CC BY
61
УДК 621.396
А.С. Толстиков
ФГУП СНИИМ, Новосибирск
МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ КООРДИНАТНО-ВРЕМЕННЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ, ОСНОВАННЫЕ НА ПРИМЕНЕНИИ СПУТНИКОВЫХ НАВИГАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
Задачи координатно-временных определений, решаемые на основе применения спутниковых навигационных систем (СНС), можно разделить на задачи прямого назначения СНС и задачи, обеспечивающие функционирование самих СНС. Последние в основном направлены на формирование эфемеридно-временного обеспечения (ЭВО) СНС. В частности, это:
- Восстановление орбит навигационных спутников (НС) по результатам траекторных измерений для последующего прогнозирования движения орбитальной группировки НС;
- Оценивание параметров вращения Земли (ПВЗ) по данным измерений
и последующее прогнозирование ПВЗ;
- Оценивание уходов шкал времени бортовых часов НС для расчета соответствующих частотно-временных поправок;
- Синхронизация пространственно разнесенных часов беззапросных измерительных станций, осуществляющих траекторные измерения по орбитальной группировке НС для целей ЭВО.
Как правило, к обеспечивающим задачам предъявляются более высокие требования точности в части траекторных измерений и требуется привлечение адекватных математических моделей процессов и объектов для высокоточного прогнозирования состояний отдельных сегментов СНС. Все это обеспечивает точное решение задач прямого назначения СНС и увеличивает автономность функционирования спутникового сегмента СНС.
Решение перечисленных обеспечивающих задач сводится к статистическому оцениванию постоянных параметров или состояний процессов и объектов, функционально связанных с измеренными навигационными параметрами. С позиций анализа причинно-следственных связей, перечисленные задачи относятся к классу обратных задач некорректно поставленных по Адамару. Это обстоятельство заставляет:
- Использовать принципы регуляризации в применяемых методах и алгоритмах,
- Привлекать описание процессов и объектов в качестве дополнительных условий на выбор статистических решений.
Перечисленные выше задачи координатно-временных определений в отмеченных специфичных условиях предлагается решать на основе общей методологии, основная идея которой заключается в оценивании
расширенного вектора состояния некоторого, подлежащего исследованию динамического объекта по результатам траекторных измерений.
Предполагается, что на объект действует группа возмущений, которые можно представить согласующими математическими моделями с неопределенными в общем случае параметрами. На результаты измерений, помимо информационных сигналов, действует группа факторов, порождающих дополнительные погрешности измерений. Действие указанных факторов также представляется согласующими математическими моделями с неопределенными параметрами.
В соответствии с предлагаемой методологией описание исследуемого динамического объекта дополняется уравнениями согласующих математических моделей, описывающих действующие на объект возмущения и уравнениями факторов, влияющих на результаты измерений. При этом неопределенные параметры влияющих факторов вводятся в состав расширенного вектора состояния исследуемого объекта. Этот расширенный вектор состояния оценивается по результатам измерений с помощью тех или иных алгоритмов оценивания.
В общем случае исследуемый динамический объект описывает обыкновенным дифференциальным уравнением
х = Г(х,8^,0, х(О = х0, (1)
где х - п х 1 - вектор состояния объекта;
Г() —пх 1 - известная гладкая вектор-функция, причем Г (0,0,0,£)=0;
8 - т х 1 - вектор действующих на объект моделируемых возмущений, которые могут быть идентифицированы с помощью тех или иных согласующих математических моделей;
-1 х 1 - вектор возмущений случайной природы.
Считаем, что измерению доступен к х1 - мерный вектор z, связанный с вектором состояния х объекта исследований (1) уравнением измерений
z=Ь(х,р, V,*), (2)
где Ь() - известная вектор-функция размерности к х1, причем И(0Д 0,0;
р -дх 1 - мерный вектор моделируемых факторов, влияющих на точность измерений z;
V — § х 1 - вектор немоделируемых погрешностей измерений
случайной природы.
Моделируемые возмущения S, действующие на объект и факторы р, влияющие на точность измерений, могут быть идентифицированы с помощь тех или иных согласующих математических моделей.
Анализ действующих на объект возмущений S и факторов р , влияющих на точность траекторных измерений, проведенный в рамках задач координатно-временных определений, позволил выделить два типа согласующих математических моделей:
- Статические модели в виде известных функциональных зависимостей и
§(0 = Гя(а,0
Р(0 = РДР,0 в);
- Динамические модели, дифференциальными уравнениями
§(0 = <л («) • §(0 + Вя (а) • ^ (0, §(
т=орф)-т+врф)-^т
где ^ (а,^), ^ (Р, I) - известные функции,
Gs(ц),£>Ха), G (р),Вр(Р) - известные матрицы, зависящие от векторов параметров а и в,
С (0 и £ ^) - случайные процессы гауссовского типа с
математическими ожиданиями ^()], (^)] и ограниченными
ковариациями.
Для статических (3) и динамических (4) моделей при известных функциях ^(а,^),^(Р,£) и известных структурах матриц ^(а)^(а), Ор (Р), Бр (Р) в рассматриваемой задаче остаются неизвестными параметры а
и в. Это обстоятельство приводит к необходимости идентификации
указанных параметров по измерениям одновременно с оцениванием состояний самого объекта.
В частности, зависимостями вида (3) описываются ионосферная и тропосферные задержки, радиационное давление на НС от солнечного излучения; возмущения от нецентральности гравитационного поля Земли, гравитационные воздействия Луны и Солнца, долговременные нестабильности бортовых часов и часов приемной аппаратуры.
Дифференциальными уравнениями вида (4) описывается возмущенное движение НС по орбите, кратковременные нестабильности бортовых часов и часов приемной аппаратуры, уходы бортовых шкал, движение
(3)
описывающиеся линейными Л) = ®о5 а)
&)=Ро>в); (4)
высокодинамичных объектов, траектория которых восстанавливается по данным траекторных измерений.
Важной особенностью рассматриваемой задачи оценивания состояния является возможность введения в рассмотрение опорной траектории
х
движении исследуемого объекта 8, полученной расчетным путем в соответствии с уравнением
=^(х<у,8<у,0,0,х<у(^0) = х<у0. (5)
В (5) 88 - некоторое опорное расчетное представление действующих на
объект возмущений, рассчитываемое в соответствии с принятой математической моделью, в которой применены параметры первого
С1
приближения а8 .
х
Для опорной траектории 8 рассчитывается в соответствии с уравнением
^ = Ь(х8> Рй':' 0 1) (6)
опорная компенсирующая поправка 2:8 к наблюдаемому сигналу z. В (6) для влияющих факторов используется опорное расчетное представление
Р8 , вычисляемое в соответствии с принятой согласующей математической моделью, в которой применены параметры первого приближения .
Наличие опорной траектории х<8 и опорного сигнала ^ позволяет
г Ах = х - х о
рассматривать относительное движение объекта 8 вдоль
опорной траектории х, удовлетворяющие линеаризованному уравнению движения,
А х = Ах ■ Ах + А8 ■ Аъ + Вх ■ Ах(70 ) = Ах0
(V) ’
Аz = Сх • Ах + С$ • Аб + Ср • Ар + Dz • V,
(8)
ОГ ОГ Ох
А = А = 8 .б = _Б_
где Ах = ~ = -^ д *Бх = -^ ;
Ох^ Ох^ ОБ
^ _ ОЬ ^ _ ОЬ Ох^ т ^ _ ОЬ ^ _ ОЬ
Сх = ^ Б С = ^ Б Ср =^Г~Б Dz =^~;
ОБ ^ ОР ^
матрицы частных производных. Разности Лэ = §— 8^,Ар = р —
представляют собой смещения выходных координат принятых математических моделей, порожденные отличаем опорных параметров от оптимальных
Аа = а - а5, Ар = р - Р5
Полученное линеаризованное уравнение измерений (8), связывающее наблюдаемый вектор Аг =г: - Тд и подлежащие оцениванию векторы Ах, А8, Ар , может быть представлено в компактной форме
Аz = С • У + £> • V , (9)
Ут = ГАхт Абт Арт ] где 1 5 5 р -1 расширенный вектор состояния, подлежащий
оцениванию,
С = (Сх, С, С ) - блочная матрица.
Для решения задачи оптимального оценивания компонент , Ар
расширенного вектора состояния У линеаризованное уравнение движения объекта (7) должно быть дополнено уравнениями принятых согласующих математических моделей (4).
В результате описание объекта исследований с расширенным вектором состояния примет вид
¥ = ^-¥+5-^¥(/0) = [А4,А^,АЙ]
(10)
где А; Б; W - блочные матрицы.
Таким образом, рассматриваемые обеспечивающие задачи координатновременных определений по результатам траекторных измерений сведены к
оцениванию расширенного (п+т+<$) х1 - мерного вектора У линейного динамического объекта (10) по измерениям, представленным к х1 - мерным вектором измерений Аг = z - г5
Сама задача текущего оценивания вектора У в отдельных редких случаях
при к—п+т+$ может быть решена одномоментно на основе метода наименьших квадратов при условии, что ранг матрицы С не меньше, чем п+т+$ ^
В специфичных условиях существования решения уравнения (10) при условии наблюдаемости объекта [2] задача оценивания вектора У может быть
сведена к оцениванию начальных условий и последующему
интегрированию уравнения (10) для получения оценки У .
Трудоемкий в вычислительном отношении, но эффективный по точности метод «квазилинеаризации» [2] позволяет после 1-й - 2-х итераций использовать в качестве оценки вектора У рассчитанную опорную У*
траекторию 8.
При наличии достаточного объема априорной информации о вероятностных характеристиках действующих помех и возмущений достаточно эффективным для оценивания расширенного вектора состояния
У линейного динамического объекта (10) по измерениям z Тд будет применение рекуррентных процедур оптимальной калмановской фильтрации [2].
В заключении отметим, методология решения задач координатновременных определений путем введения неизвестных моделируемых параметров в разряд оцениваемых достаточно часто применяется в задачах восстановления текущих навигационных параметров КА в условиях действия возмущений и влияющих факторов [1]. Для этой методологии своего решения требуют вопросы принципиальной разрешимости самой задачи и исследования точности получаемых оценок.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Уравнение и навигация искусственных спутников Земли на околокруговых орбитах / Решетнев М.Ф., Лебедев А.А., Бартенев В.А. и др. - М.: Машиностроение, 1988. - 336 с.
2. Идентификация систем уравнения / Сейдж Э.П., Мелса Д.Л. - М.: Наука, 1974. -
248 с.
© А.С. Толстиков, 2007
