CC BY
60
Ovil Aviation High Technologies
Vol. 20, No. 02, 2017
УДК 519.8
МЕТОДЫ «РОЕВОГО» ИНТЕЛЛЕКТА В ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ ПАРАМЕТРОВ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
А.В. ПАНТЕЛЕЕВ1, М.Д. ЕВДОКИМОВА1
1 Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет),
г. Москва, Россия
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 16-07-00419 А
Важным этапом процесса решения задач проектирования ракетно-космических и авиационных конструкций является осуществление расчетов по оптимизации их ключевых характеристик. В статье приведены результаты решения четырех прикладных задач условной оптимизации, связанных с проектированием различных технических систем: определения наилучших параметров сварной балки, сосуда высокого давления, редуктора, пружины. Целью каждой задачи является минимизация стоимости или веса конструкции. Целевые функции в практических задачах оптимизации представляют собой нелинейные функции с большим числом переменных и сложным рельефом поверхностей уровня. Поэтому применение классических методов поиска экстремума неэффективно. Возникает необходимость использования таких методов оптимизации, которые позволяют находить решение, близкое к оптимальному, за приемлемое время с наименьшими затратами вычислительных ресурсов. К таким методам относятся методы «роевого» интеллекта: метод, имитирующий спиральную динамику; метод, имитирующий поиск группой людей; метод стохастической диффузии, относящиеся к метаэвристическим. Методы «роевого» интеллекта сконструированы таким образом, что поиск точки экстремума производится популяцией (стаей), состоящей из агентов. Агенты (частицы) в ходе поиска точки экстремума обмениваются информацией, учитывают свой опыт, а также опыт лидера популяции и соседей, входящих в некоторую окрестность. Для решения перечисленных задач разработан комплекс программ, эффективность которого продемонстрирована результатами решения четырех прикладных задач. Каждая из рассмотренных прикладных задач оптимизации решена всеми тремя выбранными методами. Полученные численные результаты сравнимы с найденными методом частиц в стае. Приведены рекомендации по выбору параметров методов и значений функций штрафа, учитывающих выполнение ограничений типа неравенств.
Ключевые слова: «роевой» интеллект, методы оптимизации, глобальный экстремум, штрафная функция.
ВВЕДЕНИЕ
Важным этапом процесса решения задач проектирования ракетно-космических и авиационных конструкций является осуществление расчетов по оптимизации их ключевых характеристик. Целевые функции в практических задачах оптимизации представляют собой нелинейные функции с большим числом переменных и сложным рельефом поверхностей уровня. Поэтому применение классических методов поиска экстремума неэффективно. Возникает необходимость создания таких методов оптимизации, которые позволяют находить решение, близкое к оптимальному, за приемлемое время с наименьшими затратами вычислительных ресурсов. К таким методам принадлежат методы «роевого» интеллекта, относящиеся к метаэвристическим [1-3]. В статье рассмотрены три метода: метод, имитирующий спиральную динамику [4, 5]; метод стохастической диффузии [6]; метод, имитирующий поиск группой людей [7]. Рассматриваемые алгоритмы поиска условного глобального экстремума применимы к задачам оптимизации параметров различных технических систем. В статье рассматриваются четыре прикладные задачи, связанные с инженерной деятельностью, - задачи определения параметров сварной балки, сосуда высокого давления, редуктора и натяжной/компрессионной пружины [8, 9]. Применение методов «роевого интеллекта», разработанных для параллелепипедных ограничений, к данным задачам становится возможным в результате использования метода внешних штрафов, приводящего к задачам оптимизации вспомогательной функции при условии подбора параметров штрафа [10].
Vol. 20, No. 02, 2017
Ovil Aviation High Technologies
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Дана целевая функция f(x) = f,x2,...,xn), определенная на множестве допустимых решений D с Rn. Требуется найти условный глобальный минимум функции f (x) на множестве D, т. е. такую точку x* е D, что f(x*) = min f(x), где x = (x,x2,...,xB )T,
xeD n
D = {x| x e[a,b], i = 1,2,..., n}. Если в задаче имеются ограничения gJ(x) < 0, j = 1,..., m, проблема сводится к задаче поиска глобального минимума вспомогательной функции F(x,...,xH), полученной с помощью применения метода внешних штрафов:
m 2
F(x) = f (x) + ^ c^ max{0, gJ (x)} , где Cj - параметры штрафа.
j=i
СТРАТЕГИИ МЕТОДОВ «РОЕВОГО» ИНТЕЛЛЕКТА
Для решения задачи минимизации вспомогательной функции предлагается использовать три метода «роевого интеллекта».
Метод спиральной динамики (Spiral Dynamics Algorithm) имитирует движение частиц по логарифмической спирали [4, 5]. В начале работы метода случайным образом генерируется некоторый набор начальных точек (частиц) I = {xj = (xj, xj,..., xj )T, j = 1,..., NP} с D,
называемый популяцией, где xJ - частица с номером j, NP - количество частиц в популяции. Каждая частица является возможным решением оптимизационной задачи и задает начало спирали, из которого затем начнется движение к ее центру. Значение целевой функции f (x)
определяет положение частицы x = (xj,x2,...,xn)T на спирали. Чем меньше значение целевой функции, тем ближе частица к центру спирали. Метод спиральной динамики представляет собой итерационный процесс, на каждой итерации которого реализуется процедура улучшения текущей популяции путем движения каждой частицы по спирали. Каждая спираль при этом характеризуется постоянным углом поворота 9 и переменным радиусом r. Величина радиуса спирали выбирается из заданного отрезка [ rmin; rmax ] и зависит от величины целевой функции - чем меньше ее значение, тем меньше радиус спирали. Угол поворота 9 определяет вид матриц вращения Rj (9), i = 1,2,..., п, j = 1,2,..., п и оператора изменения текущего положения частицы
i=1
(9) = П П Rn-1,n+1-J (9)
V J=
Каждое новое положение частицы на спирали вычисляется с использованием информации о старом положении частицы xj ^), параметрах спирали и положении наилучшей частицы
~ best
в популяции x
л' (k +1) = ri • (0)л' (k) - [Sn (0) - En }xbest,
где k - номер итерации, £и- единичная матрица порядка n, j = 1,...,NP.
Метод стохастической диффузии (Stochastic Diffusion Search - SDS) является мультиа-гентным [6]. Процедура использует прямую связь между агентами, обеспечивающую поведение
Сivil Aviation High Technologies
Vol. 20, No. 02, 2017
всей совокупности агентов, характеризуемое как «роевой интеллект». Она включает две фазы. На первой фазе (фазе тестирования) каждый агент проверяет потенциальное решение проблемы, на второй фазе (фазе диффузии) агенты обмениваются информацией друг с другом. В начале поиска генерируется популяция из ЫР агентов (решений) на множестве Б с помощью равномерного закона распределения. Далее для всех решений находятся значения целевой функции. На фазе тестирования каждый агент х3 сравнивает величину целевой функции с другим, случайно выбранным из популяции. Если у него величина целевой функции /(х3) лучше (меньше), он получает статус «активный», а иначе - «неактивный». Если у агента х3 статус «активный», то реализуется интенсивный поиск в окрестности X. Если у агента х3 статус «неактивный», то случайным образом из популяции выбирается агент хк. Если агент хк имеет статус «активный», то новые координаты агента х 3 находятся в процессе поиска в окрестности агента хк. Если агент хк имеет статус «неактивный», то начинается процесс диверсификации. Новые координаты находятся по формуле
= а + ю • [[ - а ], ю ~ и[0; 1].
В конце второй фазы из всех агентов выбирается наилучший (решение хЬе^). На каждой итерации последовательно реализуются две фазы. Процедура завершается по достижении максимального числа итераций.
Метод, имитирующий поиск группой людей, моделирует поиск группой людей, использующих память, опыт, принятие решений в условиях неопределенности, взаимодействие друг с другом [7]. Направление поиска определяется эгоистическим поведением, альтруистическим поведением и профессиональным поведением. Величина шага определяется поведением при принятии решений в условиях неопределенности.
Все исследователи делятся на три подгруппы с номерами т = 1,2,3. Каждый исследователь (решение) характеризуется: г - номером итерации;' - номером в подгруппе;
т - номером подгруппы; положением хт'3 (г) = (х\''' (г),..., х^3 (г)) ; лучшей персональной позицией хт,3 (г) за г итераций; х™'^) (г) - наилучшим положением за три итерации
с номерами г, г — 1, г — 2; хтХ(3)(г) - наихудшим положением за три итерации с номерами
г, г—1, г — 2.
На начальной итерации генерируются N8 исследователей (решений) на множестве Б, используя равномерный закон распределения. Деление на три подгруппы с одинаковым числом исследователей 8 (N8 = 38) происходит произвольно. Их положение обозначается хт'3 (0), так как сначала номер итерации г = 0. На каждой итерации положение исследователя обновляется:
xmJ (t +1) = xmJ(t) + am,J'(t) • dmJ(t), i = 1,..., n; m = 1, 2,3;
где хт,3 (г) - компонента положения хт,3'(г), г = 1,..., п, на итерации с номером г; х™3 (г +1) -компонента положения хт'3 (г +1) на следующей итерации; 0™^ (г) - величина шага; dJm,3 (г) - г-я компонента направления поиска йт'3 (г) .
Перед следующей итерацией два наихудших исследователя в каждой подгруппе заменяются наилучшими решениями из двух других подгрупп с их характеристиками. Эта процедура реализует межподгрупповое обучение. Процесс поиска завершается по достижении
Vol. 20, No. 02, 2017
Civil Aviation High Technologies
максимального числа итераций. Поведение исследователя считается эгоистическим, если он верит, что должен двигаться к своей наилучшей позиции х^. Альтруистическое поведение реализуется посредством обмена информацией между группами. Профессиональное поведение определяется желанием исследователя изменять направление поиска, опираясь на прошлый опыт.
ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ СВАРНОЙ БАЛКИ
Целью задачи является проектирование минимальной по стоимости конструкции балки, определяемой вектором параметров х = (х1,х2,х3,х4)т. Кроме того, балка должна удовлетворять ограничениям по напряжению сдвига т, изгиба а, продольной нагрузке Рс и отклонению края балки 8 [8]. Математическая постановка задачи:
/(х) = 1,10471 • х2 • х2 + 0,04811 • х3 • х4 • (14 + х2), %Х(х) = т(х) -13600 < 0, %2(х) = а(х) - 30000 < 0, %3(х) = х1 - х4 < 0, g4 (х) = 0,10471 • х2 + 0,04811 • х3 • х4 • (14 + х2) - 5 < 0, %5(х) = 0,125 - х < 0, (х) = 8(х) - 0,25 < 0, %7 (х) = 6000 - Рс (х) < 0, О = [0,1;2,0] х [0,1;10,0] х [0,1;10,0] х [0,1;2,0],
где т(х) = (т')2 + (2 • т' • «О • ^ + (т')2, х' = ^б000
V 2 • R V2 • х •
Х-)
R =
+
х1 х^
J = 2^2 • — • — •
P (—) =
4,013 • 5-106
196
т" = M-R, M = 6000 • J
504000
а(—) =
5 (х) =
' 14 + —2 ^
I 2)
65,856 30 • —3 • —4
Параметры метода, имитирующего спиральную динамику: ЫР = 30, К= 200, 6 = —,
4
гШп = 0,81, гшах = 0,91, с = 0,81, с2 = 0,91. Коэффициенты штрафной функции: с1 = 0,001, с2 = 0,001, с = 10, с4 = 1, с5 = 1, с6 = 1, с7 = 0,001. Параметры метода, имитирующего поиск группой людей: = 300, N = 300, ^ = 1, /лШп = 0,1. Коэффициенты штрафной функции: с = 2, с = 2, с = 0,05, с4 = 0,05, с5 = 0,05, с6 = 0,05, с7 = 2. Параметры метода стохастической диффузии: ЫР = 300, /шх = 300, со = 0,1. Коэффициенты штрафной функции: с1 = 15, с2 = 15, с3 = 15, с4 = 15, с5 = 15, с6 = 15, с7 = 15. Результаты расчетов приведены в табл. 1.
Решение, найденное в [8]: х* = (0,20573; 3,470489; 9,036624; 0,205729)т, / (х*) = 1,724852, % 1( х*) = -0,025400, % 2( х*) = 0,092700, %3( х*) = 0,000001,
% 4( х *) = -3,432989, % 5( х*) = -0,080730, % 6( х*) = -0,235540, % 7( х*) = 0,055938.
2
Ovil Aviation High Technologies
Vol. 20, No. 02, 2017
Таблица 1 Table 1
Метод, имитирующий спиральную динамику Метод, имитирующий поиск группой людей Метод стохастической диффузии
0,197379 0,243368 0,207677
* Х2 3,585319 2,981940 3,243542
JC * 9,362954 8,675457 9,638324
* Х4 0,204188 0,227474 0,184741
x* f (x*) 1,771751 1,807423 1,639592
g 4 x*) -162,749711 -221,202049 -79,878540
g2(x*) -1843,833041 -561,583046 -632,741544
g3(x*) -0,006809 0,015895 0,022936
g4(x*) -3,378475 -3,381496 -3,518324
g5(x*) -0,072379 -0,118368 -0,082677
g6(x*) -0,236902 -0,235220 -0,236729
g7(x*) -2159,991578 -4453,685886 -221,238912
ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ СОСУДА ВЫСОКОГО ДАВЛЕНИЯ
Целью задачи является определение минимальной по стоимости конструкции сосуда, заключающейся в определении вектора параметров x = (хх, х2, х3, х4 )т, соответствующих толщине,
толщине головки, внутреннему радиусу и длине цилиндрической части [8]. Величины х и х2 являются дискретными величинами (описывающими кратность параметра величине 0,0625). Задача может быть формализована следующим образом:
f (*) = 0,6224 • ~ • х3 • х4 +1,7781 • х2 • х32 + 3,1661 • ~2 • x4 +19,84 • ~2 • Xз ^1(х) = -х1 +0,0193-х3 <0, §2(х) = -х2+0,00954-Хз <0,
(x) = -—• Xз2 • х4 -4 • — • х| +1296000 < 0, §4(x) = x4 -240 <0, D = [1;99,99] х [1;99,99] х [10;200] х [10;200],
где X = 0,0625 • (хх), х2 = 0,0625 • (х2), (•) - целая часть числа.
Параметры метода, имитирующего спиральную динамику: ЫР = 3000, Ктах = 200,
6 = —, гтп = 0,81, г = 0,91, с1 = 0,81, с2 = 0,91. Коэффициенты штрафной функции: 4
С = 40000, с = 35000, с3 = 1000, с4 = 900. Параметры метода, имитирующего поиск группой людей: SN = 300, N = 300, и тах = 1, итп = 0,1. Коэффициенты штрафной функции: С = 28000, с2 = 26500, с3 = 14000, с4 = 13500. Параметры метода стохастической диффузии: ЫР = 300, 1тх = 300, ю = 0,1, И = 0,5. Коэффициенты штрафной функции: с1 = 55000, с2 = 55000, с = 20000, с4 = 15000. Результаты расчетов приведены в табл. 2.
Vol. 20, No. 02, 2017
Civil Aviation High Technologies
Таблица 2 Table 2
Метод, имитирующий спиральную динамику Метод, имитирующий поиск группой людей Метод стохастической диффузии
1 2 3 4
* х1 12,959685 12,002532 12,957966
* х2 6,730436 7,417437 6,675028
JC * 42,987671 41,657607 42,043837
* —4 165,920682 186,221143 178,667039
f ( —*) 5608,288853 5849,349005 5717,723601
g 1(—*) 0,079662 0,053992 0,061446
g2(—*) 0,035102 -0,040086 0,026098
g 3(—*) 2,04 -10 -6 -22048,074721 -7511,32694487
g4(х*) -74,079318 -53,778857 -61,33296084
Решение, найденное в [8]: х* = (13;7;42,098446;176,636596)т, /(х*) = 6059,714335, %1 (х*) = 0,000000, %2 (х*) = -0,035881, %3 (х*) = -0,028761, %4 (х*) = -63,363404.
ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ РЕДУКТОРА
Целью является определение минимальной по весу конструкции редуктора, определяемой вектором параметров х = (х1, х2, х, х4, х5, х6, х7 ) , соответствующих ширине лицевой стороны, длине зубцов, числу зубцов на шестерне, длине первого вала, длине второго вала, диаметру первого вала и диаметру второго вала [8]. Конструкция редуктора должна удовлетворять ограничениям по напряжению изгиба зубцов шестерни, поверхностному напряжению, поперечным отклонениям валов и напряжению на валах. Математическая постановка задачи:
f (х) = 0,7854 • — • —2 • (3,3333 • (х3) + 14,9334 • ( —) " 43,0934) -
-1,508 • — • (х2 + —2 ) + 7,4777 • (х3 + х73) + 0,7854 • (х4 • х\ + х • ), 27 , _ 397,5
g Ч—) = ■
• — 2
—1
-1 < 0, g 2(х) =
— • —2
^ 1,93 • —4 g (х) = 4
—2 • (х3 )
3/ —6
л s 1,93 • х?
1 < 0, g 4(х) - , 5
х2 • (х3 ) • —7
-1 < 0,
1 < 0
g5(х)= gб(—)=
1
110 • —3 \ 1
г \2
745•—4 А
V—2
'W у
+16,9 • 106 -1 < 0,
85 • х3
1
f \2 745 • х5 А
'W у
+157,5 • 106 -1 < 0,
х.
J*^ -1
g 7( х) = 2 ^^ -1 < 0,
40
Научный Вестник МГТУ ГА_Том 20, № 02, 2017
Ovil Aviation High Technologies Vol. 20, No. 02, 2017
g8(x) = ^ -1 * 0, g9(x) = -X--1 < 0,
12 * %2
g ,0(x) = -1 < 0, g „(X) = lli^ll^i:9 -1 < 0,
X5 X5
D = [2,6;3,6] x [0,7;0,8] x [17;28,99] x [7,3;8,3] x [7,8;8,3] x [2,9;3,9] x [5,0;5,5].
%
Параметры метода, имитирующего спиральную динамику: NP =30, = 200, 9=-,
rmin = 0,81, ^ = 0,91, c1 = 0,81, c2 = 0,91. Коэффициенты штрафной функции: c1 = 8000, c2 = 10000, c3 = 9000, c4 = 9000, c5 = 9000, c6 = 9000, c7 = 9000, c8 = 9000, c9 = 9000, c10 = 9000, cu = 9000. Параметры метода, имитирующего поиск группой людей: SN = 300, N = 300, цmax = 1, jumin = 0,1. Коэффициенты штрафной функции: q = 5000, c2 = 5000, c3 = 5000, c = 5000, c = 5000, c6 = 5000, c7 = 5000, c8 = 5000, c9 = 5000, c10 = 5000, c11 = 5000. Параметры метода стохастической диффузии: NP = 300, /^ = 300, ю = 0,1, h = 0,5. Коэффициенты штрафной функции: q = 6000, c2 = 6000, c3 = 6000, c4 = 6000, c5 = 6000, c6 = 6000, c7 = 6000, c = 6000, c9 = 6000, c10 = 6000, c11 = 6000. Результаты даны в табл. 3.
Решение, найденное в [8], и соответствующие ему значения целевой функции и ограничений: x* = (3,5; 0,7; 17; 7,3; 7,8; 3,350214;5,286683)г, f(x*) = 2996,348165, g1(x*) = -0,073915,
g2(x*) = -0,197999, g3(x*) = -0,499172, g4(x*) = -0,901472, g5(x*) = 6* 10-7, g6(x*) = 1,3*10-7, g7 ( x*) = -0,702500, g 8( x *) = 0,0, g9(x*) = -0,583333, g10(x*) = -0,112138, g11(x*) = -0,010852.
Таблица 3 Table 3
Метод, имитирующий спиральную динамику Метод, имитирующий поиск группой людей Метод стохастической диффузии
* x1 3,279873 3,258588 3,286565
* x2 0,7 0,705924 0,704839
* x3 17,286057 17,962804 17,937055
* x4 7,306545 7,817410 7,897124
* x5 8,299977 8,117704 7,909504
* x6 3,284217 3,319163 3,318289
* x7 5,311058 5,171109 5,125802
f (x*) 2994,639309 2919,805346 2926,072804
g 4 x*) -0,011762 -0,021932 -0,027271
g 2( x*) -0,144173 -0,152980 -0,157604
g3(x*) -0,456225 -0,366969 -0,345713
g 4( x*) -0,883449 -0,879686 -0,884544
g5(x*) 0,061517 0,029129 0,030111
g6(x*) -0,013606 0,068612 0,097158
Vol. 20, No. 02, 2017
Civil Aviation High Technologies
Продолжение Таблицы 3
gЧX*) -0,702500 -0,699982 -0,700443
gЧX*) 0,067114 0,083175 0,072305
g9(X*) -0,609539 -0,615329 -0,611429
g 10( X*) -0,177549 -0,152624 -0,130485
g П( X*) -0,067207 -0,065226 -0,046921
ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ПРУЖИНЫ
Целью является определение минимальной по весу конструкции пружины, заключающейся в определении вектора параметров х = (х, х, х )т, соответствующих диаметру проволоки, среднему диаметру витка и числу активных витков [8, 9]. Конструкция пружины должна удовлетворять ограничениям по минимальному отклонению, напряжению сдвига, частоте колебаний и ограничениям на внешний диаметр. Математическая постановка задачи:
/(х) = (хз + 2) ■ х12 ■ Х2 ,
3
gЧX) = 1 - Х2 •X . <0,
71875•X
g2(X)=
4 • X2 х1 • x2
2,46
12566 • (X3 • х2 - X4 ) 12566 • X2
-1 < 0.
g 3( X) = 1 -140^ < 0,g <( X) = Xl^Xl -1 < 0,
X2 X3 1,5
D = [0,05;2,0] x [0,25;1,3] x [2,0;15,0].
Параметры метода, имитирующего спиральную динамику: ИР = 30, К= 200, 6 = —,
4
гт!п = 0,81, ^ = 0,91, с1 = 0,81, с2 = 0,91. Коэффициенты штрафной функции: с1 = 6, с2 = 1, с3 = 1, с4 = 0,5. Параметры метода, имитирующего поиск группой людей: ЭЫ = 300, N = 300, Итах = 1, Мтп = 0,1. Коэффициенты штрафной функции: с1 = 1, с2 = 5, с3 = 0,6, с4 = 0,9. Параметры метода стохастической диффузии: ИР = 300, /тах = 300, ю = 0,1, к = 0,5. Коэффициенты штрафной функции: с = 1, с2 = 1, с3 = 0,9, с4 = 2. Результаты расчетов приведены в табл. 4.
Решение, найденное в [8]: х* = (0,05169;0,35675;11,287126)т, /(х*) = 0,012665, ^(х*) = -9,001053, g2(x*) = 0,000020, g3(x*) = -4,057026, ^4(х*) = -0,727707.
Таблица 4 Table 4
Метод, имитирующий спиральную динамику Метод, имитирующий поиск группой людей Метод стохастической диффузии
1 2 3 4
* х 0,058324 0,053361 0,051747
* X2 0,334061 0,391325 0,359313
Научный Вестник МГТУ ГА_Том 20, № 02, 2017
Civil Aviation High Technologies Vol. 20, No. 02, 2017
Продолжение Таблицы 4
JC * 7,193386 11,169096 11,305852
f (х*) 0,010447 0,014674 0,012809
g Ч х*) 0,677572 -0,148538 -0,017679
g2(х*) -0,321455 -0,014343 0,002707
g Ч х*) -9,210934 -3,384644 -3,982344
g 4( х*) -0,738409 -0,703543 -0,725959
ОБСУЖДЕНИЕ полученных результатов и заключение
В работе рассмотрено применение трех методов «роевого» интеллекта в задачах оптимизации параметров технических систем. Полученные результаты близки к решению, найденному в [8], что свидетельствует об эффективности применения рассматриваемых методов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пантелеев А.В., Метлицкая Д.В., Алешина Е.А. Методы глобальной оптимизации. Метаэвристические стратегии и алгоритмы. М.: Вузовская книга, 2013. 244 с.
2. Eberhart R.C., Kennedy J. A new optimizer using particle swarm theory. Proc. 6th Symp. On Micro Machine and Human Science. IEEE Service Center. Piscataway, NY, 1995.
3. Floudas C.A., Pardalos P.M. (eds.) Encyclopedia of Optimization. Springer, 2009.
4. Tamura K., Yasuda K. Primary study of spiral dynamics inspired optimization. IEEJ Transactions on Electronic Engineering, 2011, vol. 6 (1/2), pp. 132-140.
5. Nasir A.N.K., Tokhi M.O., Grani N.M.A., Ismail R.M.T.R. Novel Adaptive spiral dynamics algorithms for global optimization. Proc. 11th Int. Conf. on Cybern. Intel. Systems, 2012, pp. 99-104.
6. Omran M.G.H., Moukadem I., Salah Al-Sharhan, Kinawi M. Stochastic Diffusion Search for Continuous Global Optimization. Proc. Int. Conf. on swarm intelligence, ICSI, 2011, id-13.
7. Tuba M., Brajevic I., Jovanovic R. Hybrid Seeker Optimization Algorithm for Global Optimization. Appl. Math. Inf. Sci. 2013, vol. 7, no. 3, pp. 867-875.
8. Cagnina L.C., Esquivel S.C. Solving Engineering Optimization Problems with the Simple Constrained Particle Swarm Optimizer. Informatica, 2008, no. 32, pp. 319-326.
9. Arora J. Introduction to Optimum Design. McGraw-Hill, 1989.
10. Пантелеев А.В., Летова Т.А. Методы оптимизации. Практический курс. М.: Логос, 2011. 424 с.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
Пантелеев Андрей Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математической кибернетики факультета «Прикладная математика и физика» Московского авиационного института (национального исследовательского университета), avpanteleev@inbox.ru.
Евдокимова Мария Дмитриевна, магистрант факультета прикладной математики и физики Московского авиационного института (национального исследовательского университета), md.evdokimova@yandex.ru.
Vol. 20, No. 02, 2017
Civil Aviation High Technologies
SOLVING ENGINEERING OPTIMIZATION PROBLEMS WITH THE SWARM INTELLIGENCE METHODS
Andrei V. Panteleev1, Maria D. Evdokimova1
1Moscow Aviation Institute (National Research University), Moscow, Russia
ABSTRACT
An important stage in problem solving process for aerospace and aerostructures designing is calculating their main characteristics optimization. The results of the four constrained optimization problems related to the design of various technical systems: such as determining the best parameters of welded beams, pressure vessel, gear, spring are presented. The purpose of each task is to minimize the cost and weight of the construction. The object functions in optimization practical problem are nonlinear functions with a lot of variables and a complex layer surface indentations. That is why using classical approach for extremum seeking is not efficient. Here comes the necessity of using such methods of optimization that allow to find a near optimal solution in acceptable amount of time with the minimum waste of computer power. Such methods include the methods of Swarm Intelligence: spiral dynamics algorithm, stochastic diffusion search, hybrid seeker optimization algorithm. The Swarm Intelligence methods are designed in such a way that a swarm consisting of agents carries out the search for extremum. In search for the point of extremum, the particles exchange information and consider their experience as well as the experience of population leader and the neighbors in some area. To solve the listed problems there has been designed a program complex, which efficiency is illustrated by the solutions of four applied problems. Each of the considered applied optimization problems is solved with all the three chosen methods. The obtained numerical results can be compared with the ones found in a swarm with a particle method. The author gives recommendations on how to choose methods parameters and penalty function value, which consider inequality constraints.
Key words: Swarm Intelligence, optimization methods, global extremum, penalty function.
REFERENCES
1. Panteleev A.V., Metlitskaya D.V., Aleshina E.A. Metody global'noi optimizatsii. Metae-vristicheskie strategii i algoritmy [Global optimization methods, Metaheuristic strategies and algorithms]. Moscow, Vuzovskaya kniga, 2013, 244 p. (in Russian)
2. Eberhart R.C., Kennedy J. A new optimizer using particle swarm theory. Proc. 6th Symp. On Micro Machine and Human Science. IEEE Service Center. Piscataway, NY, 1995.
3. Floudas C.A., Pardalos P.M. (eds.) Encyclopedia of Optimization. Springer, 2009, 675 p.
4. Tamura K., Yasuda K. Primary study of spiral dynamics inspired optimization. IEEJ Transactions on Electronic Engineering. Vol. 6 (1/2), 2011, pp. 132-140.
5. Nasir A.N.K., Tokhi M.O., Grani N.M.A., Ismail R.M.T.R. Novel Adaptive spiral dynamics algorithms for global optimization. Proc. 11th Int. Conf. on Cybern. Intel. Systems. 2012. Pp. 99-104.
6. Omran M.G.H., Moukadem I., Salah Al-Sharhan, Kinawi M. Stochastic Diffusion Search for Continuous Global Optimization. Proc. Int. Conf. on swarm intelligence, ICSI, 2011, id-13.
7. Tuba M., Brajevic I., Jovanovic R. Hybrid Seeker Optimization Algorithm for Global Optimization. Appl. Math. Inf. Sci. 2013, vol. 7, no. 3, pp. 867-875.
8. Cagnina L.C., Esquivel S.C. Solving Engineering Optimization Problems with the Simple Constrained Particle Swarm Optimizer. Informatica, 2008, no. 32, pp. 319-326.
9. Arora J. Introduction to Optimum Design. McGraw-Hill, 2004. 728 p.
10. Panteleev A.V., Letova T.A. Metody optimizatsii [Optimization methods]. Moscow, Logos, 2011. 424 p. (in Russian)
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Andrei V. Panteleev, Doctor of Science, Professor, Head of Mathematics and Cybernetics Department, Moscow Aviation Institute (National Research University), avpanteleev@inbox.ru.
Maria D. Evdokimova, postgraduate student of Applied Mathematics and Physics Department, Moscow Aviation Institute (National Research University), md.evdokimova@yandex.ru.
