CC BY
9ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
МЕТОДЫ АНАЛИЗА ИНФОРМАЦИОННО-ЗАВИСИМЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Ленников Р.В.
Ленников Роман Витальевич - ассистент, кафедра вычислительной механики и математики, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Тульский государственный университет, г. Тула
Аннотация: в статье рассматриваются новые методы анализа информационно-зависимых систем, в основе которых лежит идентификация информационных процессов. Предложены методы идентификации на основе обобщенной логистической модели и степенных распределений с тяжелыми хвостами. Предложена модель фазового перехода и критерий самоорганизации систем на основе энтропии Реньи. Вариативность параметров логистической модели предлагается использовать для четкой подстройки модели. Представлена интерпретация взаимосвязи информационной и материальной составляющей экономических систем через аттрактор Хенона.
Ключевые слова: фазовый переход, обобщенное логистическое уравнение, энтропия, степенные распределения, аттрактор Хенона.
Информационное воздействие на экономические системы можно рассматривать как влияние инноваций, такое воздействие носит нелинейный характер, более того, социально-информационные явления имеют в своей основе степенные распределения [4, с. 51] и в частности следуют закону Ципфа:
р(Х)=4. (1)
X
Выражение (1) описывает фазовый переход в системе после инновации. При X —> 0 скорость перехода в новое состояние должна бесконечно возрастать, но сверху скорость перехода ограничена величиной а / Г, где Г - внутреннее сопротивление, сопряженное с ограниченностью доступного ресурса. Делая поправку на наличии сопротивления:
а
-2 • (2)
Г + X
После замены X = t — ?0 , Г = ХА и а = X / Г в (2), получим выражения для
функции плотности распределения (закон Коши) /« Х
р ( х ) =
ж(л2 +(t — t о )2)
(3)
и функции распределения
\ 1 1 t — ^
^ (t ) = - +—аШ2-0
w 2 ж X
(4)
Полученная плотность (3) распределения имеет физический смысл скорости перехода системы к генерации новой фазы. Выражение (4) может быть использовано для моделирования фазового перехода в результате инновационного воздействия.
Характер поведения функция (4) совпадает с поведением решения широко используемого логистического уравнения, но не повторяет его. Введем обобщенное логистическое уравнение в виде:
^ = кир(\ - и)3. (5)
Степень 3 определяет характер описываемого явления. При / = 2 уравнение (5) описывает процессы, имеющие ярко выраженный информационный характер.
Решение дифференциального уравнения (5) при / = 2 повторяет вид функции
Р (V) (4). Для моделирования информационно-зависимых систем предлагается использовать не классическое логистическое уравнение, а его обобщенный вид с показателем / = 2.
Интересным является вопрос о самоорганизации экономической системы после информационного воздействия.
Принцип максимума энтропии Реньи позволяет получить распределение Реньи, частным случаем которого является каноническое распределение Гиббса [2, с. 20]. Энтропия сложной системы определяется как энтропия Реньи для распределения Реньи.
/ ч 1 П
Р > = 7^1" ЪР?
1 — Ч 1=1
„ (6)
Ч
В отличие от обычной энтропии, основанной на энтропии Гиббса-Шеннона, энтропия Реньи возрастает с увеличением отклонения распределения от
распределения Гиббса (с ростом параметра ] = 1 — Ч) и достигает своего
максимума при максимально возможном значении ]тах, при этом распределение Реньи становится степенным распределением. Величину Т] можно рассматривать как
параметр порядка. При Т = 0 производная энтропии системы по ] испытывает скачок, т.е. имеет место фазовый переход в более упорядоченное состояние.
Для модели бистабильной элемента получены вероятности перехода в состояния
и ^ в виде
Ро (V) = — + — и Р (V) = Т^(1 — ^) . (7) 1 + а 1 + а 1 + ау '
где ОС — А, / ¡Л, Р = А + ¡Л, А. /и - интенсивности переходов. В дальнейшем рассматривается энтропийная функцию / //|пах , где
Н]
Н (V) во времени / для двух возможных состояний имеет вид:
тах - максимальное значение энтропии. Аналитическая зависимость, описывающая динамику потока энтропии Реньи
щ=
(8)
1п2 1-д
В зависимости от параметра X возможны три характерных режима системы: , ОС < 1, Р0 > Р1; равновероятный при =
Функция временной зависимости потока информационной энтропии Н (7) после изменения условий существования системы в результате инновации в момент
получена в виде:
я(0 =
(1-д)1п2
1п
(1 + а) + (а' -а) £ (1 + ()(1 + а)
-Р ^
+
+
а'(\ + а) + (а-а') е
(9)
V (1 + ()(1 + ()
Система реагирует на новый режим существования при X' > 1 ростом потока энтропии до максимального значения в критической точке и дальнейшей стабилизацией на стационарном уровне. В критической точке оба состояния
равновероятны, точка ^ является аналогом точки бифуркации системы. Возможны
два сценария дальнейшей эволюции системы: возврат к старому состоянию, Р > р;
переход к преимущественно новому состоянию, р < р.
Выражение (9) является сложной функцией, зависящей от старых (X и Р) и
новых (X ' и Р') условий, т.е. обладают «памятью» о прошлых условиях существования.
После появления инновации и изменения внешних условий, в экономической системе начинаются процессы перестройки структуры.
Зависимость информационной составляющей и материального производства предлагается описывать аттрактором Хенона. Низкий уровень информационной составляющей, так и слишком высокий, отрицательно сказываются на эффективности использования ресурсов. Наибольшая эффективность достигаются при оптимальном соотношении ресурсов, затрачиваемых на внедрение инноваций и поддержание самого производства. При одних и тех же значениях оснащенности ресурсами существуют две различные реализации эффективности системы [3, с. 32].
Состояние системы с наибольшей эффективностью является нестабильным. Предложенный критерием самоорганизации сложных экономических систем показывает, что при приближении к такому состоянию в системе нарастает энтропия, появляются флуктуации, начинается процесс разрушения структуры, который завершается срывом с траектории на другую эволюционную ветвь или другими словами, в системе происходит фазовый переход. Экономическая система функционирует циклически с постоянными флуктуациями.
ч
Список литературы
1. Башкиров А.Г. Энтропия Реньи как статистическая энтропия для сложных систем // Теоретическая и математическая физика. Том 149. № 2. М.: Наука, 2006. С. 299-317.
2. Зайнетдинов Р.И. Синергетический анализ инновационных циклов в науке, технике и технологиях / Р.И. Зайнетдинов // Циклы. Материалы VII Международной научной конференции. Том I. Ставрополь: РАН, Министерство образования и науки РФ, 2005. С. 19-26.
3. Pushnoi G.S., Bonser G.L. Method of Systems Potential as "Top-Bottom" Technique of the Complex Adaptive Systems Modelling // Ang Yang & Yin Shan (eds.) Intelligent Complex Adaptive Systems. Hershey-London: IGI-Publishing, 2008. P. 26-73.
4. Хайтун С.Д. Мои идеи. М.: Агар, 1998. 240 с.
