CC BY
437
УДК 004.93'12
МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ КОНТУРОВ В ЗАДАЧАХ РАСПОЗНАВАНИЯ ОБРАЗОВ
А.В. КАЗБЕКОВ, Н.А. МАКСИМОВ
Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым С.В.
В статье описаны наиболее распространенные методы сравнения контуров объектов, выделяемых на цифровых изображениях. Рассмотрен новый метод, построенный на преобразовании координат точек контура в полярную систему координат.
Ключевые слова: цифровые изображения, распознавание образов.
Введение
Распространенным подходом к решению задачи распознавания образов является выделение и классификация контуров объектов, присутствующих на изображении. Известно, что контуры на изображении, как правило, содержат достаточное количество информации для идентификации объектов. Основные требования, касающиеся процесса нахождения контуров, подробно описаны в [6]. Главной проблемой, встающей после успешного выделения контуров, является необходимость введения некоторой метрики, описывающей контур и позволяющей производить классификацию найденных объектов. В данной статье описаны наиболее известные методы описания и сравнения контуров и предложен новый метод, построенный на описании контура относительно полярной системы координат.
Дескрипторы Фурье [9]
Предположим, что рассматриваемый контур состоит из N пикселей, пронумерованных от 0 до N-1. Пиксель, имеющий номер k, имеет координаты (xk, yk). Таким образом, мы можем описать контур двумя выражениями вида
x(k) = xk, y(k) = yk.
Теперь применим преобразование Фурье по отношению к каждому из этих уравнений. В результате получим две спектральные характеристики
ах(0 = F(x(k)X ay(0 = F(y(k)).
Для конечного числа пикселей, составляющих контур, мы можем применить дискретное преобразование Фурье (ДПФ). ДПФ подразумевает, что мы имеем дело с периодической функцией, однако в случае с замкнутым контуром это не является проблемой, поскольку контур можно рассматривать как единичный период периодической функции.
Полученные разложения (спектральные характеристики) называются дескрипторами Фурье.
С целью получения более удобного представления перейдем от рассмотрения пары координат (x, y) точки в декартовой системе координат к одному комплексному числу, характеризующему положение точки на комплексной плоскости
s(k) = x(k) + iy(k).
Таким образом, мы переходим от двух дескрипторов к одному, представляющему собой преобразование Фурье для комплексной функции s(k).
Данный метод получил широкое распространение в силу того, что для последующей идентификации формы объектов обычно требуется только несколько первых компонент F(s(k)); преобразование Фурье легко нормируется для размера, поворота и начальной точки границы.
Сдвиг контура соответствует увеличению значений х(к) и у(к) на некоторую константу, т.е. на компоненту, соответствующую нулевой частоте. На самом деле эта «нулевая» компонента никак не характеризует сам контур, она скорее характеризует его положение в пространстве изображения. Если не принимать в расчет нулевую гармонику, проблема поворота решается также достаточно просто. Поворот контура относительно начала системы координат тождественен повороту контура относительно собственного геометрического центра и соответствует умножению дескрипторов на е10. Аналогично, изменение масштаба контура приводит к умножению коэффициентов разложения на масштабный коэффициент.
Сравнение контуров с помощью вычисления моментов Ни [7]
Двумерными моментами порядка (р + q) совместной плотности вероятности являются выражения вида
^ = ДОхРУ^(х,у)^у Р^ = 1Д...,
Б
где Б - область изображения, для которой вычисляются моменты.
Для описания изображения совместная вероятность р(х, у) заменяется функцией яркости изображения Дх, у). Переход к центральным моментам обеспечивает инвариантность двумерных моментов к сдвигу
^ = Я(х-х )Р (у - у^ (х,у )ёхёу Р^ІА..^
- mio -где x =----------, y
m
01
m
oo
m
координаты центра области Б.
00
Переход к нормализованным центральным моментам обеспечивает инвариантность относительно масштабирования
П рч=----------
Р±Я+1
Иоо 2
Значения функций Б1 - Б7 инвариантны к вращению изображения
^ = П20 + П02 , §2 = (П20 - П02 )2 + 4Пп , §3 = (Пз0 -3Пі2 )2 + (П 54= (п30+ Л12 ) + (п03+ П21 ) ,
§ = (П30 -3Пі2)(П30 + П12)[(П30 + П12)2 -3(П03 + П21)2
03
3П 21 )2
+ (3П21 - П03 )(П03 + П21 )[з(п30 + П12 )2 - (л 03 + П21)2 S6 = (П20 - П02 )[(П30 + П12)2 - (П03 + П21)2 +4П11 (П30 + П12 )(П03 + П21).
§7 = (3П21 - Поз )(Пзо + П12 )[(Пэо + П12 )2 -з(Поз + П21 )2
-(Пзо - 3П12 )(П21 + Поз )[3(Лзо + П21)2 - (Поз + П21)2]
В качестве меры сходства двух изображений (А и В) часто выбирают одну из трех функций
[1, 2]
I1 (A,B) = £
i=1..7
m-
m-
, I2 (A,B) = £
■m;
£|(mA - m|
I3 (A,B) = ^7
i=1..7
.b'
m
где mA = sign(hA )• lg(hA), mB = sign(hB )• lg(hB), a hA и hB - моменты Hu изображений A и B
соответственно.
D
1
1
Сравнение контуров методом морфинга (метод активных контуров [2, 8])
Пусть существуют два замкнутых контура A и B, состоящие каждый из определенной последовательности точек. В каждом контуре выбираем начальную точку - вершину. Смоделируем трансформацию одного контура в другой. Для этого поставим в соответствие каждой вершине контура A некоторую вершину контура B. При этом возможны ситуации, когда одной вершине контура A будет поставлено в соответствие несколько вершин контура B и наоборот, несколько вершин контура A будут трансформированы в одну из вершин контура B (рис. 1).
5 4
Рис. 1. Вариант трансформации контура A в контур B
Работа трансформации определяется двумя типами преобразований - растяжением (сжатием) и изгибом. Работа растяжения (сжатия) характеризуется изменением расстояния между двумя соседними вершинами контура при трансформации. Работа изгиба характеризуется изменением угла, который образуют три соседние вершины контура. Минимальной работой по преобразованию контура A с начальной вершиной a0 в контур B с начальной вершиной Ь назовем
^^,ши[(А,а0^.Ь0)] =шт{\УИ^є фу )(в,Ь0))},
где W(S) - работа, соответствующая трансформации S, о((а,я° ) (в,Ь°)) - множество допустимых трансформаций контура А с начальной вершиной а° в контур В с начальной вершиной Ь°.
Все соответствия между вершинами контуров А и В можно представить с помощью матрицы размерностью (т + 2)х (п + 2) (с учетом того, что ат+1 = а°, Ьп+1 = Ь°) или графа. Вертикалям в этом случае соответствуют вершины контура А, а горизонталям - вершины В. Точка на пересечении вертикали і и горизонтали ] соответствует паре вершин (а°, Ь°).
Трансформацию можно представить в виде пути на этом графе, начинающегося в точке (0,0) и заканчивающегося в точке (т + 1, п + 1). На рис. 2 приведен пример такого представления для трансформации, изображенной на рис. 1.
Таким образом, задача о нахождении минимальной работы по преобразованию контура А с 00 начальной вершиной а в контур В с начальной вершиной Ь сводится к задаче о поиске
кратчайшего пути на графе [4, 5].
Минимальной работой по преобразованию контура А в контур В назовем
^^тіп (А,В) =тіп{\У„;п (а,а0)(в,Ь0 )|а0 є А,Ь0 є в}.
Для того чтобы мера различия была нечувствительна к линейным размерам, перед сравнением координаты вершин контура необходимо нормировать. При этом процедура нормирования не должна зависеть от положения контура в пространстве. В работе [3] предлагается использовать нормирование по радиусу описывающей контур окружности.
Метод построения полярных диаграмм
Достоинства и недостатки того или иного метода безусловно сильно зависят от решаемой задачи. Все методы, рассмотренные в этой статье, не чувствительны к повороту и масштабированию сравниваемых контуров. Метод морфинга требует большого количества вычислений в случае, когда рассматриваемые контуры содержат большое количество точек. Поэтому для объектов сложной формы данный метод применим весьма условно. Выходом может быть замена фрагментов контура шаблонными примитивами, имеющими простую, заранее известную геометрическую форму. Метод моментов Ни и представление в виде дескрипторов Фурье не требует подобных дополнительных действий, однако в процессе обработки большая часть информации о форме контура теряется, что не позволяет использовать этот метод в ряде задач, когда сравнивать необходимо однотипные контуры. Метод полярных диаграмм был разработан с целью получения такой характеристики контура, которая, с одной стороны, достаточно сильно зависела бы от фактической формы и особенностей контура, а с другой, не требовала бы чрезмерных вычислительных затрат при массовых расчетах.
В основу метода положен пересчет координат точек, принадлежащих контуру, из прямоугольной в полярную систему координат. Для этого внутри рассматриваемого контура А некоторым образом выбирается начальная точка а0 - фактически эта точка становится началом отсчета (полюсом) новой системы координат. Приблизительное положение точки отсчета можно получить, вычислив геометрический центр контура, однако из-за неизбежных неточностей выделения, целесообразно рассмотреть множество точек, расположенных в окрестностях геометрического центра. Направление полярной оси не оказывает существенного влияния на свойства результирующей диаграммы, поэтому конкретный выбор определяется в основном удобством представления. Далее построенная система координат разбивается на N секторов Б;,
' 2п
і = 0 .. N-1 (любому сектору Б; соответствует пара граничных углов = — хі,
'' 2п /. \ 0
= — х (і +1)). Построение полярной диаграммы для контура А в некоторой точке а
заключается в подсчете доли точек контура, принадлежащих тому или иному сектору. Точка
І І I
принадлежит сектору Бі, если ее координаты (^к, рк ) удовлетворяют условию .
Доля точек - отношение количества точек, принадлежащих сектору, к общему числу точек, составляющих контур.
На рис. 3 а показан первый этап метода - разбиение изображения на сектора. На рис. 3б приведено изображение, преобразованное из выбранной полярной в прямоугольную систему координат. Ось абсцисс соответствует длине радиус-вектора (изменяется от 0 до Я); ось ординат - значению угла (изменяется от 0° до 360°).
Рис. 3а. Пример разбиения изображения на сектора
Рис. 3б. Обратное преобразование из полярной системы координат в прямоугольную
Полученная диаграмма (рис. 4) описывает распределение точек контура в пространстве и не зависит от масштаба рассматриваемого контура.
Задачу сравнения двух контуров А и В, заданных своими диаграммами Ба и БЬ соответственно, можно рассматривать как задачу минимизации
С N-1 ^
I
ЇЖ = тіп шп і=0.^-1
V і=0
Од- ^В-
Причем каждая комбинация і, ] задает определенный угол поворота системы координат одного контура относительно системы координат другого, что позволяет говорить о том, что предлагаемый метод сравнения учитывает поворот одного контура относительно другого.
Заключение
Метод полярных диаграмм дает существенный выигрыш в производительности в ряде задач, связанных с распознаванием однотипных объектов сложной формы (например, летательных аппаратов на космических снимках). Так, если контур объекта содержит 500 точек, и при этом требуется сравнить его с контуром такого же размера, метод морфинга потребует определить оптимальный путь на графе, имеющем 250 тыс. вершин. Методы Hu и разложение в ряд Фурье малоприменимы в случае, когда объекты имеют похожую форму.
ЛИТЕРАТУРА
1. Рейер И.А. Методы анализа формы изображений на основе непрерывного гранично-скелетного представления: дис. ... канд. техн. наук. - М., 2001.
2. Рейер И.А Сравнение формы объектов с использованием морфинга контуров границы // Тезисы междунар. конф. - М.: Графикон, 2000.
3. Конкин Ю.В. Разработка системы определения координат летательного аппарата на основе совмещения радиолокационной и картографической информации: автореф. дис. ... канд. техн. наук. - М., 2001.
4. Chan T.F., Vese L.A. Active contours without edges, IEEE Transactions on Image Processing, 10(2):266-277, февраль 2001.
5. Borgefors G Hierarchical chamfer matching: A parametric edge matching algorithm, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 10(6):849-865, ноябрь 1988.
6. Canny J. A computational approach to edge detection IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 8(6):679-698, ноябрь 1986.
7. M.K.Hu. Visual Pattern Recognition by Moment Invariants, IRE Trans. Info. Theory, vol. IT-8:179—187, 1962.
8. Gavrila D. Multi-feature hierarchical template matching using distance transforms. Proceedings of IEEE International Conference on Pattern Recognition, 1998.
9. Bonciu C., Léger C., Thiel J. A Fourier-Shannon approach to closed contours modelling Bioimaging Vol. 6, issue 3, pp. 111-125, сентябрь 1998.
CONTOUR COMPARISON METHODS IN OBJECT RECOGNITION SYSTEMS
Kazbekov A.V., Maksimov N.A.
This article considers the most common methods for comparison of object contours, extracted from digital images. In addition, described new method, based on the transformation of the coordinates of contour points in polar coordinate system.
Key words: digital images, image recognition.
Сведения об авторах
Казбеков Алан Валентинович, 1985 г.р., аспирант кафедры информационных технологий МАИ, инженер 1-й категории ОАО «НИИ точных приборов», автор 3 научных работ, область научных интересов - обработка изображений, распознавание образов.
Максимов Николай Анатольевич, 1947 г.р., кандидат технических наук, доцент кафедры информационных технологий МАИ, автор более 100 научных работ, область научных интересов -проектирование информационных систем, распознавание образов, обработка изображений, дистанционное зондирование Земли.
