CC BY
49
МЕТОДЫ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИФРАКЦИОННОЙ ОПТИКИ
С.Г. Волотовский, Н.Л. Казанский, С.И. Харитонов Институт систем обработки изображений РАН
Аннотация
В данной работе предложен метод решения системы уравнений Максвелла для случая дифракции плоской электромагнитной волны на дифракционном оптическом элементе, представляющем тонкую пластинку с нанесенным на нее микрорельефом. Расчет проводился в рамках строгой электромагнитной теории. Метод основан на приведении исходной системы уравнений Максвелла к системе интегродифференциальных уравнений.
Введение
В последнее время большое внимание уделяется методам расчета дифракционных оптических элементов в рамках электромагнитной теории. Применение различных разностных схем к решению системы уравнений Максвелла требует значительных вычислительных ресурсов.
В данной работе предложен метод решения системы уравнений Максвелла для случая дифракции плоской электромагнитной волны на дифракционном оптическом элементе, представляющем собой тонкую пластинку с нанесенным на нее микрорельефом. Расчет проводится в рамках строгой электромагнитной теории. Метод основан на приведении исходной системы уравнений Максвелла к системе интегродифференциальных уравнений.
Рассмотрим прямую задачу дифракции. Пусть освещающий пучок с заданными значениями векторов электрического и магнитного поля падает на дифракционный оптический элемент.
Анализируя оптическую схему, расположенную на рис. 1, можно выделить несколько областей:
1. между источником и дифракционным оптическим элементом,
2. подложки,
3. модуляции,
4. между областью модуляции и регистратором.
Необходимо найти значение векторов электрического и магнитного поля в области регистратора.
Рис. 1. Оптическая схема.
1. Формальная теория рассеяния для бивекторного электромагнитного поля
В данном разделе изложен основы формально -го математического аппарата, который в дальнейшем будет использован для описания процессов дифракции света на дифракционных оптических элементах. Приводимый математический аппарат частично заимствован из квантовой механики [1] и теории взаимодействующих классических полей.
- = HW,
Е1"
Е2
Ез
Е4.
Уравнения Максвелла для бивекторного поля имеют вид:
г дW
- — = HW, (1)
к д2
W =
где Н - матричный дифференциальный оператор, называемый также оператором Гамильтона, Е, Нг -компоненты электрического и магнитного поля вдоль координатных осей х1.
В дальнейшем четырехкомпонентный вектор W будем называть бивектором, а соответствующее поле бивекторным электромагнитным полем. Выражение (1) можно рассматривать как операторную запись в абстрактном гильбертовом пространстве бивекторов. В этом случае система уравнений Максвелла приобретает стандартный вид эволюционного уравнения.
В координатном представлении оператор Гамильтона имеет следующий вид: " 0 Л]
(2)
Н =
В 0
Л =-
-1 д х1 0
к 2 0 дх
1 "д х1 0
к 2 0 дх
е- 0 0 е-1
-д х2 д х1 -д х2 д ,
-д 2 д 1 х х
-д х2 д ,
е 0 0 е
0 1 -1 0
0 -1 10
где х - декартовые координаты, е - диэлектрическая проницаемость среды.
Операторное уравнение (1) можно формально проинтегрировать:
w(/) = и (/,г0 )w(/0) =
= ехр (- г ((- /0 )н )) (/0),
(3)
где
<Ю (_ 1)" / ^-1 иI(/,/0)=1 + I^"-1 I^"-2 X
"=1 /"-1 /"-2
(4)
I^ I^0 [Я(„-!)Н("-2).Н( )Н()],
где /=к2.
2
2
X
//
1 10
Здесь приведена запись уравнений в абстрактном операторном представлении. Для решения конкретных физических задач нужно все векторы и операторы записать в конкретном представлении.
Произвольную функцию из рассматриваемого линейного гильбертова пространства представим в виде линейной комбинации:
W = 1 I" (Е (х„ x 2 ). (5)
п
Набор функций будем называть волновой функцией бивекторного электромагнитного поля в I-представлении. Каждому абстрактному оператору в
данном базисе можно сопоставить матрицу Н"Ш
=Е НШ (f Е (г1, x 2 ). (6)
т
Система уравнений Максвелла в Е-представлении записывается в виде:
' дТт
к д-=е нт (z) л (
к дz п
В общем случае система базисных функций не является счетной. В этом случае суммирование заменяется интегрированием.
Базисные векторы в координатном представлении имеют вид:
Xy1 y2m (гЬ г2) = 8 (г1 - У )8 (г2 - У 2 )
m1
m2
(7)
где 8(г) - функция Дирака.
Бивекторное поле имеет вид:
W (г1, г 2 )=
+ш m=4 1 2 / \
= J I WyymXyi y2m (г1, x 2 VyVy 2
(8)
В дальнейшем для записи выражений будем использовать правило Эйнштейна, согласно которому по повторяющимся индексам производится суммирование или интегрирование.
Если в пространстве существуют два базиса, связанные соотношением
Ут = ^ ( ^ I) , (9)
тогда волновые функции бивекторных полей и матричные элементы операторов в различных представлениях связаны соотношением
л=( ^ f)vm, (10)
щ (I)=бш ( ^ у)нт &) БЧ ( ^ f), щ)
где Н(^)Ч, Н(I )Ч - матричные элементы в О- и Е-
представлении.
Пусть бивекторное поле имеет следующий
вид:
в области 1
в области модуляции
W(г1, г2, z)= fn (z) Fn (г1, г2 ), в области 4
W(г1, г2, z)= vn (z) Vn (г1, г2 ).
(14)
Пусть связь между базисными векторами в F-, G- и ^-представлениях имеет вид
Vm =(г1, г2 )= S"m (v ^ f)Fn (г1, г2 ), (15)
Fm = (г1, г2 ) = Snm (f ^ q)QFn ((1, г2 ). (16)
На границе области модуляции и области 4 волновая функция бивекторного поля в G-
представлении имеет вид vm (0). Запишем ее в F-
представлении:
fn (0) = sm (v ^ f )vm (0). (17)
Поле в произвольной точке в области модуляции имеет вид:
fn (z) = um (z) fm (0), (18)
где эволюционная матрица удовлетворяет уравнению
i dum (z)
-=nn (z)um (z)
(19)
к дz
с начальными условиями ПШ (0) = 5 пт .
Бивекторное поле в Е-представлении на границе области модуляции и области 1 имеет вид:
fn (-a) = Um (-a) fm (0). То же самое в Q-представлении: qn (-a) = Sm (f ^ q) fm (-a).
(20)
(21)
Подставляя выражение в (20) и (21), получаем ч" (-а) = 8Ш (I ^ ч) х иШ (-а) Б' (а ^ д)у] (0). (22)
Полученное выражение можно рассматривать как систему линейных алгебраических уравнений
относительно коэффициентов ч" (-а) и ук (0).
Выражение (22) можно переписать в эквивалентной форме
(ч ^ I) ч"(-а) = ПР (- а) Б) (ч ^ I) ^ (0). (23)
В данном случае интегрирование дифференциального уравнения для эволюционной матрицы проводилось в направлении противоположном направлению оси z. Рассмотрим метод, в котором интегрирование эволюционного уравнения проводится в направлении оси z.
Пусть ч" (-а) - волновая функция бивекторного поля в ^-представлении на границе области модуляции и области 1. Запишем ее в Е-представлении
I" (-а) = БШ (ч ^ I) Чт (-а). Поле в произвольной точке в области модуляции имеет вид
W(г1,г2,z)= qn (z)Qn (г1,г2)
fn (z) = Un (z) fm (-a),
(24)
(12)
где эволюционная матрица удовлетворяет уравнению
8
m=1
i dunm (z)
= НП (z)U'm (Z)
к дz
с начальными условиями ит (-а) = 5 пт .
Бивекторное поле в ^-представлении на границе области модуляции и области 1 имеет вид:
/п (0) = ип (^ Бт ( ^ /)т (-а). (25)
То же самое в ^-представлении
Уп (0) = БПП ( ^ у)/т (0). (26)
Подставляя выражение (25) в (26), получаем Уп(0) = Б"т ( ^ у)ит (0)Б' ( ^ /)к (-а). (27)
Полученное выражение можно рассматривать как систему линейных алгебраических уравнений
относительно коэффициентов чп (-а) и ук (0).
Выражение (27) можно переписать в следующем виде
БР (V ^ /) Уп (0) = ир (0) Б к ( ^ / )к (-а). (28)
Вышеизложенный метод применим для решения широкого класса задач дифракции, как в свободном пространстве, так и в среде (например, в волокне). Выбор представления зависит от конкретной задачи. В качестве базисных функций удобно использовать собственные функции оператора Гамильтона. В этом представлении система уравнений Максвелла имеют наиболее простой вид.
2. Ковариантная запись системы уравнений Максвелла в криволинейных координатах.
В предыдущем разделе исследовалась система уравнений Максвелла в декартовых координатах. В данном разделе получим систему уравнений Максвелла в параболической форме в ковариантном виде. Ковариантная запись позволяет легко записывать выражения в произвольной системе координат.
Для записи уравнения Максвелла в криволинейной системе координат введем тензоры
En, Dn, Нп, Bn
где
Dn = egnmEm , Bn = gnmHn
(29)
е - диэлектрическая проницаемость среды.
Система уравнений Максвелла в криволинейных координатах в ковариантной форме имеет вид
(rotH )n = -ikDn (rot E )n = -ikBn
где оператор (rotF)n представляется в виде
e
(30)
(31)
(rotF )n =
ijn ( dF ■
2y[g
dx1
dF±
dxJ
g =
det ),
gij - компоненты метрического тензора в криволинейной системе координат.
Рассмотрим криволинейную систему координат, в которой метрический тензор имеет вид
gl3 = g 23 = ^ (32)
g 33 = 1, (33)
е д3Е} = -¡к (^']Н] + е д}Е3, (34) еу'д3И} =-к (^¡Е] + еу'д}И3,
2епт3(дпЕт-дтЕп) = НИ, (35)
2епт3(дпИт-дтИп) = 1кЕъ^ . (36)
Выражаем Е3, И3 из последних двух выражений, и, подставляя в первую пару уравнений, получаем:
s1] д з E y =-ik (Jg)g11H] -
-в®д,
Snm3 (дnHm -дmHn)
2iky[g
(37)
s1] дзHj =-ik (jg)giiE]- -
-eyd.
Snm3 (дnEm -дmEn)' 2ikjg
(38)
Рассмотрим случай ортогональных криволинейных координат. В этом случае система уравнений Максвелла относительно четырех компонентных бивекторов имеет вид:
k
где
W =
Н =
д ZW = HW,
( Ei ^ E 2 Hi V H 2 J 0 A B 0
(39)
(40)
(41)
где
-1 (д ° yi 0
k2 V 0 д y 2
(- д y 2 д yi ^ (
V д y 2 дyi J V
1 (д yi 0
k2 V 0 д у 2
(- д y 2 д yi ^ -Г
V д y 2 дyi J V
0
0
Ш)
22 Г~\
g
0
22 Vg 0
(42)
/
& )-i
18) 0
/
E 0 0 e
-8
0 g 224s
22 4g 0
Л
(43)
/
Отметим, что при переходе от одной системы криволинейных координат к другой компоненты че-тырехкомпонентного бивектора - верхняя и нижняя
X
X
0
X
X
половины бивектора - преобразуются как двумерные векторы.
3. Пространственно-частотное представление системы уравнений Максвелла Многие задачи дифракционной оптики значительно упрощаются при переходе к пространственно-частотному представлению.
Базисные функции ^-пространственно-частотного представления имеют вид:
-^а1а2,1 (х , х )
с I -7 I 1 2
51; ехр ик 1а1 х +а 2 х
5ъ ехр (¡к 1а1 х1 +а2х2'
2
2
531 ехр (¡к 1а1 х1 +а2х 541 ехр (¡к 1а1 х1 +а2х
(44)
где 51к - символ Кронекера.
Связь между базисными функциями координатного и ^-пространственно-частотного представления имеет вид
/ \ к=4 1 2, ,
Раа , х2 )=Е [ 5уук- ( - х)>
а1а2, г \ > / ¿-^ J а1а2, г ^ '
к=1
> Ху!У2к (/1' х2 к^ АУ 2.
(45)
>У, к1
Связь между волновыми функциями координатного и ^-пространственно-частотного представления имеет вид
к=4
WУ
к=1 -
= у Г 5 уа 2к. (/ - х)
J а1а2,г V >
(46)
где
х / а1а 2^а1 dа 2
(х1, х 2) 1 \ ' /
= о((1 - у1 )о(;
X 1 2 (х1, х2 )=
у у , т у
22
х 2 - 2
т1
т4.
(47)
Матрица преобразования имеет вид ^¿к ( - х) = ехр (¡к (а^1 + а 2х2)) 5к . (48)
Матрица обратного преобразования имеет вид
^2к (- /)=
(48)
4п
ехр (-¡к (а1х1 +а 2 х2 ^О^
Гамильтониан в пространственно-частотном представлении имеет вид
Н°
®1®2
В
0
^а
ла
1й 2
ОЪЮ
1Ш2
(50)
а1а2 ¡а1 0 "
л е-1
0 ¡а 2 _
- ¡ю2 ¡ю1 " 0 1"
X - -1 0
- ¡Ю 2 ¡ю1
1 (а1 -ю1;а2 - ю2)>
¡а1
0
0 ¡а 2
- т2 /ю1
- ¡ю /ю.
-е 1 (а! -ю1;а2 -ю2)
0 1 -1 0
5Ю = 5(а - ю) - дельта-функция Дирака.
Уравнения Максвелла в пространственно-частотном представлении приобретают вид:
i д/а^а2г
= Н а^! / ®1®2к
к дг
Для вакуума уравнения приобретают вид:
i д/(
= Н а^* I а1а2к к д2 а1а2к
(51)
(52)
ва
а1а 2 0
Л а1а2 =_
а1а2
¡а1 0
¡а 2
¡а 2
Г- ¡а 2 ¡а1 " 0 1"
|_- ¡а 2 ¡а1 -1 0
Г- ¡а 2 ¡а1 " 0 1"
|_- ¡а 2 ¡а1 -1 0
Отметим, что в формуле (52) нет суммирования или интегрирования по повторяющимся индексам и система уравнений распадается на множество систем из четырех обыкновенных дифференциальных уравнений. Уравнения (52) имеют чтыре линейно независимых решения следующего вида:
/ а
гахаг,\ 1 ±е /-01^2,2 1 ±е у-а1а2,3 1 ±е
= 1 Н
х ехрI ±
/±Ь =
/• аа,
±е
± ¡к ^ 1 -а12 -а^ ^
-а12 -а^ -а12 -а^
а.
а2
(53)
/•а1а2,1
1
1 ±е -а1а2,2
±е
•а^1а2,3
1
±е / а1
1 ±е
,-а1а2,4 1 ±е
=
-а2
а!
Л/1-а1
-а? -а2 1а!
-а12 - а2 |а2
(54)
х ехр I ± ¡к
: ¡к ^ 1 -а12
22 2 -а22
5а1 оа1
ЮЮ ю
1
В а1а2 =
5а1 оа1 -
юю
юю
2
11
0
Н а1а2 =
аа
12
12
0
0
0
В а1а2 =
аа
12
«
х
2
-а
2
X
12
0
г
|| Г || = ^(2 +а2)
1 +
22 1 -а, -а2
Введем К-пространственно-частотное представление (^-представление). В качестве базисных функций К-представления выберем собственные функции оператора Гамильтона для бивекторного поля, распространяющегося в вакууме. Базисные функции К-пространственно-частотного представления связаны с базисными функциями Е-представления
К®
1®2п (Х , Х )
2'
а.а 2п
= Б(V ^ /К^п (, X2)), сгп (V ^ / )=5®2 5»; Б"т (V ^ /),
(55)
(56)
Б"т (V ^ /) =
_г®1®п 1
/+е т=1
+е
/•®1®п г\
+н т = 2
®1®п е
/®1®п *
® т = 4
/-е т = 3
Тензор обратного преобразования выглядит следующим образом
БЮ1Ю2т ( ^ V) = 5Ю1 5Ю1 М- )р Рп , (57)
а1а2т V / а2 а1 X /п т > V /
где матрица Р^ есть матрица эрмитово-сопряженная по отношению к матрице Бп (у ^ /),
а матрица
мп = Р^ (V ^ /). Здесь
верхний ин-
декс означает номер строки в матрице, а нижний индекс - номер столбца.
М =
1
0
ж ±
ж ± 0 0 ж ± 10
0 Ж ± 0
(58)
м - =
1
-ж ±
0
-ж ± 0
0 -Ж:
-ж ± 0 1
1 - ж ±|2
(59)
Волновые функции бивекторных полей в этих двух различных представлениях связаны следующим образом
/ а1а2п = ба1а2п ( . /) ^ ®1®2п V ^ /
а1а2п = Б а1а2п ( / . v) /®1®2п ®1®2п V./ У-'
(60)
4 Распространение бивекторного электромагнитного поля в вакууме
В настоящем разделе рассмотрим задачу распространения бивекторного электромагнитного поля в свободном пространстве.
Пусть в плоскости z=0 бивекторное поле имеет
вид:
(х1, х2)
ж = ж0 х1, х2 = ж
т хх к
(0).
(61)
Для вычисления поля в произвольной плоскости перейдем от координатного представления к пространственно-частотному представлению
/а1а2,(0) = Б*1*2-,! (х ^ /)жххк (0).
^^ ■ (0) = Ба1а2" (/ ^ V) / ®1®2п (0)
(62)
(63)
Матричные элементы гамильтониана в вакуу-
ме в К-представлении И®! дующей матрицы:
ю1ю2к
есть элементы сле-
Иа1<Х2 (V) = ^к 5®1 5®1 х
V > ®1 Ю1
: - а^ - а
10 0 0 0 10 0 0 0 -10 0 0 0 -1
(64)
Решая систему уравнений Максвелла в К-представлении для произвольной плоскости, получим
V а1а21 (z)
V а1а22( z) v а1а2 3
Ч z)
V а1а2 4 (z)
V а1а21 (0) ехр ^ ¡ky|l—а[~-~а2z ^ Vа1а22 (0) ехр^ ¡кф -а2 - а2 z^
V а1а23(0)ехр )
V а1а24(0)ехр ¡ку[[
- ¡кл11 - а,2 - а2 z
.(65)
Далее перейдем от К-представления к координатному представлению
/ а1а2п (z) = ^^2« (V ^ /) V ®1®2п (z) ,
жх
(z)=Б:а :к ( ^ х)/а1а 2 (
(66)
(67)
Выражение описывает бивекторное электромагнитное поле в плоскости регистратора.
5. Дифракция на пропускающих дифракционных оптических элементах
Рассмотрим дифракцию света на пропускающих дифракционных оптических элементах
Пусть Vа1<Х2п (-а) - волновая функция бивек-торного поля в К-пространственно-частотном представлении на границе области модуляции и области 1. Запишем ее в Е-пространственно-частотном представлении
/а1а2п (-а) = Бпт (V ^ /^Ю1Ю2т (-а). (68)
Поле в произвольной точке в области модуля-
ции имеет вид:
/ ®1®2п (^ = и ®1®2п (z) / О а1а2
(-а),
(69)
где эволюционная матрица ип (z) удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению
V
1
0
0
1
0
1
х
12
ди ю1ю2п
--а1°2т = Н(2) ир'р21 (2)
к д2 Р1Р21 у а1а2т >
с начальными условиями
ию
(-а) = 5Ю2 5Ю1 5п
Л ' г/., г,
(71)
Полученное выражение представляет собой интегро-дифференциальное уравнение.
Бивекторное поле в Б-представлении на границе области модуляции и области 4 имеет вид:
/ Юю2п (0) =
= иЮЮП(0)Б«^ ( - /)в1в2т (-а). То же самое в ^-представлении
V^ (0) = Б^т ( - V)/^ (0).
(72)
(73)
Подставляя выражение (72) в (73), получаем:
1а2П (0)=(- V )и Ю:Ю:; (0)
в1 в2
Ю1Ю2 у
Б ^ (V - /) П2 к (-а).
(74)
Полученное выражение (74) представляет собой связь между полями V ^^ (-а) и Vа1 а2к (0) на границах области модуляции. Выражение (74) можно переписать в следующем виде:
Б ^ (V - /) а1а2: (0) =
= иЮЮР(0)БП1 !2к(V - /)п П2к(-а).
(75)
На практике поле удовлетворяет следующим условиям.
Условие 1. Поле прошедшее через оптический элемент не содержит волн, распространяющихся против оси 2:
V п П23(0) = V П24(0) = 0.
(76)
Условие 2. Компоненты определяются из условия задачи. Они описывают бивекторное поле в отсутствии ДОЭ. На практике при решении задач дифракции падающее и прошедшее поле удобно задавать в координатном представлении. В этом случае необходимо в выражении для падающего поля перейти от координатного представления к V-представлению, используя формулы
/а1а2,* (-а) = Б*?,'' (х - /) Wx:x2,к (-а), (77)
'(-а) = БЮЮ:( - V)/Ю1Ю2:(-а).
(78)
Решая систему интегральных уравнений (75) и используя результаты, полученные в предыдущем пункте, определяем прошедшее бивекторное поле в области 4.
6. Дискретное пространственно-частотное представление
Для решения задач дифракции на периодических структурах используется дискретное пространственно-частотное представление. Связь между волновыми функциями в координатном и дискретном
пространственно-частотном представлениях имеет следующий вид:
/пт(0) = БхТх* (-/)
, к
(0),
(79)
(х - /) = ~ТТехр(¡к ( +а™х2 )) , (80)
' d: ^ 2
d:d 2 - размеры дифракционного оптического элемента или периоды периодической двумерной структуры.
Тензор обратного преобразования имеет вид:
Бт,к (/ - х)= ехр ((х1 + атх2 ))ок . (81)
Гамильтониан в дискретном пространственно -частотном представлении имеет вид
Нпр =
т д
0
впр
т д
ЛпР т д
(82)
ЛпР =-д
/а1
'п-т, р-д
01 -1 0
о т о р
ЛпР = -
тд
- ¡а 2
¡а.
о т о р -
01 -1 0
'п-т, р-д •
Формулы (75) в дискретном пространственно -частотном представлении имеют вид:
Р (V - /(0) =
туд V
= итд (0)Б2д (V - /Уг (-а).
(83)
Отметим, что в отличие от обычного пространственно-частотного представления, в дискретном случае интегральное уравнение превращается в систему линейных алгебраических уравнений. Матрицы перехода от ^-представления к ^представлению и обратно имеют вид:
(84)
(85)
Бкдт (V - / )=о к орБт (V - /),
Будт (/ - v)=5ij ор (- )пк?кп.
Интегро-дифференциальное уравнение для эволюционной матрицы в дискретном пространственно-частотном представлении превращается в систему обыкновенных дифференциальных уравнений
I дитр (2)
=Нпк (2)итгр (2)
к д2 с начальными условиями
итур(-а)=о то)о р.
(86)
(87)
Формулы (84), (85), (86) могут быть получены из формул (56), (57), (70)< если заменить интегралы на интегральные суммы.
12
0
V
X
д
0
-/а
х
0
-/ а
0
- / а
0
12
V
7. Реализация вычислений Для того чтобы получить систему линейных алгебраических уравнений (83), необходимо многократное уравнение для эволюционной матрицы (86). Решение эволюционного уравнения сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений с различными начальными условиями. Это позволяет использовать технику параллельных вычислений. В данном случае был использован под-
ход, состоящий в том, чтобы система уравнений для различных начальных условий решалась на различных компьютерах. Приводимые ниже результаты были получены с использованием кластера, состоящего из четырех двухпроцессорных компьютеров РЕЭТЩМ-П с частотой 450 МГц. Для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений использовались методы матричной экспоненты и Рунге-Кутта.
в
б
б
а
В
в
в
г
В
в
д
е
В
в
з
Рис. 2. Результаты расчета проекции вектора Умова-Пойтинга на оптическую ось для дифракции плоской электромагнитной волны на радиально-симметричной бинарной линзе в плоскости 2=0 (а, б), в плоскости 2=//2 (в, г), в плоскости 2=/(д, е), 2=3//2 (ж, з).
в
в
а б
Рис. 3. Результаты расчета проекции вектора Умова-Пойтинга на оптическую ось для дифракции плоской электромагнитной волны на радиально-симметричной бинарной линзе в плоскости т.
В качестве примера был выбран расчет поля от бинарной цилиндрической линзы.
При расчете были использованы следующие параметры: радиус апертуры Л=4,82Х, фокусное расстояние /=4,82Х. На рисунках 2, 3 приведены результаты расчета проекции вектора Умова-Пойтинга на оптическую ось для дифракции плоской электромагнитной волны на бинарной ради-ально-симметричной линзе на различных расстояниях от оптического элемента. При этом на рисунках черный цвет соответствует максимальному значению. Приведенные выше результаты показывают работоспособность приведенного алгоритма. Разработанный метод снижает требования к вычислительным ресурсам, по сравнению с многомерными разностными методами. Анализ полученных результатов показывает, что максимум интенсивности в фокусе линзы примерно в четыре раза меньше значения, рассчитанного в скалярном приближении Кирхгофа. Однако, несмотря на это, бинарная линза сохраняет свои фокусирующие свойства. Следует отметить, что в отличие от скалярной теории, фокальное пятно имеет слегка вытянутую форму. Это объясняется тем, что в рамках электромагнитной теории не существует радиально-симметричных ре-
шений даже в случае дифракции плоской волны на радиально-симметричном объекте. Радиальная симметрия нарушается за счет наличия поляризации у падающей электромагнитной волны.
Заключение В работе предложен компактный математический аппарат для решения задач дифракции плоской электромагнитной волны на дифракционном оптическом элементе. Математический аппарат позволяет однообразно описать различные задачи дифракционной оптики и свести многие задачи к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений с различными начальными условиями. Это позволяет в свою очередь использовать технику параллельных вычислений. Предложенные в работе методы апробированы на решении задачи дифракции плоской электромагнитной волны на бинарной линзе Френеля.
Литература
1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика // М., Наука. Т. 3. 1973. 504 с.
2. Методы компьютерной оптики // М., Физматлит. 2000. 688 с.
