Методы моделирования линейных стационарных элементов систем управления летательных аппаратов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9(083)

Д.П. Тетерин

МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ

Предлагаются алгоритмы моделирования динамических характеристик линейных стационарных элементов систем управления летательных аппаратов.

Системы управления, летательные аппараты, моделирование.

D.P. Teterin

STATIONARY ELEMENTS SIMULATION METHODS FOR AIRCRAFT CONTROL SYSTEMS

The algorithms for simulation of the linear stationary elements dynamic performance for the aircraft control systems are proposed in this article.

Control system, aircraft, modeling.

Введение

Повышение сложности и ответственности современных цифровых систем управления (ЦСУ) летательных аппаратов требует развития известных и разработки новых методов их исследования, проектирования, производства и обеспечения эксплуатации. В этой связи актуальной для современной теории автоматического управления является проблема математического моделирования ЦСУ в реальном масштабе времени [1, 2].

В статье предлагаются новые аналитические методы математического моделирования линейных стационарных элементов ЦСУ, отличающиеся от известных методов отсутствием необходимости выполнения процедур подстановок, решения алгебраических уравнений и прямого дифференцирования. Использование методов обеспечивает сокращение времени моделирования элементов ЦСУ высших порядков (более 25-го) более чем в 10-100 раз.

Постановка задачи 1

Рассматривается элемент ЦСУ, описываемый правильной дробно-рациональной комплексной передаточной функцией вида

са — агя 4 a2?s —,,, 4etili№

Необходимо вычислить обратное преобразование Лапласа от функции W(s).

Алгоритм решения задачи 1

¡.Вычислить корни полинома ва + в|в+ e^+.-.+fl^?11 - знаменателя функции W(s) и их кратности: (ЯрД^- п!^)! (íft^mn, где X, - /-й корень полинома; тр- крат-

ность i-го корня полинома; p - количество различных корней полинома.

2. По корням полинома знаменателя построить матрицу-строку BASIS:

- для случая простых корней полинома (п = р)

BASES- fe filKfl = .,,

где eXit - базисная функция, соответствующая корню Xi;

- для случая кратных корней полинома (n > p):

BASIS = (BASIS1 £ J^^.ffASÍS3 £ „ffAS-ES* £ где 5AS/51 = = .....¡^ .

Следовательно, M5fS = [.... .„,й^.....,.. ,É&J,

где J¡f - И4 £ - T^J ~ I^ Иначе можно записать

tf ASJ3 = [a',,,, a^t™-"1, ,,,, в'Vе,rVfc, ,,, „«Vt™*-L].

3. По коэффициентам полинома 4 fcj* — í¡¡**+.. - числителя функции W(s) построить матрицу-строку ICs вида ICs = ..... Ь,

4. Построить матрицу KERN-матрицу коэффициентов разложения функции на простейшие дроби [3].

5. Вычислить обратное преобразование Лапласа как произведение матриц

= (ICs X SERN} X BASIS7. (1)

При разработке алгоритма использованы свойства обратного преобразования Лапласа [4]: Свойство 1. Обратное преобразование Лапласа от дробно-рациональной функции есть обратное преобразование Лапласа от обращенного полинома знаменателя с последующим применением к результату дифференциального оператора, соответствующего полиному числителя, т. е.

te

£■>(1)] = 2/ht = t=e

i/У,

t=c

Свойство 2. Обратное преобразование Лапласа от обращенного полинома есть решение однородного ОДУ, соответствующего полиному при унитарных начальных условиях (с единицей в старшей производной), т.е. = >({), где у И - решение ОДУ вида

—= ® c>^1 yW = Qj—~— — 0, ——— = Of..., —гтгт^— — 1.

Z^ dt* —j w dt "r

í= c? Пример 1

Дана дробно-рациональная передаточная функция

1 1000000

W&) =

ífí-™"1

(0.0 - 1)а - 500^ + 50000^ + 1000000"

Решение:

1. По корням полинома знаменателя X = -100, т = 3 и полиному числителя исходной передаточной функции строим матрицы-строки:

/с* = [1000000 о о]

2. Вычисляем матрицу

V V 1/2 = » 1 -¿о

1 -2т Бооси

3. Находим обратное преобразование Лапласа (рис. 1) от искомой функции по формуле (1): И') -

Постановка задачи 2

Рассматривается элемент ЦСУ, описываемый неоднородным дифференциальным

уравнением вида №

I

dkyit) гdfy(G) я_г

— = ffmazfltt; сниалышзшусловиюш —^—= = 0, к - 1,

cft'

где К\а21{() - произвольный квазиполином.

Необходимо найти частное аналитическое решение заданного уравнения Алгоритм решения задачи 2

1. По коэффициентам левой части уравнения построить характеристический полином

2. Вычислить матрицу 1яоРо1 £ = коэффициентов полинома изображения

начальных условий (НУ) ¿доРо1= С У где С — /) ® Д*Х№ - нижняя треугольная

матрица, в которой первый столбец - значения исходных НУ в последовательности возрастания порядка производных, первая строка, начиная со второго элемента, нулевая, а осталь-

вычисляются

по

формуле

■

~ tj-l -1 ^ _ ^ — 2-1 Щ

ные элементы

Г '.г.-. = , ■ _ - матрица-строка коэффициентов характеристического полинома

левой части исходного дифференциального уравнения.

3. По элементам матрицы ЬоРоI построить полином изображения НУ

w-l

й=0

4. Найти отношение суммы полинома изображения НУ IsoPol и прямого преобразования Лапласа от правой части исходного неоднородного уравнения к характеристическому полиному

(та-1 \ 1 та г 1 à

£ fUH-L^ +■ АрГииОД] / Л ^ = £ /Z^ ■

Й=0 ft Й=0 &=□ f Й=0

5. По знаменателю вычисленного отношения сформировать однородное уравнение

I

г Йку(С)

dts

и характеристическую матрицу в форме Фробениуса

f s =

0 1 0 ■

0 1

0 1

-fia -ft 1 —&J 1 ■ -Vl-

а по коэффициентам полинома числителя - матрицу B gR полинома знаменателя

dxl

приведенную к размерности

.

6. Построить матрицу Вронского [5] W е Rdх1 = (wi, Д в которой первая строка унитарная, а остальные элементы находятся по формуле

= ^ 3 = 173,1 = ХШ-

Й=1

7. Вычислить матрицу значений, эквивалентных НУ

WхB.

8. Найти частное решение заданного неоднородного уравнения по матричной формуле

= № К ШЛ) X ВАШГ. (2)

Пример 2

Даны неоднородное дифференциальное уравнение

-+ т. п 4 4 1000(И№у|ф = 81п(()

с££а

и начальные условия

ей

Рис. 1

Рис. 2

Решение:

1. По левой части уравнения строим матрицы:

ChPol = [30000 300 1];

" 0 0 0" C = 0 0 0 1000000 0 0

2. Вычисляем матрицу коэффициентов полинома изображения НУ

OsoPol = C х ChPol = [1000000 0 0].

3. Находим отношение суммы полинома изображения НУ 1&оРо1 и прямого преобразования Лапласа от правой части исходного неоднородного уравнения к характеристическому полиному

„ зоцр „ зоошь - 1000000 ~ 1000000^ 4

4 500.И - 50001га 4 ЫЕШЗООа3 4 ЗОЕШСг - 1000000'

4. Формируем однородное уравнение

20001 1000300^^+ + 10000007(0 = 0 ,

характеристическую матрицу и матрицу коэффициентов полинома числителя:

" 0 1 0 0 0 " "1000001"

0 0 1 0 0 0

F = 0 0 0 1 0 ; в = 1000000

0 1 0 0 1 0

-1000000 - 30000 -1000300 - 30001 - 300 0

5. Вычисляем матрицы Вронского и значений, эквивалентных НУ:

W =

0 0 0 0 00 0 1

0 0 1

- 300

0 1

- 300 59999

1

- 300 59999 - 9999700

1 - 300 59999 - 9999700 1499940001

; ICs' =

0 0

1000000 - 300000000 60000000001

6. Частное решение искомого неоднородного уравнения (рис. 2) находим по матричной формуле (2)

10 00300 050001. + ' 200

10005000S0001

29999 10001000001

:i4 ^______-___4

\100020001 1000500050001 ' 20002 Заключение

Новизну методов моделирования линейных стационарных элементов ЦСУ определяет использование нового типа блочных матриц - BASIS. По своему смыслу элементы этой матрицы соответствуют базисным функциям при коэффициентах c1 ^ cn общего решения однородного дифференциального уравнения для случая простых корней характеристического полинома [5-7], когда

у<£) = + £ЛЙ-----c^Ct) = fX*' 4 с2 4 - 4 с***»* ,

и при коэффициентах корней), когда

." - -. для общего случая (при наличии в том числе и кратных

mt

t= 1 J= 1

'1Д

ЛИТЕРАТУРА

1. Справочник по теории автоматического управления / под ред. А.А. Красовского. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. 712 с.

2. Солодовников В.В. Расчет и проектирование аналитических самонастраивающихся систем с эталонными моделями / В.В. Солодовников, П.С. Шрамко. М.: Машиностроение, 1972. 284 с.

3. Решение линейных дифференциальных уравнений. Аналитико-числовые методы и алгоритмы: в 2 ч. / Л.Г. Быстров, А.В. Гориш, Д.П. Тетерин и др. М.: МГУЛ, 2004. Ч. 1. 400 с.

4. Тетерин Д.П. Информационно-измерительный комплекс испытания и моделирования систем управления газотурбинных двигателей: дис. ... канд. техн. наук / Д.П. Тетерин. Саратов, 2004. 200 с.

5. Агафонов С.А. Дифференциальные уравнения: учебник для вузов / С.А. Агафонов, А Д. Герман, Т В. Муратова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. 352 с.

6. Тихонов А.Н. Дифференциальные уравнения: учебник для вузов / А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 256 с.

7. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. СПб.: Лань, 2003. 576 с.

Тетерин Дмитрий Павлович -

кандидат технических наук, докторант кафедры «Автоматизация и управление технологическими процессами» Саратовского государственного технического университета

Teterin Dmitriy Pavlovich -

Candidate of Technical Sciences, Doctoral Candidate of the Department of «Automation and Management of Technological Processes» of Saratov State Technical University

Статья поступила в редакцию 16.06.09, принята к опубликованию 23.09.09