CC BY
31
УДК 519.178
МЕТОДЫ РАЗРАБОТКИ ЕГХ-АЛГОРИТМОВ НА ГРАФАХ ОГРАНИЧЕННОЙ ДРЕВОВИДНОЙ ШИРИНЫ
В. В. Быкова
Параметризированный подход к оценке сложности вычислений — естественный способ справиться с трудноразрешимостью задач, которые охарактеризованы как МР-трудные в соответствии с классической дихотомией P против NP [1]. Основная идея параметризированного подхода состоит в том, чтобы с помощью некоторого числового параметра учесть структуру исходных данных и выделить основной источник трудноразрешимости задачи. Параметризированный подход позволяет исследовать различные параметризации одной и той же задачи, каждая из которых может приводить или не приводить к ЕРТ-алгоритмам. Такие алгоритмы представляют интерес для алгоритмической практики, так как при ограниченном значении параметра время их выполнения полиномиально зависит от длины входа алгоритма [2].
В настоящее время уже известны некоторые специальные методы проектирования ЕРТ-алгоритмов для задач, решение которых ищется в конечной области [3, 4]. При этом поиск решения подразумевает нахождение одного из допустимых решений (в задачах разрешения и удовлетворения ограничений) или поиск оптимального допустимого решения (в задачах комбинаторной оптимизации). Такие задачи в литературе часто называют задачами выбора. Большинство этих задач формулируются непосредственно как задачи на графах. Другие допускают графовое представление.
В работе рассматриваются три наиболее цитируемых метода разработки ЕРТ-алго-ритмов для задач выбора: параметрическая редукция (кетпеИгаНоп), поиск по дереву и метод динамического программирования на основе дерева декомпозиции. Суть метода параметрической редукции состоит в полиномиальном по времени преобразовании каждого экземпляра (/\,к\) параметризированной задачи П в экземпляр (/2,к2) этой задачи так, что к2 < к\. Результатом выполнения редукции является экземпляр (/2, к2) задачи П, называемый ядром. К ядру применяется полный перебор или какой-либо другой точный метод решения. Известно [1], что параметризированная задача является ЕРТ-разрешимой относительно некоторого параметра тогда и только тогда, когда она может быть редуцирована по этому параметру на основе конечного набора правил редукции. Например, для задачи о вершинном покрытии со стандартным параметром к (размером покрытия) редукция сводится к многократному применению двух правил: удаление изолированной вершины без изменения значения параметра к; удаление вершины, степень которой больше к, и уменьшение параметра к на единицу. Преимущество метода параметрической редукции состоит в том, что он легко программируется, а трудность — нужно располагать набором правил редукции, которые специфичны для каждой отдельной задачи.
Другой известный метод построения ЕРТ-алгоритмов — это поиск по дереву. Суть метода [4]: выделение конечного пространства поиска, размер которого зависит только от значения параметра, и представление этого пространства в виде дерева. При построении дерева поиска надо располагать правилом выделения узлов-потомков. Такие правила, конечно же, характерны для каждой решаемой задачи выбора. Например, для задачи о вершинном покрытии графа О = (V, Е) со стандартным параметром к создается бинарное корневое дерево поиска высоты к. Корню этого дерева приписываются в качестве метки множество Z = 0 и граф О' = О. Затем в графе О' выбирается некоторое ребро е = {и, V}. Очевидно, что всякое вершинное покрытие для О содержит
либо вершину и, либо вершину V. Исходя из этого, корневой узел порождает два узла-потомка, первый из них получает метку Z = Z и {и} и О' = О' — и, а второй — метку Z = Z и {V} и О' = О' — V. Далее этот процесс повторяется для каждого вновь созданного узла. Таким образом, формируемые в метках узлов множества Z представляют собой возможные вершинные покрытия, а графы — то, что остается от О' для дальнейшего рассмотрения. На каждом уровне дерева поиска размер возможных вершинных покрытий увеличивается ровно на единицу. Любому узлу, который маркирован безре-берным графом О', приписывается множество Z, определяющее вершинное покрытие графа О'. Следовательно, если на высоте не более чем к возникает узел с безребер-ным графом О', то искомое вершинное покрытие — вершинное покрытие размером не более к — найдено, в противном случае такого покрытия для графа О не существует. Алгоритм поиска по дереву затрачивает на свою работу 0(п2й) времени, где п = IV|, и потому является ЕРТ-алгоритмом относительно параметра к.
Следует отметить, что методы параметрической редукции и поиска по дереву, вообще говоря, реализуют традиционные стратегии разработки алгоритмов: первый из них воплощает принцип «уменьшай и властвуй», а второй — «разделяй и властвуй». Особенность лишь в том, что здесь они нацелены на получение ЕРТ-алгоритмов. Основной недостаток этих методов — сильная привязка к специфике решаемых задач.
Наиболее универсальный метод разработки ЕРТ-алгоритмов для задач выбора — метод динамического программирования на основе дерева декомпозиции, автором которого считается Г. Бодлаендер [3]. Данный метод — сочетание декомпозиционного подхода к решению задачи выбора с декомпозиционным представлением входного графа, когда выделение подзадач и построение их решений осуществляется, исходя из этого представления. Дерево декомпозиции графа — это специальная конструкция, которая описывает структуру графа «с точностью до клик и сепараторов» и определяет его древовидную ширину [5]. Метод динамического программирования на основе дерева декомпозиции приводит к ЕРТ-алгоритму, если проверяемое свойство графа выражено в виде конечной формулы монадической логики второго порядка и входной граф имеет ограниченную древовидную ширину [6]. В работе подробно исследован этот метод и установлено, что, несмотря на теоретическую привлекательность, практическое его применение ограничивается двумя существующими проблемами, первая из них связана с высокими потребностями в памяти получаемых ЕРТ-алгоритмов, а вторая — с вычислением древовидной ширины и построением дерева декомпозиции. В данной работе предложено проблему памяти решать с помощью бинарного сепараторного дерева декомпозиции (Б&Б-дерева), которое обеспечивает компромисс между размером и числом таблиц динамического программирования.
Корневое дерево декомпозиции (М, Т), М = {Х^ : г € /}, Т = (/, Ш), графа О называется Б&Б-деревом, если в нем каждый узел имеет не более двух прямых потомков и относится к одному из четырех типов узлов:
1) узел-лист — узел, у которого нет потомков;
2) узел-сепаратор — узел в с одним прямым потомком ] и узлом г в роли родителя. Всегда Х* — сепаратор графа О и Х* = Х^ П Х^ = 0, Х* С Х^, Х* С Х^-;
3) узел-расширение — узел г с одним прямым потомком в. В данном случае Х* С Хг;
4) узел-соединение — узел г с двумя прямыми потомками I и ]. Здесь Хг и Х^ С Х^.
В работе доказано, что всякое фундаментальное дерево декомпозиции п-вершинно-го графа, имеющее ширину к и 0(п) узлов, может быть преобразовано за время 0(п)
в BfeS-дерево, которое обладает той же шириной и O(n) узлами. Теоретически обоснованы следующие достоинства BfeS-дерева: переход от бинарного корневого дерева декомпозиции к Б&Б-дереву увеличивает число таблиц не более чем в два раза; B&S-дерево позволяет удерживать размер всякой таблицы динамического программирования в пределах оценки O(kqk), где q — число состояний, в которых может находиться вершина графа по отношению к возможному решению. Кроме того, для вычисления таблиц динамического программирования по BfeS-дереву возможно привлечение аппарата реляционной алгебры и свойств ациклических баз данных. Это способствует алгоритмической конкретизации метода и сокращению числа строк в промежуточных таблицах (за счет использования монотонного плана соединения и программы полусоединений таблиц). Приведена демонстрация применения метода динамического программирования по BfeS-дереву при решении оптимизационных задач (на примере задачи о вершинном покрытии) и задач удовлетворения ограничений (на примере задачи SAT).
Подробное изложение представленных результатов можно найти в [7].
ЛИТЕРАТУРА
1. Downey R. and Fellows M. Parameterized complexity. New York: Springer Verlag, 1999.
2. Быкова В. В. FPT-алгоритмы и их классификация на основе эластичности // Прикладная дискретная математика. 2011. №2(12). С. 40-48.
3. Bodlaender H. L. Treewidth: Algorithmic techniques and results // LNCS. 1997. V. 1295. P. 19-36.
4. Niedermeier R. and Rossmanith P. A general method to speed up fixed-parameter-tractable algorithms // Inform. Proc. Lett. 2000. V. 73. P. 125-129.
5. Быкова В. В. Вычислительные аспекты древовидной ширины графа // Прикладная дискретная математика. 2011. №3(13). С. 65-79.
6. Courcelle B. The monadic second-order logic of graphs. III. Tree decompositions, minors and complexity issues // RAIRO Inform. Theor. Appl. 1992. No. 26(3). P. 257-286.
7. Быкова В. В. FPT-алгоритмы на графах ограниченной древовидной ширины // Прикладная дискретная математика. 2012. №2(16). С. 65-78.
УДК 004.65
ЭЛЕМЕНТЫ РАСПРЕДЕЛЁННОЙ СУБД НА БАЗЕ СЕРВЕРА MariaDB1
И. Н. Глотов, С. В. Овсянников, В. Н. Тренькаев
В связи с интенсивным развитием и появлением новых интернет-технологий, таких, например, как «облачные» вычисления, остаётся актуальной задача распределённой обработки больших объёмов данных в режиме реального времени. Так, имеется необходимость в распределённой СУБД, т. е. системе управления, распределённой в компьютерной сети базы данных (БД) [1]. При этом распределённая БД должна обеспечивать прозрачный доступ к данным, т. е. должна выглядеть с точки зрения пользователей и прикладных программ как централизованная БД.
Наиболее востребованными свойствами распределённых СУБД, ориентированных на использование в «облачных» сервисах, для которых характерна работа с большими
1 Работа выполнена в рамках реализации соглашения о сотрудничестве между кафедрой защиты информации и криптографии ТГУ и ООО «Хайвекс Технолоджи» по проекту JelasticDB.
