Методы подобия поэлементного объединения разнородных данных в задачах надежности и безопасности Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Осташкевич В.А.

МЕТОДЫ ПОДОБИЯ ПОЭЛЕМЕНТНОГО ОБЪЕДИНЕНИЯ РАЗНОРОДНЫХ ДАННЫХ В ЗАДАЧАХ НАДЕЖНОСТИ И БЕЗОПАСНОСТИ

Особенность метода состоит в объединении данных по отработке систем на уровне элементов (агрегатов) с предварительным статистическим анализом их однородности. Такой подход позволяет существенно расширить класс практических ситуаций и увеличить возможности обработки больших массивов данных, получаемых из различных источников. Сопоставимость оценок надежности и безопасности подобных элементов (агрегатов) и систем в целом обеспечивается установлением условий физического подобия процессов, происходящих в системах, обусловливающих их естественные и преднамеренные отказы, и на этой основе осуществляется пересчет оценок надежности и безопасности по соответствующим критериями подобия. Пусть

система А (г = 1п) , содержащая N компонент, представляет собой сложную восстанавливаемую систему, параметр потока отказов которой обозначен, Х Предполагается, что В. - подсистемы, элементы, из которых создается система А -. В качестве таковых В- могут быть подсистемы, детали, узлы, агрегаты и пр. Считается, что Bj (]=1образует полную компонентную (элементную) базу, и считается, что каждый

компонент Bj характеризуется своей интенсивностью отказов (по разным причинам).

В общем случае интенсивность отказов зависит не только от технологических и конструкторских особенностей элемента, но и от других факторов, которые на него воздействуют. Поэтому интенсивность отказов одного и того же компонента (элемента) может различаться в зависимости от того, в какой системе (техническом устройстве) он стоит. Считаем, что матрица

Аі • •5 Ат

X- = Лі • •= Ат

РКі, • •5 Ат

характеризует надежность и безопасность (работоспособность) элементной базы - всего набора технического устройства из этих элементов. Пусть система А содержит элементов типа В. , #2 элементов типа

В2 и т.д., элементов типа ВТ. Отсутствие, например, Вj означает, что # = 0. Тогда вся ин-

формация о структуре технических устройств, системы (А/;...5Ап) может быть представлена в виде матрицы

0ц, . •5 Ж\т

X = «Л • •= аіт (39)

ап\ • 01 пт

Предполагается, что система А представляет собой из подсистем последовательно соединенных независимых элементов. Тогда параметр потока отказов і -ой подсистемы при выполнении определенных условий, которые обычно справедливы при анализе сложных систем, состоящих из последовательно соединенных подсистем (элементов) , можно записать в виде

Л = алХл + аі2\2 +... + аіпХіт (40)

или в векторной форме

Л1 ={а(і) (41)

где Xі и Xі - вектор-строки соответственно матриц (31) и (32).

Следует отметить, что допущение о структуре системы не является принципиальным и полученные ниже результаты можно распространить и на случай и более сложных структур. Данные эксплуатации (отработок) любых технических систем можно представить в виде ^,і = 1,п - полное время отработки систем і -го типа, Яу -суммарное число отказов у - х элементов в системе і -го типа матрицей

вп . •5 Ат

Я = я, і . •’ Ат (42)

Аі • *5 Аїт

Необходима информация, позволяющая связать между собой интенсивность отказов элементов, находящихся в различных условиях. В зависимости от информации возможны следующие основные типовые ситуации.

1. Системы сконструированы (созданы) таким образом, что все элементы в одинаковых режимах и подвержены одинаковым воздействиям. В этом случае надежность элементов одного наименования можно считать одинаковой. В формальном виде это Ху = Хij5Ху = Х? / = 1,П ] = 1,п и матрица (38) заменяется вектор-строкой

Лэ/ = (Л)/5- • -эЛ)т) • В этой идеализированной ситуации осуществляется использование всей информации, содержащейся в полном наборе данных.

2. Подсистемы (элементы) находятся в различных режимах. Известно, что надежность каждого элемента зависит от режима (спектра нагрузок) и может быть записана

Х = Щф(и«) (43)

где М - некоторый параметр, отражающий внутренние особенности /-го элемента или подсистемы (конструктивные и технологические факторы), ф(и) - некоторая функция, позволяющая оценить влияние на

/ -й элемент условий работы, которые ему обеспечены конструкцией и условиями эксплуатации / -й системы. Таким образом эта ситуация не предполагает Л{ = еопз1 на всем многообразии подсистем, в которые они

встроены, также как / -й элемент. При этом предполагается известной связь (43) для каждого элемента (подсистемы) и к исходным данным добавляется матрица

ип uin

ип 1 и„

характеризующая условия работы (режим, нагрузки) j -го элемента в j -ой подсистеме.

Отметим, что рассмотренные ситуации дают возможность использовать модели без потери информации. Их эффективность обеспечивается большой априорной информативностью.

- Элементы работают в различных условиях в зависимости от их места в системе. Здесь вопрос состоит в том, что имеются неоднородные данные по каждому элементу. Признаком этой неоднородности являются существенные различия между числом отказов элементов одного типа в различных системах. Допустим, отсутствует информация, позволяющая привести данные к однородным, либо осуществить разбраковку данных по их однородности. Анализ позволяет лишь указать системы, в которых данный элемент находится в несколько иных условиях, чем в других системах. Обычно наличие дополнительных информации приводит к новым методам и алгоритмам.

- Как и в ситуации 3, элементы, входящие в состав различных систем, находятся в разных услови-

ях нагрузок и воздействий. Информация, описываемая (8.43) также отсутствует, однако известно следующее: каждый элемент, находящийся в некоторой системе, имеет свою надежность, а некоторые и защищен-

ность, отличную от надежности и защищенности этого же элемента в другой подсистеме. Учитывая, что это различие не велико - такое, что можно указать интервал, в пределах которого их показатели надежности и защищенности могут различаться. Это означает, что для любого элемента Bj , входящего в состав

систем (подсистем) А и Асправедливо соотношение Л =Л+С 1^1 *с для всех i = lsn , j = 1,m .

- Распространена ситуация, когда в результате анализа или отработки имеется достоверная информация, что элемент В- имеет надежность более высокую (низкую) в одной подсистеме (например, А ) по сравнению с другими (например,А ). Такая информация может быть получена по результатам анализа спектра нагрузок и режимов работы даже в том случае, если конкретный вид зависимости типа (43) не известен. Эта ситуация в формализованном виде представляется в виде Лу > Л^ ,КФ i Эта ситуация также приводит к моделям с потерей информации.

- Полностью отсутствует информация, позволяющая связать однотипные элементы в разных системах. Это обычно имеет место, если элемент работает в новых условиях (ранее не изученных), или нет информации о спектре нагрузок этого элемента, отсутствует информация о его работе в условиях, в которых он находится в исследуемой системе. Поэтому объединение статистических данных отработки (эксплуатации) разных систем в этих условиях не даст положительного эффекта.

Безусловно, реальные ситуации трудно свести к одной из перечисленных ситуаций. В этих случаях применяется комбинация этих ситуаций. Одни элементы находятся в различных системах и одинаковых условиях (ситуация (1)), по другим мы располагаем данными о режимах, в которых они эксплуатируются, и имеем информацию о нагрузках (43) (ситуация (2)), о третьих элементах нам известны условия, в которых они должны работать более надежно (ситуация (5)), и, наконец, нам ничего не известно (ситуация 6) ) . Для решения практических задач наибольшее распространение получил метод оценивания максимального правдоподобия (ОМП).

Полагая, что число отказов R - го элемента i - й системе подчинен закону Пуассона, запишем логарифм функции правдоподобия в виде

m n

L А , Rj )=zz(j - Rj ЫЛл ) •

i=1 i=1

Задачу оценки по объединенной выборке (42) рассматриваем как задачу получения оценки максимального правдоподобия параметра потока отказов Лк одной из подсистем, устройств (для краткости считаем к = 1), используя всю выборку (42) в качестве исходных данных. В соответствии с общей теорией оценивания, оценкой максимального правдоподобия параметров Л , i = 1,n , i = 1,m и является некоторая функция zki выборочных значений R- , удовлетворяющих соотношению

L (zu (Rj ), Rj )= sup L AkiRj )

при условиях, вытекающих из формализованного представления соотношений между параметрами Л ,

л m

в типовых ситуациях (ТС-1) и (ТС-6) . При этом в силу принципа инвариантности оценка Лk =^akjZkj ,

i=1

где К - номер устройства, подсистемы - также будет оценкой максимального правдоподобия парамет-

m

ра Лк , связанного с интенсивностями отказов зависимостью Лk =^a^z^ . Поскольку показатели надежности

i=1

и защищенности различных устройств и элементов считаются независимыми. Тогда уравнения максимального

правдоподобия для оценки каждого параметра Лп{1 = const, j = 1, m) распадаются на группы независимых

уравнений L (z^ (Re ), Re )^ sup L (Ле, Re ) , где I - номер элемента (устройства).

Таким образом задача получения ОМП параметра Я сводится к получению ОМП параметров каждого элемента (устройства) Я , с использованием статистики, непосредственно относящейся к е - му элементу:

е,--хш,е=\,т.

Пусть оценивается показатель надежности и защищенности Я первой рассматриваемой системы А^ . Перед тем как привести основные расчетные формулы и алгоритмы применительно к ситуациям (1) и (6), отметим, что если не использовать данные других систем А , * = 2,п то ОМП параметра Я у имеет вид

= Я/\ауг1 ] , (44)

Откуда

л (т Л

Я1 = [2 у /ъ

К этой оценке относится вывод формулы при условии ситуации (6), поскольку в условиях полного отсутствия информации относительно связи между Яу и Яу перевод информации быть не может. Отметим, что количество информации, содержащейся в данных первой строки (42) относительно Я равно I Я (Я = 1, т ) = тг / Я , и вся эта информация при оценке Я с использованием (44) используется. В ситуации (1) значения Яу,

остаются постоянными независимо от того, в какой системе А, * = 1, п они находятся, т.е. Я =РЯ (независимо

от г ), можно использовать всю информацию за счет прямого объединения отработочных (эксплуатационных) данных по каждому типу элемента (устройства) в отдельности. В этом случае ОМП, построенная по полному набору выборочных данных, примет вид

т

У Я...

л т у

Я1 = Уаи =~тг—

у=1

У

1=1

Нетрудно увидеть, что такая оценка имеет среднеквадратичное отклонение значительно меньшее, чем ОМП (44). Это обусловлено включением в процедуру оценивания Я большого дополнительного объема данных. Необходимо иметь в виду, что полученный эффект имеет место лишь при выполнении условий, положенных в основу рассматриваемой здесь идеализированной модели.

При ситуации (2) методы ОМП пересчета данных отработки (эксплуатации) системы к одним условиям

У Я

.=1

У{ф(ил)/ ф(ил)} к=1

Я1 - ЯУ -

Ш-

У)

Объединенная оценка для 1-ой системы примет вид

т

т УЯ

а1Г

у=1

Я = Уа —

.=1

Как отмечалось выше, ситуации (3) и (5) не могут обеспечить полного использования всей информации, содержащейся в статистике (42), однако большая часть информации все же может быть использована. Ситуация (3) не позволяет применить метод максимума правдоподобия для объединенной оценки. Для исключения резко выделяющихся данных можно использовать различные статистические критерии, и обработка данных осуществляется в два этапа.

Этап первый - формирование однородных партий по каждому у - му устройству (элементу). Для этого вводится индикатор Зу . По каждой партии ,...,определяется ду .

1 если гипотеза опринадлежности выборки - Хп

согласуется с данными

0 в противном случае

Этап второй - совместная обработка данных по формуле

5Г

Я = У а

УУу

1=1

1у"

у=1

=1

Ситуация 1. Метод максимального правдоподобия приводит к задаче нелинейного программирования

У (у - Яу !п Яу )^Я11

тах

для Я имеет вид

z,, =

)

т

при условии Я. — Я1 у| + ^< Су . Запишем окончательную формулу для объединения данных по каждому устрой-чая объединения данных отработки (эксплуатации) двух систем (у = 1,2) в виде

ству (элементу) для

Я1у Г если

21у =■ Я( С1), если

с2 ), если

Я1/г1 <К2у /г2 — су; (45)

Я1 у /г1 — Я2 у /г2 + Су ■

С использованием (45) объединенная оценка параметра потока отказов системы в целом, устройства, элемента рассчитывается по формуле

п

Я = У

у=1

Ситуация 5. Задача линейного программирования, позволяющая получить ОМП, отличается от вышеизложенной задачи областью допустимых изменений Яу . В этом случае она имеет вид Яу — Яу • Формула для объединения неоднородных данных по у -му элементу имеет вид

|Я . / г если Я . / тх< Я2 ■ / г2;

(+ Я у) / (г + г2 ), если Я2J / Г 2 > Я у / Г! ■

Приведенная формула относится к случаю объединения данных отработки (эксплуатации) двух систем. Обобщение на случай п систем приводит к более сложным вычислениям обработки данных, которая более эффективно может быть реализована с помощью ЭВМ.

В ситуации (6) обработка данных производится по формуле (44).