Методы приближения при исследовании рассеяния света в неоднородной среде Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 535.436

МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ РАССЕЯНИЯ СВЕТА В НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ

О.Ю. Горбунова

Рассмотрено применение методов приближения при решении уравнения переноса для сред с различным показателем анизотропии.

Ключевые слова: уравнение переноса, метод сферических гармоник, диффузионное приближение, малоугловое приближение.

При распространении электромагнитного излучения в вакууме, его интенсивность не изменяется. В реальных средах происходят различные процессы взаимодействия излучения со средой, приводящие к изменению его интенсивности. Основными механизмами взаимодействия излучения со средой являются: ослабление, рассеяние, поглощение, отражение и преломление. Для неоднородных сред интересно рассмотрение процессов многократного рассеяния, исследовать которые можно различными методами, такими как метод уравнения переноса [1], метод диаграмм [2], метод интегралов по траекториям [3]. Каждый из методов может быть использован с различными допущениями. Для классификации сред одним из главных критериев является параметр анизотропии среды g. Если параметр анизотропии среды мал, то изотропная среда рассматривается с помощью методов рассеяния на броуновских частицах или на потоках частиц, а также методом диффузионного приближения. При высоком параметре анизотропии среды исследование неоднородной среды можно провести с помощью модифицированного метода рассеяния на броуновских частицах и на потоках частиц или с помощью метода малоуглового приближения.

Теория переноса, не являясь строгой в математическом отношении, позволяет плодотворно исследовать случайно неоднородную среду. Основными величинами, используемыми в теории, являются лучевая интенсивность, поток, плотность энергии и средняя интенсивность. Общий вид уравнения переноса имеет вид:

1 Э/(гдО +^ 1(г, +т 1(г, &) =Гр\/(т,/,0р£ />£'+5(7; /,0, (1)

с а

где /(т/^) - лучевая интенсивность, равная мощности, которая могла быть принятой из бесконечно малого телесного угла А/ приемником с бесконечно малой апертурой Аа, находящимся в очке т в частотном диапазоне (и,и+Аи) при Аи^-0; ц - коэффициент ослабления (экстинкции); тр - коэффициент рассеяния; с - скорость света в среде.

Уравнение переноса (1) является сложным, поэтому при его решении зачастую прибегают к различным приближениям:

- диффузионное приближение;

- малоугловое приближение;

- метод сферических гармоник.

Использование метода сферических гармоник (или РN - метода) сводится к разложению функции источника и решения в ряд и приводит к системе из (N+1) связанных дифференциальных уравнений в частных производных. Функция источника и лучевая интенсивность при приближении могут быть представлены в виде:

3

/(т,s,t)=U(т,t)+—F(т,t)■ / , (2)

4р

3

З(г, ¿,0 = S0(r,t) л ,

4р

(3)

где F(т,t) - полная плотность потока энергии в точке г в момент времени 1;; и(т^) - средняя интенсивность.

В результате математических преобразований уравнение переноса (1) примет вид:

2 Э -Ор • V + са +—

р Эт

и(г,і) +-

3ВТ

Э 1 Э2

а—I----------

Э с Эт2

и(г, т) =

(4)

т)+-

3£Р

_Э

Э

Зо(г,Т) - cV• Зі(г, т)

где - коэффициент диффузии света, равный

£р =

с

(а+гр)

(5)

Такое приближение верно только для сред, у которых коэффициент поглощения намного меньше приведенного коэффициента рассеяния, то есть а << Тр.

Диффузионное приближение применяется для случаев изотропной среды, а также для анизотропных сред с довольно показателем анизотропии g<0,9 и большим альбедо а~1. Уравнение переноса (4) принимает вид:

_2 са Э -V +—+— Эт

и(г, т) =

сЗ0(Л О £>п

(6)

где 8о(т,0 - функция источника.

Данное приближение неприменимо при исследовании рассеяния на границах раздела сред.

Малоугловое приближение решения уравнения переноса применимо для сред с большим показателем анизотропии. Считается, что фотон отклоняется на незначительный угол от первоначального направления движения при каждом акте рассеяния.

с

с

При рассмотрении света, как потока фотонов, проходящих сквозь случайно-неоднородную среду по различным траекториям, нужно использовать аналитические и стохастические методы интегрирования по траекториям. К аналитическим методам относят метод рассеяния на броуновских частицах и метод рассеяния на потоках частиц, к стохастическим метод Монте-Карло.

Рассеяние на броуновских частицах предусматривает рассмотрение точечных рассеивателей, находящихся в среде. Каждый фотон, проходя сквозь среду по своей траектории, претерпевает п актов рассеяния в некоторых точках г1^гп и создаст на выходе из среды в момент времени тв напряженность электрического поля Еп(тв). Функцию временной автокорреляции электрического поля в многократно рассеянной волне, выходящей из среды в направлении волнового вектора к можно представить в виде:

^ Те ) =1 E{r, ^ t)E\r, ^ Те )\, (7)

где Е(г,к^} - электрическое поле рассеянного света.

Если обозначить последовательные акты рассеяния как д},..дп, где д=к - к1-] , а изменение фазы волны представить как

п

А фп (Тв ) = X д1 АГ1 (Тв ), (8)

1=1

где Аг,(тв) - смещение { - ой частицы за время тв, тогда (2.18) можно переписать в виде:

Е„ (t)Е„ * (t + Те ) » |Е„ (t )|е“,Афт (Те) (9)

Временная автокорреляционная функция рассеянного излучения с учетом (9) примет следующий вид:

¥ ( - и АфП (те Л ]

G1(r, к, Тв) » XI(го, г, п)еV ' , (10)

п=0

где 1(г0,г,п) - интенсивность излучения, проходящего от точки г0 до точки г по траекториям , включающим п актов рассеяния.

Если считать, что случайно неоднородная среда занимает все пространство, то можно получить согласно [2] уравнение для интенсивности:

12 Л

V 4 п£ 2 п у

3 г - го I

412 п

где I = - - средняя длина свободного пробега фотона.

т

При рассмотрении движения рассеивателей в среде как движение броуновских частиц, среднее значение квадрата изменения фазы связано с

коэффициентом диффузии:

(АФ П( xe)) = te ■ n • 4 k 2 D р = ^ п , (12)

1

где т0 =------ - время, за которое отдельная частица смещается на рас-

4k 2Dp

стояние порядка длины волны X.

Данный метод применяется для точечных изотропно рассеивающих

частиц.

При анализе рассеяния на потоках частиц задается функция распределения скоростей частиц рассеивающих свет в среде. Расчеты возможно проводить не только для точечных изотропно рассеивающих частиц, но и для анизотропного рассеяния.

Так как точного решения уравнения переноса в общем виде нет, то и невозможно точно теоретически описать распространение света в случайно неоднородной среде. Однако, метод Монте - Карло позволяет легко учесть особенности среды. Он заключается в компьютерном моделировании процессов распространения света в неоднородных средах.

Направление волнового вектора фотона k определяется источником излучения и может быть не только случайным, но и точно заданным. При рассеянии направление волнового вектора k меняется случайным образом, а плотность вероятности рассеяния фотона определяется фазовой функцией. Метод Монте - Карло позволяет моделировать движение фотона по любой траектории и вычислять вклад таких траекторий в автокорреляционную функцию, а также учитывает рассеяния всех порядков.

Список литературы

1. Зуев В.Е., Копытин Ю.Д., Кузиковский А.В. Нелинейные оптические эффекты в аэрозолях. Новосибирск: Изд-во «Наука», 1980. 184 с.

2. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. М.: Мир, 1981. 281с.

3. Васильева И. А. Основы спектральной диагностики газа с конденсированной дисперсной фазой. М.: Успехи физических наук, Т. 163, №8. 1993. 42 с.

Горбунова Ольга Юрьевна, канд. техн. наук, доц., oysor@mail.ru. Россия, Тула, Тульский государственный университет

METHODS OF APPROACH IN THE STUDY OF LIGHT SCATTERING IN THE HETEROGENEOUS ENVIRONMENT

O. Y. Gorbunova

Considered the application of methods of approximation to the solution of the transport equation for a medium with different indicator anisotropy.

Key words: the transfer equation, the method of spherical harmonics, diffusion approximation, small-angle approximation.

Gorbunova Olga Yurevna, candidate of technical science, docent, oygor@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 004.054

ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ ПОТЕРИ РАБОТОСПОСОБНОСТИ

СИСТЕМАМИ МОНИТОРИНГА ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ РАЗРУШАЮЩИХ ФАКТОРОВ

С. Л. Гусева

Предложен и рассмотрен подход по оценке вероятности потери работоспособности системами мониторинга в условиях воздействия внешних разрушающих факторов. Получена зависимость вероятности выхода из строя систем мониторинга от времени и количества процессов, оказывающих влияние извне.

Ключевые слова: система мониторинга, внешние разрушающие факторы, геометрический закон распределения, вероятность.

Системы мониторинга (СМ) нашли широкое применение как в теоретических науках, так и в практической области жизнедеятельности человека, не затронув лишь немногие ее сферы. В настоящее время, основной областью, в которой они используются, является управление, в частности, информационное обслуживание управления в различных видах жизнедеятельности.

Системой мониторинга называется техническая система, предназначенная для регистрации и измерения различных параметров, включая накопление и обработку поступающей информации индивидуально для конкретного объекта. Из данного определения вытекает основная цель системы мониторинга: постоянная оценка состояния и динамики объекта управления и выработка основных направлений развития [1].

Как и любая техническая система, система мониторинга обладает ненулевой вероятностью частичного или полного выхода из строя, которая обязательно возрастает с той или иной интенсивностью в зависимости от воздействия на нее как процессов «изнутри», так и внешних факторов. Во избежание возникновения чрезвычайных ситуаций (ЧС), которые являются следствием ее наличия, был предложен подход, согласно которому производится оценка вероятности потери работоспособности СМ в условиях не-