CC BY
28
В модели системы передачи дискретной информации фазоманипулированными сигналами результат моделирования должен быть получен в виде сигнала на оси времени, что позволяет применить метод перекрытия при сложении [3].
Таким образом, учет свойств используемого математического аппарата в программной реализации предложенной комплексной модели позволяет
рассматривать простые и сложные фазоманипулиро-ванные сигналы неограниченной длительности с разрешением достаточным для аппроксимации межфазовых переходов и различных форм огибающей элементарной посылки, а также учет искажения формы полезного сигнала в различных элементах радиоэлектронных устройств.
ЛИТЕРАТУРА
1. http://www.emc-problem. net
2. Остроумов, И.В. Разработка имитационных моделей систем передачи дискретной информации с использованием простых и сложных фазо- и частотно- манипулированных сигналов[Текст] / И.В. Остроумов // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2014. - Т. 10, № 6. -С. 74-76.
3. Нуссбаумер, Г. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток: пер. с англ. / Г. Нуссбаумер- М.: Радио и связь, 1985. - 248 с.
4. Макаров, О.Ю. Основные принципы применения программных средств при решении задач обеспечения ЭМС и помехоустойчивости[Текст]/ О.Ю. Макаров, М.А. Ромащенко// Радиотехника.- 2013.- № 3. -С. 98-102.
5. Способы контроля помехозащищенности передачи данных, И.В. Свиридова, И.В. Остроумов, А.В. Муратов // Труды международного симпозиума надежность и качество. - 2013. - Т. 2. - С. 17.
6. Артемов И.И. Модель развития фреттинг-коррозии в поверхностном слое листа рессоры / Артемов И.И., Кревчик В.Д., Меньшова С.Б., Келасьев В.В., Маринина Л.А. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. 2011. № 1. С. 213-224.
7. Горячев Н.В. Стенд исследования тепловых полей элементов конструкций РЭС/ Н.В. Горячев, И.Д. Граб, А.В. Лысенко, П.Г. Андреев, В.А. Трусов //Труды международного симпозиума Надежность и качество. 2008. Т. 2. С. 162-166.
8. Основные свойства и параметры циклических и корректирующих кодов, Остроумов И.В., Свиридова И.В., Муратов А.В., Труды международного симпозиума надежность и качество. - 2013. - т. 2. - с. 17-19.
УДК 621.396 Саушев А.В.
ФГБОУ ВО «Государственный университет морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова», Санкт-Петербург, Россия
МЕТОДЫ НАЗНАЧЕНИЯ ДОПУСКОВ НА ПАРАМЕТРЫ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПУТЕМ ЛИНЕЙНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ГРАНИЧНЫХ ТОЧЕК
Введение. Решение задач параметрического синтеза и диагностирования технических систем (ТС) в большинстве случаев требует задания их областей работоспособности не только совокупностью граничных точек, но и поверхностями, аппроксимирующими эти точки. Известные алгоритмы основаны на линейной аппроксимации выпуклых оболочек [1, 2]. При использовании для этой цели поверхностей второго порядка и выше находит применение лишь аппроксимация области работоспособности одной замкнутой поверхностью, что приводит к значительным погрешностям [1].
Для анализа методов построения выпуклых оболочек (областей работоспособности с линейно зависимыми допусками) введем следующие критерии:
1) время проверки выполнения условий работоспособности.
Под условиями работоспособности понимаются заданные соотношения между параметрами системы и допустимыми пределами их изменения [1].
Условия работоспособности могут быть односторонними и двухсторонними и для второго (более общего) случая имеют вид:
Yjmin < Yj = Fj(X) < Yjmax, J =
Zjmn < ZV = Fj (X) < Z^, V = U; (1)
Xmin < X- < X-max' - = Ü■
В системе неравенств (1) Y,max ( Zjmax ), Y,min
соответственно максимально и
(>, У/(г;)
минимально допустимое и текущее значения ^-го
выходного (1-го внутреннего) параметра, F (X) -
оператор связи первичных и выходных параметров.
Форма задания границы области работоспособности должна обеспечивать как можно меньшее время проверки условий (1). Это требование сокращает выработку ресурса ТС, повышает эффективность систем контроля, позволяет диагностировать ТС непосредственно перед запуском в работу. Минимизация этого критерия особенно важна при контроле многопараметрических ТС, а также
при их разовом использовании, ограниченным временем контроля и т.п.;
2) время аппроксимации области работоспособности.
Минимизация этого критерия сокращает затраты машинного времени на аппроксимацию области работоспособности и, как следствие, расширяет область применения метода;
3) количество параметров, учитываемых при аппроксимации области работоспособности, которые необходимо хранить в памяти ЭВМ.
Такими параметрами могут быть коэффициенты гиперплоскостей выпуклой оболочки, координаты граничных точек, через которые проведена данная гиперплоскость, и т.д. Сокращение числа этих параметров позволяет для выбранной ЭВМ строить области работоспособности более высокой размерности;
4) универсальность метода.
Критерий определяет возможность применения метода аппроксимации области к различным видам множеств векторов, соответствующих работоспособным состояниям ТС. Такими ограничениями на множества могут быть требования их выпуклости, односвязности, малой размерности;
5) точность аппроксимации области работоспособности.
Этот критерий позволяет сравнивать по точности различные методы аппроксимации областей работоспособности для заданных граничных точек.
В докладе рассматриваются методы назначения допусков на параметры технических систем, характеризующиеся высокой эффективностью и позволяющие аналитически описывать их области работоспособности при высокой размерности пространства параметров.
Постановка задачи. Среди известных методов аппроксимации областей работоспособности выделяются два основных направления. Первое из них связано с аппроксимацией выпуклых оболочек, включающей все граничные точки. К нему относятся методы аппроксимации разделяющих кусочно-линейных гиперплоскостей из теории распознавания образов [3]. Применение этих методов приводит к появлению ошибок 1 и 2 рода, поэтому для
аппроксимации областей работоспособности по граничным точкам они, как правило. не используются.
Второе направление предусматривает аппроксимацию областей работоспособности с линейно зависимыми допусками в виде выпуклой оболочки, «натянутой» на граничные точки [4]. Точность аппроксимации при этом определяется только дискретностью граничных точек. Методы позволяют задать область работоспособности системой линейных неравенств (гиперплоскостей), проведенных через упорядоченные определенным образом граничные точки:
+ Ь, < 0,] = й , (2)
1=1
где а а , Ъ: - коэффициенты неравенств; б - ко-Jl J
личество линейных неравенств; п - размерность пространства первичных параметров.
Количество неравенств можно вычислить по
приближенной формуле: И = 2(п +1) + п(N — п — 1) — N ,
где N - число граничных точек области работоспособности.
Проверка выполнения условий работоспособности ТС при задании области линейно зависимыми допусками сводится к проверке выполнения неравенств (2). Метод характеризуется малыми затратами времени при решении задач технического диагностирования ТС. Существенным недостатком метода является большое время аппроксимации области работоспособности, так как гиперплоскости, составляющие неравенства (2) определяются в результате нескольких последовательных уточнений. На каждом из шагов отбираются по определенному алгоритму [4] п точек, через которые необходимо провести очередную гиперплоскость. Коэффициенты гиперплоскости могут быть определены в результате решения системы линейных алгебраических уравнений (п+1)-го порядка.
Следует отметить, что принцип формирования п точек для проведения через них гиперплоскости и использования при этом метрики, выбор которой субъективен, может привести к ошибкам в задании области работоспособности. Определение и устранение этих ошибок связано со значительными трудностями, особенно для многомерных областей. Метод допускает аппроксимацию областей работоспособности только для выпуклых множеств векторов параметров, соответствующих работоспособным состояниям ТС. Большое время аппроксимации области, отсутствие уверенности в правильности ее задания снижают практическую ценность этого метода.
Одним из направлений повышения точности описания областей работоспособности, является разработка методов линейной аппроксимации граничных точек, не использующих понятия метрики. Известны три таких метода.
Наиболее простой из них применяется для аппроксимации области на плоскости и требует не более п(п+1) арифметических и логических операций Область работоспособности представляется в виде многогранника, вершинами которого являются граничные точки. Он применим для аппроксимации только выпуклых областей работоспособности при размерности пространства не выше трех [5].
Второй метод предполагает аппроксимацию области работоспособности с линейно-зависимыми допусками с помощью множества непересекающихся друг с другом симплексов, каждый из которых «натянут» на (п+1) граничную точку множества [6].
Хотя число симплексов невелико, время аппроксимации области работоспособности даже при невысокой размерности области и малом количестве граничных точек достаточно большое. Применение данного метода возможно только для аппроксимации областей работоспособности малых размерностей (п < 6) , а также в тех случаях, когда допускается длительное время контроля состояния ТС.
Третьим известным методом является метод гиперплоскостей [7] и близкий к нему метод, предполагающий использование процедуры параллельных вычислений [8]. Методы характеризуются более высокой точностью аппроксимации области работоспособности и относительно небольшими временными затратами на проверку выполнения условий работоспособности. Однако, они не позволяет аппроксимировать область работоспособности для случая неодносвязных областей.
Таким образом, применение известных методов позволяет осуществлять аппроксимацию областей работоспособности по граничным точкам только при малых размерностях пространства параметров
(п < 10) и относительно небольшом числе граничных точек. Кроме того, известные методы применимы, в основном, только для выпуклых множеств векторов, соответствующих работоспособным состояниям системы. В результате значительно сужается класс ТС, позволяющих использовать информацию о границе области работоспособности для решения задач параметрического синтеза и контроля. Требуется разработка более эффективных методов назначения допусков, которые должны обеспечивать высокую точность задания области работоспособности, малые затраты времени на ее аппроксимацию и проверку выполнения условий работоспособности.
Экспериментальная часть. Рассмотрим методы, позволяющие не только существенно сократить затраты времени на аппроксимацию области работоспособности системой линейных неравенств, но и расширяющие возможности такой аппроксимации на произвольную, включая неодносвязную, форму области работоспособности.
Метод касательных гиперплоскостей. Метод основывается на дополнительной априорной информации, которая может быть получена в результате использования предложенных в работах [9, 10] П-отображений и Я-отображений.
Все известные методы и реализующие их алгоритмы аппроксимации области работоспособности линейно-зависимыми допусками предполагают, что априорной информацией является массив граничных точек, для которых с заданной точностью известны их координаты. Вместе с тем, все множество граничных точек можно разбить на б подмножеств, равных общему числу ограничений вида (1). При этом й < 2(п + т + И) .
Граничные точки каждого из подмножеств объединяет общее свойство - все они принадлежат одной из гиперповерхностей, составляющей некоторую часть границы области работоспособности. Рассмотренные в работах автора [1] методы построения областей работоспособности позволяют достаточно просто распознавать такие подмножества граничных точек. Таким образом, будем считать, что на основе априорной информации или в результате применения П-отображения [9] определена совокупность , ] = 1,к, к < 2(т + И) функций,
конъюнкция которых определяет границу области работоспособности. Причем каждая из этих функций задает подмножества граничных точек, координаты которых известны и записаны в памяти ЭВМ.
На основании априорной информации для каждой граничной точки Яг, г = 1, N1 гиперповерхности /]
записываются уравнения гиперплоскостей рг , которые являются касательными к гиперповерхности /] в данной г-ой точке:
» дрг Гх(Яг )1Г / чп -
Рг ^^^[Х — X (Я )] = 0,г = .
Аналогичным образом записываются уравнения гиперплоскостей для остальных гиперповерхностей, описывающих область работоспособности. В общем случае будет получено N гиперплоскостей, равных числу граничных точек области работоспо-
собности. Используя свойства й-функций р^ и р^+1 , конъюнкция которых может быть, для решае-
мой задачи, представлена в виде следующего простейшего выражения:
Ре А
Р8+, = 0,5 (
Ре +Р+ — \РК
Р+\),
а также следуя работе [11], можно получить линейную аппроксимацию границы области работоспособности.
Предположим для наглядности, что уравнения гиперповерхностей /] получены на основе использования П-отображений в результате проведения полного факторного эксперимента [9]. Число первичных параметров п = 2, область работоспособности определяются пересечением двух поверхностей / и /2, а общее число граничных точек N = 4 - по две на каждой поверхности. При этом
/1 = /1 ( X) = /1 (X1, X 2 ) = а0 + аХ + а2 X 2 + а12 XX 2,
/2 = /2( X) = /2(Х1, Х2) = Ъ0 + ъ,Х, + ъ2Х2 + ъХ2хух2,
р = [а + а12X2 (Я )][Х 1 — Х1 (Я)] + [а2 + а12Х1 (Я1 )][Х2 — X2 (Я1)] = 0, Р2 = [а +а^X2 (Я2 )][Х — X1 (Я2)] + [а2 +а12Х1 (Я2 )][Х2 — X2 (Я2)] = 0, Рз = [Ъ1 + Ъ12Х2 (Яз )][Х — Х1 (Яз)] + [Ъ2 + Ъ12Х1 (Яз )]^Х2 — Х2 (Яз)] = 0, Р4 = [Ъ1 + Ъ12X2 (Я4)][Х — Х1 (Я4)] + [Ъ2 + Ъ12Х1 (Я4)][X2 — X2 (Я4)] = 0, О =р А Р2 А Рз А Р4 = 0,25(Р+Р2 +Рз +Р4 — |р—Р2| — рз — р\ — р+Р2 — Рз — Р4 +рз — Р\ — р — Р2Ц-
В том случае если отсутствует информация о принадлежности граничной точки той или иной гиперповерхности / ] , следует воспользоваться
аналитическим описанием области работоспособности в виде, допускающем операции дифференцирования. При этом
Ре Аа Рg+1 = ^ + Рg+1 —Р+Рй12аРР+1) Я Р ,Р+ ),
Я (Рц ,Р+ )
где Я yРg ,Рg+l) - функция, обеспечивающая наличие к производных й-конъюнкции. Для ТС можно принять Я(р Р+1 ) = 1/(1 + а) [10, 11].
Предлагаемый метод аппроксимации граничных точек, в отличие от известных методов, не требует проверки пересечения (или не пересечения) области работоспособности построенной гиперплоскостью, а также существенно, более чем на два порядка по сравнению с методом гиперплоскостей, без потери точности результата, сокращает затраты времени на аппроксимацию области работоспособности.
Метод линейной аппроксимации граничных точек на основе Е-отображения. Рассмотренный метод касательных гиперплоскостей позволяет аппроксимировать область работоспособности с линейно зависимыми допусками как для выпуклых, так и для невыпуклых множеств точек. В результате получается предельно точная для заданной дискретности граничных точек область в виде многогранника, вершинами которого являются граничные точки, при этом ошибки 1 и 2 рода практически равны нулю. Недостатком метода касательных гиперплоскостей является необходимость наличия аналитического описания области работоспособности, которое для исследуемой ТС может быть неизвестно. В том случае, если априорная информация о свойствах ТС полностью отсутствует, следует использовать разработанный метод линейно-зависимой аппроксимации граничных точек, который не требует наличия априорной информации и может быть использован для выпуклых множеств точек при больших размерностях пространства первичных параметров.
Суть метода сводится к следующему. Для каждой граничной точки поочередно строится гиперплоскость, направление которой определяется координатами ближайших к ней граничных точек. Пусть гиперплоскость проводится через точку й.
На первом этапе из массива граничных точек выделяются по две ближайшие к й точки последовательно по каждой координате , = 1, п таким образом, чтобы точка й всякий раз находилась по соответствующей координате между выбранными точками. В том случае, если по какой-либо 1-ой координате исследуемая точка й имеет наименьшее (или наибольшее) значение, а ближайшая к ней по этой координате является точка 3, то в рассмот-
рение вводится дополнительная точка, отличающаяся от исследуемой точки лишь данной координатой, значение которой определяется как
Я, ±(Я, — J¡) . Это значение и принимается в качестве искомого. В предельном случае для п первичных параметров может быть выделено 2п граничных точек. Как правило, число выбранных точек меньше 2п, так как одна и та же точка может быть ближайшей к точке й более чем по одной координате. Например, при п = 2 во всех случаях будут выбраны только две ближайшие к й граничные точки.
Пусть в результате данной процедуры сформировано множество Б, состоящее из б граничных точек, расположенных в непосредственной близости от точки й.
На втором этапе производится сравнение чисел б и п. Если б = п, то переходят к следующему этапу. Если п<й<2п, то для каждой выбранной точки вычисляется расстояние 1и,0 = 1, й до исследуемой точки й. Далее из множества Б исключаются (й — п) точка, у которых вычисленные расстояния 1и оказались наибольшими. Если й < п , то
возвращаются к первому этапу, на котором дополнительно анализируются точки, являющиеся ближайшими к точкам, составляющим множество Б. Второй этап заканчивается формированием п граничных точек Рк (Х1,...,X,,...,Хп), к = 1,п , которые
определяют множество Б.
На третьем этапе записывается уравнение ги-
перплоскости
"Я
проходящей через точку й и
параллельной гиперплоскости И'я , которая определяется п точками множества Б. Получим уравне-
"Я
ния гиперплоскостей И'я точек Рк можно записать [12]:
п _
Ия : 4 +ХАХ1, ¡= 1,п , /
Х1(Р) --- X, (Р) --- Хп (Р)
Для заданных п
А0=—
Х1(Р) --- X, (Р2) --- Хп (Р2)
Х1(Рп) --- Х(Рп) --- Хп (Рп)
Вд) --- Х—1(Я1) Х+1(Я1) --- Хп(Я1) 1
....................................1
А = Х1(Я) --- х ¡—1 (Я,) Х,+1(Я) --- Хп (Я,) 1
--- --- --- --- --- --- 1
Х1(Яп) --- X¡-l(Яи) Хм(Яп) --- Хп(Яп) 1
К : ¿4[X,. -X,.(К)] = 0, 1 = 1,п . (3)
,=1
После преобразования уравнение (3) примет
вид: Ик : Во , ,= ЦП , где Во =-¿АХ(К) .
, ,=1
Аналогичным образом получают уравнения /и гиперплоскостей, проходящих через все граничные точки области работоспособности. Рассматривая полученные уравнения как й-конъюнкции [10, 13] и, следуя методу касательных гиперплоскостей, можно получить аналитическое описание границы области работоспособности в виде линейной аппроксимации всех ее граничных точек. Предложенный способ получения аппроксимирующих область работоспособности гиперплоскостей исключает необходимость анализа условия нахождения граничных точек по одну сторону каждой гиперплоскости. Это, в свою очередь, приводит к существенной экономии машинного времени и повышению быстродействия предлагаемого алгоритма по сравнению с известными алгоритмами [7, 8].
Количество гиперплоскостей (неравенств), получаемых для аппроксимации области работоспособности данным методом, зависит от количества граничных точек N линейным образом. Время про-
верки выполнения условий работоспособности сокращается на порядок по сравнению со временем проверки условий работоспособности для областей аппроксимируемых методом гиперплоскостей. Объем памяти ЭВМ, который требуется при использовании этого метода, уменьшается более чем на два порядка по сравнению с известными методами. В докладе рассматривается алгоритм, реализующий рассмотренный метод линейной аппроксимации граничных точек.
Вывод. Рассмотренные методы назначения допусков на параметры ТС предполагают линейную аппроксимацию области работоспособности и характеризуются малыми затратами времени. Достоинства метода линейной аппроксимации граничных точек существенно возрастают с ростом размерности пространства первичных параметров и при п> 30 становятся решающими при выборе данного метода. Полученное аналитическое описание области работоспособности позволяет, используя свойства й-функций, сформировать такую целевую функцию, которая обеспечивает возможность использования любого известного метода направленного поиска для решения задачи параметрической оптимизации ТС по критерию запаса работоспособности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Саушев А.В. Области работоспособности электротехнических систем / А. В. Саушев. - СПб.: Политехника, 2013. - 412 с.
2. Абрамов О.В. Некоторые особенности задачи оптимального параметрического синтеза / О. В. Абрамов // Труды международного симпозиума «Надежность и качество»: в 2 т. Т. 1 - Пенза : ПГУ, 2011. - С. 3 - 5.
3. Вапник В.Н., Червоненкис А.Я. Теория распознавания образов. - М.: Наука, 1974. - 416 с.
4. Милов Л.Т. и др. Вопросы контроля управляющих динамических систем. Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, № 4, 1972. - С. 41-50.
5. Jarvis R.A. On the identification of the convex null of a finite set of points in the plane. Information processing letters, 2, № 1, 1973. - С. 18-21.
6. Дегтяр В.У., Финкельштейн М.Я. Алгоритмы классификации, основанные на построении выпуклых оболочек. Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, № 2, 1974. - С. 17-22.
7. Дятлов В.А., Кабанов А.Н., Милов Л.Т. Контроль динамических систем. - Л.: Энергия, 1978. -88 с.
8. Диго Г. Б., Диго Н. Б. Реализация параллельного алгоритма аппроксимации области работоспособности выпуклым многогранником // Информатика и системы управления. 2006. № 1 (11). С. 167-174.
9. Саушев А.В. Планирование эксперимента в электротехнике: СПб. СПГУВК, 2012. - 272 с.
10. Саушев А.В. Аналитический метод назначения допусков на параметры динамических/ Информатика и системы управления, №3(33), 2012. - С. 120-131.
11. Саушев А.В. Параметрический синтез технических систем на основе линейной аппроксимации области работоспособности// Автометрия. - 2013. - Т.49, № 1. - С. 61-67.
12. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. - М.: Академия, 2009. - 206 с.
13. Горячев Н.В. К вопросу реализации метода автоматизированного выбора системы охлаждения / Горячев Н.В., Кочегаров И.И., Юрков Н.К. // Алгоритмы, методы и системы обработки данных. 2013. № 3 (25). С. 16-20.
14. Кочегаров И.И. Алгоритм выявления латентных технологических дефектов печатных плат методом оптического контроля / Кочегаров И.И., Ханин И.В., Лысенко А.В., Юрков Н.К., Алмаметов В.Б. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. 2013. № 3 (27). С. 105114.
15. Саушев А. В. Метод синтеза многопараметрических динамических систем на основе информации о границе области работоспособности // А. В. Саушев // Труды международного симпозиума «Надежность и качество» : в 2 т. Т. 1 - Пенза : ПГУ, 2014. - С. 120 - 123.
УДК 621.396 Саушев А.В.
ФГБОУ ВО «Государственный университет морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова», Санкт-Петербург, Россия
СИНТЕЗ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ЛИНЕЙНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ
Введение. Оптимизация технических систем (ТС) на этапе параметрического синтеза предполагает решение двух основных задач - определение номинальных значений внутренних параметров системы и допустимых пределов их изменения. Внутренние параметры - это параметры элементов ТС, которые характеризуют состояние и свойства самой системы. При проектировании они определяют вектор X управляемых (варьируемых) параметров. Математическая функциональная модель ТС представляет собой алгоритм вычисления вектора выходных параметров Y при заданных векторах внутренних параметров X и внешних параметров V. Внешние параметры характеризуют свойства внеш-
ней по отношению к ТС среды и оказывают влияние на ее функционирование. Выходные параметры характеризуют свойства ТС, интересующие потребителя. Они представляют собой параметры-функционалы, т.е. функциональные зависимости фазовых переменных ТС и параметры, являющиеся граничными значениями диапазонов внешних переменных, в которых сохраняется работоспособность системы. К выходным параметрам на стадии параметрического синтеза относятся показатели назначения, параметрической надежности и экономичности [1, 2].
Показателем параметрической надежности при ограниченных статистических данных о законах
