Методы решения обратных задач для модели популяции Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.62/.642 А. С. Макеев

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ МОДЕЛИ ПОПУЛЯЦИИ1

(кафедра математической физики факультета ВМиК)

1. Введение. Рассматриваются обратные задачи для модели популяции биологических объектов. Особенностью этой модели является присутствие в ней нелокального краевого условия для функции, описывающей плотность популяции. Первая обратная задача состоит в определении функции, характеризующей скорость смертности, по измерению плотности популяции объектов определенного возраста. Для этой задачи получен итерационный метод и сформулированы условия его сходимости. Рассмотрены некоторые вопросы, связанные с применением метода регуляризации Тихонова для ее решения. Другая обратная задача состоит в определении начальной плотности популяции по функции, характеризующей плотность объектов популяции определенного возраста. Для второй обратной задачи так же предложен итерационный метод и сформулированы условия его сходимости. Другой алгоритм решения этой задачи строится на основе метода регуляризации Тихонова. Для обеих обратных задач приведены примеры их численного решения итерационными методами и методом регуляризации Тихонова.

2. Прямая задача и ее решение. Рассмотрим модель популяции биологических объектов

щ + их= —fj,(x)u, 0 ^ ж ^ 1, 0 ^ i ^ 1, (1)

1

u(0,t) = J q(s)u(s,t)ds, 0 ^ t ^ 1, (2)

о

и(х, 0) = <уо(ж), 0 ^ ж ^ 1. (3)

Здесь u(x,t) — плотность объектов возраста х в момент времени t, fJ,(x) — коэффициент скорости смертности объектов, <~р{х) — начальное распределение плотности объектов и q(x) — относительный коэффициент скорости рождения объектов. Функции д(ж), <~р{х) и q(x) положительны. Модель популяции (1)-(3) и ее обобщения исследовались в целом ряде работ (см., например, [1-6]).

Решение задачи (1)-(3) для заданных д(ж), q(x) и <~р{х) может быть найдено следующим образом (см., например, [1, 2]). Если х ^ t, то

X

и(х, t) = tp(x — t) ехр| — J ¿/(и) <i<7(4)

x — t

При х < t функция u(x,t) является решением интегрального уравнения

1 X

u(x,t) = J q(s)u(s, t — x) exp| — J ц{сг) da^j ds. (5)

о о

Используя формулу (4), это уравнение можно переписать так:

X t — x

и(х, t) = ехр| — J б?(т| J q(s)u(s,t — х) ds+

0 о

1 s х

+ J q(s)<p(s — t + x) exp| — J da — J ц{а) da^j ds, 0 ^ x < t ^ 1. (6)

t — x s-t-\-x

1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект 05-01-00232а.

2 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 3

Уравнение (6) представляет собой интегральное уравнение типа Вольтерра 2-го рода и при заданных д(ж), д(ж), <~р{х) 6 С[0,1] однозначно определяет функцию и(ж,£), непрерывную и ограниченную при О ^ х < £ ^ 1. Таким образом, формула (4) и уравнение (6) определяют и(ж,£) в квадрате 0 ^ х, £ ^ 1. Если функции q{x) и <~р{х) таковы, что

1

¥>(0) = У д(в)ф) йз, (7)

о

то функция и(ж,£), определяемая формулой (4) и уравнением (6), непрерывна в квадрате 0 ^ ж, £ ^ 1. Если условие (7) не выполнено, то и(ж,£) имеет на диагонали х = £ разрыв.

В статье изучены две обратные задачи для модели популяции (1)-(3). В первой обратной задаче при известных функциях q{x) и <~р{х) и по дополнительной информации о решении задачи (1)-(3) требуется определить неизвестную функцию д(ж). Вторая обратная задача состоит в отыскании неизвестной функции <~р{х) при известных функциях д(ж) и д(ж) и по дополнительной информации о решении задачи (1)-(3). Обратная задача одновременного определения функций д(ж) и <~р{х) исследована в [6].

3. Решение обратных задач. Рассмотрим первую обратную задачу. Пусть функции д(ж) и <~р{х) заданы, а д(ж) неизвестна. Требуется определить эту функцию, если задана дополнительная информация о решении задачи (1)-(3)

и(жо, £) = с(£), 0 ^ х0 ^ 1, 0 ^ г ^ 1, (8)

где с(£) — известная положительная функция.

Пусть положительная непрерывная функция д(ж) является решением этой обратной задачи. Выведем нелинейное интегральное уравнение для этой функции. Положив х = жо в формуле (4) и использовав условие (8), имеем

х0

с(£) = ср(хо — £) ехр| — J ¿/(и) б?<7жо ^ (9)

х0 -(

Из этого уравнения находим

Обозначим функцию //(£), определенную формулой (10), через Д(£). Сделав замену переменных £ = = т — х > 0 в краевом условии (2), получим

1

«(О, г-*) = /,(*)«(*, г

о

Подставив это выражение в уравнение (5), имеем

X

о

Положив ж = жо, сделав замену переменных г = £ — жо и использовав (8), получим

х0

и(0, г) = с(г + жо) ехр|У ¿/(и) б?<т0 < г ^ 1 — жо-

о

Сделав замену переменных г = £ — ж, имеем

1 х0

J Ь — х) г1з = и(0, £ — ж) = с(Ь — х + жо) ехр| J ц{сг) б?<т|, жо-

Подставив это представление в уравнение (5), с учетом (9) получим

¥>(0)

и (ж, = с{Ь — ж + ж0)^Ц ехр{ — [ д((Т) ^ 1, с(ж0) I У J

(11)

Положив в уравнении (6) х = жо и применив формулу (11), имеем

£ —Жо 5

с(*) ^ = [ д(б)с(^ — б)^-^-ехр/— [ и (а) с1сг\с18-\-с( Жо) .} с( ж0) [ .} )

1 в + J — £ + жо) ехр| — J д(ст) б?(т| жо < (12)

£ —Жо 5 — ¿Го

Пусть Жо ^ Перепишем уравнение (12) следующим образом:

£ 8 1 8 = Jв) ехр| — У д((т) б?(т| — ¿+жо) ехр| — J д(ст) б?(т| жо ^ £ ^ 1, (13)

ж0

Жо

8 — £+Жо

где

t — Xo 5

= с(^) ^ ^ — [ д(й)с(£ — й)^-^-ехр! — [ и(сг) с1сг\¿в— с( Жо) .} с( ж0) [ .} )

х0 в

- У д(з)ср(з — £ + жо) ехр| — J Д(<т) б?<71

£ —жо 5—£+жо

ж0

в) = ^(5)^(5 - £ + ж0) ехр|- J ¡2(а)

8 — £+Жо

Обозначим через С^о[0,1] класс положительных функций, непрерывных на отрезке [0,1], имеющих непрерывные вторые производные всюду на отрезке [0,1] за исключением, быть может, точки жо, в которой в этом случае вторая производная имеет разрыв первого рода. Пусть д 6 С1 [0,1], <*р Е С2[0,1], с 6 [0,1]. Из формулы (10) имеем ¡2 6 С1[0,жо]. Продифференцировав уравнение (13) и применив уравнение (9), получим

£ в = !(ргММ) ехр{-| ц(а) йа^йв-

Жо

Жо

1

- / Ч{8)

5

ехр|— J //(<7) йа| жо ^ £ ^ 1.

- £ + ж0) + - ^ + - I + а

Сделав замену переменных г — з — I жо во втором интеграле, имеем

£ « 1 — £+#0 — #0

= У^гМ^ ехр|~ У д(о-) бг(т| ¿е- У д(^+£-ж0)

ехр|— У д(ст) 6?(т|

ж0

ж0

ж0

Продифференцировав это уравнение, получим

( ( в Р'К*) = (РгММ) ехр{~У + J(РгММ) ехр|~У ц{а) г1з+

+ «(1)

¥>'(!-* + ж0) + ¥>(!-* + ж0)/х(1 - * +

1

ехр|— У д((т)б?(т|- —

У ?'(* + *-

ехр|— У /¿(с) 6?(Т1

+ У +

+ £ — жо) ехр|— У М17) ^ | ^ ж0 ^ £ ^ 1-

ж0

Сделаем замену переменных г = 1 — £ + жо и разрешим это уравнение относительно функции /¿(г)

мт| у>М + «(ВДг)

1-Т+Жо

У/(1 - Т + Ж0) - (р2)*(1 - т + Жо, 1 - т + ж0) ехр|- У д(ст)бг(т|-

1-Т+Жо

У (р2)«(1 - т + ж0, в) ехр|-У д(сг) С?(т|

ж0

ж0

т

+ У

2+1-т

ехр|— У д(ст) 6?(т| —

ж0

т

- I д(г+1-т)

<р'(г) + ¥>(*)/х(г)

2+1-т

+ 1 — г) ехр| — У д(ст) 6?(т|

^ г ^ 1. (14)

Определим оператор В следующим образом:

где

ехр|]>(ст)(^| 1-И-хо (^1/х) (¿) = -- У/(1 - ^ + ж0) - (р2)Д1 - ^ + Жо, 1 - ^ + Жо) ехр|- j ц{о)г1о^~

У (р2)«(1 - ^ + ехр|-У //(<т) ¿О"!

ж0

ж0

I

+ У 9'(г+ 1 - *)

2+1-(

ехр|— У д(ст) 6?(т| —

г

"У ф+1 - ¿)

2+1-(

+ 1 — ехр| — У д(ст) 6?(т|

Интегральное уравнение (14) можно переписать так:

fj.it) = {Вц)(£), ж0 ^ г ^ 1.

Рассмотрим итерационный процесс

//„(*) = (Б/х„_1)(*), п= 1,2,.... (15)

Установим условия сходимости этого итерационного процесса. Пусть функции д(х), <~р{х), с(£) таковы,

что

О < ро ^ <p(t) ^ <pi, ¥2 ^ \v'{t)\ <С <р3, ¥>'(*)< О, О < go ^ q(t) ^ Qi, \q'{t)\^q2, O^t^l, и существует постоянная ст такая, что

О < ст < —, ч>1

= (1 -х0)с„

e(l-xo)cm^ _

WW)

Wp'IWc + \\(p2)t\\c + (! - ®о) ||(P2)tt||c + (1 - x0)q2(ficm + (1 - ж0)д1^1Ст (--b cr,

¥>0

(16)

(17)

(18)

Wp'IWc + 2 HWtllc + 2(1 - Ж0) ||(р2)«Ис + (1 - x0)q2<Picm +

+ (1 - x0)qiLpicm + cmj + д2¥>з(1 - жо) + 42<Pi + Cmj (1 - ®o) + 1 ) +

+gi¥>3 + Cm) ~ ж°) + 1) + ^^ ((^Г + Cm) ^ ~ ж°) + 2 + Cr-

< 1,

(19)

гДе НУ/Нс = max »'/(i), ||(p2)t|lc = „ , max (p2)t(t, s) и ||{p2)tt\c = , max Ы«М-

Теорема 1. Пусть q £ С1 [0,1], <*р £ С2[0,1], с £ 0,1] и выполнены условия (16) —(19). Тогда для любой непрерывной на [жо, 1] функции fio(t) такой, что fio(t) + ^ ст Vi £ [жо, 1], последова-

тельность функций fJn{t), определяемая (15), сходится равномерно на отрезке [жо, 1] к единственному непрерывному решению fi(t) уравнения (14), удовлетворяющему условию fi(t) + ^^

Vi £ [ж0,1]-

Доказательство. Введем множество

€ сг.

М= \fi(t) £ С[ж0,1],

fi{t) +

£ t < 1 ^ .

Покажем, что оператор В отображает множество м в себя и является сжимающим на этом множестве. Из определения множества м и условия (17) следует положительность функций //(£), принадлежащих множеству М. Так как

fi(t) + ^^ = \(Bifi)(t)\, то условие ВМ С М можно переписать так:

\(Bifi)(t) \ ^ ст. Из определения множества М следует, что V//(i) £ М справедливы оценки 1 1

expjy^H^J ^expj-y^dcrje^i1-^ = ^у^1"'», х0 ^ t <: 1, (20)

t t

И*) + ¥>(*М*)1 ^ И*) I

+ /x(i)

< t < 1,

Д i ^--77Г + Cm ^--h cm, Ж0 ^ t ^ 1.

(21) (22)

Из этих оценок и условий (16) и (18) следует, что

е(1 -х0)ст

\\PiWc + 1К^2)(||с + (1 - х0) \\(р2)и\\с + (! - х0)д2(р1Ст +

+ (1 - х0)д1^1Ст ( — + сп

^ Ст, Х0 1.

Таким образом, оператор В отображает множество М в себя.

Покажем, что оператор В является сжимающим на множестве М. Введем операторы

ехр|^ д((т) йа

9(1М*)

^ г ^ 1,

1-(+ж0

(_В3//)(£) = р"(1 - г + ж0) - - £ + Жо, 1 - £ + ж0) ехр|- J ц{о)

х0

1 — 5 - J (Р2)«(1-« + зо,*)ехр{-| ДИ

ж о

( 2+1-( + J д'{г1 — ¥,'(-г) + ¥,(-г)/и(-г) ехр|— J ц{сг)г1а^г1г—

Х0 2

( 2+1-(

— J + 1 — ¥,'(-г) + ¥,(-г)/и(-г) /¿(.г + 1 — £) ехр| — J /¿(<т) йг,

< 4 < 1.

Пусть д 1 (¿), //2 (0 — произвольные функции, принадлежащие множеству М. Из определения операторов В, В\, и следует, что

кади - (Б/Х2)(*)| ^ КЗДИ - (я2/*2)(*)| |(ЗД(*)| + |(£2Д2)(*)| |(ЗД(*) - (ЗД(*)|,

ж0 ^ £ ^ 1- (23)

Если д 6 М, то из условий (16) и оценок (20)-(22) следует, что

е(1-ж0)ст

< ь < 1,

9(1)^(1) '

|(ЗД(*)| ^ \\Р"\\С + НЫ^Нс + (1 " Ж0) ||Ы«11с + (1 " Хо)д2<Р1ст +

+ (1 - х0)д1(р1 ст ( — + ст ) , ж0 ^ г ^ 1. \¥>о /

Из определения оператора .В2, условий (16) и оценок (20)-(22) имеем

(24)

(25)

е(1-^о)ст/1 _ ж \ II и

I(в^щ - (я2/х2)(*) 1 ^--—"с[жо'1], ж0 ^ ^ 1. (26)

9(1)^(1)

Учитывая определение оператора условия (16) и оценки (20)—(22), получим

КЗДИ - ^ НЫгНс (! " Жо) ||Д1 - 11 С[хо ,1] + НЫ«Нс (1 - хо)2 ||М1 - /*2||с[*о,1] +

2+1-4

2+1-4

+ 92¥'з J ехр|- J Ц\{(т) - ехр|- J ц2{(?)

хо г 2

4 2+1-4 2+1-4

+ 52^1 J //1(<г)ехр|- J 1_ц(а) ¿а^ - ^(г) ехр|- J д2(с)

■Го 2 2

£ 2+1-4 2+1-4

+ 91¥'з J /М-2 + 1 ~ 0 ехр|~ J Д1(о") ¿о"! - д2(-г + 1 - ехр|- J

■Го 2 2

4 2+1-4 2+1-4

+ 91¥>1 J /М-Ю/М-2 + 1 - 0 ехр|- J ^ (а) - д2 (-г)дг + 1 - ехр| - J

ж0

^ (1 - Ж0) НЫгНс 11^1 " М2||С[хо,1] + - -о)2 НЫмНс И^1 " 11С[х0,1] + + (1 - ж0)д2¥>з(1 - х0) Ц/Х1 - М2||С[хо,1] +

+ (1 - жо)д2¥'1 + (1 - Ж0) Ц/Х1 - Цг\\С[хо,1] + 11^1 - С[хо,1]) +

+ + (1-Ж0)||Д1 - Ы\С[х0,1] + И^ "^11 С[х0,1]) +

+ (1 - хо)сц^>1 + (1 - Жо) + 2 + 11^1 - М2||С[х0,1] ' ж0 ^ ^ ^ 1. (27)

Подставив оценки (24)-(27) в неравенство (23), получим

е(1-х0)ст ^ _ Хо)

+ (1 - х0)д1(р1Сг,

Я(1М1)

\\PiWc + 2\\(Р2)г\\с + 2(! - ж0) \\(Р2)и\\с + (! ~ хо)Ч2^Р\ст+

+ ст + д2(^з(1 - ж0) + д2¥>1

^з ¥>0

+ ст (1 - хо) + 1 +

( ( ^ + (1 - ж0) + + дт + (1 - Жо) + 2 + с.

11^1 ~ М2||С[хо,1] <

< 11М1 -М2||С[хо,1] ' ж0 последовательно, оператор В является сжимающим на множестве М.

Так как оператор В отображает множество М и является сжимающим на множестве М, то последовательность функций определяемая (15), сходится равномерно на отрезке [жо, 1] к единственному непрерывному решению уравнения (14), удовлетворяющему условию + Теорема доказана.

€ сг.

Замечание 1. Мы построили и исследовали итерационный процесс для решения обратной задачи при Жо ^ 2" • Для жо < 2 интегральное уравнение для функции ¡1(Ь) и итерационный процесс могут быть получены аналогично. Однако в этом случае их запись более громоздка.

Замечание 2. Уравнение (14), на основании которого строится итерационный метод, содержит производные функции с(£). В том случае, когда функция с(£) задана приближенно, необходимо применять регуляризирующие алгоритмы для устойчивого вычисления с'(^) и с"(Ь) [7].

Рассмотрим метод приближенного решения исследуемой обратной задачи, основанный на использовании метода регуляризации Тихонова [7]. Обозначим через и(ж,£;д) решение задачи (1)-(3) для

заданной функции д(ж). Из дополнительного условия (8) следует, что обратная задача (1)-(3), (8) эквивалентна решению операторного уравнения

(Ац)(Ь) =с(Ь), 0 ^ * ^ 1,

(28)

где оператор (А//)(£) = и(хо, //). Будем рассматривать оператор А действующим из пространства непрерывных положительных на отрезке [0,1] функций с равномерной метрикой в пространство Ь2[0,1]. Докажем, что он является непрерывным. Получим для этого оценку устойчивости решения задачи (1)-(3) по коэффициенту //(£). Доказательство устойчивости опирается на следующие леммы. Их доказательство достаточно просто, и мы его опускаем.

Лемма 1. Пусть для функции непрерывной при (ж,£) £ П = {(ж,£)

выполнено неравенство

Ь — х

о к . + ,/„(.,.-*) Л, (*,.)<= П,

О ^ Ж ^ Ь ^ 1},

(29)

где а, д — положительные постоянные. Тогда

v{x,t) <^22ч+1а, (ж, £ П.

Лемма 2. Пусть функции <~р{х), ц{х) и д(ж) положительны и непрерывны на [0,1]. Тогда для решения и (х^) задачи (1)-(3) выполнена оценка

О ^ и(х,г) ^ тах(^1,д1^12291+1) = и0, 0 ^ ж,£ ^ 1,

где 91 = ||д(ж)||с[од] и<р1 = |Ь(ж)||С[о,1]-

Получим оценку устойчивости решения задачи (1)-(3) по коэффициенту //(£).

Теорема 2. Пусть функции <~р{х), д(ж), ¡-1\{х) и ц2{х) положительны и непрерывны на [0,1]. Тогда для решения и{х,£) задачи (1)-(3) выполнена оценка

\и(х,г-,Ц1) - и(х,г-,ц2)\ ^ тах((^ьд1 (и0 + </?1)22</1 + 1) - ДгН^од] > 0 ^ ж,£ ^ 1-

Доказательство. Из формулы (4) получим

\и(х,г-,Ц1) - и(х,г-,ц2) I ^ ||М1 - М2||С[о,1] ' 0 ^ £ ^ ж ^ 1.

Из уравнения (6) следует, что

\и(х, Д1) — и(ж, /1,2) | ^ J д(й)ехр|—У Д1 (ст) б?ст| £ — ж; Д1) — £ — ж; /¿2))

о о

+ J д(в) ^ехрУ (,т) — ехр|— У М2(с) ¿ст|) £ — ж; /1,2) г1з + оо о

1 8 Ж 8 Ж

У — ^ + ж) ^ехр|— У Ц\{сг) (1о — У (ст) б?ст| — ехр| — У |л2(a)da — J ¡12 (ст) б?ст|)

+

5 —

5 —

о < ж < г < 1.

Положив v(x,t) = \u(x,t] fj,i) — u(x,t] fj,2)\ и использовав лемму 2, получим

t — x

v(x,t) J qiv(s,t - x) ds + qi - /i2||c[o,i] uo + Q1P1 llMi ~ M2 Ilo[o,i] ^ 0

t — x

^ J qiv(s,t - x) ds + qi(u0 + ^1) W/i.1 - /U2||c[o,i] > 0 ^ ж ^ i ^ 1. 0

Применив лемму 1, получим

v(x, t) ^ gi (и0 + Vi)229l + 1 ll/ii - /12 ||C[0,1] > о ^ ж ^ i ^ 1, ¡ii) - u(x,t-,ii2)\ ^ gi(M0 + vi)22<Ji+1 - /U2||c[o,i] > 0 ^ ж ^ i ^ 1.

Следовательно,

i; pti) - u(x,t-,fi2)| ^ max(v?i, gi(-w0 + Vi)229l + 1) - /i2 ||C[o,i] > 0 ^ ж,£ ^ 1-Теорема доказана.

Из теоремы 2 вытекает непрерывность оператора А в уравнении (28).

Пусть операторное уравнение (28) имеет для точной правой части c(t) единственное непрерывное положительное решение j2(t). Однако функция c(t) нам неизвестна, а задана функция c$(t) такая, что llc<5 — ^IIl2[o 1] ^ Тогда приближенное решение операторного уравнения (28) может быть найдено с помощью минимизации функционала Тихонова

МаШ) = ||Afi{t) - cs(t)\\2L2[м + а(6) Ыт^[0,1] , (30)

где а(5) должным образом зависит от S [7].

Перейдем к исследованию второй обратной задачи. Пусть функции q(ж) и д(ж) заданы, а <~р{х) неизвестна. Требуется определить эту функцию, если задана дополнительная информация о решении задачи (1)-(3)

и(х$, t) = c(t), 0 ^ ж0 ^ 1, 0 ^ t ^ 1, (31)

где c(t) — известная положительная функция.

Пусть положительная непрерывная функция <~р{х) является решением этой обратной задачи. Сведем задачу (1)-(3), (31) к линейному интегральному уравнению для функции <~р{х). Из уравнения (9) находим

х0

cp(t) = с(жо — t) ехр|У д((т)б?(т|-, 0 ^ t ^ жо- (32)

t

Обозначим функцию <~p{t), полученную с помощью формулы (32), через <p(t). Сделав замену переменных р = s — t + жо во втором интеграле в уравнении (12), получим

Xq t — X о Xq S

c(i)exp|y [J,(cr) da^j = J q(s)c(t — s) expi^J [J,(cr) da — J [J,(cr) da^j ds+

00 00

l-t+X0 p+t-x0

+ У q(p + t ~ xo)lt'(p) exp|— У ц(сг) da^j dp, xo^.t^.1.

Учитывая формулу (32), перепишем полученное уравнение в следующем виде:

с(£)ехр|У д((т) б?(т| = J д(в)с(^ — в) ехр|У йа — J б?<т|

оо оо

ж0 Хо р+Ь — х о

+ У Ч(Р + ^ — Ж0)С(Ж0 — Р) еХр|У /2(а) ~ У /«(ст) 6?(т|

0 р р

1-£+ж0 р+Ь — хо

+ У ч{р + £ — жо)^^) ехр|— У /¿(ст) б?<71 ф, ж0 ^ £ ^ 1. (33)

ж0

Обозначим через С* [0,1] класс положительных функций, непрерывных на отрезке [0,1], имеющих непрерывные первые производные всюду на отрезке [0,1] за исключением, быть может, точки жо, в которой в этом случае первая производная имеет разрыв первого рода. Пусть ¡1 6 С[0,1], д Е С1 [0,1], с 6 С£о[0,1]. Продифференцировав уравнение (33), получим

Хо Хо (-жо

с'(^)ехр|У д(ст) б?(т| = — жо)с(жо) ехр|У ц(о) г1сг — J //(и) б?<т | + о оо

Ь — хо хо в 1

+ У — в) ехр|У ^(а) ¿а — J ¿8 — — £ + жо) ехр| — J ц{а) йа

+

о

Жо

+

+ £ - ж0) - д(р + £ - х0)ц{р + х0)

1 — £+жо р+£-ж0

с(жо — р) ехр|У ц{а) йа — J ^(а) ¿а^ ¿р-\-

1 — £+жо

+

+ £ - ж0) - д(р + £ - х0)ц{р + Ь - х0)

р р р+Ь-хо

(,о(р)ехр|— У д(ст) б?(т| ж0 ^ £ ^ 1-

Сделав замену переменных г = 1 — £ + жо в полученном уравнении и в = р во втором и третьем интегралах этого уравнения, имеем

с'(1 — г + жо) ехр|У д(ст) б?(т| = д(1 — г)с(жо) ехр|У ^(а) ¿а — ^ д((т) б?<т|-|-о оо

1—Г Жо 5 1

+ У д(в)с'(1 — г + Жо — в) ехр|У ^(а) ¿а — J ц{сг) — д(1)(,о(г) ехр| — J ц{сг) б?<т|-|-

о

Жо

+

+ 1 - г) - ф + 1 - г)/х(в + 1 - г)

в+1-т

с(жо — в)ехр|У ¡1{а) йа — J д(ст) б?(т|

+

+ 1 - г) - ф + 1 - г)/х(в + 1 - г)

«+1-Т

(^(в) ехр|— У д(сг) б?(т| жо ^ т ^ 1.

Жо

Сделав замену переменных £ = г и проведя простые преобразования, получим уравнение Вольтерра

2-го рода для функции Ч>{€)=Р{€) + -

д(1)ехр| — $ Ц>(сг) б?(т|ж0

(^(й) ехр| — J д(ст) б?(т|

ж0 ^ * ^ 1, (34)

где

д(1) ехр< — f ц{(т) (1а

х0

— с'(1 — £ + жо) ехр|У М17) +

жо 1 —£ 1 —£ жо 5

+д(1 — ¿)с(жо) ехр|У д((т) da — J ц{сг) б?<т | + J д(в)с'(1 — ^ + жо — в) ехр|У ц(сг) da — J ц{сг)

+

+ 1 - Ь) - + 1 - + 1 - Ь)

о

с(жо — в) ехр|У ц{а) йа — ^ йв

Пусть функции д(ж), ж), с(£) положительны и таковы, что д 6 С1[0,1], ¡1 Е С[0,1], с 6 С* [0,1]. Тогда уравнение (34) имеет единственное непрерывное решение <р(£) на отрезке [жо,1]. Оно может быть найдено с помощью итерационного процесса

¥>„(*) = +

+ 1 - - д(в + 1 - + 1 -

д(1) ехр| — $ Ц>(сг) йа| ж0

X (в) ехр| — У /¿(<т) ж0 ^ * ^ 1, га = 1, 2,... . (35)

Замечание 3. Уравнение (34), на основании которого строится итерационный метод, содержит производную функции с(£). В том случае, когда функция с(£) задана приближенно, необходимо применять регуляризирующие алгоритмы для устойчивого вычисления с'{£) [7].

Рассмотрим метод приближенного решения исследуемой обратной задачи, основанный на использовании метода регуляризации Тихонова [7]. Обозначим через и(ж, £;</?) решение задачи (1)-(3) для заданной функции <~р{х). Из дополнительного условия (31) следует, что обратная задача (1)-(3), (31) эквивалентна решению операторного уравнения

(С<р)ф = ф), 0 «С г <С 1,

(36)

где оператор (С<^)(£) = и(жо, ^ <~р). Будем рассматривать оператор С действующим из пространства непрерывных положительных на отрезке [0,1] функций с равномерной метрикой в пространство Ь2[0,1]. Докажем, что он является непрерывным. Получим для этого оценку устойчивости решения задачи (1)-(3) по коэффициенту

Из формулы (4) вытекает неравенство

\и(х, - и(х,г-,ср2)\ ^ II¥51 - <^2 Нс[0,1] > 0 ^ £ ^ ж ^ 1.

Далее, из уравнения (6) имеем

\и(х, фх) — и(ж, | ^ J д(в)ехр|—У /х(ст) б?<т| £ — ж; <^1) — £ — ж; <¿>2) |

0 о

1 8 Ж

+ J (в — £ + ж) — ^р2 (в — £ + ж) | ехр| — J /л(а) (1а — J ц(о)г1(т^г18, 0 ^ ж ^ £ ^ 1.

£ — ж 5 —О

Положив и (ж, = |и(ж, <^1) — и(х, <¿>2) |> получим

£ —ж

и(ж,£) ^ J £ - х)й.з + <71 - ¥>2||с[од] > 0 ^ ж ^ £ ^ 1,

о

где д! = ||д(ж)||С[0 1]. Воспользовавшись леммой 1, имеем

«С д12291 + 1 - ¥>2||С[о,1] > О < ж < ^ < 1, |и(ж,£; <¿>1) - ^ д!22</1+1 \\tpi - ¥>2||С[од] > 0 ^ ж ^ £ ^ 1.

Следовательно,

\и(х, (^1) - и(ж,£;<^2)| ^ тах(1, д!22</1 + 1) Ц^ - ¥>2||С[од] > 0 ^ ж,£ ^ 1-

Итак, решение и(ж, задачи (1)-(3) устойчиво по коэффициенту Следовательно, оператор С является непрерывным.

Пусть операторное уравнение (36) имеет для точной правой части с(£) единственное непрерывное положительное решение Однако функция с(£) нам неизвестна, а задана функция с,$(£) такая, что

11с<5 — ^11ь2[о 1] ^ Тогда приближенное решение операторного уравнения (36) может быть найдено с помощью минимизации функционала Тихонова

+ «(<*) 1И*)||^1[о,1] , (37)

где а(5) должным образом зависит от 6 [7].

4. Примеры численного решения обратных задач. Приведем результаты решения некоторых задач с использованием предложенных методов.

Схема расчетов была следующей. Задавались функции д(ж), д(ж), <~р{х) и с ними решалась задача (1)-(3). Далее вычислялась функция с(£) при жо = ^ и в нее вносилась погрешность так, чтобы ||с(£) — с<5(^)||//2[о 1] ^ ^ = 0,01. С функцией с,$(£) решались обратные задачи. В случае решения обратных задач с помощью итерационных методов (15) и (35) функция с,$(£) предварительно сглаживалась. В случае решения обратных задач с помощью метода регуляризации Тихонова (30) и (37) для минимизации функционалов использовался метод градиентного спуска.

На рис. 1 приведены результаты решения обратной задачи при помощи итерационного метода (15) и метода регуляризации Тихонова (30) для случая д(ж) = 1,5, ж) = 0,25 + ж2/2, (р(х) = 1,5 — ж. На рис. 1 изображены точное решение /1,ех(х) = 0,25 + ж2/2, решение, полученное с помощью итерационного метода (15) Цц{х) = Д9(ж), и решение, полученное с помощью метода регуляризации Тихонова (30) цгед{х). Максимум модуля разности функций ¡1 д(ж) и точного решения д(ж) составил

тах |дд(ж) — д(ж)| = 0,074, а сам процесс сошелся за 9 итераций. Максимум модуля разности функций же[од]

Н>гед(х) и точного решения д(ж) составил тах |//гед(ж) — /¿(ж)| = 0,046 при ск(<£) = 0,0005.

ж£[0Д]

На рис. 2 показаны результаты решения обратной задачи при помощи итерационного метода (35) и метода регуляризации Тихонова (37) для случая д(ж) = 1,5, ж) = 0,25 + ж2/2, (р(х) = 1,5 — ж. На рис. 2 изображены точное решение (рех(ж) = 1,5 — ж, решение, полученное с помощью итерационного метода (35) <-рц{х) = <-Рю{ж), и решение, полученное с помощью метода регуляризации Тихонова (37) <ргед{х). Максимум модуля разности функций ую(ж) и точного решения <~р{х) составил

1

0,2

О 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Рис. 1. Результаты решения первой обратной задачи: точное решение цех (1); решение, полученное итерационным методом цц (2)] решение, полученное методом регуляризации Тихонова цгед (3)

2

1,6

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Рис. 2. Результаты решения второй обратной задачи: точное решение Lpex (1); решение, полученное итерационным методом ipa (2)] решение, полученное методом регуляризации Тихонова ipreg (3)

max |<^ю(ж) — (р(х) | = 0,031, а сам процесс сошелся за 10 итераций. Максимум модуля разности функ-же[о,1]

ций сргед(х) и точного решения <~р{х) составил max \<ргед{х) — <~р{х) \ = 0,076 при = 0,005. Автор признателен Денисову A.M. за постановку задачи и обсуждение результатов работы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Murray J.D. Mathematical biology. N.Y.: Springer, 1993.

2. Banks H.T., К ар pel F. Transformation semigroups and L1-approximation for size structured population models // Semigroup Forum. 1989. 38. P. 141-155.

3. Banks H. Т., К а р р е 1 F., Wang С. Weak solutions and differentiability for size structured population models // Int. Ser. Numer. Math. 1991. 100. P. 35-50.

4. Ackleh A. S., De n g K. Monotone method for first order nonlocal hyperbolic initial-boundary value problems // Applic. Analys. 1997. 67. P. 283-293.

5. Sinko J. W., Streifer W. A new model for age-sized structure for a population // Ecology. 1967. 48. P. 910-918.

6. Денисов A. M.,Макеев A. С. Итерационные методы решения обратной задачи для одной модели популяции // ЖВМиМФ. 2004. 44. № 8. С. 1480-1489.

7. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М: Наука, 1974.

Поступила в редакцию 01.03.05

УДК 517.958:535.14

С. А. Варенцова, В. А. Трофимов

О РАЗНОСТНОМ МЕТОДЕ НАХОЖДЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ МОД НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА1

(кафедра вычислительных методов факультета ВМиК)

1. Введение. Нахождение солитонных режимов распространения световых импульсов и волно-водного распространения пучков представляет собой проблему, важную для многих приложений, что объясняет постоянный интерес к данному классу задач [1-11]. Как известно, солитонное решение (решение в виде солитона) соответствующего нелинейного уравнения оптики обладает тем свойством, что оно не изменяется либо во времени (сохраняется пространственное распределение интенсивности световой волны), либо вдоль координаты, совпадающей с направлением распространения оптического излучения в нелинейной среде. Если эта среда — оптическое волокно, то солитон представляет собой импульс неизменной во времени формы. В этом случае наиболее существенным приложением солитонов являются задачи передачи информации оптическими методами.

Следует подчеркнуть, что построение эффективных методов нахождения солитонных решений соответствующих уравнений до сих пор остается актуальной задачей, так как общих методов решения не существует. Можно лишь упомянуть метод обратной задачи рассеяния [1], который позволяет вычислить спектр нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) для случая слабой нелинейности, однако построить форму солитона на его основе в общем случае очень сложно. Еще один его существенный недостаток заключается в невозможности обобщения на многомерные задачи. Других конструктивных и достаточно универсальных методов построения финитных солитонов по пространству (времени) с ограниченной энергией, на наш взгляд, нет. Именно по этой причине наиболее известным в литературе является солитон, имеющий форму ch-2(i), или "темный" солитон. Финитные солитоны более высокого порядка (более сложной формы) практически неизвестны. Естественно, тривиальный случай, представляющий собой композицию достаточно удаленных друг от друга солитонов вида ch~ (i), не обсуждается.

Отметим, что в отличие от большинства упомянутых выше работ нами рассматривается задача нахождения солитонных решений НУШ на конечном отрезке. Между тем с математической точки зрения солитоны представляют собой собственные функции соответствующего НУШ с заданными краевыми условиями. Поэтому очевидной является попытка обобщить имеющиеся методы нахождения собственных функций и собственных значений на данный класс задач. Однако оказалось, что непосредственный перенос рекомендаций по нахождению собственных значений и функций линейных

1 Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 02-1-727).