Методы синтеза оптимальных многозначных функций Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 517. 958:539. 3(1)

МЕТОДЫ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ

Норматов Иброх,имали Холмаматович Научно-инновационный центр информационно-коммуникационных технологий при ТУИТ имени Мухаммада ал-Хоразми, ф-м.ф.д., профессор, ibragim _normatov @mail.ru,_+998977210920

Норматов Азиз Мухамматризоевич НамИСИ, укитувчи, azizbeknormatov0109@gmail.com +998939259735

Аннотация. В работе предлагается рассмотрение отдельных эвристик как ненадежно работающих частей системы переработки информации. В отдельном случае для решения одной и той же задачи принимается несколько различных эвристик, и полученные результаты определенным образом корректируются. При этом возникают задачи, близкие по методологии к задачам синтеза надежных схем из ненадежных элементов или принятия коллективного экспертного решения. В работе решается задача построения оптимальной корректирующей функции по контрольному материалу. Подробно исследуются классы функций к — значной логики при определенных ограничениях.

Annotation. The paper proposes to consider individual heuristics as unreliable parts of the information processing system. In a separate case, several different heuristics are adopted to solve the same problem, and the results obtained are corrected in a certain way. In this case, problems arise that are close in methodology to the problems of synthesizing reliable circuits from unreliable elements or making a collective expert decision. This work solves the problem of constructing an optimal corrective function for a control material. Classes of functions of value logic are investigated in detail under certain restrictions.

Ключевые слова: к-значная логика, квазисравнимый, максимальный, минимальный набор, алгоритм, синтез, корректирующая функция, монотонная функция множество, структура, максимальный, минимальный элемент.

Keywords. k-valued logic, quasi-comparable, maximum, minimum set, algorithm, synthesis, correcting function, monotone function set, structure, maximum, minimum element.

В работе решается задача построения оптимальной корректирующей функции по контрольному материалу; подробно исследуются классы функций к значной логики, удовлетворяющие ограничениям I-сохранения заданных множеств и II- условия монотонности.

Постановка задачи корректирующих функций к — значной логики

Рассмотрим Р]П — множество всех функции к — значной логики из множества S = [0,1,...,k — 1].

Рассмотрим также совокупность подмножеств L1,L2,...,Lt множества S. Говорят, что семейство [ f ] функций к — значной логики сохраняет совокупность L, если из условия at е L;, i = 1,n , следует, что f (аг,а2,...,аи)еL., j = 1,t. В дальнейшем в качестве [ f ] будем рассматривать множество функции к — значной логики, сохраняющих

L =[[0],..., [к — 1] ,[0,1],..., [0,* — 1]].

Пусть на множестве £ задан частичный порядок:

О < 1,0 < 2,...,0 < £-1. (1)

В множестве ¿"'-наборов а = (а1,а2,...,ап), а, е [0,1,...,А:-1] порядок (1) индуцирует частичный порядок:

Р = {(3х,(32,...,(3п)<у = {ух,у2,...,уп), (2)

если Д < yi по (1), г = 1, п.

Пусть заданы совокупность задач [ 2 ], алгоритмов [А] для решения задач [2 ], множество [К (2)] решений задач и множество [К (2)] решений 2 при помощи алгоритмов из [А]. При этом не обязательно, чтобы К (2) = К(2) . Последнее высказывание эквивалентно утверждению, что алгоритмы [А] являются эвристическими или некорректными. Рассмотрим оператор ¥ с областью определения (2')] и областью значений Другими словами, ¥ переводит

решения задачи 7, полученные алгоритмами А1,А2,...Ат, в элемент множества ,

который также называется решением для 7. Качество коррекции определяется расстоянием между множествами и Цт?^)]. Расстояние могут задаваться

различными способами, что приводит к различным математическим задачам. Очевидно, основной является проблема построения оптимального корректора ¥, то есть, корректора, минимизирующего указанное выше расстояние [1-6]. Для решения этой задачи необходима задание некоторой информации J (2) о задачах из [ 2 ], предъявляемых к решению. Кроме того, необходимо точно указать, какая информация об эвристиках А будет использоваться. Такую информацию обозначим через J (А) .

Возможны варианты математических постановок. Заданы множества (2)],

и (А)] , [¥] - совокупность допустимых корректоров, и определен функционал у качества корректировки.

1. Указать алгоритмы А1,А2,...Ат и корректор ¥, на которых реализуется нижняя грань функционала качества.

2. При заданных эвристиках А1,А2,...Ат найти минимизирующий корректор ¥ .

В данной статье рассматривается вторая задача, а также некоторые обобщения, занимающие промежуточные положения между первой и второй задачами. Построение оптимальных корректоров при ограничениях, не связанных с понятием

монотонности

Рассмотрим специальный вид функционалов качества корректировки - линейные функционалы качества. Пусть предикат Р(£) = а и некорректные алгоритмы А1,А2,...,Ап

вычислили Р(£) равным соответственно ааи ¥(а,а2,...,аи) = Д . Очевидно, что ае[1,...,к -1] и а, Д е [0,1,..., к -1], г = 1,п .

Линейный функционал качества (р( х, у) определяется матрицей штрафов. Величина штрафа есть функция от истинного значения Р (£) и от значения предиката, вычисленного корректором. При правильной коррекции на объекте £ штраф равен нулю,

при неправильной коррекции величина штрафа определяется по таблице 1.

Таблица 1

0 1 к-1

1 0 йн

¿-1 Фк-10 %-И 0

Все величины в таблице не отрицательны.

Кроме того, обычно <Рм=^, г, j = 1, к -1. Наиболее часто употребляются следующие виды штрафных таблиц:

а) <Рц = 1 <Рг о = 0,5 ^ j = 1 к -1;

б) (рг] = 1, (рг° = о, к -1 г, j = 1, к -1, г ф j.

Пусть контрольный материал образует объекты ^,,...,£ для которых заранее

вычислено свойство Р и Р () = Ц, г = 1, Я .

Пусть Л = {аг1заг2,где сг = ), / = 1,7. На множестве

рассмотрим класс функций к — значной логики. Для произвольной функции /(•*) класса о , заданной на множестве А , введем функционал, где

г Рг

пг =

X Т о(а:./(а:))

'=1 ]=Р1-1+1

здесь р° = 0.

Определение 1. Функционал п^ называется линейным функционалом качества.

При решении задачи синтеза оптимального корректора выбирается корректор (корректирующая функция), удовлетворяющий заданным ограничениям и оптимальный по линейному функционалу качества.

Таблица 2

|| к ИС^А ХА ^БАРЛА! Р II

а1 Ч 2 ап ач

Пусть па — тш . Представляет интерес следующая задача Жст : построить не

всюду определенную функцию из класса а по заданной таблице 3

некорректных алгоритмов таким образом, чтобы п — па .

Для решения задач оптимальной корректировки существенно знание комбинаторных характеристик <7;, I — 1,2,3. К ряду таких важнейших характеристик относится число функций, зависящих от переменных х, X ,..., X и принадлежащих соответствующим классам, и число элементарных шагов, необходимых для полной расшифровки функций [2-6].

В настоящей главе решаются задачи Ж ,...,Ж расшифровки, а также строятся

оценки числа функций классов <т1,<т0, сг,.

Алгоритм при отсутствии ограничений. Для всех е А вычисляем функционал

{Д Д Р1 1

к— Е (р{а,,0),г1— 2 (р{а,,1)-гк-1— 2 (р{а,,к-1),г

;=д-1+1 ¡=р,-1+1 у=д-1+1 ]

(смотрите таблицу 3). Определим значение на наборе а1.: если г0 ^ ^

к-1

то,

положив V — тт I к

( ^ К-1)

можно

допустить g{cci) = p\ если у = г р е [0,1,...,£-1], (<? (а )> полагается равным одному из индексов р таких, что на гр реализуется минимум величины V).

Построение оптимальных монотонных корректоров

Даются методы построения не всюду определенных корректирующих функций, оптимальных по линейному функционалу качества, для классов а2, <г3.

Рассмотрим множество А.

Пусть В ~ - совокупность всех наборов из А, сравнимых с а е £/

и

{В ~}- семейство всех множеств В~. В {В~} выделим набор всех

ОС ОС ОС ОС ОС

множеств А ~ , для которых не существует В ~ из {В ~} такого, что {А ~ } с: {В ~ } . В {А ~}

ОС ОС ОС ОС ОС ОС

введем систему главных окрестностей.

Определение 2. Главной окрестностью первого порядка ^(^-,{^4-}) множества

А'~ в {А-} назовем совокупность всех множеств А'~ , таких, что А~ Г\А'~ ^ 0. а 1 а' ос ос ос

Пусть определена окрестность (р-1) - го порядка множества А^ в {А^}. Определение 3. Главной окрестностью р — го порядка £ множества

А^ в {А^} называется совокупность всех множеств А'^ из }, для которых выполнено одно из следующих условий:

ос ос ' а ^ ¿>-1ч а'1 а'

2.

р-1

А'- ^иА-, А'~ с:Ав где А= удовлетворяет первую условию.

ос /? ОС р

КИСКА ХАБАРЛАР

Определение 4. Система главных окрестностей $, $,..., конечна, если для некоторого р выполнено условие ^ (А~.,{А^~}) = $ +1(А^~,{А^~}) - для всех пар (А^,{А^}). Легко заметить, что в {А^} для всех А^ система окрестностей конечна.

При построении алгоритмов для корректирующих функций из 82 ,37 будем рассматривать попарно непересекающиеся главные окрестности $ ,$ ,...,$ такие, что

и =М~}и£ с5„ =...,1 = й

^ А 1 «' й-1 # й+1 Для произвольного А с А определим суммы

Рг

ГоА > Г1АГк-1А : ГаА' = ^ 2 РКгде [°,1,...,к-1].

аг :аг еА' У=Рн +1

Пусть Ь = {Ь1зЬ2,....,Ц}, Ц с $п, 1 = 1,г. Набор Ь соответствует набору а , если а = (а,а2,...,а) и а£[°,1,...,к-1], г=1,г.

Обоснование алгоритмов синтеза оптимальных корректоров

1. Функции заданные на множестве А при отсутствии ограничений, и функции из класса о, на каждом наборе из А определяются независимо от значений этих функций на остальных наборах из А . Поэтому при построении этих функций на основе таблицы 3 алгоритмы, строящие функции, вычисляют функционал качества на каждом наборе множества А независимо от значений функционала на других наборах. При этом на каждом наборе функция определяется таким образом, чтобы функционал был минимальным. Сумма минимальных значений функционалов на каждом наборе является функционалом, соответствующим построенной функции, оптимальной по линейному функционалу качества.

2. Функции, заданные на множестве А из классов о4 и о6 на каждом множестве

А наборов из А, содержащих р единиц, р2 двоек, ...,рк1 значений к-1,

определяются независимо от значений этих функций на остальных множествах А , р, р, , причем все эти множества попарно не пересекаются и / (х) = {а : / (х) е Ад ^ л ^ }, где

ае[°,1,..., к -1]. Поэтому при построении функций из этих классов алгоритмами Е и

значения функционала на каждом множестве А^ ^ л 1 вычисляются независимо от

значений функционала на других множествах. При этом в каждом множестве функция определяется таким образом, чтобы функционал был минимальным.

3. Пусть множество А разбито на окрестности • Функции класса сг2,

заданные на множестве А, определяются на каждом множестве §к = А^ независимо

от значений этих функций на остальных множествах , ^ ,..., ,..., $ ,..., $ , г = 1, г. Поэтому при построении этих функций на основе таблицы 3 алгоритм Е вычисляет значение функционала на каждом множестве , г = 1,2,..., г, независимо от функционала на других множествах .

Пусть [/] - множество всех функций / класса о2, заданных на . Покажем,

ч 1

что алгоритм F строит множество [f ]5 .

Пусть ^ = \А- А- ,,А- >, где Д. е£/и, и все наборы из А- с^А сравнимы с

I I Р\. И2 Рр ) Р]

Д, 7 = 1,2,...,р. Очевидно, функции / класса сг2, задаваемые на множестве А- 7 = 1,2,...,/? принимают значения из [ОД] или, [0,2],..., или [0,А;-1] в том случае, когда /(Д) = 1, или / ( Д ) = 2,..., / (Д ) = /с - 1 соответственно. Поэтому алгоритм строит функции на 8к , начиная с наборов Д,Д2,...,/Зр, причем /(Д) е [1,2,1], 7 = 1,р. Затем определяются значения функций на множествах А- А- ,...,А- и на них всевозможных пересечениях. Для любого а <е11 для которого

А Рг Рр

совокупность Аи всех наборов из А, сравнимых с а, не пуста, существует Д е|Д,Д2,...,Др| такой, что Ай Отсюда следует, что для построения функции на А-

достаточно знать значение этой функции на Д .

Пусть алгоритм вычислил значения функции /(л") на наборах Д, Д,...,Д,. Рассмотрим ={а]У,а]2,...,а]П^, 7=1,да'. Для каждого 7, / = 1,2,...,р алгоритм 1<'а индукцией по к, к = \,2,...,т' строит функцию / на П Атаким образом, что

/ (а) е |о, / (Д )|, где а е ¿Л П ^ . Очевидно, в процессе работы /(с?) = 0, если

./ (Д) ./(/>)- ' •• ./- ./< [1-2.....р]

Пусть / (х) е {такова, что /(ссг]) = Д,, ' = 1, 7 = 1? и ~~ множество

Рз

аеЛд П.'

" е такова, что / \аг] j = Д, 7 = 1, да', j = 1, да. и

всех последовательностей E наборов длины да' + 1, полученное применением алгоритма Е, к таблице 3. Покажем, что в [ Б ] существует последовательность

Е = \у,а ,а ,...,а

I / ' т1 5 т2 5 ' I ?

где

уеМ, а = (<х,,<х,,,...,<х 1, 7=1,да', аеЖ-, ёЛ Такая, что <5т = (Дл,Д2,..., Д,„7 = 1,7«'. Допустим противное. Положим ^(Д^Д^-.Д,,,), точнее, * Д, и Ду= 0.

Тогда, если Д, ^ 0 и = 0, существует наборы из М, сравнимые с ац е (А и соответствующие различным ненулевым координатам из у, или существует набор а е С/;, / е [1,2,...,да], который сравним с ег, и соответствует нулевой координате из «,т; . В случае, когда Д; = , аг] =82 (Д; = с>2, <^=<5,), все наборы, сравнимые с ег, и

следующие за , соответствуют координатам ^ (<5,) из наборов в Е. Последнее противоречить монотонности функции /. Полученное противоречие показывает, что

алгоритм Fa строит [ /] -множество всех функций / из о\, заданных в Sk . И так как

F выбирает из Г/1 такую g (х), для которой г = min г, то справедлива.

2 J'v<- ы

Теорема 1. Алгоритм F является оптимальным по таблице 2.

Доказательство оптимальности алгоритмов F исходит из определений.

Заключение

В настоящей работе исследовано совокупность корректоров из функционального замыкания. Выбор корректора произведено с помощью решения экстремальной задачи на контрольном множестве объектов: выбирается функция к-значной логики оптимально корректирующая значение предиката на конечном подмножестве объектов, для которых эти предикаты известны и известны результаты их вычислений алгоритмами.

ЛИТЕРАТУРА

1. E. V. Dyukova, Yu. I. Zhuravlev, P. A. Prokofjev, "Logical correctors in the problem of classification by precedents", Comput. Math. Math. Phys., 57:11 (2017), 1866-1886 (Scopus).

2. Kabulov A. V., Normatov I. H., Boltaev Sh, and Saymanov I. Logic method of classification of objects with non-joining classesa. Advancesin Mathematics: Scientific Journa 19 (2020), no.10, 8635-8646 ISSN: 1857-8365 (printed); 1857-8438 (electronic) https://doi.org/10.37418/amsj.9.10.89 (Scopus).

3. Kabulov A.V. and Normatov I.H. About problems of decoding and searching for the maximum upper zero of discrete monotone functions// - Journal of Physics Conference Series 1260(10):102006 - August 2019 DOI: 10.1088/1742-6596/1260/10/102006 pp. - 1-7 (Scopus).

4. .Kabulov A.V., Normatov I.H. and Ashurov A.O. Computational methods of minimization of multiple functions// - Journal of Physics Conference Series 1260(10):102007 - August 2019 DOI: 10.1088/1742-6596/1260/10/102007 pp. - 1-10 (Scopus).

5. Normatov I. H. Principle of independence of continuation of functions multivalued logic from coding// - Journal of Physics: Conference Series 1210(1):012107 May 2019 DOI: 10.1088/1742-6596/1210/1/012107 pp. 1-6 (Scopus).

6. Kabulov A.V., Normatov I.H., Kalandarov, Karimov A.A. Algorithmic Method of organization of Specialized Workshops// - I.I. Inter/Jour.IJARSET, Vol. 5. Issue 4. April, 2018. pp. 5670-5675 (05.00.00; №8) (IF = 6.126).

UDK 629.066

TISHLI G'lLDIRAKLARNI AVTOMATIK LOYIHALASH TIZIMIDA HISOBLASH

VA SINASH

Voxobov Rustamjon Abdumannob o'g'li.

Andijon mashinasozlik instituti assistenti. E-mail address: rvahobovuz@mail.ru. +99897 338-76-78

Annotatsiya: Maqolada plastik asosidagi tishli g'ildirakni hisoblash va virtual sinash ketma ketligi bayon qilingan bo'lib, kichik bir tishli g'ildirak misolida loyihalash ishlari va virtual sinov amalga oshirilgan. Virtual tarzda loyihalash va sinash uchun maxsus formulalar yordamida hisob ishlari bajarilgan va uch o'lchamli printer yordamida chop etilgan.

Аннотация: В статье описана последовательность расчета и виртуального испытания пластмассовой шестерни, а также проектирование и виртуальное испытание малогабаритного одинарного колеса. Расчеты выполнялись по специальным формулам виртуального проектирования и испытаний и распечатывались на трехмерном принтере.

Annotation: The article describes the sequence of calculation and virtual testing of a