CC BY
20
2005
Доклады БГУИР
июль-сентябрь
№ 3 (11)
УДК 621.385
МЕТОДЫ РАСЧЕТА И ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОФИЛЯ РУПОРА НА £0т-ВОЛНАХ КРУГЛОГО ВОЛНОВОДА
А.А. КУРАЕВ, А.К. СИНИЦЫН
Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П. Бровки, 6, Минск, 220013, Беларусь
Поступила в редакцию 17 июня 2005
Сформулирована и решена задача нахождения профиля рупора на симметричных Е-волнах, обеспечивающего необходимый модовый состав в раскрыве и оптимальную характеристику направленности.
Ключевые слова: СВЧ, рупор, диаграмма направленности, оптимизация.
Введение
Рупоры чаще всего используются для сопряжения полого волновода с зеркальной антенной или для измерений [1, 2]. В последнее время рупоры на волнах Е0т круглого волновода находят применение в качестве выходного устройства сверхмощных черенковских генераторов на релятивистских электронных потоках.
Основное назначение рупора состоит в том, чтобы согласовать волновод с открытым пространством, что достигается за счет плавного увеличения радиуса волновода до значения, при котором фазовая скорость основной волны приближается к скорости света в свободном пространстве. При этом условии отражение от открытого конца волновода практически отсутствует и реализуется идеальная для данного типа волны диаграмма направленности излучения.
Однако проблема реализации такого рупора заключается в том, что при необходимом для идеального сопряжения выходном радиусе в рупоре возбуждаются высшие типы волн, которые имеют фазовую скорость, большую скорости света в открытом пространстве, что приводит как к рассогласованию и, следовательно, к увеличению коэффициента отражения, так и к ухудшению диаграммы направленности.
Как показывают расчеты, за счет увеличения длины рупора с плавным увеличением радиуса эти негативные факторы хотя и можно уменьшить, однако лишь до определенного и не всегда приемлемого уровня. Наиболее радикальный путь улучшения характеристик рупора -подбор закона изменения профиля, при котором высшие типы волн на его выходном сечении отсутствуют и при этом коэффициент отражения из-за их возбуждения минимален.
В настоящей работе такая оптимизационная задача решается для рупора, представляющего преобразователь сопротивления для симметричной Е01 -волны. Найдены и исследованы
оптимальные варианты профилей рупора, в котором возможно возбуждение двух или трех распространяющихся волн. Следует отметить, что в таком рупоре, кроме распространяющихся, возбуждается также ряд ближайших закритических для текущего сечения волн. Чтобы обеспечить их отсутствие на выходном сечении (после которого они становятся распространяющимися), рупор имеет достаточно протяженный регулярный выходной участок.
Схема рупора и математическая модель, используемая для расчетов
Схема рассматриваемого рупора приведена на рис. 1.
Pom = 0
Рис. 1. Схематическое представление рупора
Рупор имеет вид отрезка нерегулярного расширяющегося волновода, представляющего преобразователь волнового сопротивления для Е01 -волны круглого волновода:
W1 = W. 11 - (—^L)2 , v — первый корень J0 (х), X — длина волны в свободном простран-2п b'
стве, b' — радиус волновода, W0 =
Mo
волновое сопротивление свободного пространст-
ва. Нерегулярный участок длины сопряжен с отрезками регулярного волновода, имеющими длину А£0 и А^, достаточную для затухания возбуждаемых закритических волн. На вход
2 = 0 рупора подается Е01 -волна, имеющая мощность /0+ .
Возбуждение волн в таком рупоре на рабочей частоте ю описывается следующими безразмерными уравнениями Максвелла для комплексных амплитуд и граничными условиями на внутренней поверхности рупора 5":
rotB = jwE; rotE = jwB;
n ■ E
= 0.
(1)
Здесь приняты следующие безразмерные переменные: {E, B} = real {E, B ■ e]at};
w = a / a0 ; a —опорная частота, (b, L, Lv ) = k0 ■ (b', L', L'v); k0 = a0 / c ; c — скорость света;
E = E' / E0; B = B' ■ c / E0 ; E0 — амплитуда волны на входе рупора.
При задании граничных условий в сечениях (z = 0 и z = L) используем тот факт, что на регулярных участках волновода электромагнитное поле представляется в виде суммы прямой и обратной симметричных E0m -волн (как распространяющихся, так и затухающих) вида:
s em e-Jkm z (E e+, B e+ )m + em e+z (Ee-, Be-)
(2)
где em — постоянные амплитуды, (Ee+, Be+ )m — мембранные функции, E0m — волны регу-
лярного волновода, кет = ^м>2 — / Ь2 — продольное волновое число.
Воспользуемся общей теорией возбуждения нерегулярного волновода, построенной на основе метода отображения внутренней области нерегулярного волновода на цилиндр единич-34
m
ного радиуса, развитого в работах [3, 6]. Согласно этой теории, решение (1) для компонент симметричных Е-волновых полей представляется в виде разложения по собственным Е0т -волнам стандартного волновода единичного радиуса:
1
м
Ег = -
Ъ(2) т=1
м
X Ат (2) • Л Vт рX К = - Т7Т X ^т (2) • Л (Уот ^X
Ъ(2) Ъ(2) т=1 Ъ(2)
м
Р
Е =Е [^^т (^) • Л (^0т ТР) - Р ^ Ат (2) • Л (Уо)т РЪ
Ъ(2) Ъ ё2 Т(г)
т=1
(3)
М — количество учитываемых волн.
Амплитуды Ат ,Ут, представляющие коэффициенты разложения компонент поля, удовлетворяют системе парных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений:
ёй
ё2
= Q(z)й; й = {ЛЛ А2Л,...АтЛ } = {й1..й2М}
Элементы матрицы Q выражаются следующим образом. Для т = 1..М, к = 1..М, к Ф т :
(4)
42т-1,2т-1
дЪ; = 1
, п ; 42т-1,2т =
Ъд2 м
) -
0т
42 т-1,2 к = 0 ;
42 т-1,2 к-1 =
дЪ 2^1т МУк)
Ъд2 к -^02т т )
42т,2т-1 = -1
1
1+-
V ^0т У
X 4^к
кФт (От )
4 =_дЪ. 4 =__дЪ 2^ок Л0ок)
У2т,2т , п ' У2т,2к , п 2 2 г / \
Ъд2 Ъд2 ^От -^0кЛ(^0т )
42т,2к-1 = -М
_дЪ
д2
4(^0т +^02к) ЛОок)
-Е-
4к
0/
ЛОо к)
(^т - ^02к )2 ЛОот ) /Фт (^т - )(^02к - V2/) ^1(^0т )
/ Фк
Амплитуды Ст получаются после решения (4) по формуле:
С =-
^0 т Вт дЪ
(
м • Ъ 2 Ъдг
Ат + X 2 • У0т • Л(У0к )
У0т кФтУ2к - У2т Л(у0т )
Л
Граничные условия к системе (4) формулируются следующим образом: для распространяющихся Е0т -волн:
wAm (0) + ]к1тУт (0) = Д0>й0 2ё+т;
- ™Ат (Ь) + КтК (Ь) = Кт^ЪЬ 2еЬт ; (5)
для закритических Е0т волн: ™Ат (0) + Г^ (0) = Кт*\2ё+т;
- ^ (Ь) + кеЬпу (Ь) = к^Ъь 2е1т; (6)
Здесь к0т =\[-(т / Ъ02 ); кьЬт = ^^ - (У02т > ЪЬ ); е±т , е±т — амплитуды волн
на входе и выходе рупора, соответствующие представлению (2).
Решение краевой задачи (4)-(6) получалось эффективным методом блочной матричной прогонки [5, 6].
Безразмерная мощность, переносимая парциальной Е0т -волной через поперечное сечение волновода в выбранных переменных, выражается следующим образом:
Рт (г) = 2 ) • 1т[ Ат (г) ■ (г)]
2 . (7)
Исходя из представления (2) на регулярных участках мощности прямой и обратной распространяющихся волн в выбранных безразмерных переменных имеют вид:
Р±= 2 ^0т ) • МАт ± ± ^Г^)
2 кт ^ кт ^ . (8)
Для выполнения условий излучения на входном и выходном сечениях рупора (см. рис. 1) в (5), (6) задавалось: на входе:
= !; 4т = 0,т > !.
?
на выходе:
е-т = 0; т > 1. (9)
Диаграмма направленности
При расчете диаграммы направленности будем использовать наряду с цилиндрической (р, р, г) также сферическую (ги декартову (х, у, г) системы координат. Воспользуемся
известными выражениями для вектора Е через эквивалентные источники в раскрыве рупора (Р, р, 0) [7], которые в наших безразмерных переменных имеют вид:
(10)
Е(х, у, г) = Iе + \divl е - рва т
?
Г е 1 ) 21\пВ0]е-^ ,d ,
1 \ -о-Р
Г т 1 ) 2П [пЕ0]е~^ ,
I = -—-11---рd рdр
П 00 Я . (11)
Iе и I m — электрический и магнитный векторы Герца, R - расстояние между точками интегрирования P'(p, р', 0) в раскрыве рупора и точкой наблюденияР(x, y, z) , z>0.
Эквивалентные источники на раскрыве рупора с Eom -волнами имеют следующий вид: [ Zo B 0] = -B((P) Po
[ Z0E0] = jEr P) •р0 (12)
Таким образом, векторы Герца имеют одну компоненту:
^ bL 2п -jR
Iе = I р p = -P- • J \ BP • е]{р~р) • е— • p'dp'dp'
00 Л
^ bL 2п - jR
Im = IP •( =-( •{{ EP • ej • e-— • p'dp'dp' 4n 00 R .
В дальней зоне справедливо разложение [2]: R = V(x - x')2 + (y - y')2 + z2 =Vx2 + y2 - 2(xx' + yy') + x'2 + y'2 =
= r2 -2rp cos Q + p'2 = r, 1 - — cos Q + Pr - r - p cos Q + O
V r r
(13)
r
(14)
После несложных преобразований, заменяя в знаменателе R на r, в числителе R на r - p cos Q, c точностью O ^—j получим:
1 e-jr bL 2n
I p =--—— f B((p) f ej(p-p)ejpcosQp'dp'dp'
4nj r 0 0
1 e~jr bL 2n
I p = -—— f ¡P(P) f eJ(p'-p)eJpcosQp'dp'dp' P Атг r J " J
4n r 0 0 . (15)
^ ^ xx'+ yy' . n . , . Воспользуемся соотношением cos L¿ =-= sin У • cos(p - p) :
rp
- jr bL 2n
I p =--£_ f B0p(P) • f eJ(p-p) • ejpsinycos(p-p)dp'pdp'
4nj r 0 0
1 e-jr bi 2n
ip =-—— f Epp)• f eJ(p'-p) • ejpsin^'cos(p'-p)dp'pdp'
0 0 . (16) 2n
Так как f e}(p-p) • ejpsin^'cos(p-p)dp' = -j2nJ1(psin5) , то векторы Герца приобрета-
ют вид:
I р = р —• 2 \ВрР) • ЗхрЯпЩр^р' = Р0 — • 1В(3) г 2J г
Т т
1 р=(0
е-г 1
г 2
\Ер р) • Зх (р в1п 3)рУр' = р • 4 (3)
После подстановки (17) в (10) и пренебрегая членами 1/ г2, получим:
- }г
Е = 3 • —[¡В(3)• С083 + Ае(3)]
Нормированная групповая характеристика диаграммы направленности [2]:
Е0 „ (3) = Е0(3)/тах Е0(3);
3
(18)
Е0(3) = ¡в (3)008 3 + Де (3)
(19)
Используя (3) получаем выражения для интегралов 1В, 1Е через амплитуды возбуждаемых волн на раскрыве рупора:
4 =-
1В =-
1 ^ \
2Ъь \
Ь)
Ь 0
м
Е Ат -МУ0 т р)
2Ъ
т=1
м
Е ^т "Л^От р)
т=1
•J1(рsin3)рd р Jl(р sin3) рd р
(20)
Критерий оптимизации
Коэффициент усиления антенны определяется как функция отношения мощности в направлении г к общей излучаемой мощности [2]:
0(3) =
Е02(3)
п/2
\ Е02(3) • sin 3d3
(21)
Из вида уравнения (21) естественно выбрать в качестве целевой функции, обеспечивающей максимум коэффициента усиления и минимум отраженной мощности при оптимизации:
тт Гс = тт(Р^ + аР01)
(22)
п/2
где = \ Е02п (3)sin 3d3 , Р01 — отраженная мощность, рассчитываемая по формуле (8), а
— весовой коэффициент.
Результаты оптимизации профиля рупора
При оптимизации нерегулярный участок профиля рупора bv (T) задавался следующей многопараметрической функцией:
bv = b0 + (bL —b0)• P5(T) + Dv(T) . (23)
Здесь T = (z — z0) / Lv, z0, Lv — начало и длина нерегулярного участка. Полином пятой степени P5(T) = T3(10 — 15T + 6T2) задает плавный монотонный переход с радиуса b0 на
bL и обеспечивает непрерывность первой и второй производных в точках сопряжения с регулярными участками. Функция Dv(T) определяет отклонение профиля от монотонного и задается в виде разложений по сдвигам стандартной финитной функции(Рз(x), представляющей В-сплайн третьей степени [8]:
0, |Х>2; (2 — x)3/6, 1 <x<2; ((x) = < [l + 3(1 — x) + 3(1 — x)2 — 3(1 — x)3]/6, 0< x< 1; (3 (—x), x < 0
Dv(T) = £d([T • (K + 3) — k — 1]
k=1
Заметим, что при такой аппроксимации значения коэффициентов соответствуют значениям ((к +1) /(К + 3)) , и при этом обеспечивается непрерывность второй производной.
Параметры ^ (к=1..6) подбирались из условия минимума целевой функции (22). Для сравнения рассчитывались характеристики рупора с монотонным изменением профиля
(Я (т) = 0).
На рис. 2 приведены характеристики рупора с плавным изменением профиля при Ьо = 3 (входное сечение нерегулярной части), Ьь = 8 (выходное сечение нерегулярной части), = 10 (длина нерегулярной части). На рис. 2,а представлены: 1 — профиль Ьу(Т) , 2...9 — нормированные амплитуды волн соответственно Ео1-Ео8. Как видно из рис.2,а, на выходе рупора велика амплитуда волны £02: она равна амплитуде £01 -волны. В результате функция 0(3) оказывается многогорбой (рис. 2,6).
Am 1,75
8
7 b
6 5 4 3 2 1 0
T
G
3
Рис. 2. Характеристики рупора с плавным изменением профиля
На рис. 3 приведены аналогичные результаты для тех же заданных параметров
8
Ь0, Ьь, при минимизации ^ |Ат (£)| (рис. 3,а). Характеристика направленности 0(3) су-
m=2
щественно улучшается (рис. 3,6).
6
б
а
Ап
2,25 2
1,75 1,5 1,25 1
0,75 0,5 0,25 0
О
-3
а б
Рис. 3. Характеристики рупора с плавным изменением профиля при минимизации
Не следует, однако, считать, что минимизация модового состава на выходе рупора решает задачу оптимизации О(3) . На рис. 4 приведены результаты прямой оптимизации 0(3) : распределение 0(3) улучшено по сравнению с предыдущим решением (рис. 4,б), однако мо-довый состав на выходе рупора весьма сложный (рис. 4,б).
А
3,5 т з 2,5 2 1,5 1
0,5
4
2
3
Л/-
0,2
0,4
0,6
0,8
8
7 Ь
6 5 4 3 2 1 0
V
О
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
Т
3
а б
Рис. 4. Характеристики рупора с прямой оптимизацией
Увеличение выходного сечения и длины нерегулярной части рупора должно приводить к улучшению (сжатию) функции 0(3). Для подтверждения этого был рассчитан и оптимизирован вариант рупора с Ъ0 = 3, Ъь = 10 , Ьу = 14,07. На рис. 5 представлены характеристики этого варианта с плавным изменением профиля, на рис. 6 — с оптимизированным по минимуму модового состава на выходе профилем. Очевидны улучшения 0(3) в том и другом случае.
В оптимальном варианте 0тах=13,5. Во всех вариантах отраженная мощность (/01) не превос-
ходит 0,2 % от /0+ .
2,25
Ат 2
1,75 1,5 1,25 1
0,75 0,5 0,25
Т
О
б
Рис. 5. Характеристики рупора с прямой оптимизацией
Ь
V
0
0
з
V
а
Заключение
Приведенные результаты указывают на эффективность предложенного метода оптимизации профиля нерегулярного рупора на E0m -волнах круглого волновода. Одновременно следует
отметить существенную роль высших мод в формировании диаграммы направленности рупора. Управление модовым составом на выходе рупора позволяет существенно улучшить характеристику направленности 0(3) рупора.
THE SIMULATION AND OPTIMIZATION METHODS OF A HORN ON CIRCLE WAVEGUIDE E0m-WAVE PROFILE
A.A. KURAYEV, A.K. SINITSYN
Abstract
The problem of a finding of a profile of a horn providing required mode structure in aperture and the optimum directional characteristic is formulated and solved.
Литература
1. Вайнштейн А.А. Электромагнитные волны. М., 1957.
2. Кюн Р. Микроволновые антенны. Л., 1967.
3. Кураев А.А. Мощные приборы СВЧ. Методы анализа и оптимизации параметров. М., 1986.
4. Гуринович А.Б., Кураев А.А., Синицын А.К. // Электромагнитные волны и электронные системы. 2000. Т. 5, № 6. С. 11-16.
5. БатураМ.П., Кураев А.А., Лущицкая И.В., Синицын А.К. // Доклады БГУИР. 2004. № 4. С. 26-36.
6. Батура М.П., Кураев А.А., Синицын А.К. // Материалы 14-й Междунар. конф. "СВЧ техника и телекоммуникационные технологии". Севастополь, 2004. С. 175-179.
7. Кураев А.А., Попкова Т.Л., Синицын А.К. Электродинамика и распространение радиоволн. Мн., 2004.
8. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М., 1981.
