CC BY
35
УДК 539.3:537.86
МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ В МОДЕЛИРОВАНИИ ПЕРЕПОЛЯРИЗАЦИИ СЕГНЕТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КЕРАМИК
© А.С. Скалиух, И.В. Безус, Т.Е. Положенцева
Skaliukh A.S., Bezus I.V.. Polozheneeva E.J. Methods of the ihcory of plasticity in modeling rcpolarization of ferroelectric ceramics. The work is devoted to the description of one algorithm used at numerical accounts of polarization of fcroelcctric ccramics. In a basis of constitutive law relation of irreversible parameters the mathematical theory of plastic current is fixed. The numerical example of a field of a vector of remanent polarization in a axial case is given.
Как показывают экспериментальные данные [1], совместное воздействие механических и электрических нагрузок на сегнетокерамическне образцы существенно изменяет их поведение по сравнению с поведением при действии одного (электрического или механического) нагружающего фактора. Современные проблемы математического моделирования нелинейных процессов в сегнетокерамических материалах представлены в обзоре [2]. Особое место в нелинейных задачах занимают необратимые процессы, учитывающие изменение структуры. Их моделирование осуществляется, в основном, в двух направлениях. Первое направление касается вопросов определения эффективных модулей сегнетоэлектрических керамик на основе анализа микроструктуры материала, включая форму кристаллитов и процессы переключения доменов [3, 4]. Второе направление феноменологическое и связано с введением макрохарактернстнк представительного объема, таких как вектор поляризации и тензор деформации, и конструированием необходимых определяющих соотношений [5-7]. Считается, что в каждом из описанных направлений процессы являются адиабатическими или изотермическими и протекают таким образом, что их можно рассматривать в квазистатической постановке. Для решения задачи приходится привлекать численные методы, например, метод конечных элементов (МКЭ). Частные случаи моделирования необратимых процессов поляризации на основе МКЭ можно найти в [8, 9].
Настоящая работа относится ко второму направлению и представляет собой описание математической модели необратимого процесса и вытекающего отсюда алгоритма для определения обратимых и необратимых параметров, возникающих в процессе поляризации сегнетокерамических образцов.
Пусть задана произвольная область Г2 , заполненная «чистой» или термически располяризованной керамикой. Граничная поверхность разбита на подобласти, где задаются механические и электрические граничные условия. 5 = и = 5д и , причем на
задан вектор механических напряжений р , на -вектор перемещений и., на Бр - нормальная составляющая электрической индукции Д, и на 5'ф - элек-
трический потенциал ф . Все внешние граничные условия являются медленно меняющимися во времени функциями, так что можно принять квазистатическое приближение. Такая задача описывается уравнениями механики сплошной среды:
1. принципом возможной работы:
|(а-6в-Гби-0-6Е)г/П- |р-5и(/5- |£)„5((к/5 = 0; п
2. уравнениями Максвелла для непроводящих диэлектриков:
УхЕ = 0, О=е0Е+Р;
3. геометрическими соотношениями «деформации -перемещения», «электрическое поле - электрический потенциал»:
е = ^(Уи + Уи 1 ), Е = -Уф;
4. определяющими соотношениями, которые формально можно записать в операторном виде:
<т = Ге(е,Е), Р = Гр(е.Е).
Здесь а, е. Г, и, Б, Е, р, Ц,, <р. Р, е0 -тензор механических напряжений, тензор деформаций, вектор объемных сил, вектор перемещений, вектор электрической индукции, вектор электрического поля, вектор напряжений внешних механических воздействий, нормальная составляющая электрической индукции, электрический потенциал, вектор поляризации и диэлектрическая проницаемость соответственно (система СИ). Интегральное равенство рассматривается в классе функций один раз непрерывно дифференцируемых и удовлетворяющих главным граничным
условиям.
Для описания необратимых процессов примем, что полная деформация и полная поляризация складыва-
ются из обратимых (индуцированных) Рс, ес и необратимых (остаточных) Р0, е„ частей, т. е.
е=ес+е0, Р=РС + Р0.
Для решения задачи воспользуемся инкрементальной теорией (теорией приращений). Процесс нагружения (как обратимой так и необратимой его части) представим в виде последовательности равновесных состояний , причем в начальном
состоянии С известно распределение всех параметров системы, к которым относятся перемещения, электрический потенциал, механические напряжения, деформации, электрическое поле и поляризация. Задача заключается в том, чтобы определить эти параметры в
состоянии С(,+|), если они известны для Си) состояния. 13 сегнетокерамических материалах возникающие деформации являются малыми даже при достаточно больших механических и электрических нагрузках. Это позволяет использовать линейный тензор деформаций, а операции интегрирования осуществлять по объему начальной конфигурации.
Выберем согласованную конечно-элементную сетку, задаваемую в С1/, = иГ5„,, аппроксимирующую область С} . На каждом конечном элементе С2„, неизвестные полевые функции и, ф аппроксимируем в форме:
и ~ N,1 (*)• 1Л ф = 1Ч£(.\-)-Ф. т
где !Чи - матрица функций формы для поля перемещений и ; 1Ч(р - вектор-строка функций формы для поля электрического потенциала ф ; и, Ф - локальные векторы соответствующих узловых степеней свободы. Воспользуемся матричными представлениями Фойхта, согласно которым под Да, Ле понимаем векторы приращений напряжений и деформаций, а под ДР, ДЕ - векторы приращений поляризации и электрического поля. Сделаем основное предположение, касающееся струюуфных изменений материала. Будем
считать, что обратимые параметры в С(п состоянии
определяются по необратимым параметрам в состоянии. Тогда приращения полных деформаций и поляризации можно записать в виде:
Де(/) = Ав(е° + Де{/_|), ДР(,) =ДР<!,)+ДР((),'|), (1)
а принцип возможной работы принимает вид (символ Д означает приращение, 8 - вариацию):
£ |[(Д<т('))г •5(Де<,))-(ДГ(,,)г -5(Ди(,))-
т
- (ДО(,) )г • 8(ДЕ(,) )]<Ю - (2)
|(ЛР(,))Г-8(Ди(,))^5--Ц /ДО«.8(Аф«>В-0.
ч
Суммирование в объемных интегралах распространяется на все конечные элементы, а в поверхностных -только на грани тех конечных элементов, которые выходят на соответствующие границы. Основными неизвестными являются приращения вектора перемещения
Ди111 и электрического потенциала Дф*'1, которые включают в себя как обратимые, так и необратимые части. Приращение полного тензора деформаций и вектора электрического поля на каждом КЭ находится по формулам:
Де(,) = В, • Ди, ДЕ(|* = -В, • ДФ. (3)
где матрицы В, = • N,1 и В0 = Оф • !Мф , а
1)х, Оф - матрицы дифференциальных операций,
связывающие деформации с перемещениями и электрическое поле с потенциалом.
Приращения обратимых параметров можно получить из разложения термодинамической функции -
электрической функции Гиббса в окрестности С(,) состояния:
Д1«-8(1<Г,»,Р*н,)-А«т+Чт(<Г,>.
Ро'-0) • ДЕ(/) + Д8(Р0 )• <т(,) + Д'{£>.
АР*0 =с1(4,-|),Р£-|))-Д<т,,') +ц(с^1),
Р^"1»)- ДЕ(,) + Дс1(Р0 ) • о(0 + Д* Р<°.
Первые два слагаемых в каждом из соотношений являются общими определяющими соотношениями связанной теории электроупругости, в которых тензоры упругих податливостей, пьезомодулей и электрической восприимчивости определяются необратимыми
параметрами в состоянии, а последние пред-
ставляют собой дополнительные приращения обратимой части деформации и поляризации вследствие перестройки структуры. Введем некоторые предположения. Во-первых, будем считать, что частично поляризованная керамика относится к классу трансверсальной анизотропии. Это предположение является обобщением того факта, что поляризованная в однородном поле до насыщения керамика относится к тому же классу. Во-вторых, положим, что компоненты тензоров в локальных кристаллографических осях не зависят от остаточной деформации, а зависят только от модуля вектора остаточной поляризации; в-третьих, пренебрежем дополнительными приращениями параметров. Последнее пренебрежение не является достаточно обоснованным, оно станет темой дальнейших исследований. Тогда определяющие соотношения для обратимых параметров можно представить в виде:
Дв£° =8(РУ-|,)-Ло(,) +с!,(Р,
(/-і)
) АЕ
(<)
АР<° = с1(РД'_и) ■ До'" + П(РГ'') •АЕ
Решим первое матричное уравнение относительно Лет1,1 и подставим во второе, получим:
г (О
А о(,) = С(Р^,-|))-Д*<° — ет(Рц *)• АЕ(| АРе(/) = е(Рд/-1)) • Ає*/' + ц(Рц'-|)) • ДЕ(,),
(4)
где
С = Б
-1
- матрица упругих постоянных.
е = (17 • С 1 - матрица пьезоэлектрических констант, |А = >) -(I -в*1 •(! Г - матрица электрических восприимчивостей при постоянном механическом напряжении. Добавим к этой системе определяющих соотношений уравнение электростатики для приращения вектора электрической индукции
(/-I)
ДО(/) = е0ДЕ(/) + АР,!0 + АР,1
и подставим сюда второе соотношение (4), тогда
АО*'’ = е(^'_|))■ Дв'Р + э(^'Ч))-ДЕ,,) + АР/,'4», (5)
где Э = е„1 + ц - матрица диэлектрических постоянных (I - единичная матрица). Свяжем с каждым конечным элементом локальную систему координат 0„&ПС • направив ось ОтС, по направлению вектора остаточной поляризации р0, а две других - произвольно. Тогда, в силу предположения локальной транс-версальной изотропии, можем представить эти матрицы в локальной системе координат в виде следующего приближения:
оо оо о
С = С0 + /с(Р )С|, е = /£(р(М,)еі
00 0 Э = Э+/э(р{1~ )Э| .
(6)
ются по матрицам преобразования и Н по форму-
г 0 г 0 т- 0
С = С>Г С <}, е = Н • с• О, э = Н э-Н , (8)
где матрица Н представляет собой матрицу перехода от локальной к глобальной системе координат, а элементы матрицы строятся по элементам матрицы Н , но в силу громоздкости не приводятся.
Зависимости между приращениями остаточных и независимых параметров в данной модели находятся по аналогии с «математической теорией пластического течения». Однако здесь надо отметить, что необратимость в пьезокерамическом образце может возникнуть либо при доминирующей электрической нагрузке, либо при доминирующей механической нагрузке, либо при их совместных соизмеримых значениях. В каждом из этих случаев приращения необратимых параметров строится различными способами. Пьезокерамическое тело способно накапливать электрическую
и.3=—0- Е и механическую 1/т = ~а ■ е энергию
до определенных пределов, после чего в нем начинаются структурные перестройки. Рассмотрим процесс с малыми механическими полями. Это означает, что
и.} » ит. Отметим, что появление остаточной поляризации влечет за собой в выражении электрической энергии составляющей, связанной с механическими деформациями в силу появляющихся пьезоэлектрических свойств. Определим начало необратимого процесса поляризации для неполярнзованной керамики как условие достижения электрическим полем коэрцитивного значения Е • Е = £2 (это условие аналогично условию Хубера - Мизеса - Генки начала пластического течения). В процессе поляризации материал «упрочняется», при этом поверхность, разграничивающая поляризованную и неполяризованную область, расширяется в фазовом пространстве компонент электрического ноля. Назовем ее поверхностью поляризации, по аналогии с поверхностью нагружения в теории пла-
стичности, и зададим ее вид для С состояния:
Здесь матрицы с индексом «0» характеризуют постоянные материала неполярнзованной керамики, с индексом «1» поправки, дополняющие эти постоянные до класса трансверсальной изотропии. Поправочные функции /с(')> /е( )> /э(') находятся экспериментально и связаны с гнстерезисной зависимостью приращения индукции и напряжения от приращения электрического поля и деформации. Параметр
рімЧ?Ґ*\ір,
(7)
представляет собой отношение модуля вектора остаточной поляризации С1'’1’ состояния к величине поляризации насыщения, определяемой экспериментально из кривой петли гистерезиса. В глобальной системе координат эти матрицы констант материала определя-
Ф э (Е(/))2 - £2/(1 - /><М))2 = 0.
Приращение же вектора остаточной поляризации находится из условия:
ДР(<)'"11 =Х5Ф/5Е(0 = 2^Е('').
(9)
аналогичного условию «ассоциированного закона течения» теории пластичности, причем величина X. определяется из диаграммы поляризации тонких цилиндрических дисков в однородном электрическом поле, параллельном оси цилиндра, и ее выбор описан в [ 10].
Приращение остаточной поляризации находится по формуле (9) лишь в случае активного нагружения, т. е.
когда модуль вектора электрического поля в С{п состоянии достигает этой поверхности, если же поверх-
ность не достигается, то приращение остаточной поляризации равно нулю.
Далее определяем приращения остаточных деформаций. Считаем, что в каждом состоянии главные оси тензора остаточной деформации расположены так, что одна из них совпадает с направлением остаточного вектора поляризации. Кроме того, примем условие
несжимаемости материала. Из (9) известно ДРо'-1’, но
тогда известен вектор поляризации в С<(| состоянии
Р//* = Ро’1* + ЛР(),Ч), а значит и его модуль, а по (7)
известна величина /И'1. Направление этого вектора
принимается за главное направление е1,'1, вдоль которого остаточная деформация будет растягивающей. А в силу принятого условия несжимаемости, в главных
/'■*(/) и
осях для С состояния искомын тензор остаточных деформаций можно записать в виде:
е<'> = ®е{° -е(2° О е(2У> + 2еш ®е(,')) •
А так как для С*1’1* состояния этот тензор был ранее найден, то легко находим:
ае0 -«о е0
Преобразуем выражение определяющих соотношений для приращений механических напряжений и электрической индукции по (4) и (5), заменив в них обратимые составляющие на разность между полными и необратимыми. Тогда, согласно (1), получим:
А<т(0 = С • Ае(,) - ет • ДЕ(,) - С • А£оМ),
ДО(,) = е • Ле(0 + э • АЕ(,) - е • + ДР^_|).
Здесь матрицы констант вычисляются по (6), (8), причем модуль вектора остаточной поляризации состояния уже найден (и, следовательно, известны формулы перехода от локальных осей каждого элемента к глобальным). Подставляя эти выражения и соотношения (3) в выражение принципа возможной работы (2) и используя стандартную технику метода конечных элементов, получим систему линейных алгебраических уравнений:
кии • и + Кшр Ф = Г, +ГС т (Ю)
к2,.о-к„-ф«г2+г,,
элементы которой получаются ансамблированием локальных матриц жесткости, представляемых в виде соответствующих интегралов:
кии= |в;г с в,<ю,
п.
Киф= |в^ ет -В0Л2,
^фф = • э • В()</Г2,
п„
Г, = |ми -Ар^5+ JNI) ДГ"7<Ю,
5. п.
Гс = |в^ -С-Де^^П, п„
Г 2 = |мфДО«Л?,
«о
Гф = |в? е Д£^ис/п- |в?.др^-‘^а п- о.
Решив линейную систему алгебраических уравнений (10), находим приращение перемещений и электрического потенциала, что позволяет найти сами перемещения и потенциал для С(,) состояния. Все параметры для Си) состояния найдены. Далее делается переход на следующий шаг.
Для иллюстрации предложенной модели приведем решение задачи об определении поля вектора остаточной поляризации осесимметричного пьезокерамического диска, у которого на лицевых поверхностях находятся круглые электроды разных диаметров.
На рисунке I показана половина осевого сечения. Диаметр пьезокерамического диска равен 2 см, высота-4 мм, электроды расположены в центре лицевых поверхностей: нижний диаметром 1,4 см, верхний -6 мм. Материал - пьезокерамика PZT-4. Электрический потенциал на электродах менялся по кусочнолинейному закону, возрастая от нуля до 4 кв, и затем убывая до нуля. Алгоритм показал хорошую устойчивость как по числу состояний, так и по конечным элементам. На рисунке I приведен расчет для 50 приращений (25 возрастающих приращений электрического потенциала на электродах и столько же убывающих до нуля) и 305 конечных элементов.
Из рис. I хорошо заметна неоднородность поля остаточной поляризации, причем его интенсивность также меняется. Существуют несколько вариантов прикладных теорий расчета преобразователей с неоднородной поляризацией, но подавляющее большинство из них использует схему кусочно-постоянного распределения поля вектора остаточной поляризации, что, естественно, вносит неустранимую ошибку в расчеты.
Рис. I. Поле вектора остаточной поляризации
Отметим, что использование данной схемы позволит существенно уточнить характеристики неоднородно поляризованных керамических образцов, например, пьезокерамическнх трансформаторов. С другой стороны, предложенный алгоритм дает возможность находить индуцированные механические напряжения и электрическую индукцию внутри материала по окончании процесса поляризации. Именно наличием этих напряжений можно объяснить природу иногда имеющих место разрушений керамики в процессе поляризации.
ЛИТЕРАТУРА
1. Lynch C.S. The cffcct of uniaxial stress on the electro-mechanical response of 8/65/35 PLZT // Acta mater. 1996. V. 44. № 10. P. 4137-4148.
2. Hall Review D.A. Nonlincarity in piezoelectric ceramics // J. of materials science. 2001. V. 36. P. 4575-4601.
3. Aleshin V./. and Luchaninov A.G. Modeling of Domain Processes in Piezoccramic Materials//Ferroelectrics. 2002. V. 266. P. 111-124.
4. Miclieliisch T. and Levin V.M. Inclusions and inhomogcneitics in electroclastic media with hexagonal symmetry // Eur. Phys. J. B. 2000. V. 14. P. 527-533.
5. Huo Y. and Jiang Q. Modeling of domain switching in ferroelectric ceramics: an example // Int. ). Solids and Struct. 1998. V. 35. Jfe 13. P. 1339-1353.
6. Kamlah М.. Tsakmakis C. Phenomenological modeling of the nonlinear electro-mechanical coupling in ferroelectrics II Int. J. Solids and Struct. 1999. V. 36. P. 669-695.
7. Sze К.Ї., Pan Y.-S. II Nonlinear fracture analysis of piezoelectric ceramics by finite element method // Engng. FracL Mcch. 2001. V. 68. P. 1335-1351.
8. Hwang S.C.. McMeeking R. Л finite element model of fcrroelastic polycrystals // Int. J. Solids and Struct. 1999. V. 36. P. 1541 -1556.
9. SteinkopJJ Th. Finite-clement Modelling of Fcrroic Domain Switching in Piezoelectric Ceramic // J. of Eur. Ceram. Soc. 1999. V. 19. P. 1247-1249.
10. Скаяиух А.С. К теории поляризации сегнетоэлектрических керамик // Вісник донецького університету. 2002. Сер. Л: Природничі науки. Вип. I. С. 310-319.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при частичной поддержке гранта РФФИ.
