Методыобработки экспериментальных данных с неуправляемыми входными переменными при моделировании технологического процесса Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.3

МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ С НЕУПРАВЛЯЕМЫМИ ВХОДНЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО

ПРОЦЕССА

А.В. Кочегаров, И.Ю. Малышев

В статье рассматриваются вопросы технологических исследований с источниками неоднородностей дискретного типа

Ключевые слова: неоднородность, случайные величины, варьирование, адекватность

Как показал анализ технологического процесса истечения в бункере-дозаторе и изучения конструкторско-технологических параметров и физико-механических свойств биологических объектов [1,2,3,4], технологический процесс носит вероятностный характер, а часть входных переменных относится к неуправляемым входным переменным, характеризующимся

неоднородностью [5].

Т ак как технологический процесс дозирования носит вероятностный характер, а выходные переменные у (j = 1, т ) являются случайными

величинами, то для описания его статики возможно использовать методы регрессионного анализа по каждой однородной компоненте математического описания [6,7] на основе статистических данных, накопленных в результате эксперимента.

Задача заключается в исследовании тесноты статистической связи между входными

независимыми переменными X г (г = 1, п) и

выходными случайными переменными

у j (j = 1, т ) с помощью уравнений регрессии и

их коэффициентов. Чаще всего математическое описание представляется в виде полинома - отрезка ряда Тейлора, в который разлагается неизвестная зависимость [7]:

п п

у=ьо+Ё Ь‘х‘+Е ь«х<ху + Ё ь«х2+-, (1)

1=1 1=1 1=1 j=1

где Ь 0, Ь ., Ь у , Ь .. - коэффициенты уравнения

регрессии, оценка которых Р,Д , Рг} , Ь гг

требуется определить в результате постановки и обработки данных эксперимента.

При пассивном эксперименте прежде всего определяется время измерения выходной переменной у по отношению к моментам измерения

входных переменных х г (г = 1, п) , которое

Кочегаров Алексей Викторович - ВГТУ, д-р техн. наук, доцент, тел. 8(473) 2-55-32-00, e-mail: pmptm@vorstu.ru Малышев Игорь Юрьевич - ВГТУ, ассистент, тел. 8(473) 2-55-42-48, e-mail: kitp@vorstu.ru

лимитируется временем эквивалентного

запаздывания Ъэз, устанавливаемым по расположению максимума взаимо-корреляционной функции Rxy (t) [7].

Интервал съема данных D t выбирается из условия D t > 10 , где 10 - время корреляции, определяемое по автокорреляционной функции R yy (t) или приближенно по временному

графику случайного процесса [7].

Для построения математической модели (1) методом регрессионного анализа согласно его предпосылкам [8] вначале проверяется гипотеза о нормальном распределении случайной величины у, например, с помощью критерия Пирсона, для чего, используя статистический ряд случайно выходной переменной у, производится построение эмпирического графика распределения j ( у ) .

Для построения графика j (у) по результатам наблюдений объемом N в порядке возрастания значений выходной переменной строится ряд распределения, который оформляется в виде таблицы, где перечисляются и указываются границы j = X интервалов возможных значений случайной величины у и соответствующие им вероятности рj появления у в j = X интервалах.

Вероятность появления элементов выборки в j-м интервале - это предел, к которому стремится

относительная частота Vj при большом числе измерений:

N ,

р . = lim V ,■ = lim —-, (2)

J NN

где Nj - число элементов, попавших в j-й интервал.

Число интервалов определяется по приближенной формуле

K » 1 + 3,2 lg N (3)

и лежит в диапазоне у = 12.

Ширина интервала Dy постоянна для всех j = X интервалов

A y

где y max ’ У

y

y

K

(4)

соответственно наибольшее и

max ’ у min

наименьшее значение у из полученной совокупности объемом N.

После определения числа и ширины интервалов строится числовая ось, на которой отмечается среднее значение случайной величины как оценка ее математического ожидания, а также определяется оценка дисперсии случайной величины y.

От среднего значения у на числовой оси откладывается в ту и другую сторону по половине интервала 0,5Ay , а затем по целому интервалу до тех пор, пока крайние интервалы не перекроют

значения уmax и ymin (рисунок).

Числовая ось случайной величины

Далее для каждого интервала (у — 1, у )

определяется число попавших в него п у и

строится график распределения в виде эмпирической плотности вероятности выходной величины [6,7].

Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины у производится по критерию Пирсона

к (N — N ~ )2 У 2 = Ё ( ' у_________' ) (5)

р Ё, N ~ ’

у =1 р.

где К - число у = X интервалов эмпирического графика распределения (у = 1, к ) ; N - число попаданий в у-й интервал значений у по

эмпирической плотности вероятности; N - объем выборки; ру - вероятность попадания ву-й интервал в соответствии с нормальным законом распределения, которая оценивается, например, с использованием нормированной функции Лапласа.

~ ^ / У j max У \ / У j min У

p = ф ( J ^--------------------) - ф (_^------------------

), (6)

^у

где ф () - нормированная, четкая функция

Лапласа; у, Бу - оценки математического

ожидания и среднеквадратичного отклонения случайной величины у из выборки объемом N

у тах, у тш - максимальное и минимальное значения у иу-м интервале.

Если полученное значение у р окажется

2

меньше критического значения у кр , взятого из таблицы нормированной функции Лапласа [6,7],

для заданного уровня значимости q и при числе степеней свободы /(/ = К — 2), то гипотеза о нормальном распределении случайной величины у принимается.

Если объект исследования по техническим, технологическим, экономическим соображениям и другим причинам не допускает преднамеренного варьирования входных переменных в необходимом диапазоне, то для накопления статистического материала применяется пассивный эксперимент для получения статической модели в виде уравнения регрессии (1), заключающийся в наблюдении и регистрации значений входных и выходных переменных в режиме нормального функционирования исследуемого объекта [6].

Применение методов планирования активного эксперимента предполагает возможность проведения опытов в заданных исследователем условиях в области возможных значений факторов. Активный подход к эксперименту в сочетании с методами целенаправленного планирования позволяет получать максимум информации при заданном объеме эксперимента [6].

Так как данный объект управления допускает постановку активного эксперимента, то

реализуются все возможные неповторяющиеся сочетания уровней факторов (наиболее

существенных входных переменных) X. (г = 1, п ) ,

а число точек наблюдений равно N = 2п при варьировании на двух уровнях при полном факторном эксперименте (ПФЭ). Матрица планирования составляется после преобразования

факторов Х:1 (г = 1, п) по формуле [7].

Xi = (xi - x,s)/ Ax >

(7)

где Хг - верхний (X ь ) или нижний (Х1н) уровень варьирования фактора х; хд - базовый уровень г-го фактора; Ахг - шаг варьирования г-го фактора.

Тогда согласно (7) в матрице планирования верхнему уровню х ь будет соответствовать «+1»,

а нижнему х н - «-1» (для упрощения записи «+» и «-»).

В план эксперимента вводится фиктивная переменная х0, которая служит для определения оценки свободного члена уравнения регрессии в0 (1).

ПФЭ позволяет получить математическое описание в виде линейной и неполноквадратичной модели. В последнем случае для оценки

коэффициентов Ру при парных взаимодействиях

х х . в матрицу планирования добавляются

столбцы X X , а знаки, в которых определяются

простым перемножением знаков в столбцах, соответствующих г-му и у-му факторам [7].

После реализации плана эксперимента с т параллельными опытами (т > 3) проводится проверка воспроизводимости опытов с использованием критерия Кокрена:

, 2

О = п —

расч N

Ё

1=1

(8)

где 51 - выборочная дисперсия выходной

переменной у по г-й строке матрицы планирования (I = 1, N ), полученная из т параллельных опытов:

5,2 =

1

т

I л

т — 1

(у* — уг) ,

(9)

где .Л щ строке

у 1г - значение выходной переменной по г-й матрицы планирования из g-го

среднее

параллельного опыта (g = 1, т ); у1

значение выходной переменной, полученное из параллельных опытов по г-й строке матрицы

планирования; N - число опытов (N = 2 п ); 52тах -

максимальное значение выборочной дисперсии [7].

Если вычисленное значение Орасч окажется меньше критического Окр [6,7], найденного при

числе степеней свободы / = (т — 1), /2 = N и заданном уровне значимости q %, то гипотеза об однородности дисперсии (воспроизводимости

опытов) принимается, после чего переходят к определению коэффициентов уравнения регрессии по формулам [7]

Ё у

Р = -¡=1— Ро N

N

Ё 2пУг

Р, = '=1

N

N

Ё2»2.у

1=1_____

N

у 1 + у 2 + ••• + у*

N

2Л у1 + 2 2 у 2 + ... 2пу> N

(10)

-;(И)

2-1 2 у1 у1 + ZiNZ jNУ N

N

(12)

где 2ц, - обозначение значений факторов в

условных переменных («+1» или «-1»).

Гипотеза о статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии проверяется с помощью /-критерия Стьюдента:

= |рг| / Vя

рг

(13)

где 5 р - оценка дисперсии ошибки определения коэффициента по статистическим данным:

Ё

' рг

Nm N2 т

(14)

где 5 у - выборочная дисперсия выходной переменной;

N

. 2

2

N

Ё

5,

= ‘-1

N

(15)

Если найденная величина /-критерия для соответствующей оценки коэффициента уравнения регрессии окажется больше критического значения 1кр [6,7] при числе степеней свободы

/ = N(т — 1;) и заданном уровне значимости q %, то данная оценка коэффициента уравнения регрессии является статистически значимой. В противном случае она из уравнения регрессии исключается.

Затем по Р-критерию Фишера проверяется гипотеза об адекватности математического описания по результатам эксперимента (Ы х т):

(16)

где 5 у - выборочная дисперсия выходной 2

переменной у;

5

неадекватности;

5 2 = -¡=1

ag

N — С

оценка дисперсии

(17)

где у г - значение выходной переменной у,

полученное по уравнениям регрессии г-й строки матрицы планирования; С - число членов аппроксимирующего полинома.

Если окажется, что Ррасч < ¥кр) при степенях

свободы / = N — С, /2 = N (т — 1) и

заданном уровне значимости q %, то гипотеза об адекватности математического описания по результатам эксперимента принимается. В

противном случае повторяют эксперимент с

меньшим шагом варьирования А х г ( г = 1, п ) ,

если это возможно, либо привлекают для описания планы второго порядка на основе ортогонального или ротатабельного центрального планирования [6,7].

Число коэффициентов уравнения (1)

определяет объем эксперимента. Поэтому

выбирают такой полином, который содержит как можно меньше коэффициентов, но удовлетворяет требованию простоты и адекватности, под которой понимается способность модели предсказывать результаты эксперимента в некоторой области с требуемой точностью.

2

2

2

1 = 1

2

5

2

Так как чаще всего исследователь не располагает достаточной информацией, то на предварительной стадии исследования объекта обычно выбирают полином первой степени, предполагая, что параметры объекта лежат в области, в которой расположен экстремум исследуемой функции, и поэтому объект описывается линейной моделью. Если же эта линейная модель оказывается неадекватной, то в нее включают члены парного взаимодействия х , а при необходимости увеличивают степень

полинома до тех пор, пока модель не окажется адекватной. В большинстве практических случаев квадратичная модель оказывается достаточно работоспособной. В результате регрессионного анализа результатов эксперимента находятся оценки коэффициентов уравнения регрессии

Ро, Р,, Ри Р„.... [«Л

Выбор наилучшего плана эксперимента (оптимального в некотором заданном смысле) позволяет во много раз повысить к. п. д. исследователя. Это особенно важно, когда эксперимент проводится в условиях неоднородностей. Здесь ошибка эксперимента может быть столь большой, что на ее фоне трудно выделить эффекты факторов, действие которых интересует экспериментатора. При наличии сильных источников неоднородностей анализ экспериментальных данных может быть ошибочным. Прежде чем перейти к описанию того, какие способы и приемы предлагаются при планировании эксперимента для уменьшения ошибок, рассмотрим источники и виды неоднородностей [3].

В технологических исследованиях

источниками неоднородностей дискретного типа чаще всего являются различия в сырье, аппаратах, машинах, способах проведения процессов, исполнителях и т.д. Так, весьма часто экспериментатор не в состоянии провести всю серию экспериментов на однородном сырье. В некоторых случаях влияние источников неоднородностей может быть столь же сильным, как и основных факторов. Тогда эксперимент нужно планировать так, чтобы специально изучить влияние этого источника неоднородности. Источник неоднородности превращается в один из основных факторов. Отличие его от других основных факторов, которые чаще всего являются

Воронежский государственный технический университет

количественными, в том, что он имеет качественную оценку [3].

Планирование эксперимента при наличии качественных факторов приобретает особенно важное значение на первых этапах исследования, при создании новой технологии [8]. Именно здесь приходится производить сложный перебор комбинаций множества качественных и

количественных факторов. Основная задача планирования в таких случаях - оптимальное сокращение перебора комбинаций качественных факторов (дискретных элементов) и

количественных факторов. Здесь построение наилучшего плана эксперимента превращается в комбинаторную задачу. В таких ситуациях часто приходится прибегать к сложным не симметричным планам, в которых количественные и качественные факторы варьируют на разном числе уровней. Один из способов решения задач оптимизации перебора - применение методов последовательного отсеивающего эксперимента с использованием комбинаторных планов типа блок-схем и латинских планов [3].

Одним из наиболее эффективных приемов исключения влияния неоднородности на результаты эксперимента является декомпозиция математического описания объектов управления с неоднородными характеристиками [7].

Литература

1. Адлер Ю.П. Введение в планирование эксперимента. М., 1970.

2. Зацепина С.А., Львович Я.Е., Фролов В.Н. Теория управления. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1989.

3. Маркова Е.В., Лисенков А.И. Планирование эксперимента в условиях неоднородностей. М., 1973.

4. Кочегаров А.В Оптимизация конструкции и параметров бункера-дозатора решетной установки: монография; под ред. проф. Л.Т. Свиридова. Воронеж: ВГТУ, 2007.

5. Кочегаров А.В., Фролов В.Н. Математическая оценка неоднородности биологических объектов с использованием элементов теории информации // Наука - производству: науч.-техн. журнал. М., 2006. № 4(90).

6. Львович Я.Е., Фролов М.В. Моделирование в биотехнических и медицинских системах / Под ред. академика РАЕН В.Н. Фролова: Учеб.пособие. Воронеж.

7. Зацепина С.А., Львович Я.Е., Фролов В.Н. Теория управления. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1989.

8. Теоретические основы планирования экспериментальных исследований / Под ред. Г.К. Круга: Учеб.пособие. М.: МЭИ, 1973.

METHODS OF PROCESSING OF EXPERIMENTAL DATA WITH UNCONTROLLABLE ENTRANCE VARIABLES OF TECHNOLOGICAL PROCESS MODELLING

A.V. Kochegarov, I.Yu. Malyshev

In article questions technological researches with sources heterogeneity discrete type are considered Key words: heterogeneity, random, quantity, variation, adequacy