов М.Н. Проблемное обучение. Основные вопросы теории. М. Педагогика, 1975
8. Матюшкин А.М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. М., Педагогика, 1972
9. Насыров А.З. Преподование математики и становление научного мышления - Вестник высш. Школы 1975 №3
10. Пинский А.А. Методика как наука. Сов. педагогика 1978, №12, с. 115-120
11. Пинский А.А. Фазовые и энергетические соотношения в электромагнитной волне. Физика ва школе, 1980 №3, с73-75
12. Разумовский В.Г. Развитие творческих способностей учащихся. М., Просвещение, 1975
13. Симонов П.В. Мозг принимает решение. -Наука и жизнь, 1974, №6
14. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.З.М, Наука -1980
15. И.В. Савельев Курс общей физики том III Издательство «Наука» Москва 1971 г
16. С.П. Стрелков Механика. Государственное издательство Москва 1956 г. 452 с.
17. Скаткин М.Н. Совершенствовние процесса обучения. М. Педагогика 1971 г .
18. Фейнман Р. Характер физических законов. Пер. С англ. Под ред. Я.А. Смородинского /. - М.: Мир, 1968. 232 с.
