Методы и схемы анализа спектров сигналов на основе обобщенной модификации преобразования Фурье Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0868-5886

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2006, том 16, № 4, c. 97-105

ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ СИГНАЛОВ

УДК 621.391;519.21;519.245 © А. В. Меркушева, Г. Ф. Малыхина

МЕТОДЫ И СХЕМЫ АНАЛИЗА СПЕКТРОВ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ ОБОБЩЕННОЙ МОДИФИКАЦИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

Модификация преобразования Фурье (ПФ) — вращаемое ПФ имеет собственные (отличные от ПФ) свойства, правила умножения и свертки сигналов, оказывается полезной при обработке нестационарных сигналов в информационно-измерительных системах. Вращаемое ПФ (ВПФ) при некоторых условиях может быть более эффективным, чем ПФ, в задачах мультиплексирования и фильтрации. Для спектрального анализа методом ВПФ проводится разработка схем, ориентированных на обработку различных типов сигналов. Это — ряды ВПФ и ВПФ дискретного времени. Обе схемы являются обобщениями соответствующих традиционных форм спектральной обработки сигналов методами ПФ.

ВВЕДЕНИЕ

Для анализа спектров методом преобразования Фурье (ПФ) различных типов сигналов может использоваться несколько схем: обычное ПФ (непрерывного сигнала), ряды Фурье, преобразование Фурье дискретного времени, дискретное ПФ [1, 2]. Вместе с тем анализ Фурье корректно обеспечивает получение частотных компонент сигнала только на квазистационарных интервалах, а в практических приложениях достаточно часто встречаются информационно-измерительные системы (ИИС), в которых сигналы нестационарны. В связи с этим для обработки таких сигналов используются методы время-частотных и время-масштабных (вейв-лет-) преобразований [3-6]. Для этой же цели может применяться анализ на основе модифицированной формы преобразования Фурье — вращаемого ПФ, который позволяет выявить смешанные временные и частотные компоненты сигнала.

Вращаемое преобразование Фурье (ВПФ) имеет собственные (отличные от ПФ) свойства, в том числе аддитивность углового параметра ВПФ, связь ВПФ с время-частотными преобразованиями, с преобразованием Радона и с традиционным ПФ. Для операции ВПФ сигналов, умножения двух сигналов в области ВПФ (или свертки сигнала с импульсой передаточной функцией) также свойственны особые правила [7-10].

Для обработки сигналов различных типов на основе обобщенной модификации Фурье метод ВПФ располагает двумя схемами анализа. Это собственно ВПФ [7] и дискретное вращаемое преобразование Фурье (Д_ВПФ) [10, 11]. Такие схемы анализа используются для непрерывных и дискретных сигналов, и результат преобразований соответственно непрерывный и дискретный. Если следовать пути и логике развития схем традици-

онного ПФ, то представляется целесообразным введение еще двух новых схем анализа сигналов методом ВПФ — рядов вращаемого преобразования Фурье (Р_ВПФ) и вращаемого преобразования Фурье дискретного времени (ВПФ_ДВ).:)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИГНАЛА ВРАЩАЕМЫМ ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ ФУРЬЕ

Ядро преобразования по методу непрерывного ВПФ определяется выражением:

Ka (t, u) =

1 ] а +и1)12]с*%а-]Ысоэеса

2п e ,

если а не кратно п;

- и), если а кратно п; 8^ + ы), если а + п кратно 2п,

(1)

где а — угол вращения (параметр ВПФ).

Прямое Sа(u) и обратное ВПФ сигнала s(t) выражаются с помощью ядра Ка ^,и) соотношениями (2) и (3):

л+ж

Sa(u ) =L/ (t) Ka(t, U )dt,

(2)

1) Следует отметить, что метод Д_ВПФ, разработаный Сантанамом и Мак-Клеланом (8апШапат, МсС1е11ап) [10], не обеспечивает полного соответствия со схемой непрерывного ВПФ [7], поэтому при рассмотрении новых схем анализа сигналов в рамках концепции обобщенной формы преобразования Фурье (рядов ВПФ и ВПФ дискретного времени) в качестве основы далее будет использоваться метод ВПФ, усовершенствованный Пэйем и Йехом (Реу, УеИ) [11].

) =L Sa(U ) Ku )dU-

(3)

Свойства непрерывного ВПФ приведены в работах [9, 12]. При построении новых схем анализа сигнала методами рядов ВПФ и ВПФ дискретного времени за основную область параметра а, определяющего вращение время-частотной плоскости, принят интервал а е (0, п/2).

РЯДЫ ВРАЩАЕМОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

Частотный спектр периодического сигнала состоит из последовательности импульсов, поэтому такой сигнал представляется в форме ряда Фурье (РФ) (4) , коэффициенты разложения которого определяются выражением (5):

s(t)=Ес

jntrn„

Cn = T J s (t)

1 rp

jnta>0

dt,

(4)

(5)

Этот прообраз может служить в качестве базисных функций для Р_ВПФ, т. е. базисным набором может быть набор {(а пЦ)}п,_10,+1,. , элементы которого определяются соотношением (7):

Фа,n (t) =

1 + j Ctga - j(Jt2 +(nto )) ctga + j(nt„ )tcoseca

2n 6 '

(7)

где s(t) — периодический сигнал с периодом Т; ю0 = (2п/Т); {Сп }п=_^,...,_1,оД,...,^ — коэффициенты разложения сигнала в РФ.

Разложение в РФ может использоваться для двух классов непрерывных сигналов:

• так может представляться апериодический сигнал s(t), определенный на некотором интервале [0, Т]; в этом случае РФ сходится к периодическому расширению 5(0 на область как внутри, так и вне [0, Т], т. е. сходится к + п), п = 0,± 1,± 2,...;

• кроме того, РФ может использоваться для представления периодического сигнала (с любым периодом).

Для построения схемы рядов вращаемого преобразования Фурье (Р_ВПФ) удобно сначала получить ортогональный базис. Для этого используется аналогия с традиционным ПФ. В случае обычного ПФ базисная функция — синусоида, в результате ПФ дает 5-образный импульс. При использовании аналогичной взаимосвязи базисные функции ВПФ могут быть найдены так.

• Для импульсной функции 8(-Ш0), принадлежащей области ВПФ с параметром а, ее прообраз во временной области выражается с помощью обратного вращения время-частотной плоскости, т. е. путем применения ВПФ с угловым параметром -а:

ВПФ-а [8( - М0 )] =

= /Т + УС^а - ] [(? +К )) )/2^ 0(8« + ](гйо )г 0О8еса

у 2П е .

Параметр t0 называется центральной частотой базисного сигнала (7) в области ВПФ. Такое его название связано с установленным ниже условием t0 = 2 п (sin a/T), которое необходимо для взаимной ортогональности базисных функций и которое показывает "пропорциональность" t0 1/T, где T — область задания анализируемого сигнала.

• Базисные функции-сигналы у ВПФ являются так называемыми сигналами с быстро изменяющейся частотой (СБИЧ); это апериодические сигналы, которым не может быть приписана какая-либо определенная частота. Поскольку сумма апериодических компонент не может быть периодической, рядами ВПФ представляют только сигналы, определенные на конечной временной области ("финитные" сигналы).1"1

• Набор базисных сигналов (БС) (7) для разложения в Р_ВПФ при определенных условиях является ортонормальным. Это показывает интегрирование пары 2) БС на интервале [-T / 2, T /2]:

T/2

J Фат (t)<n (t)dt =

-(T/2)

i Г// \2 \2\ 1 (T/2)coseca = _L eJ[((nto )-(mto ))/2Jctga J ej(m-n)to 7d-. (8)

2n

из (8) получаем

1 / z.

J Фат (t)ф1П (t)dt =

-(T/2)

1) Ниже будет использоваться термин "базисные сигналы", поскольку рассмотрение схем Р_ВПФ и ВПФ_ДФ проводится в контексте обработки и анализа сигналов (функций зависящих от времени), а свойства базисных сигналов трактуются с точки зрения динамики их частоты. Заметим, что в ИИС обычно обрабатываются финитные сигналы, поэтому далее будем говорить просто о сигнале 8(0.

2) В функциональном пространстве интегрирование пары базисных сигналов по области их определения соответствует "произведению", которое обычно используется для проверки ортонормальности базиса (т. е. взаимной "перпендикулярности" при различных индексах элементов базиса и наличия у них единичной длины).

Т со8еса

2п

при т=п;

1

7 2п(т - п) t0

^[ ( (nt0 )2 -(mt0 )2 )/2]сс%ае7(т-п)0 (Т/2)со*еса х

(9)

х{е7(т-пТ соэеса }

при т Ф п.

Жа.п ^) =

Т со8еса

81па+ 7 со8а Т

х

2п

х ехр{-^2 + (п(2п/Т)1па)2/2)]^а +

+п (2п / Т)}, (10)

где п = -°о,..., -1,0,1,..., Так что набор (множество) {...,фа.-1,фа.0,фа.1,...} составляет базис ортогональных сигналов.

Приведем еще два замечания. 1) Текущее значение "мгновенной" частоты БС может быть получено вычислением производной от фазы, поэтому текущая частота БС определяется выражением

юап(0 = -с^а+2пп/Т .

(11)

Из (11) видно, что каждый БС является СБИЧ с постоянной скоростью изменения частоты (-с\%а).

2) Представление (финитного) сигнала в виде Р_ВПФ интерпретируется как разложение на составляющие элементы (гармоники) — СБИЧ.

Таким образом, разложение сигнала •$•(() в ряд по вращаемому преобразованию Фурье со значением углового параметра а представляется соотношением:

^) =Ё Са,п Жа,п ^) =Ё

Г

с„

81па+7 со8а

Т

х

хехр{-7 (t2 + (п(2п/Т)1па)2)/2

ctgа +

+п (2п / Т)}

tе [-Т/2,Т/2],

(12)

где Са п — коэффициенты разложения в Р_ВПФ

с параметром а.3)

Коэффициенты разложения сигнала в Р_ВПФ определяются выражением (13)4) :

(В преобразованиях, ведущих к получению выражений (8) и (9), использована замена переменных t = t со8еса).

• Чтобы фа п удовлетворяли условию ортогональности, правая часть в (9) при т Ф п должна быть равна нулю. Это условие может быть удовлетворено, только когда ^ = 2п(1па/Т). Кроме того, можно разделить каждую фа п на величину (2п)-1Т со8еса и получить ортогональный базис {Фа,п} для Р_ВПФ:

Жа.п (t)

1 /

Са,п = / ^ Ж п (t =

-(Т/2)

81па+ 7со8а р , . 7 - ] ¿(0

-(Т/2)

Т

х

х ехр {7 (t2 + (п (2п/Т )1па)2/2 )^а-

- п (2п / Т ) dt.

(13)

Разложение в Р_ВПФ может использоваться для представления апериодичного сигнала s(t), который определен на конечном интервале (в (13) принят интервал [-Т /2, Т /2 ]).

Свойства Р_ВПФ систематизированы Пэйем— Йехом [11, 13] и показаны в табл. 1. Эти свойства в определенной степени сходны со свойствами ВПФ непрерывного сигнала. Немного позднее (после анализа ВПФ_ДВ) будет проведено сопоставление свойств сдвига и модуляции для Р_ВПФ и для рядов обычного преобразования Фурье, а также сопоставление свойства ВПФ_ДВ и ПФ_ДВ. Такие сопоставления будут даны в табл. 3.

Этими же авторами установлена взаимосвязь и соотношение между коэффициентами разложения сигнала в Р_ВПФ и значением ВПФ самого сигнала (при определенным образом масштабированном аргументе ВПФ):

„ \2п$,1па 0 Г 2п . Сап = 4-Sal п—81па

а п * I Т а I Т

(14)

3) В рамках методов ВПФ как обобщенной формы преобразования Фурье обычные ряды Фурье являются частным случаем Р_ВПФ, соответствующим значению а = п/2. Базисные сигналы обычного РФ — это синусоидальные гармоники (на время-частотной плоскости они представляются горизонтальными линиями).

4) Строго говоря, в терминах функционального анализа (13) является произведением сигнала и базисного сигнала жа п (г), причем под интегралом (в произведении) второй множитель берется в комплексно-сопряженной форме, т.е. ф* 0).

где Сап — коэффициент разложения сигнала 5(0 в Р_ВПФ Sа — ВПФ этого сигнала.

Из (14) видно, что интервал отсчетов зависит как от а (параметра ВПФ), так и от Т (длины интервала, являющегося областью определения сигнала). При этом, когда интервал Т для вычисления Р_ВПФ значительно возрастает (в предельном случае ^^), интервал отсчетов коэффициентов разложения стремится к нулю. Поэтому по мере возрастания интервала Т Р_ВПФ будет постепенно переходить просто в ВПФ сигнала, а в предельном случае (Т ~ ^ ) Р_ВПФ эквивалентен вращаемому преобразованию Фурье сигнала.

ВРАЩАЕМОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДИСКРЕТНОГО ВРЕМЕНИ

Известный метод ПФ дискретного времени (ПФ_ДВ) обеспечивает процедуры вычисления частотных компонент дискретного сигнала. Обычное определение ПФ_ДВ представляется в форме с нормализацией частоты [2]. Это придает методу независимость от интервала квантования анализируемого сигнала и приводит выражение ПФ_ДВ к формуле для периодической функции с периодом 2п.

ПФ_ДВ без нормализации частоты дает периодический результат преобразования с периодом 2п/Т1, где Т1 — интервал дискретизации сигнала.

Определение прямого и обратного ПФ_ДВ без нормализации частоты отсчетов сигнала выражается соотношениями (15) и (16):

S(ю) = X s(n) e"]ШТ\

V 2n n=—

I T п/ Tj

s(n) = JT" J S(«j'd® .

V 2п -(п/

(15)

(16)

При формировании ВПФ_ДВ, являющегося обобщением обычного преобразования Фурье дискретного времени, необходимые преобразования удобнее осуществлять на основе выражений (15) и (16) (т. е на основе определения прямого и обратного ПФ_ДВ без нормализации частоты отсчетов сигнала).

Построение метода ВПФ_ДТ использует два положения, первое из которых традиционное, а второе имеет специфику, свойственную процедурам аналитического развития схемы ВПФ_ДТ:

• сигнал 5(п) получен из сигнала 5(0 с ограниченной частотной полосой путем дискретизации его по времени с интервалом Т1;

• при построении ВПФ_ДТ роль временной и частотной осей у Р_ВПФ взаимно заменяется; делается это для удобства определения ВПФ_ДТ; это значит, что дискретные отсчеты во временной области трактуются как коэффициенты Р_ВПФ в частотной области.

Табл. 1. Свойства рядов вращаемого преобразования Фурье

Вид свойства Р ВПФ Формализованное представление свойства

Изменение отсчета времени сигнала Р_ВПФ^(-0] ^ Ca(-n)

Комплексное сопряжение сигнала Р_ВПФИ0] ^ j(C —a,,n)*

Сдвиг сигнала по времени на величину т (кратную относительно (2п1§а)/ Т) т = к(2ntga)/ T; к - целое; t0 = (2nsina)/ T; т2 . . - j—sinacosa- /n^Tsma Р_ВПФ[s(t - т)]^ Can-ke 2

Модуляция сигнала ( ) ^ 5(0^ ) .(mt0 )2 • . , . _ - j-0—sinacosa+ imnUcosa Р_ВПФ[ s(t)eJm° Ca,(n-msina)e 2 , где t0 =2n(sina)/T; (n - m sin a) — целое

Масштабирование сигнала (5(0 ^ Ф0) I—.- Г-- j(nÍ0)2ctg4 sin2 в) Р_ВПФМс0Э C^c x ■""j^e 2 I- si""al ]¡ sin p\¡ c - ] ctga

Соотношение Парсеваля а ф тп; m — целое; X:=JCaJ2 = Jt| s(t)|2dt

S(ш)

—а | ,

У п/2 +а

s (-ю) = X С

п=-Г

, п ] . Г п 81п| —+а 1+7 со8! —+а

х ехр

7

ю2 +

(п/2) +а, п

Г 2п ^

2п / Т

х

п

2п / Т

81п((п/2)+а)

1-4 1 У

2

х1/(2ctg ((п/2) + а)) + 7пю

Г 2п ^

2п / Т

1

= X к

со8а -781па

(п/2) +а,пл

х ехр

2п / Т

7((ю2+(пТ со8а)2)/2) tgа+]пюТх

>. (17)

• С помощью (13) вычисляются коэффициенты разложения Р_ ВПФ:

^а[п] = С(п/2)+а, п = п /Т1

-(п/ Т,)

| S (ю)./—( соза + 7 8та)

х ехр

7

2п

.ю + п Т со8 а

-tgа

х

х ехр[-]'пюТ1 ] dю;

(18)

К концепции использования спектра сигнала в виде S(-ю) при построении преобразований для получения вращаемого преобразования Фурье дискретного времени

Логическая последовательность построения ВПФ_ДТ включает следующие этапы.

• Выполняется разложение спектральной функции S(-ю) сигнала 5(0 в Р_ВПФ с параметром (п/2 + а).5) Эта концепция показана на рисунке. Выбор спектра S(-ю) (вместо S(ю)) объясняется тем, что разложение S(-ю) в Р_ВПФ с положительным значением параметра ((п/2) + а) может облегчить сложность преобразований, связанных с построением схемы ВПФ_ДВ [13].

• С помощью (12) осуществляется представление спектра сигнала с дискретными отсчетами в форме выражения (17):

далее из (18)

вд= _ Т

2п

4

со8а+ 7 81паехр

г пТл 2

V у

81пасо8а х

х X •#] | ехр[-у(ю2/2^а]х

-(п/Т)

х ехр [ 7'юТ1 (к - п)]ю и затем из (19)

вд=

(19)

Т 1 - 7 с^а

2

х ехр

2п

Гп2т2^

д/со8а х

п Т 2

V у

81пасо8а

хХ 5[к ] Г(п, к

(20)

где ЦДп] является ВПФ_ДВ дискретного сигнала 5[к]; аФ тп + п/2 (т — целое). Кроме того, в (20) введено обозначение для функции Г(п,к,а), которая выражается через функцию плотности распределения вероятности (ФРВ) ("функцию ошибок"):

5) Отметим, что спектральная функция берется для противоположного отсчета аргумента, т. е. S(-ю).

п

Г( n, к ,а) =

Г (

= \ -ФРВ

J

-п tg а + T12 (n - к)

TiJjg

а

(

+ ФРВ

J

,ntga + T12(n - к)

TisJ

а

х exp(J(2(к-n)2/2)ctga

(21)

где ФРВ (для гауссовой плотности — так называемого нормального распределения) определяется известным выражением

2 "

ФРВ(x) = -= íexp(-u2)du 4п i

(22)

Соотношение (18) обеспечивает метод для вычисления ВПФ_ДВ на основе сигнала, заданного в частотной области. Соотношение (20) — способ получения ВПФ_ДВ из временной формы сигнала (Мк]к=..-1Д1,...}).

При а = 0 результат преобразования Оа[п] будет соответствовать начальному сигналу "[к]. Однако при а = тк + п/2 преобразование становится обычным преобразованием Фурье дискретного времени.

Обратное ВПФ_ДВ вычисляется на основе соотношения:

т=-

х exp

T 1 + J ctga

2п

( n 2T2 ^

Л

cosa х

sin a cos a

Д,[к ] Г(п, к, -a),

(23)

где вспомогательная функция Г(п, к ,a) определена соотношением (21).

Из (23) видно, что первоначальный сигнал может быть восстановлен из ВПФ_ДВ со значением параметра (-а). Подобно тому как в случае Р_ВПФ при значительном уменьшении интервала дискретизации T1 (в пределе при T1 ^ 0 ) результат ВПФ_ДВ может быть получен с использованием отсчетов ВПФ:

Da [n] = sjT cos a Sa (nT1cosa), (24)

где Sa (•) — ВПФ сигнала со специальной формой отсчетов при параметре а.

Из (24) видно, что расстояние между отсчетами ("интервал дискретизации") ВПФ_ДВ будет становиться меньше, когда угловой параметр а приближается к значению, равному (тп+(п/2)) с целым т. Если параметр а равен (тп+(п/2)), то расстояние между отсчетами ВПФ_ДВ становится нулевым. Это отвечает известному результату, состоящему в том, что в этом случае выход ВПФ_ДВ является непрерывной функцией.

Свойства ВПФ_ДВ, систематизированные в табл. 2, подобны свойствам Р_ВПФ, за исключением того, что угловой параметр должен быть изменен.

Аналогично случаю Р_ВПФ свойства ВПФ_ДВ, относящиеся к модуляции и к сдвигу, выполняются при некоторых ограничениях, и они отдельно собраны в табл. 3 с сопоставлением их со свойствами этого типа у ПФ_ДВ. В первой части табл. 3 (она упоминалась выше) показаны свойства, относящиеся к модуляции и к сдвигу для Р_ВПФ, дано их сопоставление с соответствующими свойствами РФ и вид ограничений, при которых эти свойства выполняются.

В табл. 4 показаны типы сигналов различных схем ВПФ, разработанных до самого последнего времени [13]. Для сравнения в последнем столбце таблицы показаны типы схем традиционного преобразования Фурье. Среди четырех таких схем

• обычное (ПФ), являющееся первичным методом;

• РФ — дискретные, апериодические;

• ПФ_ДВ — непрерывные, периодические;

• Д_ПФ, которое определено для дискрети-зованного по времени и периодического сигнала и дает в результате дискретный и периодический спектр [2]. Поэтому типы первоначальных сигналов и преобразований для Д_ПФ относятся как к дискретизованному, так и периодическому видам.

Табл. 2. Свойства вращаемого преобразования Фурье дискретного времени (ВПФ_ДВ)

Вид свойства ВПФ _ДВ Формализованное представление свойства

Изменение отсчета аргумента ВПФ ДВМ-и)1 ^ Da\-n\

Комплексное сопряжение сигнала ВПФ ДВ\/(п)1 ^, j (D*-a\n\)

Сдвиг сигнала по времени на величину т .(TCOof . 2 • i--— sinacosa- inz^o sina ВПФ_ДВ \s(n - т)1 ^ Da\n - T cos a]e 2 , co0 = Ticosa и (n -Tcosa)— целые

Модуляция сигнала (s[n] s[n]eJмTl) .(T)2 . T - i-sinacosa+ /ntoo Tcosa ВПФ_ДВ\ s\n]eJ Tl1^ Da\n -k]e 2 0 , t = k x T ctg a, где переменная k — целое число

Соотношение Парсеваля (аФ mn + n/2) и m — целое ^ ¿ |s\n]|2 = ¿ |Da\n]|2 П=-ж n=-^

Табл. 3. Ограничения для свойств сдвига и модуляции у Р_ВПФ и ВПФ_ДВ

Вид преобразования Свойство сдвига Свойство модуляции

Ряд вращаемого преобразования Фурье (Р_ВПФ) s(t - т), т = к (2п/ Т )tga, к — целое s(t)ejvt , v = к(2п/Т), к — целое

Ряд Фурье s(t - т), т — произвольное s(t)e]vt, v = к(2п/Т), к — целое

Вращаемое преобразование Фурье дискретного времени (ВПФ_ДВ) s(n - т), т и (т cos a) — целые числа s (n) ejnvT , v = кТ\ cos a, к — целое

Преобразование Фурье дискретного времени (ПФ_ДВ) s(n - т), т — целое s (n) einvT , v — произвольное

Тип ВПФ_ДВ, построенный по обсуждавшейся выше логике, является дискретным и апериодическим в области ВПФ (при угловом параметре 0 < а < п/2) и имеет там "бесконечную область определения".6-1 Кроме того, получаемая для

6) Возможна также логика построения ВПФ_ДВ, основанная на ВПФ сигнала s(t) ра( s(t)) =

= Ра{пв(п)8( - п)}. Такое определение приводит в

области ВПФ к непрерывному результату, но он не будет обладать хорошими граничными условиями для случая а ~ 0 . Поэтому использованная в статье логика более удобна, т. к. обеспечивает получение дискретного, апериодического ВПФ_ДВ с "бесконечной областью определения" в области ВПФ.

ВПФ_ДВ дискретизация (интервал между отсчетами) составляет T cosa. Причем, если а = тк + + п/2, то интервал отсчетов ВПФ_ДВ становится нулевым (точнее стремится к нулю) и ВПФ_ДВ будет сводиться к обычному дискретному преобразованию Фурье (ДПФ). Близкая ситуация возникает и в случае Р_ВПФ: интервал отсчетов составляет 2^sina/ T и он становится нулем при а =тп, так что в результате получается непрерывный сигнал. (Для полноты сопоставления различных схем (набора методов), связанных с ПФ, ДПФ, Р_ПФ, ВПФ_ДВ, последняя строка в табл. 4 показывает тип данных дискретного вращаемого преобразования Фурье (Д_ВПФ), которое детально не обсуждалось в нашей статье).

Табл. 4. Типы сигналов, получаемых в результате применения различных схем их анализа при использовании нескольких форм преобразований на основе традиционного и вращаемого преобразований Фурье

Схема преобразования Временная область а = 0 Область ВПФ 0 < а < ж/2 Частотная область а = п/2

Вращаемое преобразование Фурье (ВПФ) Непрерывный Непрерывный Непрерывный (ПФ)

Ряд ВПФ (Р_ВПФ) Непрерывный, периодический Дискретный, апериодический Дискретный, апериодический (РФ)

Вращаемое преобразование Фурье дискретного времени (ВПФ_ДВ) Дискретный, апериодический То же Непрерывный, периодический (ПФ_ДВ)

Дискретное ВПФ Дискретный, периодический Дискретный Дискретный, периодический (ДПФ)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Исходя из проведенного анализа, может быть отмечен ряд положений.

• Ряды вращаемого преобразования Фурье (Р_ВПФ) являются обобщением традиционных рядов Фурье; это обобщение построено на основе модифицированной формы ПФ, называемой вращаемым преобразованием Фурье.

• Коэффициенты разложения в такой ряд (в ряд вида Р_ВПФ) являются величинами отсчетов ВПФ.

• Отсчеты у огибающей коэффициентов Р_ВПФ становятся все более тесно расположенными по мере того как возрастает общий интервал Т вычисления этих коэффициентов. Когда интервал вычисления приближается к бесконечности, Р_ВПФ сходится к вращаемому преобразованию Фурье.

• Вращаемое преобразование дискретного времени (ВПФ_ДВ) является обобщением традиционного ПФ_ДВ и может быть получено дуальным разложением Р_ВПФ. Дискретное ВПФ (Д_ВПФ) может обеспечить метод для вычисления вращаемого преобразования Фурье для дискретных сигналов. С помощью алгоритма ВПФ_ДВ может быть реализован анализ дискретных сигналов на основе метода ВПФ.

1. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. М.: Мир, 1989. 540 с.

2. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978. 848 с.

3. Guanaurd G.C., Strifors H.C. Signal analysis by means of time-frequency transformation of Wigner type // Proceedings of IEEE. 1996. V. 84, N 9. P.1231-1247.

4. Hlawatsch F., Boudreaux-Bartels G.F. Linear and quadratic time-frequency signal representation // IEEE Signal Processing Magazine. 1992. V. 9, N 4. P. 21-67.

5. Jawerth B., Sweldens W. Wavelet-based multiresolution analysis // SIAM (Society of Industrial Association on Matematics) Review. 1994. V. 36, N 3. P. 377.

6. Меркушева А. В. Классы преобразований нестационарного сигнала в информационно-измерительных системах. II. Время-частотные преобразования // Научное приборостроение. 2002. Т. 12, № 2. С. 59-70.

7. Ozactas H.M. Fractional Fourier domain // Signal Processing. 1995. V. 46. P. 119-124.

8. Lohmann A. W. Image rotation, Wigner rotation, and the fractional Fourier transform // Journal of Optic Society of America. 1993. V. 10. P. 2181-2186.

9. Almeida L.B. The fractional Fourier transform and time-frequency representations // IEEE Transactions on Signal processing. 1994. V. 42. P.3084-3091.

10. Santhanam B., McClellan J.H. Discrete rotational Fourier transform // IEEE Transactions on Signal processing. 1996. V. 42, N 4. P. 994-998.

11. Pei S.C., Y eh M.H. Improved discrete fractional Fourier transform // Optical Letters. 1997. V. 22. P.1047-1049.

12. Arikan O., Kutay M.A., Onural L., Ozactas H.M. Optimal filtering in fractional Fourier domain //

Proceedings of IEEE International Conference on Acoustic, Speech and Signal Processing. Detroit, MI, 1995. P. 937-940. 13. Pei S.C., Yeh M.H. Rotational Fourier series expansion for finite signals // IEEE Transactions on Signal Processing. 1998. N 10. P. 2889-2899.

Санкт-Петербург

Материал поступил в редакцию 3.05.2006.

METHODS AND SCHEMES FOR SIGNAL SPECTRUM ANALYSIS BASED ON GENERALIZED MODIFICATION OF THE FOURIER TRANSFORM

A. V. Merkusheva, G. F. Malychina

Saint-Petersburg

Modification of the Fourier transformation (FT) — rotational FT has its own (different from FT) properties, specific rules for signal multiplication and convolution; it is usefUl for processing the non-stationary signals in information-measurement systems. Rotational FT (RFT) in some conditions may be more efficient than FT in the problems of multiplexing and filtering. For spectral analysis by means of the RFT method, we developed the schemes oriented to processing different types of signals. These are the RFT series and discrete time RFT. Both schemes are the generalization of corresponding traditional forms of signal processing by means of FT.