CC BY
1325
Наука к Образование
МГТУ им. Н.Э. Баумана
Сетевое научное издание
Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 06. С. 267-287.
ISSN 1994-0408
Б01: 10.7463/0615.0780334
Представлена в редакцию: Исправлена:
© МГТУ им. Н.Э. Баумана
УДК 532.5-1
Методы выбора весовых коэффициентов локальных критериев Постников В. М.1, Спиридонов С. Б
1,*
14.05.2015 28.05.2015
&pirid@bmbtu.ru
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия
Рассмотрены методы индивидуального подхода к расчету весовых коэффициентов локальных критериев, входящих в состав интегральных критериев, используемых для сравнительной оценки альтернативных вариантов, их ранжирования, и выбора наилучшего варианта. Исследованы подходы к расчету весовых коэффициентов локальных критериев, включающие методы парного сравнения критериев, с учетом относительной важности и уровня предпочтения этих критериев, методы пропорциональной взаимосвязи критериев, использующие арифметическую и геометрическую прогрессии, а также формальные методы. На основе анализа рассмотренных методов разработаны и предложены к использованию методы настраиваемой оценки предпочтения критериев для расчета весовых коэффициентов критериев, позволяющие устранить недостатки существующих методов и имеющие практическую направленность.
Ключевые слова: весовые коэффициенты критериев, локальные критерии, парное сравнение критериев, оценка предпочтения критериев, важность критериев
Введение
В процессе промышленной эксплуатации систем обработки информации (СОИ), из-за бурного развития средств вычислительной техники, обслуживающему персоналу постоянно приходится решать задачи, касающиеся выбора варианта модернизации аппаратных и программных средств, а также организационной структуры системы для удовлетворения постоянно растущих потребностей пользователей. [1] .
Для сравнения альтернативных вариантов модернизации СОИ и выбора среди них наилучшего, лицо принимающее решение (ЛИР), как правило, использует интегральные критерии в виде аддитивной, мультипликативной, минимаксной, нелинейной или комбинированной свертки локальных критериев [1-3] . При этом в состав интегрального критерия локальные критерии входят с их весовыми коэффициентами, учитывающими важность этих локальных критериев. В настоящее время существует достаточно большое число подходов и методов к расчету весовых коэффициентов локальных критериев, при этом все эти методы постоянно развиваются и совершенствуются для удовлетворения
требований ЛПР [1-3]. При этом количество локальных критериев, учитываемых ЛПР, согласно [4], рекомендуется брать не более 10, поскольку взаимный анализ большего числа критериев ограничивается психологическими возможностями человека, в данном случае ЛПР, и при дальнейшем увеличении числа критериев у ЛПР могут возникнуть затруднения и ошибки при их сравнении и ранжировании.
Постановка задачи
Необходимо провести обзор методов используемых ЛПР для расчета весовых коэффициентов локальных критериев, используемых в составе интегральных, рассмотреть вопросы их классификации и дать рекомендации по дальнейшему развитию, совершенствованию и применению этих методов.
Решение задачи
На основе анализа работ [5-15] следует выделить следующие методы, используемые ЛПР, для расчета весовых коэффициентов локальных критериев в составе интегральных:
1) Методы, использующие парное сравнение критериев:
- классический метод парного сравнения критериев [5];
- метод парного сравнения критериев на основе фиксированного предпочтения [6];
- метод парного сравнения критериев на основе плавающего предпочтения, составляющий основу метода анализа иерархий [7-9];
- метод парного сравнения критериев на основе экспоненциального плавающего предпочтения, составляющий основу мультипликативного метода анализа иерархий [10].
2) Методы, использующие аналитические зависимости взаимосвязи показателей важности критериев
- метод арифметической прогрессии [11];
- метод геометрической прогрессии [12-13];
3) Формальные методы
- метод последовательного сравнения критериев, известный как метод Черчмена -Акоффа. [14];
- метод базового критерия [15].
Рассмотрим особенности использования описанных методов более подробно.
При использовании методов парного сравнения критериев сначала следует составить
квадратную матрицу
парного сравнения критериев размерностью п, где п - число
критериев, I = 1,...п и] = 1,...п . Заполнение матрицы коэффициентами ^ , которые
показывают предпочтение критерия I по отношению к критерию 7 , производят различными способами, в зависимости от используемого метода парного сравнения критериев.
При использовании классического метода парного сравнения критериев, все диагональные элементы матрицы должны быть равны единице, а остальным элементам
матрицы следует присвоить значения к следующим образом [5]:
1 если критерий I более важен чем критерий ] 0 если критерий I менее важен чем критерий ] (1)
0,5 если критерии I и ] имеют одинаковую важность
кН
При этом обязательно должно быть выполнено условие к, + к и = 1
После заполнения матрицы подсчитывают уровень важности каждого критерия к , где ( = 1,...п, по следующей формуле:
п
к =1 ку (2)
7=1
Затем определяют суммарный уровень важности всех критериев к по формуле
п
кс =Хк (3)
1=1
После этого определяют весовые коэффициенты критериев а- по формуле:
к- Л ~ а =— где I = 1,2.....п (4)
К
При строгом ранжировании критериев К,К2,......К, когда отсутствуют
одинаковые по важности критерии, имеем К| .......>-К что соответствует
следующей взаимосвязи уровней важности критериев:
к > к2.......> кп .(5)
Поскольку в данном случае согласно матрицы парного сравнения критериев имеем к^ = п , к2 = п — 1, .... кп = 1 , то уровни важности критериев являются членами
убывающей арифметической прогрессии со знаменателем прогрессии равным единице.
Тогда сумма уровней важности всех критериев определяется по следующей формуле:
(п +1)
X к = —+1 • п (6)
1=1 2
Поэтому при строгом линейном ранжировании критериев выражения (3) и (4) имеют соответственно следующий вид:
к. = (п +1) — I (7)
а, = ^ = 2[(" +1) -' 1 (8)
1 кс п(п +1)
При использовании классического метода парного сравнения критериев уровень важности наиболее важного и наименее важного критериев, а следовательно и их весовые коэффициенты, при строгом ранжировании критериев, отличаются друг от друга в (у ) раз
и эту величину, после подстановки значений к и к согласно выражения (7), определяют по следующей формуле:
а к (п +1) -1 у = —— = = ±--= п (9)
а„ К (п +1) - п
Согласно (9) получаем, что величина (у ) равна числу критериев, линейно зависит от числа критериев, и не может изменена ЛИР в процессе проведения расчетов. Поэтому при большом числе критериев, применение классического метода парного сравнения критериев для расчета весовых коэффициентов критериев не всегда может быть приемлемо для ЛИР.
Для уменьшения влияния числа критериев на величину (у ) в [6] предложено использовать метод парного сравнения критериев на основе фиксированного предпочтения. При применении этого метода все диагональные элементы матрицы парного сравнения критериев также должны быть равны единице, а остальным элементам
матрицы следует присвоить значения к. , соответствующие предпочтению критерия 1 по отношению к критерию у , следующим образом [6]:
1 + 0,5 = 1,5 если критерий I более важен чем критерий ] 1 — 0,5 = 0,5 если критерий I менее важен чем критерий ] (10)
1 если критерии I и ] имеют одинаковую важность
При этом обязательно должно быть выполнено условие к^ + к^ = 2 при 1 Ф у
Далее, аналогично предыдущему методу, подсчитывают уровень важности каждого критерия по формуле (2) , суммарный уровень важности критериев по формуле (3) и определяют весовые коэффициенты критериев по формуле (4).
При использовании метода фиксированного предпочтения и строгом ранжировании
критериев имеем К^ >-К2.......>-Кп, что соответствует взаимосвязи уровней важности
критериев определяемой выражением (5). При этом уровни важности критериев также являются членами убывающей арифметической прогрессии со знаменателем прогрессии равным единице и могут быть вычислены по следующей формуле
к = (п — 1)-1,5 +1 +1 — 1 = (1,5п + 0,5) — 1 (11)
Согласно (11) имеем:
к = (1,5п + 0,5) — 1 = 1,5п — 0,5
кп = (п -1)-1,5 +1 +1 - п = 0,5п + 0,5
Далее соответственно определяют суммарное значение уровней важности критериев и весовые коэффициенты критериев по следующим формулам:
к = £* = кЛ+П - п = (1,5п - 0,5) + (0,5п + 0,5) - п = п2 (12)
С ^^^ I г\ г\ 4 у
1=1 А 2
[(1,5п + 0,5) -1]
к " п
а = _±_ = ^-^ \ (13)
При использовании метода парного сравнения критериев на основе фиксированного предпочтения, уровень важности наиболее важного и наименее важного критериев, а следовательно и их весовые коэффициенты, при строгом ранжировании критериев отличаются друг от друга в (у ) раз и эта величину определяют по формуле
к 1,5п - 0,5 3п -1
У = = --— =--(14)
ки 0,5п + 0,5 п +1
Сравнивая выражения (9) и (14) получаем, что в случае строгого ранжирования критериев разброс значений весовых коэффициентов критериев, при использовании парного сравнения критериев на основе метода фиксированного предпочтения, значительно меньше по сравнению с классическим методом. Весовой коэффициент наиболее важного критерия превосходит весовой коэффициент наименее важного критерия менее чем в три раза, в то время как в классическом методе он превосходит в п раз.
Однако метод парного сравнения критериев на основе фиксированного предпочтения также заранее, согласно выражения (14), устанавливает зависимость величины (у) от числа критериев при расчете весовых коэффициентов критериев, что в ряде случаев ограничивает практическое использование данного метода.
В последнее время для расчета весовых коэффициентов критериев стали использовать метод парного сравнения критериев на основе плавающего предпочтения, составляющий основу метода анализа иерархий [7-9]. При использовании этого метода ЛПР сначала формирует свои логические суждения о качественном уровне предпочтения критериев по отношению друг к другу, согласно табл.1 столбец 2, а. затем, используя вербально-числовую шкалу, переводит качественные значения предпочтения в количественные, табл.1. столбец 3.
Таблица 1 Фундаментальная вербально - числовая шкала относительной предпочтительности критериев,
предложенная Саати
№ Качественное определение уровня Количественное значение уровня
предпочтительности критериев предпочтительности критериев ( к -) У
1 2 3
1 Равная предпочтительность 1
2 Слабая степень предпочтительности 2
3 Среднее степень предпочтительности 3
4 Предпочтительность выше среднего 4
5 Умеренно сильная предпочтительность 5
6 Сильная предпочтительность. 6
7 Очень сильная предпочтительность 7
8 Очень, очень сильная предпочтительность 8
9 Абсолютная предпочтительность 9
Если в матрице парного сравнения критериев критерий строки (/) имеет определенное превосходство по сравнению с критерием столбца (] ), то этому элементу
матрицы присваивают соответствующее число ки из табл.1 столбец 3.
у
Если же указанный в строке критерий не является доминирующим по отношению к критерию, указанному в столбце, то в соответствующий элемент матрицы всегда
записывают число обратное коэффициенту предпочтения, т. е. 1/ к,-,-. Диагональные
у
элементы матрицы парного сравнения критериев всегда равны единице.
Для того, чтобы результаты, полученные при использовании этого метода, были корректными, необходимо, чтобы матрица была полностью согласованной в суждениях
ЛИР. Для этого необходимо выполнение следующих условий для любых элементов к.^ ,
к,-, к .7 : ]' ]к
- условие согласованности элементов матрицы, которое имеет следующий вид:
кк = ку ■ к]к (15)
- условие транзитивности элементов матрицы, согласно которому имеем, если
кк > ку и к] > к]к , то кл > к]к (16)
После заполнения матрицы, согласно [7-9] , последовательно вычисляют значения С. , т.е. собственные вектора критериев, используя следующую формулу:
С = (к 1 ■ к2 - кт)!/" (17)
Далее определяют коэффициенты важности Щ , т.е. весовые коэффициенты этих критериев по следующей формуле:
С
аг =П— (18)
2 С
1=1 1
В [9] предложен упрощенный подход к расчету весовых коэффициентов критериев при использовании метода парного сравнения критериев на основе плавающего предпочтения, при котором, для строго согласованной матрицы парного сравнения
критериев, значения а ■ можно вычислять по следующей формуле:
а» =П— где у = 1,2... п (19)
1=1
Следует иметь в виду, что с увеличением числа критериев, при заполнении матрицы парного сравнения критериев, ЛПР становится все сложнее выполнять условия согласованности и транзитивности для коэффициентов предпочтения критериев. Результаты исследований, приведенные в табл 2,3,4 показывают, что в случае строгого ранжирования критериев разброс значений весовых коэффициентов критериев, при использовании парного сравнения критериев на основе метода плавающего предпочтения, значительно больше, чем при классическом методе. Согласно результатов, приведенных в табл 5, весовой коэффициент наиболее важного критерия превосходит весовой коэффициент наименее важного критерия более чем в п раз и при этом значение у резко
возрастает с ростом п .
Таблица 2 Сравнительный анализ трех критериев методом плавающего предпочтения
К1 К2 Кз С а,
К1 1 2 3 1,817 0,540
К2 1/2 1 2 1 0,297
Кз 1/3 1/2 1 0,551 0,163
Таблица 3 Сравнительный анализ пяти критериев методом плавающего предпочтения
К1 К2 К3 К4 К5 С а
К 1 2 3 4 5 2,605 0,417
К2 1/2 1 2 3 4 1,644 0,263
К3 1/3 1/2 1 2 3 1 0,160
К4 1/4 1/3 1/2 1 2 0,608 0,098
К5 1/5 1/4 1/3 1/2 1 0,384 0,062
К1 К2 Кз К4 К5 Кб К7 С а,
К1 1 2 3 4 5 6 7 3,370 0,351
К2 1/2 1 2 3 4 5 6 2,310 0,241
Кз 1/3 1/2 1 2 3 4 5 1,530 0,159
К4 1/4 1/3 1/2 1 2 3 4 1 0,104
К5 1/5 1/4 1/3 1/2 1 2 3 0,652 0,068
К6 1/6 1/5 1/4 1/3 1/2 1 2 0,431 0,045
К7 1/7 1/6 1/5 1/4 1/3 1/2 1 0,206 0,032
Таблица 5 Оценка влияния числа критериев на величину у при использовании метода плавающего
предпочтения
п 3 4 5 6 7 8 9
ОС 0,008 0,012 0,015 0,02 0,025 0,03 0,036
у = а1 ап 3,301 4,912 6,781 8,962 11,406 14,152 17,206
ОС - оценка согласованности суждений ЛПР, которая вычислена по методике, приведенной в [8]. Поскольку все значения ОС < 0,1 , то суждения ЛПР согласованы и полученные результаты вычисления весовых коэффициентов, а следовательно и у следует признать корректными.
При расчете весовых коэффициентов критериев в [10] предложено использовать метод парного сравнения критериев на основе экспоненциального плавающего предпочтения, составляющий основу мультипликативного метода анализа иерархий. Этот метод обладает большей разрешающей способностью по сравнению с методом анализа иерархий и позволяет провести при необходимости более четкое ранжирование весовых коэффициентов критериев. ЛПР сначала формирует свои логические суждения о качественном уровне предпочтения критериев по отношению друг к другу, согласно табл. 6 столбец 1, а затем, используя вербально-числовую шкалу, переводит качественные значения предпочтения в количественные, табл. 6 столбец 2, и формирует базовую
матрицу парного сравнения критериев , элементами которой являются оценки .Затем
ЛПР на основе этой базовой матрицы формирует матрицу субъективной относительной
важности парных сравнений критериев, осуществляя переход от оценок 8^ к оценкам к^ ,
используя табл. 6 и столбцы 2 и 3..
Качественное значение превосходства критериев Количественное значение превосходства критериев
1 2 3
5,у У: II е У :
Ру Абсолютно превосходит Р - 10 0,000912
Ру Очень сильно (намного) превосходит Р - 8 0,004
РУ Сильно (явно) превосходит Р, - 6 0,014
Ру Умеренно превосходит Р - 4 0,06
РУ Немного превосходит р1 - 2 0,246
Р, Примерно равно Ру 0 0
Р, Немного превосходит р] 2 4,06
Р, Умеренно превосходит Ру 4 16,44
Р, Сильно (явно) превосходит Ру 6 66,70
Р, Очень сильно (намного) превосходит Ру 8 270,40
Р, Абсолютно превосходит РУ 10 1095,84
р - показатель, определяющий уровень превосходства критериев. Поскольку для
перехода от одной градации к другой, при построении шкалы важности критериев уровень
р
этого превосходства, согласно табл. 6.2 столбец 2 , равен двум баллам, т.е. е = 2 то
Р = 0,7
Так в случае строгого ранжирования критериев методом экспоненциального плавающего предпочтения, базовая матрица парного сравнения критериев и соответствующая ей матрица субъективной относительной важности парных сравнений
критериев, на примере трех критериев, соответственно имеют вид, приведенный в табл. 7 и табл. 8
Таблица 7 Базовая матрица парного сравнения критериев методом экспоненциального плавающего
предпочтения
К1 К2 Кз
К1 0 2 4
К2 -2 0 2
Кз -4 -2 0
Таблица 8 Матрица субъективной относительной важности парных сравнений критериев методом
экспоненциального плавающего предпочтения
К1 К2 Кз «
К1 1 4,06 16,44 4,051 0,764
К2 0,246 1 4,06 1 0,189
Кз 0,06 0,246 1 0,246 0,047
« °>764 ^^
Так при п = 3, согласно результатов табл. 8, имеем у =— =-= 16,255 , а
а3 0.047
при п = 4 имеем у = 253,667. Имеет место тенденция - очень резкое увеличение у с
2
ростом числа критериев, когда у > п , что снижает возможность практического использования метода в случае строгого ранжирования четырех и более критериев .
В [11] для оценки весовых коэффициентов критериев предложено использовать формулу Фишберна, основанную на том, что изменение весовых коэффициентов критериев подчиняется убывающей арифметической прогрессии, при этом первый критерий (/ = 1), расположен первым в строго упорядоченном по важности ранжированном ряду критериев I = 1,2,...п , является наиболее важным и имеет наибольший весовой коэффициент.
Формула Фишберна для расчета весовых коэффициентов критериев имеет вид [11]:
2 • (п - I +1)
« = —--- (2°)
г п • (п +1)
Согласно формулы Фишберна имеем:
2 • п 2
«1 = , ■ ^ «п =
п • (п +1) п • (п + 1) При этом
а , ч
у = —— = п (21)
ап
В [12,13] считают, что при строгом ранжировании критериев изменение весовых коэффициентов критериев подчиняется убывающей геометрической прогрессии. При этом первый критерий, самый важный среди сравниваемых критериев, имеет наибольший весовой коэффициент. Поэтому для оценки весовых коэффициентов критериев предложено использовать следующую формулу
а, = --- где , = 1,2,....п (22)
1 — а
( = 0,618 - является «золотым сечением» единичного целого на две части и удовлетворяет уравнению
( + ( = 1. (23)
При этом
а (2 1-п
у = —=—=( (24)
ап а
Значения ап и а п приведены в табл. 9. Анализ этих данных показывает, что величина у резко увеличивается с ростом числа критериев, так если при трех критериях весовые коэффициенты наиболее важного и наименее важного критериев отличаются в 2,6 раза, при пяти критериях в 6,8 раза, то при семи критериях почти в 18 раз. Это усложняет применение рассматриваемого метода расчета весовых коэффициентов критериев на практике при строгом ранжировании семи и более критериев.
п —п
Таблица 9 Значение (и ( и у в зависимости от числа критериев
п 2 3 4 5 6 7 8
ап 0,3819 0,2360 0,1458 0,0901 0,0557 0,0344 0,0213
(" 2,6185 4,2371 6,8561 11,094 17,9514 29,0477 47,0026
у 1,6181 2,6185 4,2371 6,8561 11,094 17,9514 29,0477
Для того, чтобы при расчете весовых коэффициентов критериев величина у заранее не зависела от числа критериев, а могла быть задана ЛПР в качестве исходных данных, на практике используют формальные методы расчета весовых коэффициентов критериев. Наиболее часто используют метод последовательного поэтапного сравнения критериев, известный как метод Черчмена-Акоффа [14]
Метод предполагает последовательную корректировку оценок критериев, заданных первоначально ЛПР. Основные предположения, на которых основан метод, состоят в следующем:
• каждому / -му критерию дают баллы, т. е. ставится в соответствие действительное неотрицательное число Ь ;
• если критерий К предпочтительнее критерия К то Ь > Ь ■, если же эти критерии равноценны, то Ь = Ь ■
• если Ь и Ь оценки критериев К и К , то оценка (Ь + Ь) соответствует
совместному влиянию этих критериев. Согласно методу Черчмена-Акоффа критерии ранжируются по предпочтительности.
При этом для удобства изложения считаем, что критерий К наиболее важный, за ним
следует К2 и т.д. ЛПР указывает предварительные численные оценки в баллах для
каждого из критериев. Обычно наиболее важному критерию дают оценку 100 баллов, оценки остальных критериев располагают между 0 и 100 в соответствии с их важностью.
Затем ЛПР сравнивает оценки критерия К и суммы остальных критериев от К2 до К •
Если критерий К предпочтительнее всех остальных, то ЛПР корректирует оценки так, чтобы выполнялось условие
п
Ь > XЬ (25)
1=2
В противном случае должно выполняться следующее условие
п
Ь Ь (26)
1=2
Если критерий К оказывается менее предпочтительным, чем сумма всех остальных, то для уточнения оценок его оценка сравнивается по предпочтению с суммой оценок остальных критериев. После того как оценка критерия К оказывается предпочтительнее суммы оценок критериев К2 ...Кк.. К (^ — 2), он исключается из рассмотрения, а
вместо оценки критерия К рассматривается и корректируется оценка критерия К .
Процесс продолжается до тех пор, пока не будут откорректированы оценки всех критериев.
При большом числе критериев целесообразно разбить все критерии на группы важности, а один из критериев, например, наиболее важный, для корректировки оценок всех критериев, включить во все группы. Это позволяет упростить процесс бальной
оценки критериев. Весовые коэффициенты критериев « определяют по следующей формуле:
Ь
а, =—-— где - = 1,2.....п (27)
-=1
В [15] для расчета весовых коэффициентов критериев предложено использовать метод базового критерия и приведен пример его практического использования при числе критериев более 20 с учетом разбиения критериев на группы важности.
Использование этого метода предусматривает следующий порядок действий:
1) все множество локальных критериев разбивают на группы важности, самые несущественные критерии относят к базовой (g-ой) группе, и задают значения
коэффициентов Д , показывающих уровень превосходства критериев - - ой группы по
сравнению с критериями базовой группой. При этом в первую группу ( - = 1 ) включают самые важные критерии.
2) составляют уравнение нормировки локальных критериев, согласно которому
сумма весовых коэффициентов всех локальных критериев должна быть равна единице.
g
I п, -Д, -а = 1 (28)
-=1 - -
при условии , что
g
I п, = п (29)
-=1 -
Где g - количество групп важности локальных критериев;
п • - количество локальных критериев, которые входят в состав 1- ой группы
Д - коэффициент, который показывает степень превосходства критериев
1- ой группы по сравнению с критериями базовой группы, при этом Д = 1, Д = у
а - коэффициент важности критериев базовой группы, при этом а = Х =а ' Д
3) определяют весовой коэффициент (а) критериев базовой группы и весовые
коэффициенты (а - ) критериев, входящих в состав 1- ой группы
g —1
а = (I п ■Д, )1 (30)
-=1 -
а =а-Д1 (31)
Проведенный анализ существующих методов расчета весовых коэффициентов критериев показал, что формальные методы, по сравнению с другими методами, позволяют ЛПР задавать в качестве исходных данных численное значение коэффициента у , показывающего превосходство наиболее важного критерия по сравнению с наименее важным критерием, что часто на практике играет существенную роль.
На основе результатов, полученных в ходе проведенного анализа, разработаны и предложены к практическому использованию методы расчета весовых коэффициентов критериев, устраняющие недостатки ряда существующих методов и позволяющие ЛПР задавать в качестве исходных данных коэффициент у, учитывающий превосходство наиболее важного критерия по сравнению с наименее важным критерием: К числу этих методов относятся:
1. метод парного сравнения критериев на основе настраиваемого фиксированного предпочтения;
2. метод взаимосвязи весовых коэффициентов критериев на основе настраиваемой убывающей арифметической прогрессии;
3. метод взаимосвязи весовых коэффициентов критериев на основе настраиваемой убывающей геометрической прогрессии.
В методе парного сравнения критериев на основе настраиваемого фиксированного предпочтения, так же как и в методе парного сравнения критериев на основе фиксированного предпочтения, диагональные элементы матрицы должны быть равны
единице. Остальным элементам матрицы следует присвоить значения к(.,
соответствующие предпочтению критерия ( по отношению к критерию у , с учетом А -нормы предпочтения критериев, следующим образом:
1 + А если критерий I более важен чем критерий ] 1 — А если критерий I менее важен чем критерий ] (32)
1 если критерии I и ] имеют одинаковую важность
При этом обязательно должно быть выполнено условие к^ + к -г- = 2 при ( Ф у При строгом упорядоченном ранжировании критериев и заполнении матрицы парного сравнения критериев коэффициентами к согласно условию (32), справедливо
у
следующее отношение уровней важности критериев:
к = (п — 1) • (1 + А) +1
кп (п — 1) • (1 — А) +1 ( )
к аа
Поскольку справедливо следующее отношение — = — , то согласно (33) имеем
к а
п п
а к (п — 1) • (1 + А) +1 пА — А + п у = —— = = ±-^--=--(34)
ап К (п — 1) • (1 — А) +1 пА — А +1
Решая уравнение (34) относительно А получаем:
. п • (у — 1)
А =-^-(35)
(п — 1) • (У +1) ( )
Подставляя в уравнение (35) исходные значения п и у , получаем численное
значение величины нормы предпочтения критериев А, обеспечивающее заданное значение у.
При строгом ранжировании критериев имеем:
к. = (п — 1) • (1 + А) + 2 — - (36)
Тогда из (36) получаем
к = (п — 1) • (1 + А) +1 = п + пА — А (37)
к = (п — 1) • (1 + А) + 2 — п = пА — А +1 (38)
Поскольку коэффициенты предпочтения критериев являются членами убывающей арифметической прогрессии, то с учетом (37) и (38) имеем:
» к + к Г2(пА — А) + (п +1) ]п
К =1 к = • п = ±--^ (39)
-=1 2 2
Подставляя выражения (36) и (39) в (40), определяем весовые коэффициенты
критериев при строгом ранжировании этих критериев:
а = _ 2[(п —1) • (1 + А) + 2 — -] ' К [2(пА — А) + (п +1)] п
При этом численное значение А определяем по формуле (35).
Если имеет место нестрогое ранжирование критериев, т.е. наличие одинаковых по важности критериев, то, задавая в качестве исходных данных значения п и у , весовые
коэффициенты критериев определяют следующим образом:
1) составляют матрицу парного сравнения критериев с учетом выполнения условия
(32);
2) определяют уровни важности кх и ки соответствующих критериев К и Кп по формуле (2) При этом имеем, что к = (А,п), а ки = /2 (А,п)
К / (А, п) .
3) составляют уравнение вида у = — =-, решают его и определяют А
К /2 (А, п)
4) в элементах матрицы парного сравнения критериев учитывают рассчитанное значение А и формируют численные значения коэффициентов важности критериев к
5) определяют уровни важности критериев к по формуле (2)
6) определяют суммарный уровень важности критериев по формуле (3)
7) определяют весовые коэффициенты критериев по формуле (4)
При расчете весовых коэффициентов критериев методом настраиваемой убывающей арифметической прогрессии следует иметь в виду, что ЛПР в качестве исходных данных должен задавать значения п и у, при этом весовые коэффициенты критериев являются
членами убывающей арифметической прогрессии. Поэтому справедливы следующие выражения:
У = — (41)
^ — + а — - (у +1) ,
> — = -- п =-- - п = 1 (42)
1 2 2
После преобразования выражения (42) получаем
2
— =--(43)
п (у +1) - п
С учетом выражений (41) и (43) имеем
2у
а1 =—п У=/ (44)
(у +1) - п
(45)
Определяем знаменатель арифметической прогрессии
Д =—1 - ап= 2(У ~ 1) — (п -1) (у +1) - п - (п -1)
Весовой коэффициент 1 -го критерия определяем по формуле
а. =— - (1 -1) -А— (46)
После подстановки в (46) выражения — из (44) и выражения А из (45) получаем выражение для расчета весовых коэффициентов критериев
2-Гу-(п -1) - (1 -1) - (у-1) ]
аг =
гиги где I = 1,2...п (47)
(у +1) - п - (п -1)
Из формулы (47), предназначенной для расчета весовых коэффициентов критериев, при у = п, получаем как частный случай широко используемую формулу Фишберна (20). Действительно, после подстановки у = п и преобразований выражение (47) имеем вид:
2-Гп -(п -1)- (.-1)-(п -1) ] 2-Гп2 -т +1 -1] — =—--= —--
(п +1) - п - (п -1) (п +1) - п - (п -1)
_ 2-[(п2 -1) - г(п -1)]_ 2 - (п +1 -1) 1 (п +1) - п - (п -1) (п +1) - п
При расчете весовых коэффициентов критериев методом настраиваемой убывающей геометрической прогрессии следует иметь в виду, что ЛПР в качестве исходных данных должен задавать значения п и у, при этом весовые коэффициенты критериев являются членами убывающей геометрической прогрессии. Поэтому, кроме выражения (41) , справедливы следующие выражения:
— =— - Г1-1 (48)
^ 1 , ч
у = =— (49)
а г
п
п п 1 — уП
Еа = Ха •г-—1=а1—=1
1 — у
(50)
Порядок расчета весовых коэффициентов критериев имеет следующий вид:
п—1 1
1) задаем значения п и у. Согласно (49) имеем, что г =— или
у
(п — 1)1ё г = 1ё(1/у) (51)
2) после преобразования выражения (51) получаем
г = 10л (52)
где
Л = М1М (53)
п — 1
3) из выражения (50) получаем, что
1 — г , ч
а =--(54)
1 1 — гп
4) согласно выражения (48) определяем весовые коэффициенты критериев
а =а • г-—1 (55)
Выводы
1 Рассмотрены методы расчета весовых коэффициентов локальных критериев, входящих в состав интегральных критериев, и предназначенные для лица принимающего решение.
2. Приведена классификация методов расчета весовых коэффициентов критериев и выделены три группы методов: методы, базирующиеся на парном сравнении критериев, методы, базирующиеся на аналитической взаимосвязи показателей предпочтения критериев, и методы, основанные на формальном подходе.
3. Показано, что при использовании методов парного сравнения критериев или методов, основанных на взаимосвязи весовых коэффициентов критериев, подчиняющейся аналитической или геометрической прогрессии, при строгом ранжировании критериев
вида К1 >- К2 >- К,......Кпл >- Кп , весовые коэффициенты наиболее важного и наименее
важного критериев отличаются друг от друга в строго фиксированное число раз у ,
которое зависит от используемого метода и числа рассматриваемых критериев п .
4. Разработаны и предложены к практическому использованию методы настраиваемой оценки предпочтения критериев, в частности: метод парного сравнения на основе настраиваемого фиксированного предпочтения критериев; метод на основе
настраиваемой убывающей арифметической прогрессии и метод на основе настраиваемой убывающей геометрической прогрессии.
5. Разработанные методы позволяют ЛПР в случае строгого ранжирования критериев, в качестве исходных данных, задавать как число критериев, так и значение у -коэффициент превосходства наиболее важного критерия по сравнению с наименее важным критерием и имеют ярко выраженную практическую направленность.
Список литературы
1. Постников В.М., Черненький В.М. Методы принятия решений в системах организационного управления. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014. 205 с.
2. Зак Ю.А. Прикладные задачи многокритериальной оптимизации. М.: Экономика, 2014. 455 с.
3. Ногин В.Д. Линейная свертка в многокритериальной оптимизации // Искусственный интеллект и принятие решений. 2014. № 4. С. 73 - 82.
4. Емельянов С.В., Ларичев О.И. Многокритериальные методы принятия решений. М.: Знание, 1985. 32 с.
5. Михайлов Я.В. Управленческие решения: пособие для управленцев-практиков. М.: Экономика, 2011. 143 с.
6. Шилин А.И. Коптелова И.А. Теория принятия решений в проектировании информационно-измерительной техники. Волгоград: ВолГУ, 2012. 128 с.
7. Саати Т.Л. Принятие решений. Метод анализа иерархий: пер. с англ. М.: Радио и связь, 1993. 316 с.
8. Мадера А.Г. Моделирование и принятие решений в менеджменте. Руководство для будущих топ-менеджеров. М.: ЛКИ, 2010. 688 с.
9. Ногин В.Д. Принятие решений при многих критериях. СПб.: ЮТАС, 2007. 104 с.
10. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений. М.: Университетская лавка, Логос, 2008. 392 с.
11. Баранов Ю.Г. Методы принятия управленческих решений. Псков: ПГУ, 2013. 176 с.
12. Некрестьянова Ю.Н. Теоретическое обоснование анализов Парето // Предпринимательство. 2013. № 3. С. 56-64.
13. Некрестьянова Ю.Н. Определение весовых коэффициентов критериев эффективности инвестиций // Publishing house Education and Science s.r.o. : сайт. Режим доступа: http://www.rusnauka.com/15 NPN 2013/Economics/8 139451.doc.htm (дата обращения 14.04.2015).
14. Туккель И.А., Яшин С.Н., Макаров С.А., Кошелев Е.В. Разработка и принятие решения в управлении иннвациями. СПб.: БХВ Петербург, 2011. 352 с.
Постников В.М., Спиридонов С.Б. Подход к выбору варианта модернизации сервера ЛВС // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. № 2. С. 255-272. DOI: 10.7463/0213.0535392
Science^Education
of the Bauman MSTU
Selecting Methods of the Weighting Local Criteria
V.M. Postnikov1, S.B. Spiridonov1*
1 "Dmi w^r
Science and Education of the Bauman MSTU, 2015, no. 06, pp. 267-287.
DOI: 10.7463/0615.0780334
Received: 14.05.2015
Revised: 28.05.2015
© Bauman Moscow State Technical Unversity
Factors of
spiridrgbmstu.m
n Moscow State Technical University, Moscow, Russia
Keywords: weighting criteria, local criteria, pairwise comparisons criteria, assessment criteria, the
importance of the criteria
The paper considers calculation methods of weight coefficients of local criteria for the person to make decision (PMD). Methods can be used by a decision-maker to form the integrated criteria in the form of the additive, multiplicative, minimax, nonlinear or combined convolution of local criteria, different in degree of importance, as well as to carry out a comparative assessment of the studied alternative options on their basis, range these options, and choose the best option among them.
The paper classifies the calculation methods of weight coefficients of criteria and distinguishes three groups, namely: methods based on the paired comparison of criteria, methods based on the analytical interrelation of indicators of criteria preference, and methods based on the formalistic approach. Among the methods based on paired comparison of criteria the following ones are distinguished: a classical method of paired comparison of criteria, and methods of paired comparison of criteria based on the fixed, floating, and exponential floating preferences of criteria. The last two methods of criteria comparison are respectively basic for the practical use of both a method of hierarchy analysis and a multiplicative method of hierarchy analysis. The paper considers in detail calculation methods of weight coefficients of criteria using analytical dependences of interrelation between the indicators of criteria importance based on an arithmetic and geometrical progression. The considered formal methods include the method of consecutive comparison of criteria known as a Cherchmen's method - Akoffa, method and a method of basic criterion.
It is shown that when using methods of paired comparison of criteria or methods based on the interrelation of weight coefficients of criteria obeyed to an analytical or geometrical progression with the strictly ranging criteria K, >- K2 >- K3......KnA >- Kn, a difference in weight coefficients of the most important and least important criteria is strictly the fixed number of times y which depends on the used method and the number of the considered criteria n. So when using a classical method of paired comparison of criteria and a method based on the use of an
arithmetic progression, y = n, and when using a geometrical progression, y> n, and it sharply
increases with growing n.
To eliminate noted shortcomings in considered calculation methods of weight coefficients of criteria, methods of the adjusted assessment of criteria preference are developed and offered for a practical use: a method of paired comparison on the basis of the adjusted fixed preference of criteria; a method on the basis of the adjusted decreasing arithmetic progression, and a method on the basis of the adjusted decreasing geometrical progression.
The offered methods allow a decision-maker in case of strictly ranging criteria, as basic data, to set both the number of criteria, and the value - coefficient of superiority of the most important criterion in comparison with the least important criterion and have a pronounced practical focus.
References
1. Postnikov V.M., Chernen'kii V.M. Metody prinyatiya reshenii v sistemakh organizatsionnogo upravleniya [Decision-making methods in systems of organizational management]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2014. 205 p. (in Russian).
2. Zak Yu.A. Prikladnye zadachi mnogokriterial'noi optimizatsii [Applied problems of multi-criteria optimization]. Moscow, Ekonomika Publ., 2014. 455 p. (in Russian).
3. Noghin V.D. Weighted sum scalarization in multicriteria optimization. Iskusstvennyi intellekt i prinyatie reshenii = Artificial intelligence and decision making, 2014, no. 4, pp. 73-82. (in Russian).
4. Emel'ianov S.V., Larichev O.I. Mnogokriterial'nye metody priniatiia reshenii [Multicriteria decision making methods]. Moscow, Znanie Publ., 1985. 32 p. (in Russian).
5. Mikhailov Ya.V. Upravlencheskie resheniya: posobie dlya upravlentsev-praktkov [Management decisions. Handbook for managers-practitioners]. Moscow, Ekonomika Publ., 2011. 143 p. (in Russian).
6. Shilin A.I. Koptelova I.A. Teoriya prinyatiya reshenii v proektirovanii informatsionno-izmeritel'noi tekhniki [The theory of decision-making in design of information and measuring techniques]. Volgograd, VolSU Publ., 2012. 128 p. (in Russian).
7. Saaty T.L. The Analytic Hierarchy Process. McGraw-Hill, 1980. (Russ. ed.: Saaty T.L. Prinyatie reshenii. Metodanaliza ierarkhii. Moscow, Radio i svyaz! Publ., 1993. 316 p.).
8. Madera A.G. Modelirovanie i prinyatie reshenii v menedzhmente. Rukovodstvo dlya budushchikh top-menedzherov [Modeling and decision-making in management. Guidelines for future top managers]. Moscow, LKI Publ., 2010. 688 p. (in Russian).
9. Nogin V.D. Prinyatie reshenii pri mnogikh kriteriyakh [Multiple-criteria decision-making]. St. Petersburg, YuTAS Publ., 2007. 104 p. (in Russian).
10. Larichev O.I. Teoriya i metody prinyatiya reshenii [Theory and methods of decision making]. Moscow, Universitetskaya lavka Publ., Logos Publ., 2008. 392 p. (in Russian).
11. Baranov Yu.G. Metody prinyatiya upravlencheskikh reshenii [Methods of managerial decision-making]. Pskov, PSU Publ., 2013. 176 p. (in Russian).
12. Nekrest'yanova Yu.N. The theoretical justification of Pareto's analysis. Predprinimatel'stvo = Enterpreneurship, 2013, no. 3, pp. 56-64. (in Russian).
13. Nekrest'yanova Yu.N. Opredelenie vesovykhkoeffitsientov kriteriev effektivnosti investitsii [Determination of weight coefficients of investment performance criteria]. Publishing house Education and Science s.r.o. : website. Available at:
http://www.rusnauka.com/15 NPN 2013/Economics/8 139451.doc.htm , accessed 14.04.2015. (in Russian).
14. Tukkel' I.A., Yashin S.N., Makarov S.A., Koshelev E.V. Razrabotka iprinyatie resheniya v upravlenii innvatsiyami [Development and decision making in innovation management]. St. Petersburg, BKhV Peterburg Publ., 2011. 352 p. (in Russian).
15. Postnikov V.M., Spiridonov S.B. Approach to selection of a way to upgrade a LAN server. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana = Science and Education of the Bauman MSTU, 2013, no. 2, pp. 255-272. DOI: 10.7463/0213.0535392 (in Russian).
