CC BY
92
УДК 517.9
МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОГО АНАЛИЗА ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОИЗВОДСТВА КЛИНКЕРА
© А.М. Шмырин, И.А. Седых, А.П. Щербаков
Ключевые слова: критерии хаоса; корреляционная размерность; показатель Херста.
Рассматриваются и проверяются критерии хаотичности временных рядов, определяется степень хаотичности модульных характеристик производства клинкера.
1. ВВЕДЕНИЕ
Цементное производство является сложным объектом с точки зрения моделирования процессов, проходящих в печах обжига клинкера. В статье поставлена задача проверки хаотичности временного ряда модульных характеристик сырьевой муки, поступающей в печь.
2. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОБЖИГЕ КЛИНКЕРА
Клинкер получают обжигом до спекания тонко дисперсной сырьевой муки, состоящей из известняка, глины, шлакового щебня и других материалов [1]. Качество клинкера характеризуется его химическим, минералогическим и фазовым составами.
По имеющимся измерениям химического состава сырья рассчитываются т. н. модульные характеристики - икл (силикатный модуль), рш (глиноземный модуль), КНкл (коэффициент насыщения):
8Ю2%
А1?03% +
Ркл =-
бЮ2%
Ре203% ;
(1)
(2)
Рис. 1. Изменение силикатного модуля ию
3. АВТОКОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ
Автокорреляционная функция (АКФ) часто используется при анализе сигналов и временных рядов. Определим АКФ исходного ряда данных силикатного модуля икл для шага т е 1,... 15 . На рис. 2 показана коррело-грамма АКФ.
Из полученных данных следует, как минимум, два вывода:
1) максимальным оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, что говорит о наличии определенной тенденции без каких-либо периодических скачков и сезонных изменений;
Са0% -1,65 • А1203% - 0,35 • Бе203%
КНкг, —-
2,8 • 8Ю2%
(3)
Параметры икл, ркл и КНкл фиксируются ежедневно, поэтому можно говорить о временном ряде. Для более наглядного представления построим график изменения силикатного модуля икл сырьевой муки за год (рис. 1).
Таким образом, изменение силикатного модуля визуально носит хаотический характер. На производстве значение модулей поддерживается в определенных технологических пределах, однако в этих пределах важным представляется исследование хаотичности параметров икл, ркл и КНкл как входного процесса. Для этого рассчитаем некоторые критерии, позволяющие получить количественную оценку хаоса [2-3].
Рис. 2. АКФ ряда силикатного модуля
2) автокорреляционная функция спадает с увеличением лага, что говорит о «потере информации» у последующих значений ряда от предыдущих, о непериодической или хаотической последовательности. Это объясняется тем, что, вообще говоря, показатели силикатного модуля независимы в различные периоды времени.
Из данного вида АКФ, таким образом, можно сделать вывод о непериодическом расположении значений силикатного модуля в разные моменты времени вокруг какого-то среднего значения.
Аналогичные результаты при расчете АКФ показывают ряды данных глиноземного модуля и коэффициента насыщения.
4. ОБЗОР МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ НА ХАОТИЧНОСТЬ
В 1971 г. Рюэль и Такенс ввели математический образ динамического хаоса - странный аттрактор [3-6]. Характеристикой аттракторов является размерность, причем известно, что размерность странного аттрактора дробная (или фрактальная). Размерность определяет количество информации, в рамках указанной точности необходимое для задания координат точки, принадлежащей аттрактору. Фрактальную размерность находят с помощью покрытия множества таких точек ячейками заданной формы и размера.
Определить размерность аттрактора можно следующим образом. Пусть N(8) - минимальное число п-мерных кубиков (ячеек) с ребром 8, необходимых для покрытия множества:
* С.) ^,
(4)
где В - размерность рассматриваемого множества.
Например, для точки, линии и плоскости значение В будет 0, 1 и 2, соответственно. Прологарифмировав выражение (4) и устремив е ^ 0 (N(е) ^ ж), получим формулу для вычисления фрактальной размерности Вр:
Вр = нтМ(£)
е^о 1п(1/ е)
(5)
Фрактальная размерность, определенная с помощью покрытия множества ячейками заданной формы и размера, называется емкостью множества. Емкость не учитывает следующее важное обстоятельство: при покрытии множества фиксированными ячейками нельзя установить, сколько раз точки данного множества попадают в ту или иную ячейку. А так как странные аттракторы пространственно неоднородны, то необходима мера, взвешивающая каждый непустой элемент покрытия с помощью относительной частоты попадания в ячейку.
Такие размерности называются вероятностными. К их числу относят наиболее применяемую на практике корреляционную размерность Вс, определяемую соотношением:
В = 1т
1п С(е) Н1 Р'
м0 1п е
1п е
(6)
где р1 - вероятность того, что одна точка аттрактора принадлежит г'-й ячейке; 8 - размер ячеек; С(8) - суммарная вероятность по N(8) ячейкам того, что две точки аттрактора разделены расстоянием меньше 8.
Для вычисления корреляционной размерности и реконструкции аттрактора используют алгоритм Грассбергера-Прокаччиа [2-3] вместе с методом Та-кенса [6]. Имеется выборка N значений наблюдаемой дискретной переменной хг (I е1...N). Для реконструкции аттрактора необходимо задать некоторые целые значения р и т, называемые временной задержкой и размерностью вложения, соответственно (р = 1,2,3,...;
т = 1,2,3,...). Тогда можно построить т-мерный вектор, компонентами которого являются значения дискретной переменной в моменты времени г', г+р, г+2р, г'+(т-1)р:
г1 {хг, хг+р ,.■■, Хг+(т-1) р}
(7)
Поскольку размерность вложения т неизвестна, то в результате последовательного добавления компоненты вектора ъ при каждом т = 1, 2, 3, ... вычисляется корреляционная размерность Вс. В полностью детерминированных системах при увеличении т размерность Вс будет сходиться к своей истинной величине, а та размерность т, начиная с которой Вс перестает изменяться, является минимальной размерностью вложения, т. е. наименьшей целой размерностью пространства, содержащего весь аттрактор. Сходимость объясняется наличием корреляции между точками внутри фрактала, которая сохраняет свою истинную размерность при вложении в размерность более высокого порядка.
Оценка значения С(е) находится следующим образом:
N (е) л NN ,
С(е) = IР2 = ^2116НК "2Ст(е) , (8)
¿=1 ]=1
где ¿, ] е 1.. N ; 9 - функция Хевисайда, значения которой вычисляются по формуле:
9( х) =
1, х > 0, 0, х < 0.
Величина Ст(8) называется корреляционным интегралом, она является оценкой значения С(8) при достаточно больших значениях выборки N.
Несколько иначе обстоит дело в системах с наличием белого шума. В таких системах корреляционная размерность Вс увеличивается с ростом размерности вложения т.
Таким образом, метод определения корреляционной размерности данных с помощью вложения их в
¿=1
пространство подходящей размерности позволяет отличать детерминированный хаос от случайного шума. Особый интерес представляет задача о выделении степени детерминированности наблюдений, т. е. оценки компоненты ряда, которая образует странный аттрактор в некотором фазовом пространстве вложения конечной размерности, и компоненты, которая является, по сути, случайным шумом.
В [7] приводятся результаты расчетов по оценке влияния на рост корреляционной размерности мультипликативной случайной компоненты ряда с дисперсией, равной дисперсии исходного ряда. Для этого рассматриваются ряды известных нелинейных уравнений, порождающих детерминированный хаос. В числе этих уравнений - генератор Ван дер Поля, отображение Эно, отображение Икеды, система Лоренца и др. Для каждого из перечисленных детерминированных рядов Ок (элементы которых обозначим g¡, I = 1,...,Л0 создаются два ряда, содержащие в разной пропорции случайную компоненту:
- полностью хаотизированный случайный ряд (полученный путем случайного перемешивания исходного ряда). Обозначим его с элементами
¡ = 1,...,М
- частично детерминированный ряд имеющий а% детерминированного хаоса и в% случайного. Элементы ряда получаются по следующей формуле:
Ъ — gt• i — 1,...Д, а + Р — 1. (9)
Для ряда наблюдений E = {ег} (i = 1, ..., N) выбирается промежуток времени n и организуется цикл по к от 1 до (N-n+1). При к = 1 выбираем первые n наблюдений еь e2,..., en и вычисляем их среднее значение M1n. Рассчитываем значение накопленных отклонений:
m
Xm =Е (e - Mn), m < n . (11)
i=1
При к = 2 выбираем следующие n наблюдений e2, e3,., en+1 и вычисляем их среднее значение M2n иX2m:
m+1
X2m =Х (e - M2n ) . (12)
i=2
Повторяя процесс для всего цикла по к, получаем (N - n + 1) значений кумулятивных отклонений Xkm, для которых вычисляем размах по формуле:
Rn = max(Xkm) - minX^) . (13)
Херст ввел следующее соотношение:
RJS = (an)H. (14)
Откуда, прологарифмировав, получаем:
Для всех рядов находится последовательность корреляционных размерностей, соответствующих размерностям вложений. Далее для каждого ряда по этим корреляционным размерностям строится линейная регрессия. В результате была установлена зависимость между коэффициентами наклона полученных регрессий и долей в% случайного хаоса в частично детерминированных рядах. Данная зависимость выражается уравнением:
H_ln(RjS) ln(an)
(15)
Y = -1,13X2 +1,98 X,
(10)
где независимой переменной X является значение коэффициента наклона прямой регрессии последовательности корреляционных размерностей Бс при различных пространствах вложения т, а зависимой переменной У - доля в% случайного хаоса.
Оценка качества построенной регрессии показала, что коэффициенты регрессии значимы, и сама регрессия адекватна эмпирическим данным. Оказывается, что просматривается четкая тенденция к увеличению наклона в регрессии корреляционных размерностей при возрастании случайной хаотической компоненты в ряду наблюдений [7].
В результате проведенного в [7] исследования можно оценить долю в% случайного хаоса (или уровень «белого шума») для любого временного ряда по формуле (10).
Для продолжения исследования и получения более достоверных результатов воспользуемся методом нормированного размаха (Л/£-анализ) [2]. С помощью этого анализа можно определить постоянную Херста, являющуюся важной фрактальной характеристикой временного ряда.
где S - среднеквадратическое отклонение рассматриваемого ряда; а - константа из интервала (0, 1); Н -постоянная Херста.
Значения и смысл постоянной Херста следующие:
- если Н = 0,5, то временной ряд состоит из последовательности случайных независимых (некоррелированных) величин. Это т. н. «белый шум» с максимальной хаотичностью и наименьшей прогнозироемостью;
- если 0 < Н < 0,5, то это свидетельство антипер-систентности (неустойчивого состояния) ряда, характеризуемого т. н. «розовым шумом». То есть если такой ряд возрастал в предыдущий период, то он, скорее всего, будет убывать в последующий период, и наоборот;
- если 0,5 > Н > 1, то ряд соответствует «черному шуму», т. е. ряд имеет долгосрочную память, он будет персистентным, а при значениях Н заметно превосходящих 0,5, еще и трендоустойчивым. Значения Н > 1 говорят о наличии стационарности и четкого выраженного тренда.
5. РАСЧЕТ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ РАЗМЕРНОСТИ, СТЕПЕНИ ДЕТЕРМИНИРОВАННОСТИ И ПОКАЗАТЕЛЯ ХЕРСТА МОДУЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЫРЬЕВОЙ МУКИ
Рассчитаем значения Бс при различных т (т = 1,...,10), найдем в% и Н для ряда значений модульных характеристик сырьевой муки цементного завода. Критерии хаотичности для всех модульных характеристик приведем в табл. 1.
Таблица 1
Значения критериев хаотичности для модульных характеристик сырьевой муки
Показатели пкл pm КНкл
Dc (для m = 1) 0,926 0,914 0,87
Dc (для m = 10) 5,112 5,621 5,441
ß, % 67,5 71,9 72,8
H 0,112 0,199 0,108
В табл. 1 представлены значения Вc только для пространств вложения т = 1 и т = 10, при этом, по результатам расчетов, размерность Вc каждой модульной характеристики не сходилась к каким-либо постоянным значениям, возрастая по мере увеличения пространства вложения от 1 до 10. Из этого следует, что ряды модульных характеристик не являются полностью детерминированными, их хаотичность во многом определена случайными компонентами.
Значения случайной компонента: в% каждой из модульных характеристик приведены в 3-й строке табл. 1. По этим данным можно сказать, что хаотизация ряда значений силикатного модуля на 67,5 % определена случайной компонентой и на 32,2 % - детерминированной, это подтверждает гипотезу о хаотичности и недетерминированности поступающих данных. Аналогичные выводы следуют для глиноземного модуля (в = 71,9 %) и коэффициента насыщения (в = 71,9 %).
Расчет показателя Херста H дал следующие результаты: для всех модульных характеристик H < 0,5. Это говорит об антиперсистентности рядов, т. е. такие ряды сильно изменчивы.
Исходя из рассчитанных параметров входной процесс в значительной мере можно считать хаотическим и недетерминированным. Данные условия необходимо учитывать при моделировании печи обжига клинкера.
6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе выдвинута гипотеза о хаотическом поведении временных рядов значений модульных характеристик сырьевой муки цементного производства.
Предположение сделано исходя из предпосылки о невозможности достаточно точно рассчитать в массе сырьевой смеси такое соотношение химических элементов, которое бы давало при каждом измерении заранее заданные (или заранее известные) значения модуля. Технологически можно поддерживать значение модулей в определенных пределах, распределяя конкретные значения около каких-то средних значений. Однако такое распределение является хаотическим.
В работе приведены автокорреляционная функция, корреляционные размерности, процент детерминированности и постоянная Херста рассматриваемых рядов. Полученные результаты подтверждают гипотезу о хаотичности временных рядов модульных характеристик сырьевой муки.
7. ЛИТЕРАТУРА
1. Голованова Л.В. Общая технология цемента: учеб. для средних проф.-техн. училищ. М.: Стройиздат, 1984. 118 с., ил.
2. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2001. 296 с.
3. Ширяев В.И. Финансовые рынки: Нейронные сети, хаос и нелинейная динамика: учеб. пособие. 4-е изд. М.: КРАСАНД, 2011. 232 с.
4. Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение: учеб. пособие. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2011. 208 с.
5. Малинецкий Г.Г.Математические основы синергетики: Хаос, структуры, вычислительный эксперимент. Изд. 6-е. М. : Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. 312 с.
6. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence // Dinamical Systems and Turbulence / ed. by D.A. Rand and L.S. Young. Warwick, 1980; Berlin, 1981. Р. 366-381.
7. Яновский Л.П., Филатов Д.А. Анализ состояния финансовых рынков на основе методов нелинейной динамики // Экономический анализ: теория и практика. 2005. № 17 (50). С. 5-15.
Поступила в редакцию 25 апреля 2014 г.
Shmyrin A.M., Sedykh I.A., Shcherbakov A.P. METHODS OF NONLINEAR ANALYSIS IN THE STUDY OF THE CHARACTERISTICS OF CLINKER PRODUCTION
Chaotic criteria of time series, degree of randomness of modular characteristics of clinker production are reviewed and validated.
Key words: chaos criteria; correlation dimension; Herst's parameter.
Шмырин Анатолий Михайлович, Липецкий государственный технический университет, г. Липецк, Российская Федерация, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой высшей математики, е-mail: amsh@lipetsk.ru
Shmyrin Anatoliy Mikhailovich, Lipetsk State Technical University, Lipetsk, Russian Federation, Doctor of Technics, Professor, Head of High Mathematics Department, e-mail: amsh@lipetsk.ru
Седых Ирина Александровна, Липецкий государственный технический университет, г. Липецк, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, е-mail: sedykh-irina@yandex.ru Sedykh Irina Aleksandrovna, Lipetsk State Technical University, Lipetsk, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of High Mathematics Department, e-mail: sedykh-irina@yandex.ru
Щербаков Артем Петрович, Липецкий государственный технический университет, г. Липецк, Российская Федерация, аспирант специальности «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», ассистент кафедры высшей математики, е-mail: 6dragon9@mail.ru
Shcherbakov Artyom Petrovich, Lipetsk State Technical University, Lipetsk, Russian Federation, Post-graduate Student, "Mathematical Modeling, Numeral Methods and Complexes of Programs" Specialty, Assistant of High Mathematics, e-mail: 6dragon9@mail.ru
