CC BY
182
УДК 519.6:519.8
В. Д. Слабнов
МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПРОГНОЗИРОВАНИЯ И ОПТИМАЛЬНОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА
ИЗВЛЕЧЕНИЯ НЕФТИ (ОБЗОР)
Ключевые слова: математическое моделирование, двухфазная фильтрация, задачи прогнозирования, задачи оптимального
регулирования, численные методы, процесс извлечения нефти.
Приведен обзор постановок задач математического моделирования процесса извлечения нефти из неоднородных пластов и методов их решения. Даны классификация существующих методов регулирования и оценка эффективности их применения. Приведены постановки задач оптимального регулирования процесса извлечения нефти и дана оценка основных факторов, влияющих на этот процесс.
Keywords: mathematical modeling, two-phase filtration, forecasting problems, optimization control problems, numerical methods, oil
extraction process.
A review over of methods and mathematical modelling problems of oil extraction process from heterogeneous layers are brought. Classification over of existent optimization control methods and efficiency of their application are brought. All optimization control methods can be conditionally divided into two groups: static and dynamic. Problems definition classification of oil extraction process optimization control and basic factors, influencing on this process, are brought.
Введение
За последние годы наблюдается заметный прогресс в постановке и решении различных 2D и 3D многофазных задач теории фильтрации, т. е. задач прогнозирования показателей разработки сложных по строению нефтяных пластов. Этому, в частности, способствует использование программных комплексов «ТРИАС», Oil Expert, «Техсхема» и др. [1, 2]
Нефтяное месторождение как объект регулирования (управления) относится к классу многосвязных систем. Поэтому задача регулирования разработки нефтяного месторождения является сложной. Это обусловлено неполнотой и неточностью исходной информации о строении пласта, ограниченными данными о морфологическом строении проницаемой части коллектора, погрешностью измерения геологических и промысловых данных. В результате затрудняется построение адекватной математической модели фильтрации. Сложность математической модели заключается еще и в использовании большого числа переменных в уравнениях, которые описывают модель фильтрации в нефтяном пласте.
Одним из перспективных направлений в теории разработки нефтяных и газовых месторождений является решение задач регулирования текущего и конечного нефтеизвлечения. Данный класс задач, несмотря на свою значимость, является наименее исследованным в общей теории разработки нефтяных месторождений. Это, прежде всего, связано со значительными математическими трудностями в построении алгоритмов решения таких задач. Алгоритмы решения задач регулирования разработки в оптимизационной постановке совершенствовались по мере развития методов оптимизации. Появление методов линейного, нелинейного и динамического программирования позволило решать задачи регулирования разработки для различных критериев
качества решения. Развитие современных методов теории оптимального управления повысило возможности в решении практических задач регулирования разработки нефтяных месторождений. В ранних работах, например, [3, 4], задача статического регулирования по критерию качества решения -максимума суммарного отбора нефти - была сформулирована в рамках двухмерной однофазной установившейся фильтрации. В этом случае давление в пласте удовлетворяло линейному эллиптическому уравнению, которое в заданных точках (узлах скважин) имело особенности логарифмического типа. На контуре питания давление удовлетворяло условию 1-го рода. В силу линейности исходного дифференциального уравнения давление в элементе однофазной фильтрации выражалось через линейную комбинацию дебитов. Коэффициенты линейной комбинации (взаимовлияния скважин) в такой постановке являлись функциями координат скважин и не зависели от давлений и дебитов. В более сложной постановке статической задачи оптимального управления извлечением нефти предполагается, что нефтяное месторождение дренируется определенным числом добывающих скважин при известном и постоянном давлении на контуре питания. Для каждой скважины известна доля нефти в ее продукции, т. е. коэффициент нефтесодержания. Критерий качества решения - максимизация количества чистой нефти, которая добывается со всего месторождения в текущий момент времени (режим форсированного отбора). Данная задача описывается системой линейных уравнений, связывающих дебиты и депрессии скважин. Депрессия - разность между давлениями на контуре питания и забое скважины. Матрицу такой системы уравнений образуют коэффициенты взаимовлияния скважин. По техническим условиям задаются ограничения на максимально допустимые депрессии и максимальные дебиты скважин.
В статическом оптимальном режиме эксплуатации, как правило, работают не все разбуренные скважины. Если построить график зависимости количества добываемой чистой нефти от числа действующих скважин, то он имеет максимум при некотором оптимальном числе скважин. Метод статической оптимизации используется как составная часть метода решения более сложной динамической задачи.
Основной задачей современного этапа развития нефтедобывающей промышленности является достижение максимальной нефтеотдачи пластов с учетом комплекса факторов, т. е. при учете геологических, гидродинамических и технико-экономических ограничений. Критерий качества регулирования - количество чистой нефти, извлекаемый за весь срок разработки. Максимизация этого количества означает максимизацию коэффициента конечной нефтеотдачи. Динамическая задача регулирования является более сложной, чем статическая. Действительно, если при статической оптимизации в качестве параметров, характеризующих пласт, берутся постоянные коэффициенты взаимовлияния (поле суммарной проводимости), то при динамической оптимизации следует рассмотреть комплекс факторов, которые могут изменяться во времени и воздействовать на повышение нефтеотдачи пласта.
Нефтяной пласт как объект управления является многосвязной системой, вместе с добывающими и нагнетательными скважинами он образует единую геолого-гидродинамическую систему. Пласт характеризуется также нестационарностью (его параметры изменяются в процессе эксплуатации), нелинейностью (уравнения, описывающие процессы фильтрации, нелинейные), неоднородностью по протяженности или толщине, неполнотой информации (источником информации в основном являются скважины, число которых ограничено).
Под оптимальным регулированием (управлением) разработки нефтяного месторождения или его участка понимается решение следующего комплекса задач.
1. Определение числа и размещения новых добывающих и нагнетательных скважин и последовательности во времени ввода их в эксплуатацию с учетом перехода к более интенсивной системе воздействия на пласт по некоторому критерию качества решения [5, 6].
2. Определение оптимальных режимов добывающих и нагнетательных скважин на контрольные моменты времени по некоторому критерию качества решения [7].
3. Определение распределений давления и нефтенасыщенности по области фильтрации и во времени и расчет прогнозных показателей процесса разработки [8].
Все эти задачи с использованием численных методов должны решаться взаимосвязано. Критерий качества решения - максимизация коэффициента текущей (конечной) нефтеотдачи. Возможно использование и других критериев качества, например, экономических - минимизации себестоимости
добываемой нефти, или учет нескольких критериев - максимизации коэффициента текущей нефтеотдачи и минимизации закачки воды (компромиссная задача). Однако такой подход еще более усложнил бы и без того достаточно сложную задачу. Следует отметить, что, выбрав основным один из критериев качества решения, другие критерии можно учесть в качестве ограничений задачи линейного программирования (ЛП) при численном решении задачи оптимального регулирования.
Цель данной работы - привести обзор методов и задач математического моделирования процесса извлечения нефти из неоднородных пластов. Привести классификацию существующих методов регулирования и эффективность их применения, а также постановок задач оптимального регулирования процесса извлечения нефти и основных факторов, влияющих на этот процесс.
1. Задачи прогнозирования разработки
неоднородных пластов и их численное решение
Созданные методики прогнозирования и оптимального регулирования процесса извлечения нефти базируются на применении методов математического моделирования процесса вытеснения нефти водой из неоднородных пластов. Действительно, в лабораторных условиях соблюдение условий подобия модели и натуры и соответствующих процессов вытеснения представляет значительные трудности. Использование опытно-промышленного моделирования требует больших экономических затрат и времени. В настоящее время не созданы современные технические средства, которые позволяли бы определять феноменологическое строение трехмерного нефтяного пласта и полностью контролировать процесс извлечения нефти.
Решение многих задач, связанных с проектированием и прогнозированием процесса вытеснения нефти водой, основано на математическом моделировании. При известном размещении добывающих и нагнетательных скважин и заданных режимах их эксплуатации задачам прогнозирования, решение которых является начальным этапом проектирования разработки, посвящены работы [2, 9-19, 21-30]. Фундаментальные исследования по построению конечно-разностных схем [8, 12, 16, 31-57] позволили получить и практически применить численные решения задач прогнозирования фильтрации многофазной несжимаемой жидкости.
Численное решение задачи прогнозирования, как правило, сводится к интегрированию нелинейной системы дифференциальных уравнений в частных производных с начальными и граничными условиями, т. е. к численному решению краевой задачи 1-го или 11-го рода. Для численного решения краевой задачи с помощью конечно-разностных схем необходим переход от систем дифференциальных уравнений в частных производных, которые математически моделируют процесс вытеснения, к их дискретным аналогам, т. е. к линейным системам алгебраических уравнений. Использование аппарата
конечно-разностных схем отражено во многих работах [12, 23, 32, 38, 58-71].
Применение конечно-разностных схем, как отмечено в монографиях [9, 12, 18, 23, 35, 46, 50, 7276], должно основываться на следующих свойствах:
• консервативность, которая выражается в использовании балансовых соотношений и законов сохранения при математическом моделировании;
• сходимость и устойчивость, которые обеспечивают для данного класса задач устойчивую сходимость к точному решению при замене исходной системы непрерывных дифференциальных уравнений в частных производных ее конечно-разностным аналогом;
• экономичность, которая обеспечивает достижение необходимой погрешности вычислений при возможно меньшем числе арифметических операций.
Обсуждение указанных свойств при численном решении задач прогнозирования вытеснения нефти водой содержится в работах [7, 14, 19, 32, 38, 39, 45, 49, 58, 69, 70, 77-86].
Следуя авторам монографий [87, 88], математическое моделирование процесса фильтрации в водонефтяных неоднородных пластах в двухмерной или трехмерной постановках можно условно разбить на три группы:
• численное решение задачи прогнозирования процесса многофазной фильтрации в системе нерегулярного размещения скважин [2, 6, 7, 11, 12, 14, 30,46, 58, 67, 69, 70, 73, 75, 88-94];
• численное решение задачи прогнозирования процесса многофазной фильтрации в системе регулярного размещения скважин, т. е. элементов заводнения, как частного случая первой группы [13, 21, 23, 48, 78, 95-101];
• численное решение задачи прогнозирования процесса многофазной фильтрации в окрестности скважины [102, 103].
2. Методы регулирования и эффективность их применения
На нефтяных промыслах России применяется весьма широкий арсенал методов регулирования процесса извлечения нефти. Наиболее полная их классификация приведена в работах [88, 104, 105]. Все методы регулирования можно условно разделить на две группы:
• статические методы, т. е. методы и средства регулирования без изменения системы воздействия и разбуривания новых добывающих скважин или перевода добывающей скважины под закачку воды;
• динамические методы, т. е. методы и средства регулирования путем частичного изменения системы воздействия на пласт и разбуривания новых добывающих резервных скважин.
Следует отметить, что все эти методы взаимосвязаны и, следовательно, возможно их различное сочетание [69, 106-109]. К первой группе относятся следующие методы и средства регулирования:
• увеличение гидродинамического совершенства скважин (дополнительная перфорация, гидроразрыв пласта, различные модификации кислотных обработок, применение поверхностно-активных веществ (ПАВ) и термообработки, пен и др.) [102, 110-115];
• изоляция или ограничение притока попутной воды в скважины (различные способы цементных заливок, создание различных экранов, применение химреагентов и др.);
• выравнивание профиля притока жидкости или расхода воды по толщине пласта (селективная закупорка с помощью химреагентов, пен и механических добавок, закачка воздуха и инертных газов, закачка смол, загустителей и др.);
• изменение режимов работы добывающих скважин (увеличение или ограничение отборов жидкости, отключение высоко обводненных скважин, форсированный отбор жидкости, периодическое изменение отборов) [4, 23, 104, 46, 75, 98, 116, 117];
• изменение режимов работы нагнетательных скважин (увеличение или ограничение закачки воды, перераспределение закачки по скважинам, периодическая закачка, применение повышенного давления нагнетания) [4, 90, 105, 118, 119];
• одновременно-раздельная эксплуатация скважин [105, 120];
• одновременно-раздельная закачка воды на многопластовых месторождениях.
Ко второй группе относятся следующие методы и мероприятия по регулированию процесса извлечения нефти:
• размещение добывающих и нагнетательных скважин с целью оптимального управления контуром нефтеносности [45, 48];
• размещение резервных добывающих и нагнетательных скважин с целью интенсификации извлечения нефти или увеличения охвата заводнения неоднородного пласта [7, 97, 108, 117, 121-126];
• переход к более интенсивной системе воздействия на пласт [7, 21, 46, 56, 110, 127-129];
• перенос фронта нагнетания [46, 105,
121];
• организация очагового или избирательного заводнения [46, 88, 127];
• изменение направлений фильтрационных потоков жидкости [4, 23, 119, 122, 130];
• инверсия площадных систем [108, 119,
131];
• циклическая закачка и отбор жидкости (период цикла мал по сравнению с периодом разработки месторождения) [23, 52].
Эффективность каждого из вышеперечисленных методов регулирования различна, однако из опыта добычи нефти известно, что наибольшую эффективность дают такие методы, как изменение технологических режимов функционирования действующих добывающих и нагнетательных скважин из первой группы и все методы второй группы [88, 104, 105, 108].
Одной из важнейших задач, возникающих при регулировании процесса добычи нефти, является выбор оптимальных технологических режимов функционирования действующих добывающих и нагнетательных скважин. В работе [46] сделан вывод о целесообразности применения метода перераспределения добычи жидкости с внешних, обводненных рядов скважин, на внутренние, т. к. это приводит к возможности длительное время получать малообводненную нефть, улучшая тем самым технико-экономические показатели добычи. Регулирование отбора жидкости по рядам осуществлялось отключением или уменьшением дебита скважин первых рядов.
Известно, что при разработке нефтяных месторождений наступает момент, когда вместе с нефтью начинает извлекаться вода, причем с течением времени обводненность скважин быстро растет. В связи с этим возникает необходимость определить допустимый процент обводненности продукции добывающих скважин, при дальнейшем увеличении которого не происходит улучшения показателей добычи нефти. Исследования в этом направлении проведены в [25, 105, 112].
В работе [75] рассмотрена задача выбора режимов работы скважин на заданном временном интервале [0, 7"] таким образом, чтобы при условии
выполнения технологических ограничений на деби-ты и депрессии по скважинам минимизировать количество нефти, которое останется в пласте в момент времени . Выбор режима работы скважин по энергетическому критерию рассмотрен также в [132].
Наиболее полная отработка вовлеченных в разработку запасов обеспечивается регулированием закачки воды. Высокая эффективность повышения давления нагнетания, как метода регулирования разработки нефтяного месторождения, была показана в работах [98, 126].
В практике разработки многопластовых месторождений нашли применение такие методы регулирования, как одновременно-раздельная эксплуатация скважин и одновременно-раздельная закачка воды [105].
Одной из важнейших проблем рациональной разработки нефтяных месторождений является проблема оптимального управления движением контура нефтеносности (КН). В результате ее решения определяются условия, при которых достигается максимальное извлечение нефти из пласта. В [48] дана математическая постановка двух типов задач оптимального управления движением КН. В этой работе при рассмотрении задачи управления продвижением КН в качестве условия, характеризующего равномерность стягивания, выбрано условие максимальной близости двух полей скоростей -«возможного» и «желаемого». Желаемый закон перемещения КН в любой момент времени оставался эквидистантным к начальному положению КН. В [90] рассмотрена задача управления КН при более общих предположениях относительно желаемого закона перемещения КН. Система считалась одно-жидкостной, найдено условие управления КН. При
одних и тех же депрессиях на скважинах в зоне с лучшей проницаемостью отбор нефти значительно выше, чем в зоне с худшей проницаемостью. Поэтому необходимо установить такие режимы работы добывающих скважин, чтобы суммарные дебиты по названным выше участкам были близки. Выполнению этого требования, приводящего к регулированию перемещением КН, посвящена работа [90].
За последнее время опубликовано большое число работ, посвященных такому методу регулирования, как размещение резервных скважин. В них рассмотрено влияние данного метода на темпы добычи нефти, обводненность и нефтеотдачу. В [121] показана эффективность ввода резервных скважин для повышения нефтеотдачи и увеличения текущего отбора нефти. При этом величина эффективности существенно зависит от правильного размещения скважин и определения времени их ввода.
В большинстве работ оценка влияния дополнительных скважин на нефтеотдачу имеет в основном качественный характер. Это связано с отсутствием методики, которая позволила бы установить степень влияния на нефтеотдачу дополнительных скважин различных категорий. Предложен методический подход, позволяющий оценить степень влияния каждой введенной в эксплуатацию резервной скважины на увеличение нефтеотдачи. Это дает возможность не только оценить суммарное увеличение добычи нефти по всем категориям резервных скважин, но и исследовать эффективность ввода скважин в различных геолого-физических условиях. Главный показатель, который был предложен авторами для использования при оценке влияния ввода резервных скважин на нефтеотдачу, - суммарная характеристика вытеснения по каждой рассматриваемой группе скважин. Отклонение ее к оси суммарной добычи нефти при вводе новой
скважины свидетельствует о вводе в разработку дополнительных запасов нефти. В данном случае прирост нефтеотдачи был оценен по разности суммарной добычи из новой скважины и ранее пробуренной за период с момента ввода в эксплуатацию новой скважины. При этом оценивалась среднеарифметическая величина дополнительной добычи по отношению к добыче по двум ранее пробуренным или всем скважинам в элементе заводнения. Все резервные скважины были разделены на две группы: скважины, в результате ввода которых увеличилась нефтеотдача пласта, и скважины, повлиявшие на темпы отбора нефти. Для резервных скважин, подключающих в разработку новые пласты, характерны следующие показатели эксплуатации:
• начальное пластовое давление, как правило, выше, чем в окружающих скважинах;
• суммарная добыча нефти из резервных скважин выше суммарной добычи нефти из соседних скважин, подсчитанный за период ее эксплуатации;
• динамика обводнения резервных скважин длительное время ниже динамики обводнения по ранее пробуренным скважинам в период после ввода новых;
• на характеристиках вытеснения ввод новых скважин отмечается отклонением кривой к оси
• водонефтяной фактор (ВНФ) по резервным скважинам обычно ниже, чем по ранее пробуренным за период с момента ввода новых скважин.
В [129] показана эффективность ввода резервного фонда скважин в невырабатываемых и слабо вырабатываемых зонах Туймазинского месторождения, при этом отмечено влияние их размещения на нефтеотдачу.
Анализ использования резервных скважин только как средства достижения запроектированного уровня добычи нефти без учета нефтеотдачи пласта показал сравнительно невысокую эффективность этого метода регулирования. Поэтому на практике одновременно с вводом в эксплуатацию резервных скважин в большинстве случаев приходится интенсифицировать систему заводнения. В работе [46] дана рекомендация перехода к таким интенсивным системам заводнения, как трехрядным, блоковым и площадным. Для интенсификации добычи нефти, увеличения суммарного отбора нефти, регулирования процесса заводнения и лучшего контроля состояния разработки в [127] предложена ячеистая или сотовая система разработки. В сравнении с рядной системой она имеет следующие преимущества:
• более полное использование энергии нагнетаемой воды для вытеснения нефти и выработки нефтяных пластов;
• хорошая стыкуемость ячеек по площади с высоким коэффициентом охвата пластов выработкой; удобство постепенного введения месторождения в разработку отдельными ячейками с любого места залежи, независимо от остальной площади; возможность скоростной выработки пробной ячейки для предварительного определения технико-экономических показателей по всей площади;
• широкая возможность регулирования продвижением фронта нагнетаемой воды в пласте за счет изменения темпа отбора тех или иных добывающих скважин;
• значительная степень облегчения анализа разработки и использования всего комплекса гидродинамических методов исследования пласта и его нефтеотдачи.
Исследованию интенсивности действующих систем добычи нефти посвящены работы [18, 104]. В [18] использован метод многофакторного корреляционного анализа. В перечисленных работах интенсивность систем оценивалась по темпу отбора нефти от остаточных запасов без учета неоднородности пластов и соотношений вяз костей воды и нефти. В [108] показано, что интенсивность действующих систем разработки повышается при переходе к внутриконтурной закачке воды.
Вопросам теории, технологии и экономики применения такого метода регулирования, как перенос фронта нагнетания в обводненные ряды, посвящены работы [46, 105]. В [105] рассмотрено влияние различных мероприятий по регулированию добычи
нефти на выбор наиболее рациональной системы заводнения:
• выключение обводненных скважин первых эксплуатационных рядов;
• перераспределение отборов жидкости между скважинами;
• перенос фронта нагнетания, изменения системы заводнения на определенной стадии разработки (переход к более интенсивной системе заводнения, изменение кинематики потоков жидкости за счет изменения системы заводнения).
Исследования показали эффективность однорядных блоковых и площадных систем. При сравнении эффективности различных систем заводнения (блоковых, площадных и ячеистых) в условиях зонально- и слоисто-неоднородных пластов, когда залежь была разбурена по равномерной квадратной сетке, показано, что максимальную интенсивность обеспечивают однорядная блоковая и площадная системы. Авторами сделан вывод, что на поздней стадии разработки система заводнения должна постепенно интенсифицироваться путем дополнительного разрезания и создания очагов заводнения вплоть до интенсивности, обеспечивающей максимальные удельные дебиты скважин. Таким образом, применение интенсивных систем заводнения с самого начала разработки или перехода к более интенсивной системе заводнения в любой стадии разработки является одним из эффективных методов регулирования, причем, как отмечено в работе [46], если с самого начала разработки запроектировать интенсивную систему заводнения, то сразу складываются благоприятные условия, которые стремятся создать в дальнейшем при осуществлении мероприятий по регулированию нефтедобычи. Эффективно регулировать добычу нефти из пласта можно только при наличии определенного резерва в системе заводнения, который используется для улучшения характеристик вытеснения нефти водой и увеличения нефтеотдачи пласта. В этом отношении площадные и избирательные системы имеют преимущества перед другими.
Основным и наиболее эффективным методом регулирования добычи нефти является регулирование заводнения нефтяных пластов. В работе [46] рассмотрена эффективность избирательного воздействия закачки воды на хорошо и плохо проницаемую часть эксплуатационного объекта. Установлено, что воздействие на хорошо проницаемую часть приводит к значительному повышению темпов разработки объекта в целом, но в конечном итоге - к уменьшению нефтеотдачи пласта. Воздействие только на плохо проницаемую часть дает значительно меньший эффект в повышении уровня добычи нефти, но приводит к увеличению конечной нефтеотдачи по залежи. Таким образом, авторами была показана возможность регулирования разработки зонально-неоднородных пластов при помощи системы заводнения. Дифференциальное усиление системы заводнения на элементах с низкой проницаемостью коллектора позволяет увеличить нефтеотдачу пласта и сократить добычу попутной воды и, следовательно, получить максимальный коэффици-
ент нефтеотдачи. Если же ставится противоположная задача - обеспечить хотя бы кратковременное увеличение уровня добычи нефти за счет избирательного усиления системы заводнения на элементы с хорошей проницаемостью коллектора, то это приведет к снижению нефтеотдачи пласта.
3аметим, что последнее относится к эксплуатационному объекту лишь в начальной стадии разработки, так как на поздней стадии повышение темпа отбора наиболее проницаемых элементов объекта разработки может и не привести к увеличению уровня отбора нефти. На стадии сильной обводненности нефтяной залежи наиболее проницаемые элементы будут уже в значительной степени выработаны. Регулирование добычи нефти путем воздействия на плохо проницаемые элементы на поздней стадии разработки может привести к более существенному повышению уровня отбора нефти за счет слабой выработанности этих элементов.
Одной из важнейших задач, ставшей особенно актуальной в связи с разработкой месторождений с низкой проницаемостью коллекторов и высокой вязкостью нефти, является сокращение объема попутно добываемой воды без снижения нефтеотдачи [46, 128]. При этом широко применяются системы рассредоточенного заводнения - площадная, очаговая и избирательная. В работе [46] внедрение избирательной системы позволило ограничить влияние основного недостатка площадных систем воздействия - разновременности фронта вытеснения. Результаты показали, что производительность скважин при избирательной системе воздействия по сравнению с площадной выше на 10 - 40%. Приведено сравнение проектных технико-экономических показателей применения двух различных методов регулирования разработки - поперечного разрезания и избирательной системы воздействия, выявлены преимущества последней.
Разработка нефтяных месторождений в условиях заводнения залежей - сложнейший технологический процесс, протекающий при непостоянных, изменяющихся во времени условиях и не поддающийся непосредственному наблюдению. Поэтому эффективные показатели процесса добычи нефти и высокую конечную нефтеотдачу неоднородного пласта можно получить только при эффективном регулировании.
Одним из таких эффективных средств увеличения коэффициента текущей и конечной нефтеотдачи за весь срок разработки может служить метод, основанный на создании в неоднородном пласте неустановившегося процесса вытеснения путем изменения направления фильтрационных потоков. При этом, как показали исследования, проведенные в работах [46, 112, 123, 133], на степень эффективности от применения данного метода существенную роль оказывают физические свойства жидкостей (воды и нефти), степень неоднородности пласта, система разработки и другие факторы. Подтверждением этого явилось изменение обводненности продукции добывающих скважин, величин перепадов давлений в пласте, темпов отбора нефти по скважинам, коэффициента нефтеотдачи. Изменение на-
правлений фильтрационных потоков, исходя из опыта разработки залежей, может проводиться как на стадии начальной эксплуатации, так и в период значительного обводнения.
На практике ввод скважин в эксплуатацию производится постепенно, поэтому динамика обводнения будет зависеть не только от геолого-физической характеристики пласта и условий разработки, но и от темпа и последовательности ввода в эксплуатацию скважин данного фонда, что вытекает из результатов исследований, проведенных в работе [132]. В связи с этим осуществление мероприятий по изменению направления потоков, как отмечено в [119], следует проводить в первую очередь на участках залежи, которые раньше были введены в разработку.
Изменение направлений фильтрационных потоков в последнее время находит все большее применение на месторождениях России. В частности, широкое внедрение этого метода было осуществлено на месторождениях Татарстана [23, 92] и России [119], где продуктивные пласты характеризуются разнообразным и сложным геологическим строением, отличаются слоистой и зональной неоднородностью, трещиноватостью. В приведенных работах показано, что данный метод регулирования приводит к увеличению водонасыщенности в случае неравномерного распределения закачки. Смена направлений вытеснения более эффективна для высоковязких нефтей и пластов с повышенной слоистой и зональной неоднородностью. Установлено, что наилучший эффект от осуществления этого мероприятия наблюдается в первой трети общего срока разработки. Этот вывод подтвержден опытом промышленного внедрения данного метода регулирования на Покровском, Алакаевском, Дмитриевском, Радаевском и других месторождениях России. Изменение направления фильтрационных потоков жидкости на поздней стадии разработки осуществляется в основном за счет организации дополнительных нагнетательных рядов, ортогональных существующим разрезающим рядам, разбиения залежи на более мелкие блоки, организации очагов заводнения, размещении добывающих скважин в менее выработанных зонах пласта. Обычно в качестве нагнетательных используются существующие сильно обводненные скважины.
Изменение направления потоков жидкости при использовании площадных систем можно осуществлять за счет инверсии системы заводнения. В работе [23] рассмотрены вопросы регулирования разработки нефтяного месторождения методом инверсии площадной семиточечной системы заводнения, а в [131] - еще пятиточечной и девятиточечной систем. Установлено, что для повышения эффективности выработки нефтяной залежи инверсию необходимо начинать после прорыва вытесняющего агента в добывающие скважины.
Таким образом, эффективность мероприятий по регулированию добычи нефти и все возрастающее их применение на месторождениях требуют создания методики прогнозирования технологических показателей, которая моделирует наиболее эф-
фективные методы регулирования в практике добычи нефти и отражает реальную разработку, т. е. учитывает размещение и темп ввода в эксплуатацию добывающих и нагнетательных скважин данного фонда.
3. Задачи оптимального регулирования процесса извлечения нефти
Впервые задача рациональной разработки была сформулирована в 1948 году академиком А.П. Крыловым и его соавторами в известной монографии «Научные основы разработки нефтяных месторождений». Для решения этой задачи предлагалось комплексно учитывать физико-геологические, гидродинамические и экономические условия разработки нефтяных месторождений.
Постановкам различных задач оптимального регулирования добычи нефти и разработкам алгоритмов их решения посвящены исследования Российских и зарубежных ученых А.П. Крылова, Б.А. Азимова, А.В. Ахметзянова, Б.Т. Баишева, Ю.Е. Батурина, П.М. Белаша, Ю.П. Борисова, Р.Т. Булгакова, С.Н. Васильева, Г.А. Вирновского,
A.И. Губанова, В.Л. Данилова, Э.С. Закирова,
B.М. Житомирского, В. С. Ковалева, В.Н. Кулейбанова, Б.И. Леви, М.М. Максимова, М.В. Меерова, М.М. Мусина, Н.Н. Николаевского, Л.С. Понтрягина, М.Д. Розенберга, Г.С. Салехова, М.Л. Сургучева, И.Г. Тетерева, Р.П. Федоренко, М.М. Хапаева, В. Д. Чугунова, М.И. Швидлера J.H. Bohanson, N. Dolle, Z. Fathi, W. Liu, W.F. Romirez и других.
В общем виде задача оптимального регулирования процесса извлечения нефти сформулирована в [134] следующим образом:
Найти max (min)0{w)
при условиях
Vj[nj'qj'aß)*0 (j=ü; з=Щ'
<p.(w) = 0 j=ü), где w - решение краевой задачи; п - количество скважин; q . - дебит /' -й скважины; а . -
Ч J « J JS
коэффициенты интерференции скважин; Ф, ipj, (Pj - некоторые операторы; 0jw) - целевая
функция, которая на различных стадиях разработки нефтяных месторождений может выражать различные требования. Таким образом, математически задача оптимального регулирования нефтедобычи сводится к следующей: в параметрическом семействе решений краевой задачи требуется найти такое, которое удовлетворяет ограничениям (2), (3) и доставляет оптимальное значение функционалу (1).
В сформулированной общей постановке задачи оптимального регулирования процесса добычи нефти отражен комплекс постановок задач регулирования разработки нефтяных месторождений, где во взаимосвязи рассматриваются физико-геологические и гидродинамические ограничения, технологические и экономические критерии, входя-
щие в систему технологических и экономических ограничений функции цели.
Наиболее полная классификация постановок задач оптимального регулирования добычи нефти приведена в монографии [88]. Согласно этой классификации, известные постановки задач оптимизации можно выделить следующим образом.
По объектам управления:
• задачи текущего, краткосрочного и перспективного планирования развития и размещения нефтяной промышленности [88, 135, 136];
• задачи текущего, краткосрочного и перспективного планирования добычи нефти в масштабе нефтегазодобывающего объединения (нефтяного региона) [23, 116, 135-137];
• задачи оптимального регулирования добычи нефти отдельного нефтяного месторождения (эксплуатационного объекта) [8, 13, 37, 46, 79, 87, 88, 102, 104, 110, 128, 138-142];
• оптимизация техники и технологии добычи нефти в масштабе отдельной добывающей (нагнетательной) скважины [143].
По типу применяемых моделей регулирования:
• задачи регулирования с моделями многофазной фильтрации [55, 88, 108, 111, 115, 144, 145];
• задачи регулирования с агрегированными (укрупненными) моделями процесса разработки [11, 22, 89].
По критериям оптимальности:
• задачи регулирования со статическими или динамическими технологическими критериями (минимум числа скважин, срока разработки, объема попутно добываемой воды, расхода пластовой энергии, максимум суммарного отбора нефти, текущего уровня добычи нефти, текущего и конечного коэффициентов нефтеотдачи и др.) [3, 4, 8, 37, 46, 75, 87, 91, 98, 101, 102, 110, 111, 118, 121, 122, 130, 134, 139-141, 146-151]; (2)
• задачи регулирования со стати(3ч)е скими или динамическими технико-экономическими критериями (минимум себестоимости продукции, капитальных затрат, эксплуатационных затрат, максимум прибыли, абсолютного или дисконтированного народно-хозяйственного эффекта и др.) [8, 11, 46, 75, 87, 88, 96, 104, 108, 128, 133, 143, 146, 152];
• «многокритериальные» задачи регулирования [75, 108, 153].
По алгоритмическому признаку:
• эвристические методы отыскания экстремумов целевых функций [75, 90, 97, 116, 121, 128, 146, 152, 154, 155];
• задачи линейного программирования [3, 36, 75, 88, 111, 134, 139, 141, 147, 149, 156, 157];
• задачи нелинейного, целочисленного, квадратичного, комбинаторного, динамического программирования [54, 80, 84, 152, 158-162];
• задачи, использующие вариационные методы [8, 37, 40, 41, 86, 102, 110, 130, 138, 143-145, 148, 150, 155, 163, 164, 166, 167];
• задачи оптимального регулирования, использующие математическую теорию оптимальных процессов Л.С. Понтрягина [168].
Обилие критериев свидетельствует о сложности решения задачи оптимального регулирования добычи нефти. Тем не менее, исходя из основного принципа регулирования, можно выделить два главных технологических критерия:
• темп добычи нефти, который при применении современных систем разработки достигает 10-12 % в год от извлекаемых запасов;
• величина текущей и конечной нефтеотдачи; исследования показали, что в зависимости от применения различных методов регулирования, при одном и том же объеме отобранной жидкости, можно получить различные значения нефтеотдачи.
Перейдем к обзору работ по задачам оптимального регулирования процесса извлечения нефти отдельного нефтяного месторождения, имеющих непосредственное отношение к данному исследованию. Основные аспекты проблемы совершенствования оптимального регулирования процесса извлечения нефти сформулированы в публикациях [8, 11, 89, 104, 108, 109, 117, 122, 136, 138, 155].
При заданном фонде и расположении скважин задача оптимизации процесса извлечения нефти чаще всего рассматривается как задача математического программирования с целевой функцией -суммарной добычи нефти. Впервые ее постановка как задачи линейного программирования дана в известных работах Ф.М. Мухаметзянова, Г.С. Салехова, В.Д. Чугунова [3, 4]. Этими авторами использована модель фильтрация однородной жидкости, подчиняющаяся закону Дарси. Статическая задача оптимизации является частным случаем общей задачи оптимального регулирования (управления) разработки нефтяного месторождения в динамике. Развитие фундаментальной теории управления системами с распределенными параметрами в пространстве и времени [87] позволило накопить достаточный опыт для применения к решению задач оптимизации заводнения неоднородных пластов.
В ранних исследованиях задач статической оптимизации регулирования процесса извлечения нефти в системе скважин были использованы эвристические алгоритмы [75, 150]. Статический подход подразумевает, что дебиты нагнетательных и добывающих скважин постоянны в течение процесса вытеснения до тех пор, пока не произошел прорыв воды в скважину или не произошел переход к более интенсивной избирательной системе заводнения. Последующий обзор касается динамических задач регулирования по критерию качества решения -максимальной текущей или конечной нефтеотдачи неоднородных пластов.
Проблеме математического моделирования управления разработкой нефтяных месторождений по критерию максимизации конечной нефтеотдачи (за заданный срок разработки) посвящены исследования [75, 148, 88, 155, 144, 145, 166, 167]. Достаточно эффективный алгоритм решения задачи динамической оптимизации впервые был предложен в монографии [87]. Критерий качества решения - мак-
симизация добычи нефти за заданный срок разработки и минимизация добычи попутной воды при соблюдении технологических и экономических ограничений. Использована двумерная модель Бак-лея-Леверетта, фильтрация жидкости - двухфазная. Алгоритм установления оптимальных режимов добывающих и нагнетательных скважин основан на использовании принципа максимума
Л.С. Понтрягина [168] для системы обыкновенных дифференциальных уравнений и представляет собой модификацию метода локальных вариаций в фазовом пространстве. Режим регулирования добывающих скважин - забойные давления. В [75, 139] решена динамическая задача оптимизации с использованием коэффициентов влияния скважин. Сформулированная задача разбита на ряд задач статической оптимизации для моментов времени на временном интервале . Предложен итерационный метод решения задачи, который предусматривает реализацию на каждой итерации так называемой -задачи ЛП ( -процедуры).
При разработке нефтяного месторождения могут действовать сразу несколько критериев, что приводит к необходимости рассматривать задачу многокритериальной оптимизации. Задача многокритериального линейного программирования нахождения оптимальных режимов действующих скважин по критерию максимизации отбора нефти и минимизации закачки воды в неоднородный пласт решена в [118].
В работе [148] для достижения максимальной конечной нефтеотдачи для заданного срока разработки решена задача оптимального управления режимами скважин методом последовательной линеаризации [165]. Недостатком данной работы является то, что при составлении ограничений на дебиты скважин вводится предположение о малой зависимости вариаций дебитов от вариации насыщенности на всем временном интервале , что может привести к неправильному определению дебита добывающей скважины при численном решении сопряженной задачи в условиях прорыва воды или сильной обводненности пласта.
Следует подчеркнуть, что в ранних работах динамического регулирования режимами действующих скважин (например, [37, 87, 110]) на дебиты добывающих скважин были наложены лишь ограничения вида ^ О , которые приводят к необходимости поддерживать их забойные давления на минимально допустимом уровне. В задаче оптимального регулирования нефтедобычи по критерию максимизации объема текущей добычи нефти важным является исследование влияния величины минимально допустимых дебитов добывающих скважин, задаваемых из гидродинамических интервалов их изменений, на целевую функцию, текущую и конечную нефтеотдачу, динамику обводнения скважин. В [92] исследован вопрос о том, на каких скважинах нужно повышать максимальные депрессии при заданном уровне минимально допустимого дебита скважин. С использованием вычислительных экспериментов установлены пределы изменения
минимально допустимых дебитов добывающих и нагнетательных скважин, что расширяет возможности регулирования процесса разработки с целью более полного извлечения нефти.
4. Влияние технологических факторов на основные показатели процесса извлечения нефти из неоднородного пласта
Процесс разработки нефтяного месторождения протекает в условиях влияния различных факторов, которые в той или иной мере ограничивают возможности добычи нефти и получения проектного коэффициента текущей нефтеотдачи на всех стадиях процесса разработки. Степень влияния этих факторов на нефтеотдачу пласта зависит как от их вида, так и от стадии процесса разработки.
С самого начала на процесс добычи нефти оказывают влияние факторы следующих трех видов [108]: технологические, технические, планово-экономические. К числу основных технологических ограничений, оказывающих существенное влияние на процесс управления разработки, относятся:
• количество скважин данного фонда, их размещение, темп и последовательность ввода;
• тип системы заводнения;
• ограничения по давлению и дебитам скважин, обусловленные условиями оптимального регулирования разработки нефтяных месторождений.
В работах [23, 108, 123, 136] отмечено, что количество скважин, соотношение добывающих и нагнетательных скважин, их размещение на залежи и темп ввода являются важнейшими факторами, оказывающими существенное влияние на темп отбора и нефтеотдачу пласта. Более того, учет этих факторов на начальной стадии разработки, когда идет основное разбуривание нефтяной залежи заданным фондом скважин, позволит внести своевременные коррективы в регулировании процесса добычи нефти. В свою очередь, правильное принятие решения на этой стадии имеет большое значение для регулирования добычи нефти на последующих стадиях. Следует отметить, что на завершающей стадии разработки важным являются также и экономические факторы [88, 107].
Технологические, технические и экономические факторы могут быть распространены на одну скважину, группу скважин или процесс разработки залежи в целом. Таким образом, как отмечено в [136], процесс добычи нефти можно представить как бы заключенным между верхними (технологическими и техническими) и нижними (планово-экономическими) ограничениями, выраженными в предельных отборах жидкости и нефти. При этом нижнее ограничение (плановое задание коэффициента текущей нефтеотдачи или уровень добычи нефти, а также темп отбора нефти из действующего фонда введенных скважин) будет действовать на всем протяжении процесса извлечения нефти, остальные же ограничения могут действовать на различных стадиях процесса эксплуатации. Обзор проведенных исследований по учету влияния темпа отбора нефти на основные показатели разработки
приведен в [105]. Впервые учитывать влияние очередности ввода отдельных участков было предложено академиком А.П. Крыловым при проектировании разработки Ромашкинского месторождения [136]. Исследования в этом направлении на основе конкретного проектирования при составлении технологической схемы месторождения Сангачалы-море в 1967 году были продолжены А.М. Пирвердяном, М.М. Максимовым и другими. Наиболее полно в теории разработки изучено влияние темпа и последовательности разбуривания скважин на динамику технологических показателей добычи нефти. В основу решения этой задачи была положена идея о подразделении сетки скважин на одинаковые элементы, в пределах каждого из которых процесс добычи нефти протекал аналогичным образом. Затем для выделенного элемента с учетом последовательности ввода скважин был рассчитан дебит жидкости во времени, перемещение водонеф-тяного контакта (ВНК) и при схеме слоисто-неоднородного по проницаемости пласта была определена доля нефти в потоке жидкости и нефтеотдача аналогично расчетной схеме процесса обводнения Маскета-Борисова.
В [106] предпринята лишь попытка оценить влияние темпа и последовательности ввода скважин в эксплуатацию на технико-экономические показатели и выбор рационального варианта добычи нефти. Показано, что темп и последовательность ввода скважин оказывают значительное влияние на технологические и технико-экономические показатели нефтедобычи. Так, погрешность в добыче жидкости и нефти с учетом этих факторов составила 5-40 %, а по себестоимости и приведенным затратам - 320 %. Аналогичные выводы сделаны в [89].
В перечисленных работах приведенного обзора показаны лишь приемы приближенных расчетов технологических показателей добычи нефти с учетом размещения скважин и не рассмотрена постановка этой задачи в общем случае, т. е. с учетом комплекса технологических и технических факторов, не показана их качественная и количественная оценка на показатели повышения нефтеотдачи пласта.
Заключение
В данной обзорной статье приведена классификация методов регулирования и эффективность их применения. Все методы регулирования можно условно разделить на две группы: статические и динамические. Приведена классификация существующих постановок задач оптимального регулирования процесса извлечения нефти и основных факторов, влияющих на этот процесс.
Обоснование рациональной системы добычи нефти должно основываться на совместном поиске рационального размещения скважин данного фонда и системы регулирования (технологических режимов действующих скважин). Большую роль здесь будет играть наличие резерва для регулирования процесса извлечения нефти.
Литература
1. Е.С. Макарова, Д.Н. Болотник, Г.Г. Саркисов Нефтяное хозяйство, 3, 94-95 (2002).
2. В.П. Майер Интервал, 2, 25-44 (2002).
3. Ф.М. Мухаметзянов, Г.С. Салехов, В.Д. Чугунов Нефть и газ. 9, 73-80 (1960).
4. В.Д. Чугунов, Г.С. Салехов, Ф.М. Мухаметзянов Нефть и газ, 12, 57-64 (1961).
5. А.И. Ермолаев, Б.И. Смородинский В сб.: Труды МИНХ и ГП. Вып. 165. Недра, Москва, 1982. С. 188-195.
6. М.Ш. Каримов, В.В. Чеботарев В сб. Разраб. и эксплу-ат. нефт. и газов. месторождений Зап. Сибири. Изд-во ТюмГНГУ, Тюмень, 1999. С. 96-99.
7. Т.Г. Бердин, И.В. Мирвалеев Математическое моделирование в процессе проектирования нефтяных, газовых и газоконденсатных месторождений Н. Уренгой, 2000. 11 с. Деп. В ИРЦ «Газпром» 11.10.2000, № 1415-ГЗ00.
8. Э.С. Закиров Трехмерные многофазные задачи прогнозирования, анализа и регулирования разработки месторождений нефти и газа. Грааль, Москва, 2000. 304 с.
9. X. Азиз, Э. Сеттари Математическое моделирование пластовых систем. Пер. с англ. Недра, Москва, 1982. 407 с.
10. Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик Движение жидкостей и газов в природных пластах. Недра, Москва, 1984. 211 с.
11. В.Я. Булыгин В сб. Численные методы решения задач фильтрации несжимаемой жидкости. ИТПМ СО АН СССР, Новосибирск, 1972. С. 53-60.
12. В.Я. Булыгин, Д.В. Булыгин Геология и имитация разработки залежей нефти. Недра, Москва, 1990. 224 с.
13. Ю.А. Ведерникова, И.Г. Соловьев Вестник кибернетики. 2, 148-156 (2003).
14. В.В. Видякин [и др. ] Математическое моделирование. 23, 1, 19-28 (2011).
15. С.А. Власов, В.А. Дьяконов, А.В. Фомин, А.Я. Хавкин Нефтяное хозяйство. 8, 41-42 (1997).
16. Д.Н. Морозов [ и др. ] Математическое моделирование. 23, 7, 52-60 (2011).
17. Г.И. Казакевич, Л.И. Лобковский, Ю.А. Повещенко XIV Губкинские чтения «Развитие идей И.М. Губкина в теории и практике нефтегазового дела». (Москва, 1517 октября 1996 г.) ГАНГ им. И.М. Губкина, Москва, 1996. - С. 136.
18. Г. Кричлоу Разработка нефтяных месторождений -проблемы моделирования. Пер. с англ. Недра, Москва, 1979. 304 с.
19. А.К. Курбанов, Г.А. Атанов Нефть и газ Тюмени: НТС. 13, 36-38 (1972).
20. Б.И. Леви Проблемы нефти и газа Тюмени. 48, 39-42 (1980).
21. А. В. Назаров В сб. Проблемы разработки сложных нефтегазо-конденсатных месторождений Тимано-Печерской провинции. Ч. 1., Уфа, 1996. С. 117-124.
22. В.В. Скворцов Математический эксперимент в теории разработки нефтяных месторождений. Наука, Москва, 1970. 224 с.
23. Р.Т. Фазлыев Площадное заводнение нефтяных месторождений. Недра, Москва, 1979. 254 с.
24. И.А. Чарный Подземная гидрогазодинамика. Гостоп-техиздат, Москва, 1963. 396 с.
25. В.А. Breitenbach, D.H. Thurnau, Н.К. уап Poolen Soc. of Pet. Eng. J. 9, 2, 155-169 (1969).
26. S.E. Buckley, М.С. Leverett Mechanism of Fluid Displacement Sands. Тгаш. А1МЕ, 1941. 145 р.
27. Zhong-xiang Chen, Xiang Wu Adv. Mech. 17, 3, 337-341 (1987).
28. J.W. Douglas [et al] Trans. А1МЕ. 216, 297-308 (1959).
29. L.J. Snyder Soc. of Petrol. Eng. J. 9, 2, 170-182 (1969).
30. R. White, R.W. Lewis, W.L. Wood ApplМаЛ. Modelling.
5, June, 165-172 (1981).
31. М.С. Белоцерковская, А.М. Опарин, Б.Н. Четверушкин Математическое моделирование. 16, 12, 3-10 (2004).
32. В.Я. Булыгин, С.М. Зиновьев В сб. Численное решение задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. ВЦ СО АН СССР, Новосибирск, 1977. С. 37-43.
33. П.Н. Вабищевич, А.А. Самарский ЖВМ и МФ. 38, 2, 207-319 (1998).
34. П.Н. Вабищевич, П.П. Матус, А.А. Самарский ЖВМ и МФ. 38, 3, 413-424 (1998).
35. В. Вазов, Дж. Форсайт Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. Пер. с англ. Иностранная литература, Москва, 1963. 488 с.
36. Ф.П. Васильев Численные методы решения экстремальных задач. Наука, Москва, 1980. 396 с.
37. Г.А. Вирновский ЖВМ и МФ. 28, 6, 855-866 (1988).
38. Я.М. Зайдель, Б.И. Леви Известия АН СССР, сер. Механика жидкости и газа. 3, 71-75 (1977).
39. А.В. Лапин ДАН РАН. 361, 2, 158-160 (1998).
40. Ж.-Л. Лионс Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. Мир, Москва, 1972. 232 с.
41. К.А. Лурье Оптимальное управление в задачах математической физики. Наука, Москва, 1977. 296 с.
42. И.И. Ляшко Метод мажорантных областей в теории фильтрации. Наукова думка, Киев, 1974. 200 с.
43. П.П. Матус, А.А. Самарский ЖВМ и МФ. 38, 3, 413424 (1998).
44. А.Х. Мирзаджанзаде Вопросы гидродинамики вязко-пластичных и вязких жидкостей в применении к нефтедобыче. Азернефть, Баку, 1959. 192 с.
45. П.Я. Полубаринова-Кочина Доклады АН СССР. 47, 4, 254-257 (1945).
46. Б.Т. Баишев [и др.] Регулирование процесса разработки нефтяных месторождений. Недра, Москва, 1978. 196 с.
47. Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко Системы квазилинейных уравнений и их приложение к газовой динамике. Наука, Москва, 1968. 592 с.
48. Г.С. Салехов Известия Казанского филиала АН СССР.
6, Казан. физ.-техн. ин-т, Казань, 1955. С. 3-38.
49. А.А. Самарский Вестник АН СССР. 5, 38-49 (1979).
50. А.А. Самарский Теория разностных схем. Наука, Москва, 1977. 656 с.
51. А.А. Самарский [и др.] ДАН РАН. 376, 6, 738-741 (2000).
52. А.Н. Чекалин Численные решения задач фильтрации в водо-нефтяных пластах. Изд-во Казан. ун-та, Казань, 1982. 208 с.
53. N.A de Nevers SPEJ. 4, 1, 9-20 (1964).
54. J.D. Powell Nonlinear Optimization. Academic Press, 1982. 215 p.
55. B. Sudaryanto, Y.C. Yortsos Fhys. of Fluids. 12, 7, 16561670 (2000).
56. E. Zwahlen, Tad W. In situ. 21, 4, P. 297-330 (1997).
57. М.М. Карчевский Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 151, 3, 154-161 (2009).
58. Ю.А. Волков, В.Д. Слабнов В сб. Математическое моделирование процессов фильтрации и оптимизации нефтедобычи. АН СССР Казан филиал. Физико-технический институт, Казань, 1988. С. 5-12.
59. С.К. Годунов, А.В. Забродин, М.Я. Иванов Численное решение многомерных задач газовой динамики. Наука, Москва, 1976. 216 с.
60. Р.Н. Дияшев, А.В. Костерин, Э.В. Скворцов Фильтрация жидкости в деформируемых нефтяных пластах. Изд-во Казан. матем. общества, Казань, 1999. 238 с.
61. Ю.К. Зинченко, Э.Г. Лебедиков Вестник ВНК. 1, 5255 (1998).
62. В.Н. Конюхов, А.В. Костерин, А.Н. Чекалин Известия РАЕН. Серия МММИУ. 1, 1, 84-109 (1997).
63. С.И. Мартыненко Математическое моделирование. 21, 9, 66-79 (2009).
64. В.П. Майер, С.В. Соколов ЖВМ и МФ. 25, 10, 15661570 (1985).
65. О.Ю. Милюкова, И.В. Попов Математическое моделирование. 21, 12, 3-20 (2009).
66. Б.Н. Четверушкин [и др.] Математическое моделирование. 22, 4, 99-109 (2010).
67. Я.А. Северов Научные труды Оренбургской нефтяной акционерной компании «ОНАКО». 3, 165-169 (2001).
68. Ю.А. Теплов В сб. Задачи подземной гидромеханики и рациональной разработки нефтяных месторождений. Казан. физ.-техн. ин-т: Казан. фил. АН СССР, Казань, 1981. С. 141-149.
69. М.Х. Хайруллин О вычислении коэффициентов влияния и коэффициентов гидропроводности для неоднородных нефтяных пластов. Казан. физ.-техн. институт. Казан. фил. АН СССР. Москва, 1981. 18 с. Деп. в ВИНИТИ 12.05.81., № 2193-81.
70. А.Н. Чекалин, О.А. Широкова В сб. Вычислительные методы и математическое обеспечение ЭВМ. Вып. 2. Изд-во Казан. ун-та, Казань, 1980. С. 48-53.
71. О.А. Задорнов, М.М. Карчевский, А.Е. Федотов Изв. вузов. Математика. 8, 16-26 (2007).
72. И.Б. Бадриев, А.Д. Ляшко, О.В. Панкратова Известия вузов. Математика. 11, 8-13 (1998).
73. Р.Д. Каневская Математическое моделирование процессов разработки месторождений углеводородов. Изд-во компьютерных исследований, М.-Ижевск, 2003. 206 с.
74. Г.И. Марчук Методы вычислительной математики: Учебное пособие. Изд-во «Лань», СПб., 2009. 608 с.
75. М.В. Мееров Исследование и оптимизация многосвязных систем управления. Наука, Москва, 1986. 236 с.
76. D.W. Peaceman Fundamentals of Numerical Reservoir Simulation. Elsevier Scientific Publishing Company, 1977. 218 p.
77. И. Алимов, К. Атаханов, О. Жакбаров Материалы Всесоюзн. Научно-техн. конф. «Наука и образование -2002», (Мурманск, 16-29 апр., 2002). Изд-во МГТУ, Мурманск, 2002. С. 512-513.
78. Н.Т. Ажиханов Математическое моделирование. 23, 2, 107-117 (2011).
79. П.М. Белаш Труды МИНХ и ГП. Вып. 47, Недра, Москва, 1964. С. 14-27.
80. Р. Беллман, Э. Энджел Динамическое программирование и уравнения в частных производных. Пер. с англ. Мир, Москва, 1974. 207 с.
81. В.М. Борисов, В .А. Люлька ЖВМ и МФ. 39, 12, 20982103 (1999).
82. Н.Б. Ильинский, А.Р. Касимов, Н.Д. Якимов МЖГ. 2, 3-19 (1998).
83. Н.Н. Калиткин, П.В. Корякин Математическое моделирование. 21, 8, 44-62 (2009).
84. К.Д. Никитин Математическое моделирование. 22, 11, 131-147 (2010).
85. В.Н. Пьянов Нефтяное хозяйство. 10, 62-65 (1997).
86. R.F. Stengel Optimal control and estimation. Dover, 1994. 238 p.
87. Я.М. Берщанский, М.В. Мееров, О.Ю. Першин Управление разработкой нефтяных месторождений. Недра, Москва, 1983. 312 с.
88. Э.М. Халимов, Б.И. Леви, В.И. Дзюба, С.А. Пономарев Технология повышения нефтеотдачи пластов. Недра, Москва, 1984. 271 с.
89. Р.Н. Дияшев Нефтяное хозяйство. 6, 22-25 (1998).
90. Е.Л. Котлярова, В.Д. Чугунов В сб. Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. ИТПМ СО АН СССР, Новосибирск,
1980. С. 135-138.
91. Б.И. Леви, Ю.В. Сурков, А.Б. Тумасян ОНТИ Баш-НИПИнефть. Уфа, 1974. 39 с.
92. Р.Х. Муслимов, Г.С. Хисамов, Э.И. Сулейманов [и др.] Нефтяное хозяйство. 7, 63-67 (1998).
93. М.И. Швидлер Статистическая гидромеханика пористых сред. Недра, Москва, 1985. 288 с.
94. C.L. Hearn J. of Petrol. Technology. July, 805-813 (1971).
95. А.В. Богов, Ю.А. Волков В сб. Исследования по подземной гидромеханике. Вып. 9. Изд-во Казан. ун-та, Казань, 1987. С. 3-10.
96. А.Ш. Газизов [и др.] Нефтяное хозяйство. 2, 12-14 (1998).
97. С.Н. Закиров Анализ проблемы «Плотность сетки скважин - нефтеотдача». Грааль, Москва, 2002. 314 с.
98. С.В. Кобелецкий, Е.И. Плещинский, А.В. Штанин В сб. Исследования по подземной гидромеханике. Вып. 9. Изд-во Казан. ун-та, Казань, 1987. С. 78-85.
99. П.Я. Полубаринова-Кочина ПММ. XX, 6, 95-108 (1956).
100. Р.А. Султанов В сб. Оптимизация нефтедобычии вопросы подземной гидромеханики. Казан. научный центр РАН. Казан. физ.-техн. ин-т, Казань, 1987. С. 110-113.
101. H. Asheim SPE 18365 presented at the 1988 (SPE European Petroleum Conference, London, UK, October 16-18).
102. А.В. Ахметзянов, В.Н. Кулибанов Автоматика и телемеханика. 11, 15-28 (2001).
103. М.Х. Хайруллин, А.И. Абдуллин, Р.Ш. Марданов, П.Е. Морозов, М.Н. Шамсиев Инженерно-физический журнал. 87, 5, 1017-1021 (2014).
104. Б.Т. Баишев В кн. Регулирование процессов эксплуатации нефтяных залежей. Наука, Москва, 1977. С. 714.
105. М.Л. Сургучев Методы контроля и регулирования процесса разработки нефтяных месторождений. Недра, Москва, 1968. 304 с.
106. В.Д. Лысенко Проектирование разработки нефтяных месторождений. Недра, Москва, 1987. 248 с.
107. Р. Х. Муслимов Особенности разведки и разработки нефтяных месторождений в условиях рыночной экономики. Фэн, Казань, 2009. 727 с.
108. М.Л. Сургучев Вторичные и третичные методы увеличения нефтеотдачи пластов. Недра, Москва, 1985. 308 с.
109. Р.М. Юсупов [и др.] В сб. докладов науч.-практ. конф «Техника и технология добычи нефти на современном этапе» (Альметьевск, 14-15 мая 1998 г.): ОАО «Татнефть», Альметьевск, 1998. С. 205-208.
110. А.В. Ахметзянов, В.Н. Кулибанов Автоматика и телемеханика. 4, 5-13 (1999).
111. Ф.М. Мухаметзянов, Р.А. Султанов, А.Г. Фатыхов В сб. Задачи подземной гидромеханики и рациональной разработки нефтяных месторождений. АН СССР Казанский филиал. Физико-технический институт, Казань,
1981. С. 90-97.
112. А.Н. Чекалин, Г.В. Кудрявцев, В.В. Михайлов Исследование двух- и трехкомпонентной фильтрации в нефтяных пластах. Изд-во Казан. ун-та, Казань, 1990. 148 с.
113. P.L. Bonder, G.L. Hirasaki, M.J. Tham SPEJ. October, 369-382 (1972).
114. J.T. Patton [et al] SPEJ. 11, 1, 72-84 (1971).
115. W. Van-Qui, P. Simandoux, J. Cartoville SPEJ. 24, 6, 606616 (1984).
116. В.Д. Лысенко, И.Л. Никифоров Нефтяное хозяйство. 11, 66-70 (2002).
117. Р.Х. Муслимов, А.Ф. Блинов, А.3. Нафиков Нефтяное хозяйство. 12, 37-44 (1988).
118. С.Ф. Коротков, Ф.М. Мухаметзянов, В.Д. Слабнов В сб. Вопросы подземной гидромеханики и оптимизации нефтедобычи. Ч. 2. АН СССР Казан филиал. Физико-технический институт, Казань, 1985. С. 39-50.
119. М.Л. Сургучев [и др.] В кн. Регулирование процесса эксплуатации нефтяных залежей. Наука, Москва, 1977. С. 76-85.
120. В.Ф. Базив Нефтяное хозяйство. З, 46-47 (2002).
121. Б.Т. Баишев, В.Н. Корнилаев Труды ВНИИ. Вып. 55. Недра, Москва, 1970. С. 218-229.
122. Ю.П. Борисов В кн. Регулирование процессов эксплуатации нефтяных залежей. Наука, Москва, 1977. С. 118-122.
123. Р.Б. Злотникова [и др.] Нефтяное хозяйство. 9, 40-44 (2001).
124. В.С. Путохин Труды ВНИИ. Вып. 83. Недра, Москва, 1993. С. 234-240.
125. А.Ш. Сыртланов [и др.] Нефтяное хозяйство. 5, 77-81 (2002).
126. А.Н. Янин Нефтяное хозяйство. 10, 39-43 (1979).
127. Ю.М. Молокович, Н.Н. Непримеров В сб. Вопросы усовершенствования разработки нефтяных месторождений Татарии. Изд-во Казан. ун-та, Казань, 1962. С. 39-47.
128. Э.А. Рыбалов В сб. научн. трудов Тюм. гос. нефтегаз. ун-та. Изд-во ТюмГНГУ, Тюмень, 1999. С. 46-50.
129. В.Н. Щелкачев Нефтяное хозяйство. б, 26-30 (1974).
130. M.N. Chu, R.D. Evans Proc. Prod. Oper. Symp., Oklahoma City (Okla, Febr. 27 Мarch 1, 1983. Dallas, Тех., 1983). Р. 297-306.
131. J.W. Watts, D.W. Peaceman Perspect. Computing. 5, 1, 14-23 (1985).
132. М.И. Швидлер, Б.Т. Баишев, М.В. Гохман В кн. Регулирование процессов эксплуатации нефтяных залежей. Наука, Москва, 1977. С. 93-107.
133. А.П. Крылов Нефтяное хозяйство. б, 28-30 (1980).
134. В.Д. Чугунов, С.Ф. Коротков В кн. Регулирование процессов эксплуатации нефтяных залежей. Наука, Москва, 1977. С. 108-117.
135. Ю.П. Борисов [и др.] Труды ВНИИ. Вып. 47. Недра, Москва, 1966. С. 10-15.
136. А.П. Крылов [и др.] Научные основы разработки нефтяных месторождений. Гостоптехиздат, Москва, 1948. 475 с.
137. Р.М. Тер-Саркисов, Ю.М. Кашпаров В сб. трудов ООО "ВНИИГАЗ" «Повышение углеводородоотдачи пласта газоконденсатных месторождений». Изд-во ВНИИГАЗ, Москва, 1998. С. 84-93.
138. Р. Габасов, Ф.М. Кириллова Вторая международная конференция по проблемам управления (ИПУ РАН, Москва, 17-19 июня 2003 г.). С. 20-47.
139. И.К. Зяббаров [и др.] В сб. Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. ИТПМ СО АН СССР, Новосибирск, 1981. С. 98-102.
140. М.М. Максимов, Л.П. Рыбицкая Математическое моделирование процессов разработки нефтяных месторождений. Недра, Москва, 1976. 264 с.
141. М.М. Мусин, Р.Т. Булгаков В сб. Численное решение задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. ВЦ СО АН СССР, Новосибирск, 1977. С. 158-162.
142. V.D. Slabnov, Yu.A. Volkov Вторая международная конференция по проблемам управления. Избранные труды в 2 т. Т. 2. (ИПМ РАН, Москва, 17-19 июня 2003 года) C. 57-67.
143. I.S. Zakirov [et al] Proc. Fifth European Conference on the Mathematics of Oil Recovery (Leoben, 1996).
144. Z. Fathi, W.F. Ramirez SPEJ. 333-341 (1984).
145. W.F. Ramirez Developments in Petroleum Science 21. Elsevier Science Publishers B.V., 1987. 228 p.
146. С.А. Левагин, Л.С. Бриллиант, В.И. Репин Нефтяное хозяйство. 10, 33-36 (1997).
147. Р.А. Султанов, В.Д. Слабнов, И.А. Фукин,
B.В. Скворцов Проблемы управления. 6, 28-34 (2009).
148. Р.П. Федоренко, Р.М. Юсупов ЖВМ и МФ. 25, 6, 860872 (1985).
149. J.M. Bohanson Linear J. of Petrol. Technol. November, 1429-1436 (1970).
150. D.R. Brouwer [and et. al] SPE European Formation Damage Conference, (Hague, Netherlands, May 21-22, 2001).
151. G.A. Pope SPEJ. 20, 3, 72-84 (1980).
152. В.И. Пикуза В кн. Теоретические и экспериментальные проблемы рациональной разработки нефтяных месторождений. Ч. 2. Изд-во Казан. ун-та, Казань, 1972.
C. 128-130.
153. С.Ф. Коротков, А.Г. Фатыхов В сб. Исследования по подземной гидромеханике. Вып. 3. Изд-во Казан. ун-та, Казань, 1979. С. 36-38.
154. В.М. Ентов, А.Ф. 3азовский Гидромеханика процессов повышения нефтеотдачи. Недра, Москва, 1989. - 232 с.
155. N. Dolle, D.N. Brouwer, J.D. Jansen Proc. XIVth International Conference on Computational Methods in Water Resources (Delft, 2002). P. 23-28.
156. У.Х. Малков В кн. Математические методы решения экстремальных задач. Наука, Москва, 1977. С. 30-50.
157. В.Д. Слабнов В сб. Вопросы подземной гидромеханики и оптимизации нефтедобычи. Ч. II. Казан. научный центр РАН, Казан. физ.-техн. ин-т, Казань, 1985. С. 8495.
158. В.А. Емеличев, О.А. Янушкевич Известия вузов. Математика. 12, 38-42 (1999).
159. А.Ф. Измаилов, М.В. Солодов Численные методы оптимизации. Физматлит, Москва, 2008. 320 с.
160. Е.А. Костина, О.И. Костюкова ЖВМ и МФ. 41, 7, 10121025 (2001).
161. В.А. Срочко, С.Н. Душутина, Е.И. Пудалова Изв. вузов. Математика. 12, 82-92 (1998).
162. М.Ф. Сухинин ЖВМ и МФ. 38, 6, 932-937 (1998).
163. Е.А. Андреева, В.М. Цирулева Вариационное исчисление и методы оптимизации: Учебное пособие для университетов. Высш. школа, Москва, 2006. 584 с.
164. М.М. Хапаев ДАН РАН. 367, 2, 173-294 (1999).
165. Р.П. Федоренко Приближенное решение задач оптимального управления. Наука, Москва, 1978. 488 с.
166. B. Sudaryanto PhD dissertation, University of Southern California, 1998.
167. G.A. Virnovski Proc. 6th European Symp. on IOR (Sta-vanger, 1991). P. 437-446.
168. Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко Математическая теория оптимальных процессов. Наука, Москва, 1976. 334 с.
© В. Д. Слабнов - канд. физико-математических наук, доцент кафедры информационных технологий. Институт экономики, управления и права, slabnov@ieml.ru.
© V. D. Slabnov - PhD, Institute economy, management and law, slabnov@ieml.ru.
