CC BY
38
•едяа
Главная страница журнала Экономические науки
Технические науки
О журнале Редакция Общая лента Выпуски
Опубликовать статью. Авторам
Яндекс.Директ
» Техническое перевооружение
Проектирование с сопровождением объекта до ввода в эксплуатацию. Звоните!
Промышленное Гражданское Проектирование сооружений и сетей fkpro.ru Адрес и телефон Нижний Новгород
Методы современной дифференциальной геометрии в задачах изображений
Methods of modern differential geometry in problems of image processing
30.12.1613:34
< 42
Выходные сведения: Баранов В.А., Кулешов В.К., Зайцева Е.В., Шестаков В.В. Методы современной дифференциальной геометрии в задачах обработки изображений// Иннов: электронный научный журнал, 2016. №4 (29). URL: http://www.innov.ru/science/tech/metody-sovremennoy-differentsialnoy/
Авторы:
Баранов ВА. - д.т.н., с.н.с. ФГАОУ ВО Национальный исследовательский Томский политехнический университет, Томск, Российская Федерация, (634050 Россия, г. Томск, проспект Ленина, дом 30), e-mail: [email protected]
Шестаков В.В. - ведущий инженер. ФГАОУ ВО Национальный исследовательский Томский политехнический университет, Томск, Российская Федерация, (634050 Россия, г. Томск, проспект Ленина, дом 30), e-mail: [email protected]
Кулешов В.К. - д.т.н., профессор кафедры телевидения и управления. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники», кафедра телевидения и управления, Томск, Российская Федерация, (634050 Россия, г. Томск, проспект Ленина, дом 40), e-mail: [email protected]
Зайцева Е.В. - к.т.н., старший преподаватель кафедры телевидения и управления. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники», кафедра телевидения и управления, Томск, Российская Федерация, (634050 Россия, г. Томск, проспект Ленина, дом 40), e-mail: [email protected]
Л
LOLA CRUZ Туфли Женщинам 4 450 руб
ГЦ
Authors:
Baranov VA.1, Kuleshov V.K..2, Zaitseva E..3, Avdeeva D.K.1, Shestakov V.V.1
1 National Research Tomsk Polytechnic University, Tomsk, Russian Federation, (634050 Russia, Tomsk, street Lenina, 30), e-mail: [email protected]
Ключевые слова: обратная задача, некорректная задача, реконструкция изображений, распознавание образов, структурный инвариант, смысловая структура, группа Ли, статистическая гипотеза, дифференциальная геометрия, геометрия в малом, радиационный
множество разнообразных "смыслов", часто плохо согласующихся и даже "борющихся" между собо обстоятельство, говорят о широком "семантическом спектре" ОК. При "регуляризация" исходной реконс выделяется и культивируется какой-то особенный "смысл" и, таким образом, она является своеобразным "выб задачи РВД - одного из многих возможных. Они не отрицают, а взаимно дополняют друг друга.
Принципиальные трудности формализация смыслов и "семантические структуры"
Успешная унификация такого рода осуществлена в цикле работ [1-8], в русле методологии структурногс нетривиальным современным дополнением к ней - предложенными авторами теоретико-групповыми статис решения обратных реконструктивных задач [5-8]. В связи со сказанным выше нетрудно понять, что общий массиву диверсифицированных задач РВД возможен лишь на базе унифицированного подхода к формализации ОК "прагматических смыслов".
Смысл является прерогативой человеческого синтетического мышления, для которого характерно единство ra продуктивно (креативно). С этим тесно связана другая его сторона, заключающаяся в том, что смысл индивидуг невыразим. При общении другим людям передается не смысл, а некоторый его гомоморфный образ, который м никогда не бывает полным. Принципиальная неполнота характерна для любой формализации смысла, является некоторая "усеченная" языковая структура, вовсе не тождественная смыслу. Для понимания см осуществляет "обратный перевод" данной формально-аналитической структуры на "свой" синтетический урове индивидуальной интерпретации, иначе говоря обратная задача реконструкции смысла на дологическом уровне рамках "чистого" формально-аналитического мышления это невозможно). Поскольку "единство ratio и интуиции "свое", реконструированные разными людьми смыслы будут в той или иной мере различаться, что в свое врем Гумбольдту сказать: "Всякое взаимное разумение есть взаимное недоразумение". В то же время для языковой с информационная "избыточность", позволяющая в значительной мере снизить уровень "взаимноого недора: "инварианты понимания".
Представление смыслов инвариантными структурами
Разумеется, "смысл" в том или ином объекте может быть формально представлен каким-либо набором призн Это обычная процедура научного исследования. Однако, важнейшее свойство смысла (и условие его синтетический уровень) - целостность. Именно его следует "удержать" и отразить в "аналитических" математичес
Наиболее последовательно эта установка осуществляется в рамках структурного подхода, занимающегося i устойчивых объектов, не меняюшихся при своих преобразованиях самоподобия. (В теоретико-групповых ва подхода им соответствуют операторы группы автоморфизмов объекта). Все изменения в объекте (системе) п субстрата (или "элементной базы") при неизменности его структуры т.е. совокупности устойчивых связей и структурных инвариантов).
Структурные, в частности, теоретико-групповые методы давно и успешно используются в качестве инст| классификации самых различных объектов, как абстрактных, так и конкретных. В связи с этим уместно у групповую классификацию геометрий в широко известной "Эрлангенской программе" (1872) Ф.Клейна [9], ок влияние на все математическое естествознание XX-ого столетия. А. Пуанкаре был первым, кто начал систе теоретико-групповыми методами таких "смыслов" как "законы природы". В настоящее время назрела необхо структурных (теоретико-групповых) методов для решения широкого круга проблем информатики, что, собствен цикле работ [5-8]. Прежде всего это касается разработки систем РВД и "искусственного интеллекта" (ИИ).
Ошибки 1-го и 2-го рода в распознавании "смысловых структур"
Как уже отмечалось, при формализации смысла в качестве результата остается лишь некоторый его гомо1 конечно, справедливо и при структурном подходе к смыслам. Иначе говоря, группа автоморфизмов ограничива инвариантные свойства смысла это необходимое, но не достаточное условие для его идентификации. удовлетворящая преобразованиям из группы Лоренца-Пуанкаре - не обязательно классическая электродинами
В логике определяются объем и содержание понятия, которые, как известно, находятся между собой в отношении. Для предельно абстрактных понятий объем велик, а содержание бедно. Любая группа автоморф объем (давая ему "верхнюю оценку"). Например, для элементарной геометрии с ее богатейшим сс (определяемый "группой движений") относительно невелик. Напротив, для топологии (с ее "группой гомеоморф при относительно малом содержании.
Группа автоморфизмов не в состоянии определить "смысл" как некий уникальный объект. Это задача индивиду интерпретации. Наука избегает описания уникальных объектов. В этом ее сила и слабость. (Сила в том, что ее м применимы для описания очень широких классов внешне разнородных объектов). Было бы, однако, наив рассуждений, придти к выводу, что "ученые не оперируют уникальными смыслами". Напротив, преимуще занимаются. Существует резкое противоречие между научным результатом (который формулируется на аналити достижением (как и его интерпретацией), которое осуществляется на синтетическом уровне.
Гомоморфный образ смысла — это своеобразный "зонтик", который его защищает. Нельзя выходить за его ошибка (1-го рода). "Под зонтиком" же возможны ("более терпимые") ошибки 2-го рода. Подмена "истин (например, в структурных методах распознавания) [5-7] это ошибка 2-го рода. Вообще, хорошая система понятия" для реконструируемого объекта, уменьшая ошибку 2-го рода, но никогда не доводит его до нулевого.
Возможности дифференциальной геометрии многообразий для теоретико-групповой статистичес изображений
Теоретико-групповые статистические методы решения реконструктивных задач [5-8] развиваются "на традиционных направлений современной математики (теория групп, геометрия, математическая статистика обратных задач). Прикладные аспекты новых методов касаются всего комплекса проблем ОИ и РВД.
Современную геометрию [10] принято разделять на геометрию в целом и геометрию в малом. Такое появилось в 20-х гг. ХХ-ого столетия. "Геометрия в целом" изучает целостный пространственный образ объ кривую или всю поверхность. Достижений у "геометрии в целом" меньше, чем у "геометрии в малом", заним геометрического образа объекта в достаточно малой окрестности каждой из ее точек. Дифференциальная типичной "геометрией в малом".
Возможности "геометрии в целом" для развития теоретико-групповых реконструктивных методов довольно огра1 "геометрии в малом" концептуально более привлекательны и непосредственно связаны с представл дифференциально-геометрическим многообразием. В этом случае для обработки и реконструкции изображен эффективные "локальные методы".
Методы статистической оценки и реконструкции изображений на основе локальной группы преобразов
В предварительной (нестатистической) постановке задачи реконструируемое изображение рассматри дифференциально-геометрическое многообразие у в некотором конфигурационном пространстве SC размерж для него справедливы соображения "геометрии в малом" и возникает возможность исследовать его путем групповых гипотез [6]. Будем проверять "нулевую" гипотезу, является ли некоторая группа Ли Ls локальной гру для данного многообразия в точке с координатами £1, £2, ■■■, £л элемента изображения в 5с.
(В качестве "исходных данных" для этой реконструктивной задачи фигурирует "исходное изображение" пространстве 5с. По-другому - О это "исходный информационный образ" объекта контроля. Его структура, пер интерпретируемая и допускающая множество виртуальных смыслов, исследуется путем проверки теоретико нем. В процессе исследования может выясниться, что подход к О на основе непрерывных групп непримет допущений заключается в его применимости. В данном случае О отождествляется с "гладким дифференциа многообразием" у. В этом сущность "нестатистической" постановки задачи).
По сути дела, гипотетическая локальная группа Ls задает "фон" нового реконструируемого изображения. изображение как содержательное сообщение не сводится к одному лишь фону и в некоторых его элементах наб локальной симметрии т.е в них автоморфизмы группы Ls не выполняются. Пониженная (существующг "объективно") симметрия описывается какой-то другой группой Lo. Содержательность итоговогоизображения д симметрий Ls и Lo. Для ее количественной оценки сконструируем неотрицательную "меру различия"
ф = ф ^ , 1о , Ь, л
(1)
При вычислении (1) каждый из операторов д из группы Ли Ls действует в заданной точке £1, £2, ■■■ £л на О "расслаивается" на на систему "внутренних ракурсов" д1о, рассматриваемых локально в некоторой окрестности £л (т.е. "в малом").
Мера различия (1) предназначена для оценки возникшей в ходе исследования локальной диссимметрии. ракурсы равны между собой, то гипотетическая симметрия, задаваемая группой Ls, не нарушена и для оцен предполагается ф = 0. Если хотя бы два из таких локальных ракурсов не равны между собой, то симметрия должно выполняться неравенство ф > 0. Итак, во "вторичном изображении" (1) представлены как и неинвариантные (относительно Ls) свойства объекта (т.е. фон или "норма" с ф = 0 и "аномалии" с ф > 0), пр их присутствие принципиально необходимо.
Мера (1) является нелинейным функционалом исходного изображения О. При этом группа Lo обычно не качестве аргумента. Определить его можно разными способами в зависимости от характера задачи. Самы представить ф квадратичным функционалом, точнее мерой типа дисперсии. Она строится обычным путем у Ls изображений д1о, а затем усреднения по группе их квадратичных отклонений от среднего.
Гипотеза о том, что исходный информационный образ О объекта контроля является многообразием, которое м основе групп Ли Ls ("в малом") становится бессмысленной при разрушениях информационного образа (напри в измерительном тракте интроскопа). В общий шум внесут свою долю еще и помехи от вполне детерм симметриями, отличными от Ls. Тем не менее, структурные инварианты, характеризующие фон, и структу связи реконструируемого объекта продолжают еще сохраняться в видоизмененной деградированной форме, не а в некоторой конечной окрестности элемента разрушенного изображения объекта контроля. Дело в том, свойства объектов значительно устойчивее их "лежащих на поверхности" топологических свойств. Поэтому очен практики характеристики объекта контроля успешно "переживают" умеренные катастрофы, если еще не исчер избыточность той (ответственной за объект реконструкции) "фоновой" структуры, инвариантами, которой они пре случае еще не утрачены возможности "различения смыслов" на основе конструкций типа (1).
Для реконструкции существенных свойств объекта по разрушенному информационному образу объекта статистический подход для проверки теоретико-групповой нулевой гипотезы в конечной окрестности изображения. При этом строится мера отклонения F от условий нулевой гипотезы, аналогичная (1), но уже стати статистический метод по своей природе "выборочный", группа Ls заменяется в F соответствующей коне Статистика F используется затем в качестве распределения яркостей итогового изображения.
Меняя ключевую группу Ls, можно выявлять другие структуры объекта. На основе данного подхода раз обработки изображений, нашедшие применение в практике контроля.
Важной проблемой, которая должна решаться в рамках данного подхода, является статистическая оценка стру изображений путем проверки о них теоретико-групповых гипотез с ключевой группой Ls. Формирование таких о на основе исходного изображения О при взаимном сопоставлении его "внутренних ракурсов", возникающих за из группы Ls.
Пусть на исходном изображении (в данном случае на локальном микроизображении, скажем, в окрестности "це1 ¡0)1, 02, ■■■ ¡ол) определен некоторый (в общем случае нелинейный) функционал
V = V (О , ¡1, ¡2, ■ , ¡л) (2)
(В частности, (2) может быть определен на каком-то подмножестве пространства микроизображения). Тр является ли (2) инвариантом относительно преобразований из группы Ls. При работе с экспериментальным м рассматриваем это подлежащее проверке предположение как теоретико-групповую "нулевую гипотезу". Для ре представим сначала систему оценок "внутренних ракурсов" для (2) в форме
VL = VL ^ , О , ¡1, ¡2, ■■■ , ¡Л)
(3)
т.е в (3) исходное микроизображение, как и в (1), сначала подвергается действию всех операторов д из группы Л и, таким образом, "расслаивается", на "систему внутренних ракурсов" V., а затем V может быть вычислено либо формуле (2), либо по ее модификации, когда изображение О заменено нетривиальным "внутренним ракурсом"
V = V (д О, ¡1, ¡2, ■■■, ¡л) (4)
Будем считать разные "внутренние ракурсы" эквивалентными если для них равны оценки (2). Если все "раку эквивалентны, нулевая гипотеза не отвергается.
Степень отклонения от нулевой гипотезы может быть оценена с использованием "мер различия", сконструироЕ известных статистических критериев [11], так и на основе "неклассических статистик" нелинейного обратного про
В общем случае V в (2) осуществляет описание некоторой "множественной структуры", которая представ одним-единственным скалярным инвариантом. В частности, такой подход актуален при диагностических физических полей (векторных, тензорных и пр.), в том случае, когда их исходные информационные образы сил когда разнородные поля наложены друг на друга. При описании физических полей V в (2) интерпретирует предполагаемых локальных инвариантов для какой-то структуры, например, для многомерной матрицы (элеме точке ¡1, ¡2, ■■■ ¡л, причем статистическая оценка для каждого предполагаемого инварианта из данного набора по отдельности.
Возможны многослойные "структурные поля", в которых инварианты слоя заданы параметрически, а инвариа "близки" друг к другу, причем переходы между ними осуществляются операторами определенной транзитивно примера скалярного структурного поля можно привести отдельный слой с глубиной залегания г в томосин реконструктивных методах (например, в нелинейном томосинтезе [1, 2] и различных других вариантах малора наиболее важны дифференциальные инварианты, а в рамках "геометрии в малом" именно с ними и приходится
При статистической проверке нулевой гипотезы о существования инварианта и для оценки степени отклонения зашумленному информационному образу объекта уместно использование "мер различия" одновременно "внутренних ракурсов", тогда как для оценки самих инвариантов - "мер сходства" (как в нелинейном томос оценки "дифференциальных инвариантов" в рамках "геометрии в малом" возможно использование и тех, и други
Картановские геометрии и методы статистической реконструкции изображений с локальной группой Ль
Осуществляя теоретико-групповую классификацию разнородных геометрий, Ф. Клейн [9] ставил следующ' многообразие и заданная в нем группа преобразований; требуется найти в многообразии те принадлеж свойства которых при преобразованиях из данной группы не меняются" ([9], стр. 34). И еще одна з исследований): "Имеется многообразие и заданная в нем группа преобразований. Развивают соответствую теорию инвариантов" ([9], стр. 35). Наиболее последовательно эти установки стали реализоваться, начин; столетия, в особенности в цикле работ Эли Картана 1922-1925 гг. [10]. Этим исследованиям способ обстоятельство, что за прошедшие полвека обнаружились недостатки и в самом подходе Клейна к классифи (Некоторые из римановых пространств обладают лишь тривиальной группой движений). Определенная у выраженной в "Эрлангенской программе", была преодолена Э.Картаном, развившим понятие о таком прос теоретико-групповые преобразования задаются лишь в бесконечно малых областях. Он соединил с одной стор< другой - идеи Ли и Клейна. Т.н. в-пространство Клейна (т.е. множество М вместе с действующей на нем груг G) было Картаном модифицировано.
Воспроизведем основные, достигнутые в этом синтезе позиции, не касаясь деталей. Пусть для некоторого мно1 некоторая "локальная группа" G отображений, иначе говоря, совокупность отображений областей этого много! соседние области, удовлетворяющая аксиомам теории групп. Тогда некоторый геометрический образ эквивалентным (или "равным") геометрическому образу в, если в группе в существует оператор, переводящи возможных высказываний о таких свойствах геометрических образов (и о таких величинах), которые явля1 относительно всех преобразований группы в называют геометрией группы в. Естественно, для ло( геометрические образы рассматриваются "в малом".
Обсудим статистический теоретико-групповой подход к решению обратных реконструктивных задач с по геометрии. В роли структурной группы в в статистической модели, выступает гипотетическая локальная многообразия М выбрано исходное многообразие у в конфигурационном пространстве Sc. Иначе говоря, у эт риманово пространство, для которого справедливы все соображения "геометрии в малом". "Геометричес локальном подходе являлась бесконечно малая окрестность точки с координатами ¡1, ¡2, ■■■, ¡Л в многомерном
Прежде всего рассмотрим первую из задач, поставленных Клейном (т.е. отыскать в многообразии у такие ф| меняются при преобразованиях из группы Ls). Для этого адекватен такой инструмент, как неотрицательная и формальным критерием (1) для выделения из у таких бесконечно малых участков, в которых условия Кле
осуществляется при Ф = 0, тогда как при Ф > 0 эти условия нарушены. Таким образом, вычисление меры Ф по больше, чем требуется для проверки условия Клейна, что важно для дальнейшего.
Выделяются не только участки с "геометрией группы Lg", но в других участках многообразия у на основе м отклонения от этой "геометрии". Кроме того, решение задачи Клейна алгоритмизируется (и. может осуществлять
В силу этих обстоятельств мера типа (1) является не только полезным концептуальным инструментом, но практическим инструментом. В частности, ее пригодность для формирования "вторичных изображений" на ос локальных симметрий обеспечивает ее применимость в различных областях РВД и ОИ даже в ее нестатистич слабой зашумленности исходных изображений). Прежде всего это касается морфологического анал распознавания образов. Вообще же детерминистская по форме нелинейная мера типа (1), является "квазистатистической", иначе говоря, она работает на переходной стадии от детерминистского описания объ статистическому и является прототипом для формирования разнообразных уже явно статистических оценок F рамках "мягких" статистических моделей.
Введение (1) сразу же вносит в теоретическую модель аспекты, чуждые "чистой геометрии". Во-первых, мне здесь "непредсказуемым". (Оно не является, например, "многообразием с постоянной кривизной" или "многооб| изменением кривизны"). Многообразие у с заданной на нем гипотетической группой Lg не является ни "G-пр! ни "геометрией группы G" Картана. Оно было бы таким при тривиальном условии Ф = 0 во всей его области оп проявлены существенно информационные аспекты т.е, у является источником и носителем информации, кот проверке гипотез и формировании "вторичного изображения" согласно (1). Можно сказать, что в "многообразии "текст" вместе с ключом для его расшифровки. Расшифрованным текстом является "вторичное изображение" (1)
В многообразии у может содержаться множество "текстов", которые "расшифровываются" разными клк информационными неизбежно появляются и существенно статистические аспекты у. Изображение (1) в этом > образом заменяется полем статистических оценок (5), причем для построения явных статистических оценок F ( Ли Lg заменяются представляющими их конечными группами Lfin,
F (Ь, &, -, Л = F {Lfn Io (П1, П2, -, Пл )} (5)
Проверка гипотезы для каждого элемента "вторичного изображения" F fa, ■■■, Л осуществляется в с евклидовом касательном пространстве ("в малом"), причем изначально не вводится каких-либо предположений такими пространствами, поэтому результат проверки непредсказуем заранее. Группа G меняется при переход изображения к другому и, вообще говоря, "геометрия группы G" для каждого "евклидового в малом" пространств
"Жесткое" осуществление проверки условий Клейна на основе (1), т.е. требование точного соблюдени неэффективно в практическом плане. (В этом случае выделяемые из у на основе группы Lg структуры попаду ноль"). Здесь уместно и естественно некоторое "размытие" условия Ф = 0, что осуществляется при использо оценок (5). Конечно, для "чистой геометрии" это нехарактерно. Статистически выявляющиеся взаимодействи субструктурами объекта контроля дают возможность сделать некоторые выводы о его информационном образе у). В нем появляется "связность", но уже не детерминисткой природы (скажем "линейная связность"), а статис"
В дальнейшем формулы (1) и (5) служат прототипами для формирования разнообразных явно статистиче! говоря, трудно провести четкую демаркационную линию между случайным и детерминированным. Одним и те ж оценки выпуклого проецирования и нелинейного обратного проецирования [1, 2] могут интерпр детерминированные и как статистические.
Методы статистической оценки систем локальных микроизображений, порождаемых операторам локальной микрообласти исследуемого изображения
Для оценок F систем теоретико-групповых образов ("внутренних ракурсов") микрообласти, порождаемых опе используется арсенал теории оценок классической математической статистики [11], а также "неклассические всего аппарат оценок нелинейного обратного проецирования [1-3], развитый для целей "нелинейного томосинте как множественные меры сходства и меры различия. На практике более востребованы меры различия, что природой дифференциально-геометрического подхода, в рамках которого многие характеристики объ оцениваются "с точностью до произвольной постоянной". В особенности, это характерно для задач ВТ с малы визуализации объекта типа "стена" и т.п.).
Для построения явных статистических оценок F за исходный пункт берутся формы (1) или же (3), в которых ф видоизменяются путем представления в них группы Ли Ls некоторой конечной группой Lf¡n, Для исходного изоб| Пл) в локальной области с центральным элементом £1, £2, — £л строится система К|_ "внутренних ракурсов" Rk (
порядок конечной группы индекс к пробегает диапазон значений к = 1..... К_, а £1, £2, — £л - локг
микрообласти, определенные как
£к = Пк, - £к (6),
где гц, П2.....Пл - "бегущие" глобальные координаты, являющиеся аргументами 10 (ГЦ, П2.....Пл), аналогичны
— , £д, используемым для параметризации локальной области При этом
Rk (Ч, ■■■, £л) = дк (£1, £2, ■■■ £л) О (П1, П2, ■■■, Пл ) (7)
т.е каждый из "внутренних ракурсов" получается путем действия параметрически определенного в точке £1, £2, группы Lfi„,
Наиболее простыми по структуре являются покомпонентные (в общем случае нелинейные) статистические оц т.е., по отдельности для каждого многомерного вектора (¿i, ¿2, ■■■ ¿л) из рассматриваемой локальной обл
статистическая оценка для микрообласти (определяемой элементом ¡1, ¡2, ■■■ ¡л) представляется в виде фу случае нелинейного) от покомпонентных оценок т.е.
F (¡1, ¡2, ■ ■„ ¡л) = F Рк (£1, ¿2, £Л)} (8)
(аргументом функционала является вся совокупность Рк для диапазона значений к = 1, ..,, ^ в правой части (8)
Широкий класс оценок строится в форме усреднений по группе Lfin, причем наиболее традиционной из н линейное усреднение
Нипа/ (£1, £2, ■■■, £л) = (1/К1) Тк Рк (£1, £2, ■■■, £л) (9)
По оценке (9) вычисляется и покомпонентная дисперсия.
Fdls (£1, £2, ■ ., £л) = D R = (1/К1) Тк (Рк - Ннпа/)2
(10),
где R = рк (£1, £2, ■■■, £/)} - совокупность локальных "внутренних ракурсов". Линйное усреднение (9 покомпонетной "мерой сходства", а (10) - покомпонетной "мерой различия".
При решении на статистической основе вопросов о "существовании" инвариантов (2) квадратичные оценки ти многих случаях полезными в качестве "строительных блоков" для конструирования различных критери адаптируются для данной цели и классические техники математической статистики [11] (прежде всего "Хи-1 дисперсионный анализ Р.Фишера). Для этого, однако, приходится делать предположения о "нормал "равномерности") распределений тех шумов, на фоне которых оценивается инвариант. Это далеко не всегда от шумы существенный вклад вносят "осколки" от вполне детерминистких структур (описываемых своими группа образующиеся при преобразовании исходного информационного образа О операторами из чуждой этим структ Lf|n)^
Инварианты, вычисляемые согласно (2) является неточными, даже если их существование не отвергается при п их существовании с каким-то определенным уровнем значимости. Они могут быть вычислены с большей точно! аргумента в (2) использовать не отдельный "ракурс" (например, О), а (9), но только при справедливос "нормальности" закона распределения для шумов. По указанным выше причинам это часто не оправдываепся.
Как уже говорилось, вычисляемые в окрестности ¡1, ¡2, ■■■ ¡л неточные инварианты могут представлять со Их уточнение возможно при взаимном наложении системы "внутренних ракурсов" и применению к ним пок аналогичным оценкам нелинейного обратного проецирования в томосинтезе [1-4]. По своему смыслу это нел по группе. Формально техника нелинейного обратного проецирования лишь незначительно изменяется и "изомо задач томосинтеза на задачи реконструкции изображений с локальной группой Ли.
Задача реконструкции отдельного слоя в томосинтезе может рассматриваться как осуществление "( представляющими собой аддитивные неотрицательные добавки в проекционные ракурсы от других слоев. адекватно решена на основе (9). Кратко рассмотрим некоторые из статистических оценок, часто применя томосинтезе, сразу же переводя их на язык ОИ с локальной группой. Для "метода минимальных проекций" [1-4]
Нт1п (£1, £2, ■■■, £л) = тип к Рк (£1, £2, ■■■, £л)} (11)
(при пробегании индексом к значений к = 1,■.,, К¡}. Аналогично для порядковых статистик
Hord (к) (£1 £2, £Л ) = S к {Рк (£Ь £2, £Л)}
(12)
Для нелинейных усреднений имеем
Г {Н (£1, £2, ■ , £л)} = (1/К1) Тк Г {Рк}
(13),
где Г {Р} монотонная, неотрицательная функция, так что нелинейное уравнение (13) разрешимо относите обратное преобразование Р-1 (например, Р есть среднее геометрическое при Р(Р) = 1пР, среднее гармоничес т.д.). Уместно рассматривать операторы Р(Р) как класс биекций [0,1]^[0,1] - группу нелинейных преобразова качестве групповой операции и функции тождества Р(Р) = Р в качестве единичного элемента группы. В это возрастающие функции Р(Р) могут интерпретироваться как распределения вероятностей.
Техника нелинейных усреднений (1- 3) позволяет при оценке теоретико-групповых инвариантов (2) работать с неклассическими оценками решений интегральных и функциональных уравнений (оценками нел проецирования, выпуклого проецирования [1, 2] и др.), но пригодна также для гибкой адаптации богатого на математической статистики к новым проблемам теоретико-групповой реконструкции, "смысловой фильтрации" и ними более старым, но всегда актуальным задачам (выделение сигнала на фоне шума, распознавание образов
Традиционной задачей РВД является выявление аномалий на фоне устойчивой нормы. Теоретико-группс (как системы инвариантов) весьма естественно.
Среди арсенала инструментов статистических выводов, развитых в математической статистике за последнее целей могут быть использованы методы многомерного статистического анализа, прежде всего факторного а осуществляется снижение размерности пространства наблюдаемых величин путем линейного проецирс факторного анализа для целей вычислительной диагностики интересны дискриминантный анализ, предложенны г. и дисперсионный анализ, предложенный им же в 1925 г.
Дисперсионный анализ адекватен для выявления свойств целостных объектов, что характерно также для стру теории групп, поэтому он хорошо гармонирует с ними. Кроме того, он хорошо согласуется с идеологией "геометр
Вернемся к задаче проверки "нулевой гипотезы" о том, является ли (2) инвариантом относительно преобразов явно статистической постановке этой задачи группу Ли Ls заменяем конечной группой Lfin. Будем проверят схемы дисперсионного анализа ("в конечном малом"), причем оператор дк (£1, £2, ■■■ £л) из группы Lf¡n рассм; предположительно влияющий на значения функционала V (О, П1, П2, ■■■, Пл)- При этом в локальной облас "внутренних ракурсов" (к = 1,■.,, Ко). Функционал V будет зависеть от индекса к т.е.
^к (П1, П2, ■■-, Пл) = V (дк О, П1, П2, ■■■, Пл) (14)
В соответствии с основными предпосылками дисперсионного анализа предполагаем, что V является "линеаризованной") функцией координат щ, П2, ■■■, Пл.
Исходное изображение О (Пь П2, ■■■, Пл) в локальной области "расслаивается" на К "ракурсов" (в терминол анализа - "групп") Rk (£1, £2, ■■■ £л) для которых необходимо вычислить "межгрупповую" и "общую внутригруппо осуществления этого необходима дискретизация локальной многомерной области по координатам. Необходим (целые числа) локальной зоны - Wzone и общей системы "ракурсов": Wcomm = Ко Wzone. В зависимости от х можно сделать разными способами. Естественным является представление локальной зоны в форме мн полушириной О. Тогда Wzone = (2Q + 1)л, а Wcomm = К1 (2О + 1)л.
Для осушествления процедуры дисперсионного анализа вычисляем выборочные средние по ракурсам совокупности ракурсов Rmean, "межгрупповую дисперсию" Dinter и "общую дисперсию" по совокупности ракурсов
Rmean, к = I I Rk, I 1 ■■■, (15)
Суммирование в (15) проводится в "локальной области" ("зоне") по многомерному индексу I = (11, 12, ■■,, 1л). Ве значением ракурса Rk в точке I. Величина Л£2> ■■,, представляет собой "элементарный объем ячейки" при
Rmean = (1/КО I к Rk, I (16)
Dinter = (1/ (Ко-1)) I к ^ап, к - Rmean) 2 (17)
0э
Т.е. уместно вычислять (17) как "несмещенную" оценку. Дисперсия в отдельном ракурсе может быть вычислена I
D к = (1^опв) I I ^к, I - Rmean, к) 2 ■■■, (18)
Для общей дисперсии имеем
Dcomm = (1М/ттт) 11, к ^к, I - Rmean) 2 ■■■, (19)
Нулевую гипотезу о инвариантности (2) относительно действия всей совокупности операторов дк (£1, £2, проверяем путем сравнения дисперсий (17) и (19). Если дисперсионое отношение
F = Dinter / Dcomm
(20)
значимо отклоняется от единицы, то гипотеза отвергается.
Сам по себе критерий (20) полезно обратить в статистическую оценку - "меру различия" образов. Исходя нетрудно осознать насущную потребность РВД в разработке нелинейных "мер различия" типа (20) концептуальными достоинствами классического дисперсионного анализа, но освобожденного от его практически
Перспективы теоретико-группового подхода к развитию современных и более эффективных аналогов м математической статистики обнадеживающие, поскольку при реконструкции изображений реальные нелинейые изображениях (даже самые "дикие" из них) могут быть описаны теоретико-групповыми преобразования "структурными факторами", с которыми можно работать статистическими методами. Таким образом, и "пред информационных образов (например, рентгеновских проекций в ВТ) и базовая реконструкция могут осуществля и того же унифицированного подхода.
Основные результаты в развитии теоретико-групповых статистических методов решения реконс Перспективы применения данного класса методов.
Особенность структурно-ориентированного подхода к описанию и реконструкции объектов в том, что систематически проводится сближение теоретико-групповых методов с методами математической статистики. Н пор в приложениях теории групп (гл. образом в теоретической физике) основным инструментом была теория линейными операторами.
К настоящему моменту на основе теоретико-групповых статистических методов решены уже многие реконст| Среди них контроль строительных конструкций [6], визуализация зон формирования трещин в сварных швах диагностика флуктуаций плотности урана в ТВЭЛах ядерных реакторов и др. Решаются также некоторые зад; диагностики произведений искусства (главным образом, памятников архитектуры). Приложения данных реконс НК неоднократно обсуждались в печати См. [5-8, 12]). Ограниченный объем данной статьи не позволяет включ новые прикладные результаты. Естественно, они будут последовательно представлены в дальнейших публикац не затронуты также активно развиваемые авторами теоретико-групповые статистические методы реконстру! частот" и в других функциональных пространствах.
Первые из практических результатов по теоретико-групповым статистическим методам достигнуты в рамках научно-исследовательских программ: 1). Программа разработки новых методов контроля строительных конструк "Федеральным институтом по контролю и исследованию материалов" ("БАМ", Берлин) при технической поддер Europe" (Дюссельдорф). [6]; 2) Исследовательская программа "БАМ" совместно с несколькими немецкими инс ассоциацией электростанций по развитию методов неразрушающего радиационного контроля и диагностики к электростанций [8, 12].
В настоящее время позитивный опыт, накопленный при решении проблем радиационного контроля с при групповых реконструктивных методов [5-8, 12], переносится на решения задач медицинской диагностики ( кардиологии [13-15]). Для этой цели разрабатывается адекватное программное обеспечение. Ведется стробоскопическими вариантами теоретико-групповой реконструктивной диагностики для томографической ви фазовом времени, в которой режим стробирования - "кардиограммно-управляемый" т.е. задается естественны сердца пациента [16-18].
Потенциальная сфера приложений теоретико-групповых реконструктивных методов очень широка и в дан очертить ее границы. Перечислим лишь некоторые из возможных областей ее применения в ближай математическая физика, медицина, обработка спутниковой информации, космическая геологоразведка, геоф синтетическая компьютерная психология, интеллектуальные информационные технологии (ИИТ) и пр. Опыт реконструктивных методов в НК может быть с относительной легкостью перенесен на решение таких задач комп как исследование "отклоняющегося поведения" (deviant behavior) людей, животных, разнообразных "чело1 "големов" и пр.. Весьма естественным является их применение в эргономике (называемой в западных страна совершенствования внутреннего языка различных "операциональных структур" (включая "эргатические" системы). В особенности они полезны на этапе перекодировки сигналов, идущих от технической компоненты управления" (т.е. к человеку-оператору) в целостный образ "объекта управления". Преимущества та информации заложены уже в самом структурном подходе, в рамках которого оптимальная "эрг ("операциональная структура") представляеи собой целостность, для которой характерно "субъект-объектное ед
Вообще же, структурный теоретико-групповой подход наиболее удобен не только для переключения аспектов (с системе, "гештальтов", если речь идет о человеческом сознании), но и для двустороннего неполного "переЕ синтетического уровня на аналитический и обратно). В силу этого применение теоретико-групповых статисти уместно в любых ИИТ с "феноменологическим" уклоном т.е. там, где осуществляется "визуализация прагмати человека-оператора. (В частности, такими ИИТ являются структурно-ориентированные системы дефектоскоп осуществляя для человека-оператора "неполный перевод" информации с аналитического уровня на синтетичес от массы рутинной работы, резко повышает продуктивность его деятельности и дает ему возможность "быть н ситуациях - принимать мгновенные эффективные решения и пр. Легко видеть, что в этом случае служебные фу отношениях смыкаются с аналогичными функциями "искусственного интеллекта". (Что касается "окончател принимаются самим человеком на синтетическом уровне). Нетрудно предсказать возрастание потребности в такого рода в ближайшем будущем. Нет сомнений также в перспективности встраивания теоретико-групг процедур РВД в родственные им системы ИИ. Принципы структурно-ориентированной РВД способны повлия подходы к разработке моделей ИИ т.к. и в том, и в другом случае основным ресурсом повышения их эфф алгоритмизация некоторых паттернов человеческого синтетического мышления.
Несмотря на эти возможности, традиционной и основной областью приложений данных методов РВД остае интроскопия" (включающая в себя НК и медицинскую диагностику).
Авторы благодарят д-ра М. Калинга (Fuji Film Europe), а также проф. У. Эверта и проф. У. Шерпеля (Bundesanstalt
für Materialforschung und -prüfung (BAM-Berlin)) за неоценимую помощь в экспериментальной части исследований по развитию теоретико-групповых реконструктивных методов.
Библиографический список
1. Baranov V.A. A Variational Approach to Non-Linear Backprojection // "Computerized Tomography", coll. of papers, Editor-in-Chief: M.M.Lavrent'ev, 1995 Utrecht, the Netherlands, pp. 82-97.
2. Baranov V.A. Convex projections reconstruction on the basis of non-linear backprojection techniques // In coll. of | Symposium on Computerized Tomography for Industrial Applications, Berlin, 1994, pp. 88-95.
3. Ewert U., Baranov V., Borchard K. Cross-sectional imaging of building elements by new non-linear tomosynthesis te plates and 60Co radiation" // NDT & E International, 1997 Elsevier Science Ltd., Vol. 30, № 4, pp. 243-248.
4. Baranov V.A.., Ewert U., Kroning H.-M., Brazovsky W.W., Uchaikina E.S., Kuleshov V.K. Nonliinear Backprojec Nondestructive Testing Methods // Russian Journal of Nondestructive Testing, 2011, Vol. 47, № 10, pp 696-700.
5. Baranov V.A.., Ewert U. The Statistical Group-Theoretical Method for Ttreatment of the Notion of Defect , Nondestructive Testing, 2011, Vol. 47, № 10, pp 707-709.
6. Baranov V.A.., Ewert U. Methods of Statistical Spatial Filtering of Images on the Basis of Local Group of Trans Journal of Nondestructive Testing, 2012, Vol 48. № 2, pp 123-128
7. Baranov V.A.., Ewert U. Symmetrical Aspects of the Causality Principle in Statistical Group-Theiretical Image-Rec Russian Journal of Nondestructive Testing, 2012, Vol 48. № 3, pp 187-190
8. Baranov V.A.., Ewert U., Redmer B., Kroening H.M. Quasi-Tomograpic Visualization of Crack-Formation Zone Projections Methods // Russian Journal of Nondestructive Testing, 2012, Vol 48. № 4, pp 245-249.
9. Klein F. Das Erlanger Programm // Ostwalds Klassiker der exacten Wissenschaften, Akademische Verlagsgesellsch G., Leipzig, 1974.
10. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения // М.: Наук физико-математической литературы, 1979. - 760 с.
11. Крамер Г. Математические методы статистики // Пер. с англ., М: Мир, 1976. - 648 с.
12. Баранов В.А., Эверт У. Теоретико-групповой статистический подход к распознаванию и реконструкции "см объектах контроля // Контроль, Диагностика 2013, № 13, стр. 127-133.
13. Шкарин В.В. Прогресс и проблема современного этапа компьютерного анализа электрокардиограм (Электронный ресурс) . URL: http://www.diamant.spb.ru (дата обращения: 11.05.2012)
14. D.Avdeeva, I.Lezhnina, P.Penkov, Y.Sadovnikov, A., Uvarov, S.Rybalka, O.Vylegzhanin, S.Demjanov, I.Maksimi nanoelectrodes usr in electrocardiographic research. The 6th International Conference on Bioinformatics and Bi (iCBBE 2012), Китай, Шанхай. V3 Biomedical Engineering. Biomedical Devices and Artificial Organs. P.263. Prodi Conference Publishing (Электронный ресурс). URL: http://www.ieee.org/conferencepublishing (дата обращения: 11J
15. Авдеева Д.К., Рыбалка С.А., Южаков М.М. Разработка метода измерения широкополосных сигнало микровольтового уровня для электрофизиологических исследований // Международный журнал прикладных исследований. - 2012. - 11.-.С.37-38.
16. Баранов В.А., Д.К. Авдеева Д.К., И.А. Лежнина И.А., Уваров А.А. Системы реконструктивной медици управлением регистрации исходных данных биологическими ритмами человека // Контроль, Диагностика 2012, стр. 88-94.
17. Баранов В.А., Авдеева Д.К., Пеньков П.Г., Южаков М.М., Максимов И.В., Балахонова М.В. Стробоскс групповые методы реконструктивной вычислительной диагностики эволюционирующих объектов // Контроль, Д 13, стр. 146-153.
18. Баранов В.А., Авдеева Д.К., Пеньков П.Г., Южаков М.М., Максиимов И.В, Балахонова М.В., Григорьев М.Г. ( обратным задачам диагностики в кардиологии // Современные проблемы науки и образования. - 20 http://www.science-education.ru/113-11343 (дата обращения: 25.12.2013).
16+
Реклама на INNOV.RU Партнеры История компании О компании Услуги Создать сайт Стена памяти Поиск
© 1996-2017 INNOV.RU (Иннов.ру) - информационное агентство, ООО «Иннов». * - правила пользования
