CC BY
24
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Посвящается 65-ой годовщине со дня рождения профессора Сергея Михайловича Воронина
Том 12 Выпуск 1 (2011)
МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СОВМЕСТНЫХ ДИОФАИТОВЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ В
# х С1 х
Н. В. Бударина (г. Хабаровск)
Аннотация
ГО
В данной работе показано, что если ряд Е Ф(г) сходится, где Ф -
г=1
монотонно убывающая функция, то мера множества точек
(х, z, w) е Мк х С1 х Qm, удовлетворяющих одновременно неравенствам
тах |Р(ж*)| < Н(Р)-'Ю1/кФЛх/к(Н(Р)),
1^г^к
тах |Р(^)| < Н(Р)-и2/1 ФХ2/1 (Н(Р)) и тах |Р(шЖ < Н(Р)-щ/тФХз/т(Н(Р)),
где VI + 2^2 + у3 = п — к — 21 ъ А1 + 2А2 + Аз = 1, для бесконечного числа целочисленных многочленов Р степени ^ п, равна нулю.
1 Введение
В теории диофаитовых приближений необычайно эффективным является принцип Дирихле, Его использование доказывает разрешимость многих неравенств в целых числах. Та легкость и простота, с которой доказывается разрешимость, наводит на мысль, что использование более глубоких и современных методов позволит значительно улучшить теоремы, доказанные с помощью принципа Дирихле, Метрическая теория диофаитовых приближений показывает, что, для большинства значений параметров в неравенствах, результаты оказываютя практически неулучшаемыми.
Пусть
р (/) = ап/п + ап-1/”" 1 + ... + а1/ + ао
- целочисленный многочлен с ап = 0 степени deg Р = п и высоты Н = Н(Р) = шах^-^, | а^ |, Обозначим через Рп множество целочисленных многочленов степ
В работе исследуются диофантовы приближения многочленов в полях действительных, комплексных и р-адичееких чисел одновременно. Другими словами, изучается множество точек (х, Ъ, ТО') € Кк X С1 X Qm, для которых одновременно малы значения |Р(х^)|, |Р(г^)| и |Р(эд*)|р. Аналогичные задачи рассматривались отдельно в каждом из полей К, С и 0Р, и об этих результатах будет сказано позднее.
Прежде чем приступить к формулировке результатов, введем некоторые обозначения. Пусть ^1 (А1) - мера Лебега измеримого множеетва А1 С К; пусть МА2) - мера Лебега измеримого множеетва А2 С С; ПУСТь ^3(А3) обозначает меру Хаара измеримого множества А3 С 0Р, Используя эти определения, определим произведение мер ^ на Кк X С1 X Qm, полагая
к 1 т
/<(А) = П ^1(А1,г) П ^2 (А2,^') П ^3(А3,*)
г=1 j=1 *=1
А= Пг=1 АМ Х П:?=1 А2,^' х Пt=1 А3,*; гДе АМ € К А2,^' € С И
Аз,* € Ор-
Для заданной функции аппроксимации Ф0 : К+ ^ К+ оиределим Ьп(Ф0) как множество точек х € К, для которых неравенство
|Р(х)| < Фо(Н(Р))
выполнено для бесконечного числа многочленов Р € Рп, Используя принцип ятпиков Дирихле или теорему Минковекого о линейных формах, нетрудно показать, ЧТО ДЛЯ Ф0(Н) = Н-ь И V ^ п множество Ьп(Ф0) имеет полную меру
Лебега, В [16] было доказано, что ^1(Ьп(Ф0)) = 0 для Ф0(Н) = Н-^ и V > 4п, и этот результат Спринджук улучшил [17], решив проблему Малера, показав, что
^1(^п(Ф0)) = 0 (1)
ДЛЯ V > п,
В 1966 Бейкер [1] усилил теорему Спринджука, доказав, что меру нуль имеет множество действительных чисел Ьп(Ф0) для Ф0(Н) = Фп(Н), где Ф(Н) монотонно убывающая последовательность положительных чисел такая, что
ГО
£ Ф(Н) < м. (2)
Н = 1
Это очевидно, что для Ф(Н) = Н-1-£, £ > 0, результат Спринджука, сле-
Ф
Ф(Я) = Я-1 log-1-6 Я, е > 0, удовлетворяющие условию (2), и которые убывают медленнее, чем H-n-6,
В той же работе Бейкер предположил, что выполняется более сильный результат, если рассматривать функции вида, Ф0(Я) = H-га+1Ф(Я) в (1), позже известный как гипотеза Бейкера [1]. Если положить Ф(Я) = Я-1 log-1-6 Я, е > 0, то разница в правых частях в теореме Бейкера и в гипотезе Бейкера становится очевидной. Полное решение проблемы Бейкера было дано Берником [8] (случай сходимости) и Бересневичем [2] (случай расходимости), приведенное ниже.
Теорема 1 (Берник [8], Берееневич [2]). Для, любого n е N и любого интервала I с R
Следует отметить, что случай п =1 был впервые описан Хинчиным в 1924 (см. [14]), который сформулируем в несколько более сильной современной формулировке (см. [6]).
Теорема 2 (Хинчин [14]).
Ф
для многочленов были впоследствии доказаны для случая комплексной [9] и р-адичеекой переменных [5, 15]. Кроме того, в случае моничееких многочленов теоремы типа Хинчина были получены в [12] и [13]. В более общем случае диофантовых приближений на невырожденных многообразиях теоремы типа Хинчина были доказаны в [3, 4, 10].
В данной работе доказывается аналог результата (3) в случае сходимости. Пусть к, /, т - натуральные числа и рассмотрим пространство Б = Кк X С1 X Зафиксируем параллелепипед Т = Iк X К1 X От, где I - интервал в К К -диск в С и О - цилиндр в Ор. Пусть V = ^, v2, v3) и Л = (Л1, Л2, А3) - векторы с действительными координатами, где А* > 0 и V* ^ 0 такие что v1 + 2v2 + v3 = п—к — 2/ и Л1+ 2А2 + А3 = 1. Далее, пусть Рп^, Л, Ф) обозначает множество точек (х, Ъ, то) € Т, где х = (Х1,Х2, . . . ,Хк), ъ = (^1,^2, . . . , г), ТО = (^1,^2, . . . ,№т), для которых система неравенств
выполняется для бесконечно числа многочленов Р € Рп, Основным результатом данной работы является следующая теорема.
МЫФ) ПI ) = |
0, если Ея=1 Ф(Я) < гс,
^1(I), если Ея=1 Ф(Я) = гс и Ф(Я) — монотонная .
max!^fc |P(xi)| ^ Я(P)-vi/fcФл1/к(Я(P)), maxKKi |P(zj)| ^ Я(P)-V2/1 ФЛ^(Я(P)), maxK^m |P(wt)|p ^ Я(р)--з/тФЛз/т(Я(р)),
(4)
Теорема 3. Пусть п ^ к + 2/. Если Ф - положительная монотонно убывающая функция вещественного переменного, та,кая, что Ея=1 Ф(Н) < гс, тогда,
М^п^, Л, Ф)) = 0.
Рассмотренная в данной статье задача принципиально отличается от предшествующих метрических задач, решенных Спринджуком, Берником, Берее-невичем, Марту. Iпсом. Клейнбоком и Ковалевской. В задачах, ими решенных, показатели степени в аппроксимации были близки к степени рассматриваемых многочленов. Это приводило к тому, что даже в несколько расширенных интервалах/кругах/цилиндрах могли оказаться один или два корня, поэтому оценку мер достаточно было проводить по первой и второй производной. В данной задаче из-за произвольности к, / и т происходит разделение показателей аппроксимации на малые значения, и тогда в расширенных областях может оказаться много корней. В таком случае для оценки мер надо привлекать производные высоких порядков, поскольку оценки по первой и второй производной могут оказаться хуже тривиальных. В настоящей работе вводится новое понятие линейных и нелинейных систем диофантовых неравенств по типу аппроксимации нуля значениями производных в окрестности корней многочленов. Благодаря этому, появилась возможность создать метрическую теорию диофантовых совместных приближений в различных метриках. Также в статье используется модификация метода существенных и несущественных областей, который широко
используется для доказательства теорем хинчинского типа в случае сходимости.
Содержание исследований разбито на три раздела (разделы 2-4). Разделы
2 и 3 посвящены доказательству теоремы для случая к = / = т =1. Раздел 2 содержит некоторые предварительные результаты и вспомогательные леммы, а в разделе 3 доказывается соответствующая метрическая теорема. В разделе 4 приводится схема рассуждения для общего случая.
2 Предварительные результаты
В силу ТОГО, ЧТО функция ФЛ монотонна И ряд Ея=1 Ф(Н) сходится, нетрудно показать, что Ф(Н) < сН-1, где копетанта с те зависит от Н, Следовательно, в некоторых случаях для простоты вычислений вместо системы (4) будет рассмотрена более слабая система
|Р(х)| < Н(Р)-^1-Л1,
|Р (г)| < Н(Р)-"2-Л2, (5)
|РН|р < н(р)-"з-Лз.
Здесь и далее А ^ В означает, что существует константа С > 0 такая, что А ^ СВ; выражение А х В эквивалентно А ^ В ^ А.
п
обозначать через с(п); обычные формальные правила применимы так, что с(п) + с(п) = с(п) с(п) с(п) = с(п)
^(п) 3 = 1 2,...‘
2.1 Сведение к неприводимым ведущим многочленам
В этом подразделе сначала будет показано, что достаточно рассмотреть лишь неприводимые многочлены Р € Z[x]. Это следует непосредственно из нижеприведенной леммы, доказанной в [18].
Лемма 1. Пусть С^) - множество точек (х,г,эд), для, которых неравенство
|Р(х)||Р(г)|21Р(ш)|р <Н-, п = degР ^ 2, Н = Н(Р), имеет бесконечно много решений в многочленах Р € Ъ[х]. Тогда для, v > п — 2
^(С^)) = 0.
Пусть Р = Р1Р2 - приводимый многочлен, удовлетворяющий (4). Пусть deg Р1 = ^ ^ п — 1. Тогда, без ограничения общности, можем считать, что
|Р1(х)||Р1(г)|2|Р1Н|р << Н(Р1)-п+3Ф(Н(Р1)) << Н(Р1)-"+1.
В силу леммы 1, мера множества (х,г,эд), для которых неравенство (4) имеет
Р
Р
скольку при переходе от непримитивного к примитивному многочлену получим более сильное в совокупности условие.
Р
Н(Р) < с(п)|ап|, с(п) ^ 1, ^
|ап|р > с(п).
В следующей лемме будет показано, что используя сдвиги и находя обратные
Р
многочлен Т, удовлетворяющий (6). Поскольку существует конечное число воз-
х
часто, также удовлетворяет этому условию для бесконечного числа ведущих многочленов для каждого сдвига. Подобное сведение к специального вида, многочленам были сделаны в [17] отдельно в каждой из рассматриваемых метрик. Поскольку такое сведение одновременно в нескольких метриках немного сложнее, то приведем его ниже.
Лемма 2. Пусть р1,р2,... ,р*; - множество различных простых чисел и Р € Ъ[х] - примитивный неприводимый много член. Пусть ^(х) = Р (х + т) и Т(х) = хп^(X). Тогда существует натуральное число т ^ С(п,р1,... ,р^) такое, что многочлен Т(х) = 6пхп+.. .+61х+60 € Ъ[х] удовлетворяет следующим условиям
|Ьп| > Н(Т), |6п|и > 1, г = 1,...,к.
Доказательство. Предположим, что для некоторого 1 выполняется система неравенств
тах |р (к)|Р1 <р-й. (7)
1<&<п+1
Следовательно, для каждого г = 1,..., п +1
гпап + гп 1ап-1 + ■ ■ ■ + га1 + ао = Р11 |р1, (8)
где = р10', 1г ^ 1, € N и (рь^) = 1. Поскольку Р - примитивный мно-
гочлен, то существует зо, 0 ^ 30 ^ п, такое, что |а70|Р1 = 1. Решим систему (8) относительно а70, и найдем
а- = —
где — - определитель матрицы (67) размера (п +1) х (п + 1) и 67 = г7-1, 1 ^ г,з ^ п + 1. Нетрудно проверить, что — = Пп-0(п — к)!.
Если р1 делит к!, то
Г 7 -| Г 7 -| ^
+ ... ^ к ^р-7 ^ к.
.7 = 1
Следовательно, — содержит етепень р1 те большую, чем пп. Нетрудно показать, что р1 делит Д,-0, и, следовательно, р1-п" делит а7-0. Если 1 > пп, то получаем противоречие с фактом, что |а70 |Р1 = 1, и, следовательно, равенство (7) противоречиво. Поэтому, существует т0 € {1,..., п + 1} такое, что |Р(т0)|Р1 ^ 1.
Определим целое число /1 так, что |Р(т0)|Р1 = р-11 и выберем > /1. Да-
11
лее рассмотрим числа вида г1 (т1) = т1р11 + т0, 1 ^ т1 ^ п +1. Ясно, что |Р(г1(т1))|Р1 = |Р(т0)|Р1 ^ 1. Приведенный выше алгоритм для неравенства
(7), применим к числам г1(т1) 1 ^ т1 ^ п + 1. Предположим, что существует такое число 1, что |Р(г1(т1))|Р2 < р-1, Пусть Д' - определитель матрицы (67), где 67 = (гр! + т0)7-1, 1 ^ г,з ^ п +1, тогда
п- 1
п(п + 1)
г ^ к 'к"
— + .р?_
р1
/ 7/ П(П + 1) ч—г
Д = (р]1) 2 П (п — к)!.
й=0
Следовательно, получаем существование такого числа т1 € {1,... ,п +1}, что |Р(г1(т/1))|Р2 ^ 1; то есть существует /2, удовлетворяющее равенству
|Р (г1(т1))|Р2 = р2
-12
Опять воспользуемся вышеприведенным алгоритмом; для /2 > /2 рассмот-
у у у
рим числа г2(т2) = т2р11 р22 + т/1р11 + т0, 1 ^ т2 ^ п + 1. По построению получаем, что |Р(г2(т2))|Р1 ^ 1 и |Р(г2(т2))|Р2 ^ 1. Следуя алгоритму также получаем, что |Р(г2(т2)|Р3 ^ 1. Продолжим применять этот алгоритм, и в итоге получим существование такого числа т!к_ 1, 1 ^ т^_ 1 ^ п +1, что |Р(гй-1(т/А;-1))|Р, > 1 для г = 1,..., к.
Аналогично для архимедовой метрики рассмотрим числа
г& (тй) = т^1 ■ ■ ■ р^ + ... + т2р11 р22 + т1р11 + т0
для тй = 1,..., п + 1. Покажем, что среди п + 1 чисел найдется число т!к такое, что |Р(гй(т^))| ^ Н. Предположим, что система неравенств
тах |Р(гй(т*))| ^ С0Н. (9)
1^т^ ^п+1
выполняется для некоторой константы с0 > 0 (будет выбрана позднее). Поскольку Р € Рп(Н), то существует г0, 0 ^ г0 ^ п, такое, что |аг01 = Н. Решим систему (8) относительно аг0, и получим, что Р(гй(т&)) = ^Н, где |£7-1 ^ 1,
1 ^ 3 ^ п +1,и
Д"
г0
а*0 = —ТГ.
Здесь Д'' - определитель матрицы (67), где
= (гр11 .. .р1к + ■ ■ ■ + т2рг11 р22 + т^1 + т0)7-1,1 ^ г,3 ^ п +1,
таким образом,
П— 1
// 77 7х п(п+1) ч—г
А = (р11 ••• рдк) 2 ]^[ (п - к)!.
к=0
Справедливо равенство Д" = с0с0Н для некоторой константы с0 > 0. Выберем с0 так, что с0с0 < 1. Так как |аг01 = Н, то неравенство (9) противоречиво. Следовательно, существует т^ такое, что |Р(гй(т^))| ^ Н.
Определим многочлены ^(х) = Р(х+гй(т^)) = 6пхп+6п-1хп-1 + .. .+61х+60, где 60 = Р(гй(т^)), и Т(х) = хп^(X) = #пхп + ^п-1хп-1 + ... + ^х + £0, где
#п = Р(гй (т^)). Тогда для высот многочленов справедлива следующая оценка Н(Т) х Н(^) х Н(Р), и мпогочлен Т удовлетворяет всем условиям леммы. □
2.2 Вспомогательные леммы и результаты
Обозначим через РП(Н) множество многочленов Р є Рга, для которых И(Р) = И, Пусть а1, а2,..., - корпи многочлена Р є РП(Н) в С и 71,72,...,
7„ - корпи в Ор, где Ор - наименьшее толе, содержащее ОР и все алгебраические числа. Поскольку множество алгебраических чисел счетно, то в поле Ор можно
определить нормирование, продолжающее нормирование в Ор. Норм у г € Ор обозначаем |г|р.
Используя неравенства (6), нетрудно показать, что
К1 < 1, Ыр < 1, * = 1,... ,п;
то есть корни ограничены. Определим множества для корней многочлена Р €
V
р п
51 (а/) = {х € К : |х — а/1 = шт |х — о^|},
1^г^п
£2(а8) = {^ € С : |г — а8| = шт |г — а*|},
1^г^п
^з(7й) = {^ € Ор : |ад — |р = шт |ад — 7*|р}.
1^г^п
Рассмотрим множества 51 (а/), £2(а8), 53 (7^) для фиксированного набора 3, 5, к, и для упрощения обозначений будем полагать, что 3 = 1, а5 = ^ и к = 1, где множество корней в1, в2,..., вп является перестановкой множества корней «1, «2,..., апР
| а і — а2| ^ |аі — аз| ^ ... ^ | а 1 — ап|,
|ві — в2І ^ |ві — вз| ^ ... ^ |ві — вп|,
|7і — 72і? ^ |7і — 7з^ ^ ... ^ |7і — Тп^
Для многочлена Р Є Рп(Н) определим действительные числа р? (і = 1, 2, 3) из соотношений
|аі — а,| = Я-^', 2 ^ і ^ п, Рі2 ^ Різ... ^ Ріп,
Іві — в? | = Н-Р2І , 2 ^ і ^ п, Р22 ^ Р23... ^ Р2п,
|7і — 7? |р = Н-р3^', 2 ^ і ^ п, Р32 ^ Рзз... ^ Рзп.
В силу того, что корни |а?|, |ввК |т&|Р ограничены, получаем, что существует постоянная єі > 1 такая, ч то р? ^ — у для і = 1, 2, 3и2 ^ і ^ п. Возьмем
достаточно малое число є > 0, так что єі = єМ-і для достаточно болыного М,
и пусть Т = [є-^. Определим целые числа к?, ? и т? 2 ^ і ^ п, из неравенств
к? — 1 к? ? — 1 ? т? — 1 т?
—^ ^ Рі? < 7?, ^ Р2? < Т?, ~^ ^ Рз? < ,
к2 ^ кз ^ ... ^ кп ^ 0, /2 ^ /з ^ ... ^ /п ^ 0 т2 ^ тз ^ ... ^ тп ^ 0.
Далее определим числа г^ и 5
кі+і +........Ті /-і •
9г = ------------^-------, (1 ^ і ^ п — 1)
(1 ^ і ^ п — 1) (10)
Т , (1 ^ і ^ п — 1).
П и
кі+і + . . . + к„
Т ’
1і+і + . . . +
Т ’
ті+і + . .. + т„
С каждым многочленом P Є Pn(H) будем связывать три целочисленных вектора q = (k2,..., kn), r = (l2,..., ln) и s = (m2,..., mn). Число таких векторов конечно (и зависит только от n, р н T), см, [17, лемма 24, стр. 46 и лемма 12, стр. 99], Многочлены P Є Pn(H) с одним и тем же набором векторов (q, r, s) объединим в подмножество Pn(H, q, r, s).
Без ограничения общности, будем считать, что x Є S1(a1) z Є S2(/1^ w Є S3(y1), В ходе доказательства теоремы будем оценивать значения многочленов, часто используя разложение в ряд Тейлора, Для получения оценок сверху для членов разложения в ряд Тейлора (и для других целей) будем использовать следующие две леммы (доказанные в [7] и [15]),
Лемма 3. Пусть P Є Pn. Тогда
Iu - aI ^ 2nIP(u)IIP/(a)I-1,
Iw - YlIP ^ IP(w)|p|p/(7l)|-1,
\™ — 71 \р ^ ^|Р(^)|Р|р/(71)|р1 II |71 — 7й\р
где и = х или и = г и а = а1 или а = /1 соответственно.
Зафиксируем ^1 > 0, Удалим го параллелепипеда Т множество малой меры так, чтобы в оставшейся части выполнялось неравенство \1ш г\ ^ ^1, Используя лемму 3 при 3 = п, получаем, что \г — /\ < Н(Р)-^, где V > 0; поскольку правая часть неравенства стремится к нулю при Н(Р) ^ то, то существует корень в такой, что \1ш в\ > 2^1- В данном случае, существует также сопряженный корень в многочлена Р такой, что \в — в\ > и Для каждого действительного корня а многочлена Р справедливы оценки \в — а\ = \/5 — а\ > 2^1, Объединяя вышесказанное, получаем
\1ш/\ > 2^1, \1шг\ ^ 5Ь \в — в\ >^1, \в — а\ > 1 (11)
Лемма 4. Пусть Р € Рп(Н, q, г, б). Тогда,
\Р(1) (а1)\ < с(п)Н 1-91+(п-г)£1,
\Р (1)(в1)\ < с(п)Н 1-Г1+(п-г)£1,
\Р(0(71)\р < с(п)Н-в1+(п-г)е1,
где 1 ^ I ^ п — 1, и
\Р/(а1)\ > Н1-91, \Р/(в1)\ > Н1-Г1, \Р/(71)\р > Н-51. (12)
Iu - aI ^ ( 2n jIP(u)IIP/(a)I П Ia - akI
В нескольких местах доказательства теоремы возникает необходимость рассматривать специальные типы многочленов. При рассмотрении одного из типов многочленов нам необходимо получить противоречие с итоговым неравенством в следующей лемме, доказанной в [11].
Лемма 5. Пусть Pi и Р2 - два, целочисленных многочлена степени не выше n без общих корней и max(H(Pi),H(Р2)) ^ H. Пусть 5 > 0 и п > 0,
i = 1, 2, 3. Пусть I С R - интервал, K С С - круг и D С Qp - цилиндр, где ^i(I) = H-ni, diamK = H-П2 и ^3(D) = H-П3. существуют такие
Ti > — 1 т2 > — 1 и т3 > 0, что для всех (x, z,w) G I x K x D выполняются неравенства
|P (x)| < H-T1,
|Pj (z)| < H-T2,
|Pj (w)|p < H-T3,
для, j = 1, 2, mo
ti + 2t2 + t3 + 3+2max(ri + 1 — ni, 0)+4max(r2 + 1 — n2, 0) + 2max(r3 — n3, 0) < 2n+5.
Далее сформулируем два классических результата. Первый из них является модификацией признака Коши, второй из которых - лемма Бореля-Кантеллн.
Лемма 6. Пусть Ф : R+ ^ R+ - монотонно убывающая функция. Тогда, ряды,
ГО ОО
^ Ф(й) и ^ 2kФ(2к)
h=i k=0
сходятся, или расходятся, одновременно.
Ф
функция, получим следующее двойное неравенство
2k+^(2k+i) < Ф(^) < 2kФ(2к).
2k ^h<2fc+1
Суммирование по всем k G N U {0} приводит к тому, что указанные в лемме ряды сходятся или расходятся одновременно, □
Лемма 7 (Борель-Кантеллн). Пусть П - некоторое множество, на, котором определена, а-адитивная мера А. Пусть (Ek)£°=i - последовательность \-измеримых подмножесте П. Если,
ГО
^2 A(Efc) < то, fc=i
mo множество
E = nro=i иг°=к Ei = lim sup Efc
k^ro
А
3 Доказательство теоремы 3 для случая к = I =
т = 1
Поскольку |аг| ^ 1 И ||Р ^ 1 1 ^ ^ п, то используя лемму 3 (при
] = п и Н ^ Н0), получаем, что множество точек (х,г,ш), удовлетворяющих (4), является подмножеством множества Т = I х К х Б, где I = [—с(п), с(п)], К = (г : |г| ^ с(п)} и Б = (ш : |ш|р < 1}.
Сначала докажем, что теорема справедлива при п = 3,
Лемма 8. Если 5^=1 Ф(Н) < го, шо ^(Ьз(у, А, Ф)) = 0.
Доказательство. Система (4) при п = 3 примет вил
|Р(х)| < ФЛ1 (Н), |Р(г)| < ФЛ2(Н), |Р(ш)|р < ФЛз(Н). (13)
В правой части неравенств стоят величины, стремящиеся к нулю при Н ^ то. Поэтому, используя лемму 3, нетрудно показать, что при Н > Н0 существуют действительный корень а многочлена Р, комплексный корень / и его сопряженный корень в; близкие к х, г н г соответственно. В силу неравенства (6) апс1 (11) модули разностей |а — в| = |а — /| и |в — /?| ограничены снизу величиной с(^). Поэтому
шт(|Р'(а)|, |Р'(/)|) > с(п, ^1)Н(Р).
При |Р'(7)|р < с(п,^1) возникшая ситуация полностью аналогична задаче о неравенстве |Р(ш)|р < Н-3Ф(Н), которая рассмотрена в [15, 5]. Поэтому далее считаем, что
|Р'(7)1р > с(пЛ), ш е ^3(7).
Зафиксируем Н. Для многочлена Р е Р3(Н) обозначим через а(Р) множество точек (х, г,ш) е Т П 51 (а) х $2(/) х 63(7), удовлетворяющих (13). Пусть Ая = иреРз(я)^(Р). Тогда, ^3(у, А, Ф) - множество точек, принадлежащих бесконечному числу множеств Ая, Используя лемму 3 и два вышеприведенных неравенства, получаем, что мера множества а(Р) удовлетворяет условию
М^(Р)) < с(п)Н-3Ф(Н).
Суммируя последнюю оценку по трем оставшимся коэффициентам многочленов Р, получаем ^(Ая) ^ ^ р ер (я) Ма(Р)) < с(п)Ф(Н). Таким образом, в силу условия Ея=1 Ф(Н) < то имеем
го го
^ ^(Ая) < ^ Ф(Н) < то, я=1 я=1
применение леммы Бореля-Кантеллн дает требуемый результат, то есть ^(Ь3(V, А, Ф)) = 0 □
Ре
Рп(Н), удовлетворяющие (6), и п ^ 4, Многочлен Р е Рп(Н, Я, г, б) будем называть (*1, г2, *3^^^^^ным и г^- = 0 3 = 1, 2, 3, если выполняется система неравенств
91 + к2Т-1 < ^1 + А1 + 1,
Г1 + /2Т-1 < ^2 + А2 + 1, (14)
^1 + т^Т-1 < ^3 + А3,
и г^- = 1, 3 = 1, 2, 3 если все знаки неравенств в (14) заменяются на Например,
(0, 1, 1)
стве знак сохраняется, а во втором и третьем - заменяется на Пусть рПг1,г2’гз) , = 0,1, 3 = 1, 2, 3, обозначает класс (г1, г2, г3)-линейных многочленов Р е Рга,
Если (х,г,ш) е Ьга^,А, Ф), то существует бесконечно много многочленов для по крайне мере одного из восьми типа линейности. Пусть Ьп1,г2’гз)(^,А, Ф) обозначает множество точек (х, г,ш) е Т, для которых система неравенств (4) выполняется для бесконечного числа многочленов Р е рП1,г2,гз). Очевидно, что £п(г>, А, Ф) = игьг2)гз=о,1ьП1’г2’гз)('У, А, Ф), Следовательно, для доказательства теоремы покажем, что каждое множество ьПг1’г2’гз)(^, А, Ф) имеет нулевую меру. Величины
^1 = 91 + 2Г1 + 51 и ^2 = (к2 + 2/2 + т,2)Т-1
будут использоваться на протяжении всего доказательства, которое разбивается на ряд предложений с различными условиями линейности и различными диапазонами значений величины ^1 + ^2,
(0, 0, 0)
Случай 1: (0, 0, 0)-линейность,
Для доказательства р.(ьП°’°’0)^, А, Ф)) = 0 рассмотрим четыре поделучая, каждый из которых соответствует различным значения величины ^1 + ^2, Если (х,г,ш) е Ьга’°’0)^, А, Ф), Ре
рП°’°’0) , удовлетворяющих системе неравенств (4) и одному из условий для ^1 + ^2, Таким образом, если мы докажем, что множество точек, для которых существует бесконечное число многочленов Р е рП°’0’0), удовлетворяющих системе (4) и каждому диапазону значений величины ^1 + ^2, имеет меру нуль, то мы докажем, что р.(Ьга’°’0)^, А, Ф)) = 0,
Предложение 1. Пусть ^ГО=1 Ф(Н) < то Множество точек (х, г,ш) е
Т
многочленов Р е РПг°’0’°\ удовлетворяющих условию ^1 + ^2 > п + е, имеет меру нуль.
Доказательство. Пусть Р е РП°’0’0), 2* ^ Н(Р) < 2*+1 и ^1 + 4 > п + е. Класс таких многочленов Р обозначим Р*- Пусть а(Р) обозначает множество
точек и = (х,г,ш) е Т П 5 (а1) х 52(/1) х 53^), удовлетворяющих (5), В силу
(12) и леммы 3 каждая точка и е а(Р) удовлетворяет неравенствам
|х — а11 < 2-*(^1+Л1+1-91),
Пусть А = иРа(Р), Тогда множество точек, удовлетворяющих условиям в предложении 1, есть множество точек, принадлежащих бесконечному числу Для того, чтобы воспользоваться леммой Бореля-Каптелли, нам нужно показать, что Е*=і МЛ) < го.
Поделим первоначальный параллелепипед Т па параллелепипеды М = /м х Км х такие, что
М/м ) = 2-^2Т-1 , ё1ат(Км) = 2-“2Т-1, ^з(^м) = 2-*™2Т-1. (16)
Будем говорить, что многочлен Р принадлежит параллелепипеду М, если найдется точка и є М, в которой выполняется система неравенств (5). Предположим, что Р принадлежит М. Далее разложим Р є р на М в ряд Тейлора по каждой координате. Учитывая, что Р(а1) = Р(в) = Р(тО = 0 и
для £ = х, г,ш и ^1 = а1, /1,71 еоответсвенпо, оценим сверху значения |Р(х)|, |Р(г)| и |Р(ш)|р, Например, оценим |Р(г)|. Воспользуемся следующими неравенствами
которые непосредственно следуют из (10). Далее, используя (16) и лемму 4, получаем
бой точки г є Нетрудно получить аналогичные оценки для |Р(х)| и |Р(^)|р. Тогда мы имеем
^ 2-*(^2+А2+1-Гі)
(15)
п
РМ= £0!)-1РМ(С.№ - Сі)'
г' + з'І2Т 1 — г,- + 1 + (3 — 1) 12Т 1 ^ Г' + /2Т 1 + (12 +... +1')Т 1 — Гі + /2Т 1,
|Р;(ві)||г — в1 ^ 2*(1 -гі+(п - 1)єі- г2т 1) ^ 2- *(гі+^2т 1-1 - (п- 1)єі)
и
|Р(і)(в1)||г — в1|і < 2*(1-г?'+(п-Л£і-'І2Т 1) < 2-*(гі +І2Т 1 -1-(п-1)єі), 2 <3 ^ п. Следовательно, выполняется неравенство |Р(г)| ^ 2-*(гі+і2Т 1-1-(п-1)єі) ддялю-
для любой точки (х,£,эд) е М.
Сначала рассмотрим параллелепипеды М, которым принадлежит два и более многочленов. Эти многочлены неприводимы, имеют высоту, не превосходящую 2*+1, и их степень не превосходит п. Для таких многочленов па М выполняется система неравенств (17), Используя лемму 5 для двух различных многочленов Р1 и Р2, где
Т1 = 91 + к2Т-1 — 1 — (п — 1)еь П1 = к2Т-1,
т2 = Г1 + ^Т-1 — 1 — (п — 1)еь П2 = 12Т-1,
Т3 = 51 + т2 Т-1 — (п — 1)еь П3 = т^Т-1,
3?1 + к2Т 1 + 6г1 + 2/2Т 1 + 3в1 + т2Т 1 — 12(п — 1)е1 < 2п + 5.
Поскольку 91 ^ к2Т-1, 2г1 ^ 2/2Т-1 и 51 ^ т2Т-1, предыдущее неравенство принимает вил
2(^1 + ^2) — 12(п — 1)е1 < 2п + 5.
Для достаточно малого числа 5 последнее неравенство противоречиво ввиду условия для ^1 + ^2 в предложении 1,
М
одного многочлена Р е Р*. Число таких параллелепипедов, а, следовательно, и число многочленов не более чем с(п)2*(к2+212+т2)т 1 = с(п)2*Й2, Используя неравенства (15), получаем
^(А^) 2-^1+2^2+^з+Л1+2Л2+Лз+3-^1-^2) 2-^п+1-^1-^2)
Из (14) следует, что ^ + <^2 < п + 1 и ^^=1 ^(А*) < ^^=1 2-*(га+1-Й1-Й2) < то, применяя лемму Бореля-Кантелли, мы завершаем доказательство предложения 1.
Предложение 2. Пусть Ея=1 Ф(Н) < то Множество точек (х, г,эд) е
Т
многочленов Р е РПг°’0’°\ удовлетворяющих условию ^1 + ^2 < е, имеет меру нуль.
Доказательство. Пусть Р е рП°’°’0), 2* ^ Н(Р) < 2*+1 и ^1 + ^2 < е. Класс таких многочленов Р обозначим р- В силу того, что ^1 + ^2 < е, следует, что 91 < е г1 < е и 51 < е, Для многочлена Р определим множество а2(Р), состоящее из точек (х,г,эд) е Т П 51(а1) х 52(в1) х 53(71), удовлетворяющих
(4), Согласно лемме 3, каждая точка в а2(Р) удовлетворяет неравенствам
|х — «1| < 2-*^1 ФЛ1 (2* )|Р'(«1)|-1,
|г — в1| < 2-*^2 ФЛ2 (2* )|Р'(^1)|-1, (18)
к — 71|„ < 2-1'3ФЛз(2*)|Р'(7,)|-1.
Пусть А* = иР02(Р), Тогда множество точек, удовлетворяющих условиям предложения 2, есть множество точек, принадлежащих бесконечному числу А*. Аналогично, как и в предложении 1, наша цель - доказать, что Е*=1 МА*) < то, и затем воспользоваться леммой Бореля-Кантелли,
Для достаточно большого числа £ определим параллелепипед а3 (Р) как множество точек (х,£,эд) е Т П 5'1(а1) х $2(/в1) х 5'3(71), удовлетворяющих неравенствам
|х — а1| < с1(п)|Р/(а1)|-1,
|г — в11 < С1(п)|Р/(в1)|-1, к — 74 < с1(п)|Р/(71)|-\
содержащий а2(Р). Значение вели чины с1(п) будет приведено позднее.
Зафиксируем вектор Ь = (а3, а4,..., ага), где а, - з’-ый коэффициент Р е р*2-Подмножество многочленов из Р * с одним и тем же век тором Ь обознач им Р2 ь ■ Разложим многочлены из Р2 ь на °з(Р) в РЯД Тейлора и оценим сверху значения |Р(х)|, |Р(г)| и |Р(^)|р. Проделаем это только для действительной переменной. Используя лемму 4 и факт, что ^ ^ д1 < е для ] ^ 2, получаем
|Р/(а1)||х — а1| < с1(п)с(п),
и
|Р(^)(а1)||х — а1|7 < 2*(1-щ+(га-7')£1-7+791)с1(п)с(п) < с1(п)с(п), 2 ^ ^ п.
Аналогично получаются оценки для |Р(г)| и |Р(эд)|р, поэтому выполняется следующая система неравенств
|Р(х)| < с1(п)с(п),
|Р(г)| < с1(п)с(п),
|Р(ш)|р < С1 (п)с(п).
Покажем, что параллелепипеды а3(Р1) и 03(Р2), вде Р^Р2 е Р2 ы Р1 = Р2; не
пересекаются при достаточно малом значении с1(п). Предположим противное, то есть
03(Р1 ,Р2) = 0(Р1) П 03 (Р2) = 0.
Пусть Л(/) = Р1(/) — Р2(/), то есть Л - многочлен вида Л(/) = 62/2 + 6/ + 6°, |6г| ^ 2*+2, г = 0,1, 2, Ясно, что
тах(|Л(х)|, |Л(г)|) < с1(п)с(п).
Последнюю систему неравенств перепишем в виде системы уравнений
62 х2 + 61 х + 6° = 01(х)с1 (п)с(п),
62 г2 + &1-г + 6° = ^2(г)с1(п)с(п), (19)
&2^2 + 61^ + 6° = 02(г)с1(п)с(п),
где |0к | ^ 1, к = 1, 2, Определитель А предыдущей системы равен А = 2г2(г| + (х — )2)г, где г = + гг2 и г = 21 — гг2. Из (11) следует, что |А| > 2^^, Разрешим
систему уравнений (19) относительно одного из коэффициентов 67 = 00 ^ ] ^ 2 Получим неравенство 1 ^ |67-1 < с1(п)с(п)^-3, которое при достаточно малом с1(п) = с1(п, ^1) противоречиво, Таким образом, параллелепипеды а3 (Р1) и а3(Р2) не пересекаются и
£ М^3(Р)) ^ МТ).
р ер2,ь
Из определения а2(Р) и 03 (Р) можно получить, что
\-4^„\4
^(03(р
< ^(а3(Р))2-*(га-3)Ф(2*)
М^2(Р)) < с1(п)- 4с(п)4^(а3(Р))2- ^1+2^3(2*) ^
Поскольку число различных классов Р2 ь не превосходит с(п)2*(п 2), то используя вышеприведенные два неравенства и лемму 6, получаем
ОО ГО ГО
£мл> « ££ £ /<(<ыр» <££ £ М^(Р ))2-*(п-3)Ф(2*)
*=0 *=0 Ь р€р* ь *=0 Ь р€р* ь
О
< £ 2*Ф(2*ИТ) < то.
*=0
Следовательно, применяя лемму Бореля-Кантелли, мы завершаем доказательство.
Предложение 3. Пусть ЕОО=1 Ф(Н) < то Множество точек (х,г,и>) € Т, для, которых система неравенств (4) выполняется для, бесконечного числа многочленов Р € РП0 ’ 0 ’ 0), удовлетворяющих условию е ^ ^1 + ^2 < 4 — е, имеет меру нуль.
Доказательство. Пусть Р € рП0 ’ 0 ’ 0), 2* ^ Н(Р) < 2*+1 и е ^ ^1 +^2 < 4—е. Класс таких многочленов Р обозначим Р*- Для многочлена Р € Р3 определим а2(Р) как и в предложении 2, и пусть А* = ирер4 а2(Р), Как и ранее, множество точек, удовлетворяющих условиям предложения 3, есть множество точек, принадлежащих бесконечному числу А*. Далее мы покажем, что ЕО=1 МЛ) < то и затем воспользуемся леммой Бореля-Кантелли,
Выберем числа V!, ^ и такие, что V! + 2У2 + V3 = 1 и
?1 + к2Т 1 + (п — 1)е1 < V + 1 < ^1 + А1 + 1,
Г1 + /2Т-1 + (п — 1)£ 1 < ^2 + 1 < ^2 + А2 + 1, (20)
51 + Ш2Т-1 + (п — 1)£ 1 < ^3 < ^3 + А3.
Такой выбор возможен в силу следующего. Система неравенств (20) задает параллелепипед, Рассмотрим пересечение параллелепипеда с плоскостями, задаваемыми уравнениями V + 2V2 + V3 = к, где к - изменяющийся параметр, В
"верхней правой "вершине параллелепипеда имеем V + 2Т2 + V3 = п — 2 > 1, В
“нижней левой” вершине параллелепипеда получаем
V + 2V2 + Т3 = ^1 + 2г1 + 52 + (к2 + 2/2 + Ш2)Т 1 + 4(п — 1)е1 — 3
= ^1 + ^2 + 4(п — 1)е1 — 3 < 1 — е/2
так как ^1 + ^2 < 4 — е, Таким образом, то непрерывности, плоскость V +
2Т2 + V = 1 пересекает параллелепипед, и мы можем выбрать числа ,
принадлежащие пересечению.
Определим параллелепипед а4(Р) как множество точек
(х, г, ад) € Т П 51(а1) х 52(в1) х 63(7^,
удовлетворяющих неравенствам
|х — а1| < 2—*У1 |Р'(а1)|-1,
|г — в1| < 2-*У2 |Р'(в1)|-1, (21)
|ад — 71 |р < 2-*Уз |Р'(71)|-1.
Очевидно, а2(Р) С а4(Р), Снова разложим многочлен Р на а4(Р) в ряд Тейлора и оценим каждый член разложения сверху. Проделаем это для комплексной переменной. Используя (10), (20), (21), лемму 3 и лемму 4, получаем
|Р ШНг — вх| << 2-*У2,
|Р"(в1)||г — в1|2 < 2*(1-Г2+(га-2)£1-2У2-2+2г1) <
<< 2*(г1+12Т 1+(п—2)^1-2У2-1) _< 2-*У2
|Р(7)(в1)||г — в11(7) < 2*(1—^+(п—7)£1—7У2— 7+7Г1) < 2—*У2, 3 ^ ,] ^ п.
Аналогично получаются оценки для |Р(х)| и |Р(ад)|р, что приводит к системе неравенств
|Р (х)| < 2—*У1,
|Р (г)| < 2—*У2, (22)
|Р (ад)|р < 2—*Уз.
Далее оцепим Р'(х) = Е™=1(г!) —1Р(г)(а1)(х — а1)г— 1 на а4(Р), Как и ранее, рассмотрим отдельно каждый член разложения, используя лемму 3, лемму 4, (10) и (20), Тогда получаем
|Р /(а1)| < 2—*(1—91+(га—1)£1),
|Р (")(а1)||х — а1|"—1 < 2*(1—94+(га—")£1—("—1)У1—("—1)(1—91))
< 2*(1—91+(га—1)£1), 2 ^ г ^ п.
Из последних неравенств и аналогичных неравенств для Р/(г) на 04(Р) получаем
|Р/(х)| < 2*(1—91+(га—1)£1),
|Р/(г)| < 2*(1—Г1+(п—1)£1). (23)
Если выполняются одновременно оба неравенства д1 < е/2 и г1 < е/2, то доказательство проводится как в предложении 2, Поэтому далее в предложении
3 мы предполагаем, что шах(д1,г1) ^ е/2 Пусть максимум достигается на д1; тогда дополнительно к условиям предположения 3 имеем ^ е/2. Зафиксируем вектор в = (а4,а5,..., ап), |а^-1 ^ 2*+1 и обозначим через Р3 а подмножество
многочленов Р € Р3 с °ДНИМ и тем же векТ0Р0М в. Далее будем использовать метод существенных и несущественных областей Спринджука (см, [17]), Параллелепипед а4(Р1) назовем существенным, если для любого другого многочлена Р2 € Р3 Р2 = Рь выполняется неравенство
^(МРО П 04^2» < 2^(СТ4(Р1».
Если же существует Р2 € Р3 Р2 = Рь такой, что
^(04^1) П 04^2» ^ 2^(СТ4(Р1»,
то параллелепипед 04(Р^ будем называть несуг^ественнш. Если и принадлежит бесконечному числу параллелепипедов 02(Р), то и принадлежит бесконечному числу существенных или несущественных параллелепипедов 04(Р), Обозначим множество многочленов Р € Рд Для К0Т0Рых 04(Р) является существенным, через Е3 и множество Р € Р3 а, для которых 04(Р) является несущественным, через 13 а-
Во-первых, предположим, что Р € Е3,Тогда имеем ^(04(Р1)) <
^(Т), Из (18) и (21) получаем
М02(Р1» < ^(04(Р1))2*(—"1—2"2—"3+У1+2У2+У3)Ф(2*) = ^(а4(Р1))2*(—га+4)Ф(2*).
Используя последнее неравенство, лемму 6 и факт, что число различных классов Р3 а те превосходит с(п)2*(га—3), получаем
оо оо
ЕЕ Е ^(02(Р1)) < Е 2*Ф(2*)^(Т) < то. а *=1
Следовательно, согласно лемме Бореля-Кантелли множество точек, принадлежащих бесконечному числу параллелепипедов 02(Р), Р € Е3 а; имеет меру пуль. Далее предположим, что Р € 13 т0 есть существует многочлеп Р € Р3 а
такой, что
04(Р, Р) = 04(Р) П 04(^Р), И ^(04(Р, Р)) ^ 2^(04(Р)).
Системы неравенств (22) и (23) выполняются одновременно на ст4(Р, Р) для Р и Р. Поэтому, если Я(/) = Р(/) — Р(/) = 63/3 + 62/2 + 6/ + 60, то многочлен Я удовлетворяет условиям
|Я(х)| < 2-*У1,
|ВД| < 2 1 * У
|Я(ад)|р < 2 1 * „у
|Я/(х) | < 2*(1-91+(га-1)£1)
|ВД| < 2*(1-Г1+(га-1)£1)
где ^ е/2. Если 6^,6^ и 63 - комплексные корпи многочлена Я, то
Я(/) = 63 (/ — б1)(/ — 02)(/ — 63),
и
Я'(01) = 63(61 — 02)(01 — 63).
Из (24) следует, что один из корней обязательно действительный, а два других
- комплексно сопряженные. Пусть 61 € К, 63 = 62 и будем считать, что |631 х Н(Я) (если необходимо воспользуемся сведением к ведущим многочленам как в разделе 2,1), В силу (11) величина |61 — 62| не может стремиться к нулю. Следовательно, корни 61, 62, и 62 удовлетворяют неравенству |61—62| = |61 — 62| > с2(^) для некоторой конетанты с2(^1), и
|Я'(61)| >С2№)Н(Я).
Откуда, используя (24) и лемму 3, получаем
|х — 611 < 2-*У1Н-1(Я)
для х € а4(Р1, Р2), В силу (21) неравепство |Я(х)| ^ 2-*У1 выполняется на интервале длины с(п)2-*У1 |Р'(а1)|-1.
Далее, используя лемму 4, имеем 2-*У1 Н-1 (Я) ^ 2-*(У1+1-91+(га-1)е1) и Н(Я) < 2*(1-д1+(га-1)е1^_ Перейдем от вели чипы 2* к высо те Н (Я) в (24) и получим, что |Я(х)||Я(г)|2|Я(ад)|р < Н(Я)-1/(1-91+(га-1)е1) < Н(Я)-", где V > 1, поскольку ^ е/2 и выберем е1 < 2(гае-1). Полученное неравенство с применением леммы 5 показывает, что множество точек и, принадлежащих бесконечному числу несущественных параллелепипедов, имеет меру нуль. Вместе с результатом для существенных параллелепипедов, это завершает доказательство предложения
3.
Предложение 4. Пусть Ея=1 Ф(Н) < то Множество точек (х,г,и>) € Т, для, которых система неравенств (4) выполняется, для бесконечного числа многочленов Р € р0 ’ 0 ’ удовлетворяющих условию
4 — е ^ ^1 + ^2 ^ п + е, (25)
имеет меру нуль.
Доказательство. Результаты этого предложения будут использоваться и в других случаях линейности. Перейдем от системы неравенств (4) к системе неравенств (5), и будем следовать доказательству предложения 1 до системы
(17) включительно. Пусть Р € р0 ’ 0 ’ 0), 2* ^ Н(Р) < 2*+1 и 4 — е ^ 11 + 12 ^ п + е. Обозначим это множество р*4- Пусть А* = иРа(Р), где а(Р) определен в (15).
Пусть и = п +1 — 11 — 12 и зафиксируем 6 = и — е2, вде е2 > 0 - достаточно малое число. Предположим, что существует не более 2*е многочленов, принадлежащих каждому параллелепипеду М, Тогда согласно лемме 3, мера множества А* не превосходит меры параллелепипеда а(Р), умноженной на число параллелепипедов М и 2*е, то есть
^(А^) 2-*(^1+2^2+^з+А1+2А2+Аз+3-^1-^2-0) 2-*(п+1-^1-^2-0) 2-*£2
Поэтому Е*=1 МА*) ^ Е*=1 2-*(га+1-Й1-Й2-б) < то. Следовательно, мера множества точек, принадлежащих бесконечному числу множеств А*, имеет меру нуль согласно леммы Бореля-Кантелли.
М
менее 2*0 многочленов. Из (25) следует, что 1 — е ^ и ^ п — 3 + е. Пусть и1 = и — 1, вде 1 = 0.23 Запишем и1 в виде суммы целой и дробной части
[и1] + {и1} И ВЫЧИСЛИМ
п — [и1] = 11 + 12 — 1 + {и1} + 1 > 3. (26)
Согласно принципу ящиков Дирихле, существует к ^ с(п)2*(й+{“1}-£2) многочленов Р1,..., Р& сред и 2*0 многочленов, у которых коэффициенты при хп, хп-1,..., хп-[и1]+1 совпадают. Рассмотрим к — 1 многочленов Я, (/) = Р, (/) — Р1(/),
2 ^ ^ к. Согласно (17), имеем
| Я, (х)| < 2*(1-91-к2Т-1+(га-1)£1),
| Я, (г)| < 2*(1-Г1-12Т-1+(п-1)£1), (27)
|Я, (ад)|р < 2*(-51-т2Т-1+(га-1)£1),
где 2 ^ ^ к, deg Я, ^ п — [и^ и Н(Я) ^ 2*+2, Теперь многочлены Я,(/) =
6га-[и1]/га-[“1] + • • • + 61/ + 60 поделим па классы. Поделим значения коэффициентов 6га-[М1 ],..., 61 многочлен ов Я, (/) на интервалы длины 2*(1-^1), вде ^1 = {и1}(п— [и1])-^. Ясно, что существует 2*^1 интервалов для каждого коэффициента. Снова воспользуеся принципом ящиков Дирихле и получим, что существует т ^ 2*(й-£2) Я,
члены Я1,..., Ят. Снова рассмотрим разность этих многочленов и определим многочлены $Д/) = Я^+1(/) — Я1(/), удовлетворяющие
|£Дх)| < 2*(1-91-к2Т-1+(п-1)£1),
|^(г )| < 2*(1-Г1-12Т-1+(п-1)£1), (28)
|&Н|Р < 2*(-51-т2Т-1+(п-1)£1),
где 1 ^ г ^ т — 1, degБ* ^ п — [и^, Н(Б*) ^ 2*(1-^1), Коэффициент 60(Б*) примет малые значения ^ 2*(1-^1) автоматически из-за малости правых частей в системе (28),
Рассмотрим более детально многочлены Б*, необходимо рассмотреть три типа многочленов Б*. Отметим, что аналогичный аргумент будет использоваться при доказательстве предложения 6 и предложения 7,
Случай А. Все многочлены Б* имеют в ид г1Б0, г2Б0,..., гт-1Б0 для некоторого фиксированного многочлена Б0. Тогда г; = шах1^,^т-1 |г,| ^ 2*(й-£2) и выполняется система неравенств (28) для г'Б0, где Н(Б0) ^ 2*(1-^1-й+£2), Из (28) получаем
Из (25) и (26) имеем
І1 + І2 — 3 + 31 — 4(п — 1)^1 > (п — [иі] — 2)(1 — Л — d + є2).
Таким образом, согласно лемме 1 множество точек и, удовлетворяющих (28) для бесконечного числа таких многочленов Б, имеет меру нуль.
Случаи Б. Один из многочленов Б*, 1 ^ і ^ т — 1 (скажем, Б1), является приводимым, то есть Б1 = Б(1)Б(2), Из системы (28), получаем
справедливо для 1 = 0.23 и достаточно малого числа е, е1. Снова воспользуемся леммой 1 и получим, что множество точек, удовлетворяющих (28) для
Б
Случаи В. Все многочлены Б* являются неприводимыми и по крайней мере
Б1 Б2
случае - получить противоречие с леммой 5, Пусть к = 1 — к1; перейдем к высоте многочленов Б* в (28) и (16) и определим
Т1 = (<21 + кіТ-1 — 1 — (п — 1)є1)й-1, П1 = кіТ-1^-1,
Т2 = (Г1 + /2Т-1 — 1 — (п — 1)Є1)^-1, П2 = І2Т-1Л-1,
Тз = (^1 + т^Т-1 — (п — 1)£1)й-1, Пз = т2Т-1Л-1.
Согласно лемме 5, должно выполняться следующее неравенство
3<21 + к2Т-1 + 6г1 + 2/2Т-1 + 3в1 + т2Т-1 — 12(п — 1)е1 — 9Л < 2(п — [и1 ])Л + £.
|Бо(х)||Бо(г)|2|Бо(ш)|р « 2і(3-й1-Ла-3Л+4("-1)*і).
(29)
11 + 12 — 3 — 4(п — 1)є1 > (п — [и1] — 3)(1 — Л^)
(30)
Поскольку ^ к2Т \ 2г1 ^ 2/2Т 1 и 51 ^ т2Т 1, то используя (26), получаем
2(11 + 12) — 12(п — 1)е1---9{и1} < 2(11 + 12) — 2 + 21 + £.
п — [и1]
Последнее неравенство противоречиво при 1 = 0.23, п—[и1] ^ 6 и достаточно малых £ и е^. Следовательно, множеетво точек (х, £,ад), для которых неравенства выполняются для бесконечного числа таких многочленов Б*, удовлетворяющих п — [и1] ^ 6, имеет меру нуль.
Осталось доказать справедливость результата для п — [и1 ] = 4 или 5, Пусть р = п — [и^, Вернемся к многочленам Я,, удовлетворяющим (27), Первое нера-
Я,
Тм, где М = /м х Км х Поскольку Я, = Р, — Р1; разложим производные Р,,(г)(х) для каждого много члена Р,, 3 = 1,..., к, в ряд Тейлора на /м, Пусть а1, - соответствующий корень многочлена Р, Тогда
Р,(г)(х) = Р,(г)(а1,) + Р,(г+1) (а1,)(х — а1,) + ^ Р,(г+2)(а1,)(х — а1,)2 +... и по лемме 4
|Р,(г)(ау )| < 2*(1-94+(п-*)£1),
2 ^ г1 ^ р — г, что означает
|Р,(г)(х)| < 2*(1-94+(п-1)£1), 1 ^ г ^ р, 1 ^ ^ к
на /м, Последнее позволяет получить, что
| Я(*) (х) | < 2*(1-«^+(п-1)£1) , 1 ^ г ^ р,
па /м-
Пусть х0 - центр иптервала /м, Каждый диапазон значений многочлена Я, и его производной в точке х0 разделим на 2*^ интервалов, где V = {и1}(р +1)-1, Из
(27) следует, что интервал [—с(п)2*(1-91-Й2Т-1+(п-1)£1), с(п)2*(1-91-Й2т-1+(п-1)£1)] делится на 2^ интервалов одинаковой длины с(п)2*(1-91-Й2Т +(га-1)£1-^); и диапазон значений /-ой производи ой (1 ^ I ^ р) вида,
[—с(п)2*(1-9г+(га-1)£1), с(п)2*(1-9г+(га-1)£1)]
делится на интервалы длины с(п)2*(1-9г+(га-1)£1-^), В результате, существует не более с(п)2*(р+1)^ различных комбинаций малых интервалов. Используя принцип ящиков Дирихле, получаем, что существует как минимум 2*(й-£2) много-Я
е2 > 0
Ясно, что для каждой точки х € Тм многочлены Т, (х) = Я,+1 (х) — Я1(х), где Я,+1 и Я1 принадлежат одной и той же комбинации интервалов, удовлеворяют неравенствам
Т (хо) = |Я,+1 (хо) — Я1(хо)| < 2*(1-91-к2Т-1+(п-1)£1 -{и1}(р+1)-1)
Т(г)(хо) = |Я(г:+1(хо) — Я(1")(хо)| < 2*(1-%+(п-1)£1 -{и1}(р+1)-1),
1 ^ г ^ р- Разложим многочлен Т, в ряд Тейлор а на Тм в окрестности точки хо
Т (х) = ^ (г!)-1 Т,(г)(хо)(х — хо)*.
*=о
Используя вышеприведенные оценки и (10), получаем
|Т,(0(х)||х — хо|* < 2*(1-94-*к2Т-1+(га-1)£1-{и1}(р+1)-1)
^ 2*(1-91-к2Т-1+(га-1)£1-{«1}(р+1)-1)
Таким образом,
|Т,(х)| ^ 2*(1-д1-к2т-1+(га-1)£1-{и1}(р+1)-1) (31)
для 1 ^ ^ т — 1, т ^ 2*(й-£2), и х € /м.
Как и ранее в этом предложении, необходимо рассмотреть три случая (ана-
Т
1а. 1Н будут опущены.
Случай А. Все многочлены Т, имеют вид зТо, для некоторого многочлена То, Следовательно, существует такое число з, что |в| 2*(й-£2) (так как существует
не менее 2*(й-£2) многочленов Т,) и Н(То) ^ 2*(1-й+£2), а также выполняется система неравенств
|То(х)| ^ Н (То)(1-?1-к2т-1 -^+(п-1)£1-{«1}(Р+1)-1)(1-^+£2)-1
|То(^)| ^ Н (То)(1-Г1-12Т-1-^+(п-1)£1)(1-^+£2)-1 |То(ш)|р < н(То)(-51-т2Т-1+(га-1)£1)(1-й+£2)-1.
Здесь первое неравенство следует из (31), а два других получаются из (27), Далее неравенство
11 + 12 — 3 + {и1}(р +1) + 31 — 4(п — 1)е 1 > (п — [и1] — 2)(1 — 1 + е2) =
= (11 + 12 — 3 + 1 + {и1})(1 — 1 + е2)
выполняется для п — [и1] ^ 5 1 = 0.23 и достаточно малых е, е1; е2. Следовательно, используя лемму 1, получаем, что множество точек, удовлетворяющих
Т
Случай Б. Все многочлены Tj приводимы. Если для каждого многочлена Tj существует делитель Tj(k) степей и ^ n — [ui] — 2 и удовлетворяющий неравенству (воспользуемся (27) и (31))
|T<k)(x)||T<k)(z)|2|T,(k,(w)|p «
^ 2* (1-qi-fc2T-1-{«1} (p+1)-1+2 (1-n-l2T-1)-si-m2T-1+4 (n-1)ei)
то как и выше лемма 1 будет применена непосредственно к многочленам Tjfc),
T
множителя и множителя степени n — [u1] — 1, Если линейные множители одинаковы для двух многочленов, то есть T1 = T0T1 и T2 = T0T2, то многочлены T1 и T2 не имеют общих корней, и противоречие с леммой 5 может быть получено, Следовательно, далее мы предполагаем, что все линейные множители
T
не менее 2*( 2 2) (так как число различных многочленов Tj не менее 2t(d-£2)), В силу того, что |Imz| > £1; имеем |az + b|2 ^ а2. Используя прямой подсчет мер множеств, получаем, что множество точек (x,z,w), удовлетворяющих |ax + b||az + b|2|aw + b|p ^ 2-te1, имеет меру пуль. Следовательно, мы можем предположить, что для линейного множителя T0(/) = а/ + b, где |а| > 2t(d-£2)/2, выполняется неравенство
|ax + b||az + b|2|aw + b|p ^ 2-fc1
для любого 6^ Пусть Tj = T0tj, Тогда высота многочлена tj не более 2t(1-(d-£2)/2) и tj удовлетворяет неравенству (в силу (27), (31) и предыдущего неравенства)
|ti(x)||ti(z)|2|ti(w)|p <
^ H(t .)(1-q1-fc2T-1-{u1}(p+1)-1+2(1-r1-l2T-1)-S1 -m2T-1+4ra£1)(1-(d-£2)/2)-1
Для p ^ 5 и достаточно малых e1; e2, e имеем
^1 + ^2 — 3 + {—J(p +1) 1 — 4ne1 > (^1 + ^2 — 4 + d + {U1 })(1 — (d — £2)/2).
Таким образом, в силу леммы 1, получаем, что множество точек, для которых
T
T1 T2
третье неравенства системы (27) оставляем без изменения и первое неравенство заменяем неравенством (31), Определим числа Т1 = q1 + k2T-1 — 1 — (n — 1)e1 + {u1}(p + 1)-1, Т2 = r 1 + /2T-1 — 1 — (n — 1)e1 и тз = S1 + m^T-1 — (n — 1)eb Тогда в силу леммы 5, справедливо неравенство
3q1 + ^T 1 + 6Г1 + 2/2T 1 + 3s1 + m^T 1 — 12(n — 1)e1 +—{—} < 2(n — [—1]) + $.
p + 1
Однако, так как ^ ^ к2Т , ^ ^ 12Т , в1 ^ т2Т , то для d = 0.23, р <
5 и достаточно малых величин е1 и £ последнее неравенство противоречиво. Доказательство предложения 4 закончено.
Объединяя первые четыре предложения, получаем, что ^(рП°’0’0)^, Л, Ф)) =
0
Случай 2: (1,1,1)-линейноеть, Предположим, что выполняется следующая система
<?1 + &2р 1 Г1 + /2Т-1 51 + Ш2Т-1
^ 1 +1>1 + Л1,
^ 1+ ^2 + Л2,
^ + Л3,
(32)
одновременно с системой (5),
Предложение 5. Если Ея=1 Ф(Н) < <х, то ^(ьП1,1,1)(у, Л, Ф)) = 0. Доказательство. Воспользуемся системой (5) и леммой 3 и получим
|х — а11 ^ шт 2
|г — в11 ^ шт 2
2<Кп
|эд — 71 |р С шт 2
2С?Хп
^1+Л1 + 1-91
^2+^2 + 1-г
-“3 + Л3-г|;
- 2-^1
- 2-*^2 ) = 2-^‘з.
(33)
Используя (32), нетрудно показать, что ^1 > ^1 + Л1 + 1 — д1. Пусть минимум в первом неравенстве в (33) достигается при 31; во втором - при ^2, в третьем -при З3, Система неравенств (33) определяет некоторый палаллелепипед а5(Р), Множество многочленов Р е Р™1’1’^, где 2* ^ Н(Р) < 2*+1, обозначим Р5- Пусть
= ирер а5(Р)-
Разделим параллелепипед Т на параллелепи педы М со сторона ми 2-*(м1-7), 2-*м^ 2-*^3, где 7 = (10п)-1, Предположим, что Р принадлежит М и разложим РМ
ведем оценки для действительной переменной. Используя лемму 4, получаем |Р/(а1)||ж — М < 2*7|Р/(а1)2-*^1|< 2*(7+1-91+(га-1)£1-^1-Л1-1+91)
^ 2*(-^1-Л1+п7+(™-1)£1)
|Р(^')(«1)||ж — а1р < 2-7'*7|Р(^')(«1)2-^*^11 < 2^7+1-^+(п->1-^1-Л1-1+®)
^ 2*(-^1-Л1+™7+(™-1)е1)
для 2 ^ ^ п.
Аналогично оценим сверху значения |Р(г)|, |Р(^)|р и получим
|Р (Х)| ^ 2-*(^1+Л1-°.1-(га-1)£1),
|Р(г)| ^ 2-*(^2+Л2-(п-1)£1 ),
|Р(ш)|р « 2-‘(*3+Лз-("-1)е1).
М
Р1 Р2 Р1 Р2
неприводимы). Для обоих многочленов справедлива система неравенств (34), и они не имеют общих корней. Мы намерены получить противоречие с леммой 5, для этого определим
I Л (11 ( 1 \ ^1 + Л1 + 1 — ^1
т1 = ^1 + Л1 — 0.1 — (п — 1)е1, п1 =--------------------------7,
ГЛ
I Л / 1\ ^2 + Л2 + 1 — г^2
Т2 = ^2 + Л2 — (П — 1)^1, П2 = -----------------------:--,
^2
^3 + Л3 — 5^3
Тэ = ^3 + Л3 — (п — 1)^1, П3
^3
Тогда, применяя лемму 5 и выбирая ^ = ^2 = ^3 = 2 (это наихудший случай), имеем
2^1 + 2Л1 — 0.3+2^+4^2+4Л1+2^3+2Л3 — 12(п—1)^1+6+(9?1 + 2г^-2 + 5^3) — 3 < 2п+Ь, поэтому
Ь > 27 + 0.7 — 12(п — 1)^1 + (^ + 2г^2 + 5^3).
Последнее неравенство при малом Ь и достаточно малом е1 противоречиво,
М
неприводимых многочлена.
Следовательно, мы можем предположить, что не более одного многочлена Р е Р5 принадлежит каждому параллелепипеду М, Число таких параллелепипедов равно с(п)2*(м1+2м2+М3-7), Используя (33), находим
^(А*) « 2-*(^1+2^2+^3-М1-2М2-М3+7) « 2-*7
В силу того, что ьП1,1,1)(у, Л, Ф) - множество точек, принадлежащих бесконечному числу множеств А*, иЕГ=° МЛ) «Е£12-*7 < то, то снова обращаемся к лемме Бореля-Кантелли, и этого достаточно, чтобы завершить доказательство, (1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1)
Рассмотрим только случай (1, 0, 0)-линейности, так как доказательство в двух других случаях аналогично.
Предложение 6. Если Ея=1 Ф(Н) < то, то ^(ьП1А0)^, Л, Ф)) = 0.
(1, 0, 0)
стемой (5) выполняется система неравенств
91 + -1 ^ 1 + г>1 + Л1,
Г1 + /2Т 1 < 1 + ^2 + Л2, (35)
51 + Ш2Т-1 < ^3 + Л3.
Сначала заменим два последних неравенства в (35) на следующие неравенства
0.9 + ^2 + Л2 < Г1 + /2Т-1 < 1 + ^2 + Л2, (36)
— 0.1+ ^3 + Л3 < 51 + Ш2Т-1 < ^3 + Л3.
Далее следуем схеме доказательства предложения 5, Поделим параллелепипед Т па параллелепнпеды М со сторонами 2-*М1, 2-*(12Т -£1) и 2-*(т2т -£1), где ^1 = шах2^^-^га(^1 + Л1 + 1 — ^)3-1 и пусть максимум достигается при ] = ^1,
М
М
оценим сверху каждый член разложения, В силу того, что многочлены неприводимы и не имеют общих корней, то можем применить лемму 5, В силу (36) получаем противоречие (аналогично как и в предложении 5),
Следовательно, осталось рассмотреть случай, когда не более одного мно-
М
Р е рП1,0’0), 2* ^ Н(Р) < 2*+1, удовлетворяющих (35) и (36) обозначим Р^. Пусть <г(Р) - множество точек и, для которых система (5) выполняется. Пусть А* = ирер4 а(Р)■ Для фиксированного многочлена Р е Р6 мера точек и, для которых выполняется (5), оценивается как с(п)2*(-М1-(2^2+2Л2+2-2г1)-(^3+Л3-51 )), Число параллелепипедов М те превосходит 2*(^1+(212+т2)т -3£1), Следовательно, используя (35) и вышеприведенные оценки, получаем
^(А^) <« 2-*(2^2+2Л2+2-2(п+/2Г 1)+^3+Л3-(з1+Ш2Т 1)+3в1) <« 2-3^1*
В силу того, что Е*=1 МА*) « Е*=1 2-3£1* < то, множество точек, удовлетворяющих (5), (35) и (36) бесконечно часто, имеет меру нуль по лемме Бореля-
Кантелли,
Далее исследуем случай, когда выполняется одно из двух следующих неравенств или оба неравенства
Г1 + /2Т-1 ^ 0.9 + ^2 + Л2,
51 + -1 ^ —0.1+ ^3 + Л3. (37)
Эти случаи аналогичны, поэтому продемонстрируем доказательство, например, для случая, когда выполняются оба неравенства. Обозначим множество многочленов РП1,0’0), 2* ^ Н(Р) < 2*+1, удовлетворяющих (35) и (37), через Р£. Раз" делим параллелепипед Т на параллелепипеды М со сторонами 2-*М1, 2-*12Т и 2-т2т .зафИКСИруеМ и = п—^1 — Л1 — (2г1 + 51) —(2/2+т2)Т-1, и пусть в = и—е2 для некоторой достаточно малой величины е2. Предположим, что параллелепипеду М принадлежит не более 2*0 многочленов. Пусть А* = ирер«а(Р), Тогда
^(А ) « 2—*(^1 +2(^2+Л2 + 1-Г1)+(^3+Л3-81)-М1-212Т-1-т2Т-1-0)
2-*(и-*ь) ^ 2-*£2
ГО
Ясно, что ряд Е 2—4£2 сходится и применение леммы Бореля-Кантелли завер-
4=1
шает доказательство.
Далее предположим, что существует параллелепипед М, которому принадлежит не менее 2*0 многочленов. Пусть и = и1 + д, где 0 < д < 1. Вычислим
п — [и 1] = п — и + {и1} + д = VI + Л1 + ^1 + ^2 + {и1} + д
п — и1 — ^1 + Л1 + ^1 + ^2 + д,
где = 2г1 + в1 и д2 = (2/2 + т2)Т—^ (Использовали факт, что п — 2 = ^1 + 2^2 + + Л1 + 2Л2 + Л3.) Используя формулу Тейлора и (35), получаем
|Р(х)| < 2-*(^1+Л1-(га-1)£1).
Заменим первое неравенство (17) предыдущим неравенством и получим систему
|Р (х)| < 2-*(^1+Л1-(га-1)£1).
|Р (^)| ^ 2-4(г1+^2Т-1-1-(п-1)£1)
|Р(м)|р < 2-*(51+т2Т-1-(га-1)£1).
Далее проведем доказательство, аналогичное доказательству предложения
4, заменив систему (17) вышеприведенной системой. Рассмотрим многочлены Я, (/) = Р, (/) — Р1(/) 2 ^ ^ к, к ^ с(п)2*({“1}+й-£2), у которых совпадают
первые [и1 ] старших коэффициентов, Далее уменьшим высоту многочленов Я, за счет {и1^, то есть каждый коэффицпент Я, будет лежать в интервале длины 2*(1-^1), где к = {и1}(п — [и1]) 1. Перенумеруем много члены Я, и затем рассмотрим многочлены Б* = Я^+1 — йу Перейдем от высоты многочлена Р к высоте многочленов Б*, 1 ^ г ^ т — 1, т ^ 2*(й—£2), тогда следующие неравенства
|БДж)| < 2-*(^1+Л1 -(п-1)£1),
|Б*(^)| < 2-4(г1+12Т-1-1-(п-1)£1), (38)
|Б*Н|Р < 2-4(51+т2Т-1-(п-1)£1),
справедливы на М, гДе deg Б* ^ п — [и^, Н(Б^) ^ 2*(1-^1).
Далее, как п при доказательстве предложения 4, рассмотрим три случая. Случай А. Вместо неравенства (29) получим
|Бо(х)||Бо(г)|2|Бо(^)|р < 2*(-^1-Л1-2г1 —212Т-1+2—*1—т2Т-1—м+4(п—1)£0
2—4(^1+Л1+^1 +^2—2—4(п—1)£1 +3^)
Чтобы применить лемму 1 надо доказать неравенство
V! + Л1 + ^1 + ^2 — 2 — 4(п — 1)^1 + 3д > (п — [и1] — 2)(1 — д — к + £2).
Нетрудно показать, что для п — [и1] ^ 3, д = 0.23 и достаточно малых величин е1; е2 последнее неравенство справедливо. Условие п — [и1] ^ 3 следует из (38), поскольку каждый многочлен, удовлетворяющий (38), должен иметь действительный и два комплексно-сопряженных корня.
Случай Б. Когда среди многочленов Б* есть приводимые, то снова можно применить лемму 1, если верно неравенство
^1 + Л1 + + д;2 — 2 — 4(п — 1)е1 > (п — [и1] — 3)(1 — к1),
аналогичное неравенству (30), В силу леммы 5, для п — [и1] — 1 ^ 3, д = 0.23 и достаточно малого е1 вышеприведенное неравенство выполняется,
Б1 Б2
то применим лемму 5, Здесь
Т1 = (^1 + Л1 — (п — 1)^1)к—1, П1 = ^1к—1,
Т2 = (Г1 + /2р—1 — (п — 1)£1 — 1)к—1, П2 = /2р—1к—1,
Тз = (^1 + т2Т—1 — (п — 1)^1)к—1, Пз = т2Т—1к—1.
Получим неравенство
2^1 + 2Л1 + 2 + 6Г1 + 2/2Т 1 + 3^1 + т2р 1 — 12(п — 1)^1 + ^2(Б) — { }
п — [и1]
< 2(п — М) Л--------{и1г} Л + 5 = 2(^1 + Л1 + + д'2 + д) + 5,
V п — М /
наиболее слабая форма которого получается при ^ = 2, Аналогично, как при доказательстве предложения 4, мы получаем доказательство в случае п — [и1] ^ 6. Если же п — [и1] = 4 или п — [и1] = 5, то усиливая аппроксимацию по переменной ж, как в предложении 4, мы завершаем доказательство.
Случай 4: (1,1, 0) (1, 0,1) и (0,1,1)-линейноеть,
Доказательство этих трех случаев аналогично, поэтому проведем его только для случая (1, 0,1)-линейноети,
Предложение 7. Если Ея=1 Ф(Н) < ж, то ^(ьП1А1)^, Л, Ф)) = 0.
(1, 0, 1)
системой неравенств (5) выполняется система
?1 + к^Т 1 ^ 1 + ^1 + Л1,
Г1 + /2Т—1 < 1 + ^2 + Л2, (39)
^1 + т2Т—1 ^ ^з + Л3.
Вначале введем дополнительное ограничение, добавив к системе (39) условие
0.7 + ^2 + Л2 < Г1 + /2Т—1. (40)
Определим
^1
тах((1 + ^ + Л1 — д,-)] 1)1/^'
2<,<п
1па:х((^з + Лз — ^)з 1)Ш,
2<,<п
и пусть максимальные значения достигаются при ^ и ^з соответственно. Доказательство этого предложения следует из доказательств предложений 4, 5, 6 с небольшими изменениями. Множество многочленов Р Е Р(1,0,1); 2* ^ Н(Р) < 2*+1, удовлетворяющих (39) и (40), обозначим Р|. Разделим параллелепипед Т на параллелепипеды М со сторонами 2—*М1, 2—*(12Т —£1) и 2—*М3,
Следуя предложению 5, предположим, что существует параллелепипед М, содержащий два и более многочленов. Разложим их в ряд Тейлора и получим оценки сверху для каждого члена разложения, В силу того, что многочлены неприводимы, не имеют общих корней, то можно применить лемму 5, Вместе с условием (40) это приведет к противоречию. Таким образом, мы можем предположить, что не более одного многочлена принадлежат каждому параллеле-М
^(А^) 2—*(^!+2^2+2Л2+2—2п+^з—М1—М3—212Т 1 —2ех) 2—2*£1
Снова получаем Е*=1 МА*) < ж, и доказательство завершается в данном случае, применяя лемму Бореля-Кантелли,
Далее в системе неравенств (39) заменим второе неравенство на следующее
Г1 + /2Т—1 ^ 0.7 + ^2 + Л2. (41)
Обозначим множество многочленов Р € Р™1’0’^, 2* ^ Н(Р) < 2*+1, удовлетворяющих (39) и (41), через Р<*. Пусть А* = иРа(Р).
Разделим параллелепипед Т па параллелепнпеды М со сторонами 2—*М1,
2—*12Т и 2—(М3, Зафиксируем и = 2(г>2 + Л2 + 1 — г1 — /2Т—1) и в = и — е2 для достаточно малой величины е2 > 0. Рассмотрим те параллелепипеды М, которым принадлежит не более 2*е многочленов. Тогда
^(А^) 2—*(М1+Мз+2^2+2Л2+2—2п—М1—М3—212Т 1+0) 2—*(и—^Ь) 2—*£2
Получаем Е*=1 МА*) < ж, поэтому мера точек, принадлежащих бесконечному числу множеств А*, имеет меру пуль согласно лемме Бореля-Кантелли,
Далее рассмотрим параллелепипеды М, которым принадлежит не менее 2*е многочленов. Пусть и = и1 + д, где 0 < д < 1, и предположим, что Р принадлежит М. Разложив многочлен Р в ряд Тейлора на М и оценив сверху каждый член разложения, получим
|Р(ж)| < 2—*(^1+Л1—(п—1)£1),
|Р (г)| ^ 2—*(г1+12Т-1—1—(п—1)£1),
|Р (м)|р < 2—*(^3+Л3—(п—1)£1).
Снова следуем схеме доказательства предложения 6, используя вышеприведенную систему вместо (17), От многочленов Р перейдем к многочленам = Рз — Рь 2 ^ і ^ к к ^ 2*(й+{и1}-£2), затем перенумеруем многочлены Я,- и перейдем к многочленам Бі = Я^+і — Я1; 1 ^ і ^ т — 1, т ^ 2*(гі-Є2\ как в (27) и
(28), Получим
|БДж)| < 2-*(^1+Лі-(га-1)Є1)^-1,
|БД*)| < 2-*(г1+і2Т-1-1-(п-1)^-1,
|йН|р < 2-*("3+Лз-(га-1)£1),
где deg Бі ^ п — К] и Н(5І) < 2*(1-^1),
Вновь рассмотрим три случая.
Случай А. Во-первых, от системы перейдем к неравенству
|Бс(х)||Бо(г)|2|Бо(^)|р < 2-і("1+"3+Л1+Лз+2г1+2І2Т^Ь2-4^-1^,
полученному таким же способом, как и (29), Аналогично тому, как была показана справедливость неравенства (30), доказывается справедливость неравенства
^1 + + А1 + А3 + 2г1 + 2/2Т-1 — 2 — 4(п — 1)е1 + 3й > (п — [и1] — 2)(1 — й — к1)
для й = 0.23 и достаточно малых величин є1,є2. Таким образом, применима лемма 1,
Случаи Б. Далее предположим, что существуют приводимые многочлены среди многочленов Бі, Тогда справедливо неравенство
г>1 + ^з + А1 + Аз + 2г1 + 2/2Т-1 — 2 — 4(п — 1)е > (п — [«1] — 3)(1 — ^1)
для й = 0.23 и достаточно малого е1. Доказательство последнего неравенства совпадает с доказательством неравенства (30), и далее снова применяем лемму
1.
Случаи В. Применим лемму 5 к двум многочленам Б1 и Б2, не имеющим общих корней. Пусть
Т1 = (^1 + А1 — (п — 1)^)й-1, П1 = ^1 к-1,
Т2 = (г1 + /2Т-1 — (п — 1)^1 — 1)к-1, П2 = І2Т-1к-1,
тз = (ш + Аз — (п — 1)^)й-1, пз = ^з к-1.
Наиболее слабая форма неравенства в лемме 5 получается при і = і = 2 и имеет вил
2г>1 + 2Л1 + 2^з + 2Лз + 2 + 6Г1 + 2/2Т 1 + ($) + ^(^) — 12(п — 1)^1---------^ г ^,
п — [и1]
< 2(^1 + Л1 + ^з + Лз + 2г1 + 2/2Т 1 + д) + 5.
Последнее неравенство противоречиво при д = 0.23 п — [и1] ^ 6 и достаточно малых 5 и Доказательство в случае п — [и1] = 4 и п — [и1] = 5 проводится отдельно и аналогично как в предложении 4, Предложение 7 доказано.
Объединяя все предложения, получаем доказательство теоремы для случая к = / = т =1,
4 Общий случай
В данном разделе укажем какие изменения надо провести в общем случае. Удалим из пространства Т множество малой меры так, чтобы в оставшейся части выполнялись неравенства
|хп — Л | ^ 51, 1 ^ *1 < ^1 ^ к,
к2 — Л1 ^ 51, 1 ^ *2 < 32 ^ /,
|/тг4| ^ 51, 1 ^ ^ /,
1^г3 — ^Лз |р ^ 51, 1 ^ *з < Зз ^ т.
Это приведет к тому, что при достаточно большом Н (Р) будут выполняться следующие неравенства для корней многочлена Р:
|а»х — Л | > Ф1), 1 ^ *1 <31 ^ п,
|Т*2 — 7?2 |Р > c(51), 1 ^ *2 < 32 ^ n,
где аь а2,..., е Си 71,72,..., € 0£.
При п = к + 2/ первоначальная система неравенств легко анализируется; этот случай соответствует случаю п = 3 при условпн к = / = т =1, Все действительные и комплексные корни удалены друг от друга, и значения модулей производных в соответствующих корнях многочленов принимают максимальные по порядку значения. Это приводит к получению наилучших оценок сверху для |х — а^| и |гл- — вл|, где а € К, вл е С \ К, 1 ^ ^ к, 1 ^ 3 ^ /, Оставшиеся
неравенства для р-адических переменных анализируются как в работе [5],
В теореме, в зависимости от соотношений между порядком аппроксимации по каждой переменной и величиной производной в ближайшем корне возникает 2к+21+т типов линейности. Наиболее принципиальными из них являются два случая: (1,1,..., 1)-линейность и (0, 0,..., 0)-линейность, В первом случае
(1, 1, 1)
случае по каждой переменной проводим расширение первоначальных параллелепипедов а(Р) до параллелепипедов а1(Р), на которых уже происходит совпадение порядка аппроксимации и показателя степени производной в ближайшем корне. Если внутри расширенного параллелепипеда оказывается небольшое количество многочленов, то завершение доказательства происходит простым подсчетом мер. Если же число многочленов велико, то по принципу Дирихле у этих многочленов должны совпадать несколько старших коэффициентов. Разложим все многочлены в ряд Тейлора в окрестности корней на расширенных параллелепипедах и оценим их сверху. Далее выделим из совокупности многочленов один многочлен и рассмотрим новые многочлены, образованные разностями оставшихся многочленов и выделенного многочлена, В итоге получим многочлены меньшей степени, которые с заданным новым порядком аппроксимируют нуль. Если среди них окажутся два неприводимых многочлена без общих корней, то воспользуемся леммой 5 и получим противоречие, С приводимыми многочленами или многочленами специального вида, поступим также как в случае А и Б в предложении 4,
В случаях "смешанных"линейностей поступаем следующим образом: если координата в векторе линейности равна 1, то первоначальные неравенства остаются без изменений по данной переменной; если же координата равна 0, то по соответствующей переменнной проводим расширение первоначального параллелепипеда до параллелепипеда, на котором совпадают порядок аппроксимации и порядок производной в ближайшем корне. Затем по переменным (соответствующим координате 0) разложим многочлены в ряд Тейлора и произведем оценки модулей и p-адических норм многочленов. Далее все зависит от количества многочленов, попавших в расширенный параллелепипед. Если количество невелико, то проводим непосредственный подсчет. При большом количестве многочленов в параллелепипеде снова применяем принцип Дирихле и далее поступаем как в случае (0,0,..., 0)-лпнейноети,
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] A, Baker, On a theorem of Sprindzuk // Proc, Roy, Soe,, London Ser, A 292 (1966) 92-104.
[2] V, Beresnevich, On approximation of real numbers by real algebraic numbers // Acta Arith. 90 (1999) 97-112.
[3] V. Beresnevich, A Groshev type theorem for convergence on manifolds // Acta Math. Hungar,, 94 (2002), pp. 99-130.
[4] V. V. Beresnevich, V. I. Bernik, D. Y. Kleinbock, G. A. Margulis, Metric Diophantine approximation: the Khintehine-Groshev theorem for nondegenerate manifolds // Mosc. Math. J,, 2 (2002), pp. 203-225.
[5] V. Beresnevich, V. Bernik and E. Kovalevskaya, On approximation of p-adic numbers by p-adic algebraic numbers // Journal of Number Theory, 111 (2005) 33-56.
[6] V. Beresnevich, D. Dickinson, S. Velani, Measure theoretic laws for lim sup sets // Mem. Amer. Math. Soc. 179 (2006), x+91,
[7] V. Bernik, The metric theorem on the simultaneous approximation of zero by values of integral polynomials // Izv. Akad, Nauk SSSE, Ser. Mat. 44 (1980) 24-45.
[8] V. Bernik, On the exact order of approximation of zero by values of integral polynomials // Acta Arith. 53 (1989) 17-28.
[9] V. Bernik and D. Vasilyev, A Khinehin-tvpe theorem for integral-valued polynomials of a complex variable // Proc. IM NAN Belarus, 3 (1999) 1020.
[10] V. I. Bernik, D. Kleinbock, G. A. Margulis, Khintchine-type theorems on manifolds: the convergence case for standard and multiplicative versions, Internat. Math. Res. Notices, (2001), 453-486,
[11] V, Bernik and N, Kalosha, Approximation of zero by values of integral polynomials in space R x C x Qp // Vesti NAN of Belarus, Ser, fiz-mat nauk,
1 (2004) 121-123.
[12] V. Bernik, N. Shamukova, Approximation of real numbers by integer algebraic numbers, and the Khinchin theorem // Dokl, Nats, Akad, Nauk Belarusi,, 50 (2006), no, 3, pp. 30-32,
[13] Y. Bugeaud, Approximation by algebraic integers and Hausdorff dimension // J. Lond. Math. Soe., 65 (2002), pp. 547-559.
[14] A. Khintchine, Einige Satze uber Kettenbruche mit Anwendungen auf die Theorie der Diophantischen Approximationen // Math. Ann. 92 (1924) 115— 125.
[15] E. Kovalevskaya, On the exact order of approximation to zero by values of integral polynomials in Qp // Preprint Institute Math. National Academy Sciences Belarus 8 (547), Minsk 1998.
[16] K, Mahler, Uber das Mass der Menge aller S-Zahlen // Math.Ann. 106 (1932) 131-139.
[17] V, Sprindzuk Mahler’s problem in the Metric Theory of Numbers, Transl, Math, Monographs 25, Amer, Math, Soe,, Providence, R.I., 1969,
[18] F. Zeludevich, Simultane diophantishe Approximationen abhangiger Grossen in mehreren Metriken // Acta Arith. 46 (1986) 285-296.
Хабаровское отделение Института прикладной математики ДВО РАН
Поступило 5.06.2011
