Методы определения жесткости и необходимой точности численного интегрирования моделей гомогенных химических процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958:541.14

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЖЕСТКОСТИ И НЕОБХОДИМОЙ ТОЧНОСТИ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ МОДЕЛЕЙ ГОМОГЕННЫХ ХИМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

КЛИМЕНКО А.В.____________________________

Доказывается теорема о нахождении необходимой точности численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), являющихся моделями гомогенных химических процессов. Использование утверждения данной теоремы позволяет избежать появления нефизических осцилляций в численных решениях жестких систем ОДУ.

1. Введение

Рассмотрим следующую гомогенную химическую реакцию (т.е. такую реакцию, при которой все ее компоненты равномерно распределены в объеме), представленную стехиометрическим уравнением в виде [1]:

Еа iYi = 0, (1)

i=1

где n — количество веществ Yi, участвующих в реакции (1), a,i > 0 для продукта реакции и a,i < 0 для реагента; a — стехиометрический вектор, который можно записать как разность <х = п-р , где лир — неотрицательные векторы, соответствующие продуктам реакции и реагентам соответственно, причем предполагается, что ЛіРі = 0 , i = 1,2,... (в одной и той же реакции вещество не является и ее продуктом, и реагентом одновременно). В общем случае в рассматриваемой системе может протекать несколько кинетических реакций, которым можно сопоставить матрицу a, столбцами которой являются стехиометрические векторы отдельных реакций. Скорость протекания j -й реакции, таким образом, может быть записана в виде [2]

r= kj riy1Pi,j- к-г ftyN, (2)

i=1 i—1

где к | — константа скорости прямой реакции; k J — константа скорости обратной реакции; yi — концентрации веществ Yi. Используя уравнение (2), можно записать систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), описывающую изменение концентраций реагирующих веществ со временем [2-4]:

dyi m —

= j^i’j _pi,j)rj, i = u, (3)

здесь m — количество химических реакций в рассматриваемом механизме. Концентрации всех веществ заданы в начальный момент времени t = 0 :

y і (0) = y0,i = u. (4)

Для решения систем дифференциальных уравнений разработаны эффективные методы [1,5-8], многие из них включают в себя некоторый алгоритм адаптивного изменения шага интегрирования на основе заданного порога локальной ошибки на шаге. Несмотря на то, что существующие способы контроля погрешности метода на шаге и связанные с ними способы выбора длины следующего шага интегрирования (а также порядка метода для многошаговых методов) разработаны достаточно хорошо, они не позволяют определить максимально допустимый порог локальной погрешности на шаге, при котором численное решение задачи Коши будет находиться в той же допустимой области, что и точное ее решение. Действительно, например, при расчете концентраций веществ, участвующих в некотором механизме реакций, по системе ОДУ (3) возможна ситуация, когда рассчитанные концентрации могут оказаться отрицательными, удовлетворяя, тем не менее, заданной точности вычислений. Однако это может привести к катастрофическим последствиям для качества полученного решения — в лучшем случае оно может просто не соответствовать действительному решению задачи, тогда как в худшем может расходиться. Для того чтобы это продемонстрировать, рассмотрим схему реакций Белоусова-Жаботинского [9]:

A + Y X k1 = 4.72 лмольЛ_1

X + Y ±2^ p k2 = 3 х109 лмоль_1с_1

B + X 2X + Z k3 = 1.5 х104 лмоль_1с_1

2X k4 Q k4 = 4 х 10 лмоль с

Z k5 Y '-Л II о

со следующими значениями начальных концентра-

ций веществ: A = B = 0.066 M , Z = 0.002M ,

P = Q = X=Y=0M

Из рис . 1,а видно, что при установленном пороге

локальной погрешности на шаге 10_5 полученное решение не имеет резких скачкообразных изменений в концентрациях, появляющихся в точном решении с периодом, приблизительно равным 15,5 с (рис. 1,б). Вместо этого в момент времени, соответствующий появлению первого скачка в точном решении, в численном решении появляются нефизические осцилляции с малой амплитудой и некоторые концентрации становятся отрицательными, что приводит к нарушению дальнейшего процесса численного решения задачи и, следовательно, к неправильному результату. Это показано на рис. 2, где приведены распределения концентраций веществ Y и Z .

42

РИ, 2004, № 3

а

Рис. 1. Распределение вычисленных концентраций веществ на примере жесткой системы ОДУ (реакция Белоусова-Жаботинского)

Z при заданной точности 10

Таким образом, для успешного решения систем ОДУ вида (3) (в особенности, жестких систем) необходим метод определения максимально допустимой погрешности решения на шаге, который мог бы быть использован в компьютерных программах для кинетического моделирования, таких как

«KinFitSim» [3, 4]. Кроме того, в универсальных программах должно производиться автоматическое определение жесткости решаемой системы ОДУ для правильного выбора метода приближенного интегрирования.

Целями данной работы являются: 1) обоснование критерия определения порога локальной погрешности численного метода интегрирования, при котором полученное численное решение лежит в той же допустимой области, что и точное решение задачи Коши; 2) формулировка метода оценки жесткости задачи Коши, являющейся моделью гомогенного химического процесса по заданным начальным данным.

2. Метод автоматического определения жесткости систем ОДУ

В общем случае определить априори, является ли данная система ОДУ жесткой или нет, невозможно. Это обусловлено тем, что так называемый коэффициент жесткости системы, определяемый отношением максимального и минимального модулей действительных частей собственных чисел якобиана вектор-функции правой части системы ОДУ, является функцией времени. Таким образом, его значение в начальный момент времени (которое может быть вычислено без решения задачи) может быть близко к единице, указывая на нежесткую задачу [ 1, 8 ], в то время как при t > 0 это значение может быть больше единицы на несколько порядков.

Тем не менее, достаточно надежный критерий для определения жесткости системы ОДУ вида (3) можно получить, рассматривая значения констант скоростей реакций k| и kJ, j = 1, m, которые известны априори. Так как различные скорости реакций в общем случае имеют различную размерность, что обусловлено разным порядком реакций, входящих в моделируемый кинетический механизм, то их прямое сравнение невозможно. В связи с этим введем «эквивалентные» скорости следующим образом. Для начала заметим, что порядок каждой реакции может быть определен как

П

P| = £Pu (5)

І=1

для прямого процесса в реакции с индексом j и

П

py = Z*i,j (6)

І=1

для обратного процесса. Эквивалентные прямые и обратные скорости реакций определим соответственно следующим образом:

kj, экв _ kj ■ У 0, max , (7)

kj, экв = kj 'y0,'max , (8)

где У0, max максимальная из начальных концентраций реагирующих веществ. Данное определение может быть интерпретировано как сведение всех реакций в исследуемом кинетическом механизме к реакциям псевдо-первого порядка.

РИ, 2004, № 3

43

Так как размерности эквивалентных скоростей реакций k+экв и kэкв , j = 1,m совпадают, их значения можно использовать при формулировании следующего «начального» коэффициента жесткости:

So =

max{ max k | экв, max k j экв } ________1<j<m J 1<j<m J_________

min{ min k |экв, min k -"экв} 1< j< m J’ 1< j< m J’

j, экв

> 0

k j, экв >0

(9)

При этом, если So > 100 , то система ОДУ принимается жесткой, в противном случае — нежесткой.

На практике критерий (9) позволяет успешно определять жесткость системы ОДУ и избежать сбоев в работе методов Адамса-Мултона/Гира, между которыми производится выбор по результатам

оценивания значения S0 . Тем не менее, в процессе численного интегрирования целесообразно время от времени проверять следующее отношение, называемое локальным коэффициентом жесткости системы ОДУ [1]:

S(t) = max Re(-X;) / min Re(-X;), (10)

1<i<n / 1<i<n

где A, i = 1,n — собственные числа якобиана правой части (3), если жесткость системы была неправильно определена из анализа S0 . Если S(t) > 100 , система является (локально) жесткой, и (локально) нежесткой в противном случае. При этом система (3) предполагается локально устойчивой, т.е. Re(Xi) < 0, i = 1,n .

В идеальном случае значение локального коэффициента жесткости должно вычисляться и анализироваться на каждом шаге интегрирования, однако это привело бы к неприемлемым вычислительным затратам из-за необходимости решать задачу на собственные значения на каждом шаге. Поэтому целесообразно производить эту процедуру не чаще, чем через каждые 10 временных шагов (внеочередную проверку можно делать, если шаг интегрирования вдруг резко уменьшается, указывая на быстрое изменение решения, или в случае большого числа последовательных неудачных шагов).

Если априорный анализ привел к выводу, что система ОДУ является нежесткой, алокальный коэффициент жесткости (10) показывает, что она является жесткой в данный момент времени t, то процесс решения останавливается и затем начинается заново с использованием жесткоустойчивого метода Гира вместо нуль-устойчивого метода Адамса-Мултона.

3. Выбор необходимой точности интегрирования

Перепишем задачу Коши (3), (4) в следующем (векторном) виде:

y'=f(y), 0 < t < T, (11)

y(0) = y0 , (12)

где y = (У1,У2,---,yn); T — длительность периода наблюдений, которая предполагается конечной во всех последующих рассуждениях.

Рассматриваемая система гомогенных химических реакций принимается замкнутой, т.е. в ней выполняется закон сохранения вещества:

Z yi(t) = b, (13)

i=1

а также предполагается, что в системе ОДУ (11) отсутствуют уравнения с тождественно нулевой правой частью, т.е. отсутствуют вещества с постоянной концентрацией. Заметим, что система ОДУ (11) является автономной, поскольку правая часть (3) не зависит явно от времени (независимой переменной), а также удовлетворяет условиям теоремы о существовании и единственности [10], так как функция f (y) непрерывно дифференцируема по своим аргументам (см. уравнения (2), (3)) в области

G = {(t, у): 0 < t < T, 0 < y < Ь}, (14)

т.е. fi є C1(G), i = 1,n. Компоненты вектора Ь могут быть выбраны большими, чем сумма концентраций всех веществ, участвующих в исследуемой схеме реакций, например:

bk = b +1, k = 1,n . (15)

Тогда решение задачи Коши (11), (12) будет удовлетворять условиям:

0 < y(t) < Ь, t є [0,T], (16)

так как концентрация вещества не может принимать отрицательные значения, а также должна быть ограничена сверху, что следует из непрерывной

дифференцируемости функций yi (t), i = 1, n на замкнутом множестве [11].

Из непрерывной дифференцируемости функции f в G следует также, что сама функция и ее производные ограничены в данной области, т.е.

|fi(y)| ^ M0,

5yj

< M

i,j = 1,n,

t є M . (17)

Докажем следующую лемму о свойствах точного решения задачи (11), (12).

Лемма. Для любого г, 0<т<Т точное решение задачи Коши (11), (12) на отрезке [т,Т] удовлетворяет условиям:

0 < y(t) < Ь . (18)

Доказательство. Функции fi(y), i = 1,n не являются тождественно равными нулю по построению системы ОДУ (11). Из этого и условия (16) следует, что для тех компонент вектора концентраций, для которых yk = 0, соответствующая функция правой части fk (y) должна быть строго положительной в окрестности точки t = 0 . Таким образом, найдется такое т>0, что в момент времени t=x все компонен-

РИ, 2004, № 3

44

ты вектора у будут строго положительны: Уі(т) > 0, i = 1,n .

Рассмотрим теперь поведение функций Уі (t), і = 1,n на отрезке [t,T] и покажем, что на этом отрезке данные функции не обращаются в нуль, путем доказательства от противного.

Предположим, что в некоторой точке t = to этого отрезка одна из компонент вектора у — функция yk(t) — обращается в нуль. Так как функции Уі (t), і = 1,n могут обращаться в нуль не более чем в счетном числе точек (иначе было бы справедливо тождество Уі (t) = 0), и у і (t) > 0, і = 1, n согласно неравенствам (16), то точка t = to является точкой „ dyk

минимума для yk (t). Тогда производная в

точке to должна быть равна нулю и менять знак с отрицательного на положительный при переходе через данную точку, также как и функция правой

части fk(у).

Рассмотрим функцию

m

fk(y) = Z (т k,j -Pk,j) j=i

n п- ■

k 1П У?-

і=1

, -A * k j П Уі

і=1

(19)

в точке t = to . Из суммы в правой части уравнения (19) можно исключить слагаемые, соответствую-

щие реакциям, в которых вещество Yk не участвует (такие слагаемые равны нулю). Обозначим через mpk количество реакций, в которых вещество Yk является реагентом, и через mЛ количество реакций, в которых данное вещество является продуктом. Фиксируя значение времени t в точке to , заметим, что если вещество Yk является реагентом в реакции j, то первое слагаемое в квадратных скобках в выражении (19) зануляется в результате того, что нулевая концентрация yk(to) входит в него в качестве множителя в ненулевой степени. Аналогично, если вещество Yk является продуктом реакции и t = to , то второе слагаемое в квадратных скобках в (19) зануляется. Таким образом, выражение для функции fk(y) в точке t = to можно записать так:

1pk

fk(y(to)) = Z Pk,jskjs ПУі (to) +

s=1 і=1

і * k

m "k , n рі j

- Z *k,jsk 1 Пyrjl(to>

s=1 1=1 .

і * k

(20)

Очевидно, что данное выражение строго положи-

тельно в точке to , так как по предположению в этой точке все концентрации, кроме yk (to ), отличны от нуля, постоянные Pk,js и ^kjs положительны, а константы скоростей реакций k7 и k j1"

JS js

неотрицательны, причем среди них существует как

минимум одна ненулевая константа скорости (в противном случае вещество Yk не участвует ни в одной реакции и должно быть исключено из рассмотрения). Таким образом, выражение в правой части уравнения (20) строго положительно в точке t = to , что противоречит предположению о том, что функция yk(t) имеет в точке to минимум, т.е. fk(y(to)) = o . Функция yk(t) также не может достигать значения bk, что следует из закона сохранения вещества (13) и задания компонент вектора b в уравнении (15). Лемма доказана.

Применим теперь метод Эйлера [ 5, 7] для приближенного решения задачи Коши (11), (12). Основная итерационная формула этого метода имеет вид:

уі+1 = уі + h• f(уі) + пі, (21)

где h — длина шага интегрирования, а П — вектор ошибки дискретизации на шаге i, компоненты которого могут быть оценены как

max

1< j< n

< c0h2, і = 1,2,...

(22)

здесь co — константа, независимая от t и у .

В сделанных предположениях докажем следующую теорему.

Теорема. Если f є C1(G) и на отрезке [o,T] существует решение у(t) задачи Коши (11), (12), удовлетворяющее условиям леммы, то найдется такая граница локальной точности so, что при любом є < so неравенства

ch < minyi < maxyi < bj - ch

(23)

где c = co + 0.5nM°M1 (еПТМ1 _ 1), (24)

для приближенного решения, найденного по формулам метода Эйлера (21), будут выполнены для всех

j = й.

Д о каз ате л ьство. Оценим значение вектора локальных ошибок

£і = у(Т) - уі

(25)

численного решения уі на і -м шаге интегрирования, полученного с помощью формулы (21). Для этого разложим точное решение задачи Коши (11), (12) в ряд Тейлора в окрестности точки ^ = і • h, отбрасывая члены порядка выше 2:

у(й+1) = y(ti)+h

h2 d2y

t=t;

2 d2t

t=\

h2 df

= уСіі) + h f СуСіі» + -yd-

tA

=y(ti)+h f (y(ti))+T If f

t=4

где [ti, ti+1].

РИ, 2004, № 3

45

Локальную ошибку на шаге интегрирования i +1 запишем в виде:

£i+1 = £i + h[f (y(ti)) -f (yi)] +-

h2 [df dy

2 [dy dt

i udf = £ + h— dy

£ +-

y=e

h2

2 dy

t=%

f (y(O) - ni

t=4

n

где вектор-функция 0 лежит «между» y(ti) и yi, i = 1,2,.... Оценим теперь норму вектора локальных ошибок:

i + 1 < i + h df i h2 df

£ £ £ ^

dy y=0 2 dy t=%

|f (y©)||-

+

ni

< (1 + nhM1)

£i + h2M,

где M = nc0 + n2M0M^2 . Полученную оценку можно переписать в виде [7]:

є 2,j = (bj - yj, max V2 , и будет выполняться неравенство

yj(t) + e<bj-є . (29)

Таким образом, выбирая предел локальной точности для численного интегрирования как

є0 = min [min(e1 j,Є2 j)]

1<j<n ,J ,J

и объединяя неравенства (26)-(29), получим, что

(enTM1 -1)

чис-

для любого h < є0 /c , где c = —M-01 nM1

ленное решение будет удовлетворять двойному неравенству (23). Теорема доказана.

Из нее следует, что всегда найдется такая граница локальной точности, что численное решение, найденное по методу Эйлера, будет лежать в пределах области G и, более того, оставаться строго

положительным для всех t є [т, T].

£

i+1

M (e(i+1)nhMj nMj (

1).

Таким образом, максимальная ошибка на шаге интегрирования по методу Эйлера допускает следующую верхнюю оценку:

£І| <Є = h^L(en™1 - 1)

nM1 ,

(26)

и такая же оценка справедлива для компонент вектора £ , так как |є;| <||£||, i = 1,n .

Возвращаясь к определению локальной ошибки (25) и используя полученное неравенство (26), можно записать

или

yj(ti) - yj ^ j = 1,n

yj(ti) - y} j = 1,n .

Таким образом, для численного решения справедливо следующее двойное неравенство:

yj(ti)у} ^yj(ti)^ С j =1,n . (27)

Согласно лемме, доказанной выше, точное решение задачи Коши y (t) удовлетворяет условиям (18). Так как каждая компонента yj (t) вектора y (t) является непрерывной функцией на замкнутом промежутке м , то по второй теореме Вейершт-расса [11] она достигает на этом промежутке своего наименьшего и наибольшего значения, которое мы обозначим y j, min и У j, max соответственно. Тогда всегда найдется такое значение шага интегрирования hj,j, что для любого h < hjj значение локальной ошибки є , оцениваемой по неравенству (26), будет меньше, чем ej,j = yj,min/2 , и будет выполняться неравенство

yj(t)-є>є. (28)

Аналогично, найдется такое значение шага интегрирования h2,j, что для любого h < h2,j значение локальной ошибки є будет меньше, чем

Результат данной теоремы будет также справедлив и для других методов, которые отличаются от явного метода Эйлера только более высоким порядком аппроксимации: є = chp , где c — константа, независимая от t и y, p — порядок метода (например, жесткоустойчивый метод Гира фактически является неявным методом Эйлера и имеет порядок аппроксимации p = 2 ).

Таким образом, теперь мы можем сформулировать критерий определения необходимого порога локальной точности, при котором полученное решение будет целиком лежать в физической области, исключая, следовательно, нефизические осцилляции: полученные численно значения концентраций в задаче Коши (3), (4) должны оставаться неотрицательными:

у") > 0 , j = 1,n (30)

для любого номера i шага интегрирования. Численное решение начинается с некоторой фиксированной точностью (скажем, є = 10_7 ). В случае нарушения условия (30) во время расчета, процесс решения останавливается и затем повторяется сначала с границей локальной погрешности є := є/10 . Если необходимо, подобный пересчет производится несколько раз, пока полученное численное решение не будет удовлетворять критерию (30). Согласно доказанной теореме всегда существует такое значение є, при котором условие (30) выполняется. На практике целесообразно ограничить уменьшение значения є машинной точностью ЭВМ, на которой производятся вычисления.

4. Выводы

Разработанные методы позволяют определять максимально допустимую точность численного интегрирования систем ОДУ, являющихся математическими моделями гомогенных химических процессов, и жесткость решаемых систем ОДУ. Сформулированный впервые критерий позволяет избежать

46

РИ, 2004, № 3

получения неправильного решения из-за выхода численного решения за пределы допустимой области.

Эти новые подходы используются в последней версии программы «KinFitSim» (2.0), где они были внедрены и апробированы в ходе численного решения различных схем кинетических реакций (т.е. жестких и нежестких систем ОДУ). В данной публикации описаны впервые исследованные свойства точного и численного решений автономных систем ОДУ специального вида и сформулированы в виде леммы и теоремы.

Литература: 1. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Под. ред. Дж. Холла и Дж. Уатта. М.: Мир, 1979. 312 с. 2. Клименко А.В., Свирь И.Б. Моделирование кинетических механизмов для фотохимического анализа / АСУ и приборы автоматики. 2002. Вып. 121. С. 30 - 34.

3. Svir I.B., Klymenko А. V., Platz M.S. KinFitSim — a software package to fit kinetic data / Радиоэлектроника и информатика. 2001. № 1. С. 132-136. 4. Svir I.B., Klymenko A.V., Platz M.S. The KinFitSim package — a

software package to fit kinetic data to any mechanism / АСУ и приборы автоматики. 2001. Вып. 116. С. 24 — 38. 5. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973. 632 с. 6. Хайрер Э, Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи: Пер. с англ. М.: Мир, 1990. 512 с. 7. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука, 1982. 255 с. 8. Gear C. W. Numerical initial value problem in ordinary differential equations. Prentice-Hall, 1971. 253 p. 9. Жаботинский А.М. / Биофизика, 1964. № 9. С. 306. 10. ПонтрягинЛ. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1982. 331 с. 11. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х томах. Т. 1. Физматлит, 1948. 680 с.

Поступила в редколлегию 28.08.2004

Рецензент: д-р техн. наук, ст. науч. сотр. Свирь И.Б.

Клименко Алексей Викторович, старший научный сотрудник лаборатории “Математического и компьютерного моделирования” ХНУРЭ. Научные интересы: численное моделирование физико-химических процессов, программирование, уравнения математической физики. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14.

УДК 621.382.323

МОДЕЛЬ ПТШ СУБМИКРОННЫХ РАЗМЕРОВ НА КРЕМНИИ.

ЧАСТЬ I. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

ЗУЕВ С.А., СТАРОСТЕНКО В.В.,

ТЕРЕТПЕИКО В.Ю, ЧУРЮМОВ Г.И., ШАДРИНА.А.__________________________

Предлагается модель кремниевого полевого транзистора с затвором Шоттки субмикронных размеров с учетом процессов переноса и локализации тепла в приборе. Модель по топологии прибора и уровням легирования позволяет рассчитать его интегральные и дифференциальные характеристики, исследовать различные режимы, в том числе и нехарактерные для номинального режима работы. Моделирование проводится в кинетическом приближении методом крупных частиц.

Введение

В настоящее время деятельность по моделированию полупроводниковых приборов и технологических процессов при их создании весьма активна. Однако работа по созданию эффективных методов расчета и универсальных быстродействующих программ еще далеко не завершена.

Общее состояние моделирования материалов для полупроводниковых приборов (ППП), систем и устройств с ППП наиболее полно отражено в монографиях Хокни, Иствуда [1] и Бубенникова [11].

Анализ современного состояния вопроса показал, что существует потребность в моделях полупроводниковых приборов субмиллиметрового диапазона,

позволяющих по геометрическим и электрическим параметрам рассчитывать их интегральные и дифференциальные характеристики, исследовать влияние различных факторов на режимы работы приборов, проводить анализ и выбор материалов, оптимизировать характеристики приборов по определенным конструктивным параметрам, исследовать нестандартные режимы работы. Подобного рода модели должны позволять рассчитывать широкий спектр характеристик приборов на ультракоротких временах, исследовать влияние различных процессов рассеяния на его характеристики, анализировать шумы, учитывать то обстоятельство, что технологические размеры моделируемых приборов весьма малы (размеры неоднородностей сравнимы с дебаевской длиной волны носителей) и характерные частоты прибора очень высоки (периоды рабочих частот соизмеримы с характерными временами рассеяния). Данные требования не позволяют использовать модели, соответствующие достаточно грубым приближениям, таким как, например, дрейфово-диффузионное, квази- или псевдогидродинамическое; и даже гидродинамическое приближение не может быть использовано из-за ограничения характерной длины между столкновениями частиц. Таким образом, при описании процессов, протекающих в приборах на очень высоких частотах, необходимо применять кинетическое приближение.

Целью настоящей работы является рассмотрение топологической модели СВЧ полевого транзистора планарной архитектуры с затвором Шоттки на основе кремния. Поскольку в полевом транзисторе планарной архитектуры смысловую нагрузку несут только два измерения, целесообразно рассматривать двумерную структуру, полагая, что в третьем направлении перенос носителей в среднем равен нулю.

РИ, 2004, № 3

47